1、«®ÛØÙÚ第四節(jié) 范式一、 對偶式和對偶原理定義1：在僅含有聯(lián)結(jié)詞Ø ,Ú，Ù，的命令題公式A中，將Ú換成Ù，將Ù換成Ú，同時T和F（既0和1）互相替代，所得公式A*稱為A的對偶式。顯然A是A的對偶式A*的對偶式。例一 試寫出下列命題公式的對偶式（1） A：（PÙQ）ÚR則A*為（PÚQ）ÙR（2） A：（PÙQ）Ú（PÙØ（QÚØS） 則A*為（PÚQ）

2、Ù（PÚØ（QÙØS）（3） A：（PÚQ）Ù0）Ù（1ÙØ（RÚØP） 則A*為（PÙQ）Ú1）Ú（0ÚØ（RÙØP）下面兩個定理是對偶定理定理2：A和是互為對偶式，P，P2 ，Pn是出現(xiàn)在A和的原子變元，則Ø A（P，Pn）ÛA*（Ø P，Ø Pn）A*（Ø P，Ø Pn）ÛØ A*（P，Pn）即公式的否定等值于其變元否定的

3、對偶式。例：A為PÚQ，則A*為PÙQ，則Ø（PÚQ）ÛØPÙØQ這就是De Morgan律。再例如：A為（PÙØR）ÚQ則A*為（PÙØR）ÙQ則Ø（PÙØR）ÚQ）Û （ØPÚR）ÙØQ定理3：設(shè)A* ，B*分別是A和B的對偶式，如果AÛ B，則A*Û B*。這就是對偶原理。如果證明了一個等值公式，其對偶式的等值式同時也成立?？梢云鸬绞掳牍Ρ兜?/p>

4、效果。例如：AÛ（PÙQ）Ú（ØPÚ（ØPÚQ） BÛØ PÚQ 可以證明AÛB而A的對偶式為A*Û（PÚQ）Ù（ØPÙ（ØPÙQ）B的對偶式為B*ÛØ PÚQ根據(jù)對偶原理，則A*Û B*也成立。說明：1）含有另外三個聯(lián)結(jié)詞« ，Ñ，®的公式，必須將其歸化為然后再化為對偶式。例：P«QÛ（ØPÚQ）Ù

5、;（PÚØQ）PÑQÛ（ØPÙQ）Ú（PØÙQ）從而可知P«Q的對偶式是PÑQ2）對偶原理不是說A與其對偶式A*等值，一般公式與對偶是不是等值的。二、范式：1 簡單析取式和簡單合取式定義2：僅有有限個命題變元或其否定的析取構(gòu)成的析取式稱為簡單析取式。而僅有有限個命題變元或其否定的合取構(gòu)成的合取式稱為簡單合取式。例如：ØPÚQÚR，ØPÚØQÚP是簡單析取式，ØPÙR，QÙRÙ&

6、#216;Q是簡單合取式。P，ØQ一個變項本身可以看作簡單析取式也可以看作簡單合取式。而ØPÚ（QÚR），（PÙQ）ÚØR不是簡單析取式。2 范式：定義3：析取范式：由有限個簡單合取式的析取構(gòu)成的析取式稱為析取范式。合取范式：由有限個簡單析取式的合取構(gòu)成的合取式稱為合取范式。例：PÚ（PÙQ）Ú（ØPÙØQÙØR）是析取范式（PÚQ）ÙØQÙ（QÚØRÚS）是合取范式P

7、8;QÚR是析取范式是三個簡單合取范式的析取，同時也是合取范式是一個簡單析取范式的合取。而（PÙQ）Ú（ØPÙ（QÚR）不是析取范式，因為ØPÙ（QÚR）不是簡單合取范式。含有雙重刮號的公式，肯定不是范式。（P®Q）Ù（Q®R）不是合取范式，因為其含有®，范式中只能包含Ù、Ú、Ø等邏輯聯(lián)結(jié)詞。3、范式的存在性定理：任意一個命題公式均存在一個與之等值的析取范式和合取范式此定理證明是一個構(gòu)造性證明，證明過程說明了公式的范式如何求得。第一步：

8、將公式中出現(xiàn)的，用，來歸化。所用公式為 PQPQ PQ（PQ）（PQ）（PQ）（PQ） PQ （PQ）（PQ）（PQ）（PQ）第二步：用雙重否定律PQ，或用德莫根律將一直移到命題變元之前第三步：用分配律、結(jié)合律化去額二重以上刮號成為析取范式或合取范式例2：求公式（PQ）R）的析取范式和合取范式解：（PQ）R）（PQ）R）P（PQ）R）P（PQ）（QR）P析取范式（P（PR）（QR）P（QR）析取范式原式：（PQ）R）P（PQP）（RP）合取范式（PQ）（PR）合取范式例3：求公式（PQ）（QR）的析取范式和合取范式解：（PQ）（QR）（PQ）（QR）（QR）（PQ）（QR）（QR）析取范式原式（PQ）