1、第二十一章一元二次方程一元二次方程在一個(gè)等式中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2;(3)是整式方程.要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理.如果能整理為ax2+bx+c=0(a#0形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程.(4)將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0時(shí)，應(yīng)滿足(aw°降次一一解一元二次方程1.一元二次方程的解法(1)直接開平方法：根據(jù)平方根的意義，用此法可解出形如x2a(a>0),(xa)2b(b>0)類的一元

2、二次方程.x2a,則xTa；(xa)2b,xa而，xabb對(duì)有些一元二次方程，本身不是上述兩種形式，但可以化為x22或儀a)2b的形式，也可以用此法解.(2)因式分解法：當(dāng)一元二次方程的一邊為零，而另一邊易分解成兩個(gè)一次因式的積時(shí)，就可用此法來(lái)解.要清楚使乘積ab=0的條件是a=0或b=0,使方程x(x3)=0的條件是x=0或x3=0.x的兩個(gè)值都可以使方程成立，所以方程x(x3)=0有兩個(gè)根，而不是一個(gè)根.(3)配方法：任何一個(gè)形如x2bx的二次式，都可以通過(guò)加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方的方法配成一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，把方程歸結(jié)為能用直接開平方法來(lái)解的方程.如解x26x70時(shí)，可把方程22266c

3、x26x72化為x26x7,22,即儀3)2,從而得解.注意：(1)“方程兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半平方”的前提是方程的二次項(xiàng)系數(shù)是1.(2)解一元二次方程時(shí)，一般不用此法，掌握這種配方法是重點(diǎn).22.(3)公式法：一兀二次萬(wàn)程axbxc0(aw0)的根是由萬(wàn)程的系數(shù)a、b、c確定的.在b4ac02b一b4acx的前提下，2a.用公式法解一元二次方程的一般步驟：先把方程化為一般形式，即ax2bxc0(aw0)的形式；正確地確定方程各項(xiàng)的系數(shù)a、b、c的值(要注意它們的符號(hào))；計(jì)算b24ac0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，就不必解了(因負(fù)數(shù)開平方無(wú)意義)；將a、b、c的值代入求根公式，求出方程的兩個(gè)根.說(shuō)明

4、：象直接開平方法、因式分解法只是適宜于特殊形式的方程，而公式法則是最普遍，最適用的方法.解題時(shí)要根據(jù)方程的特征靈活選用方法.2. 一元二次方程根的判別式一元二次方程的根有三種情況：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；沒(méi)有實(shí)數(shù)根.而根的情況，由b24ac的值來(lái)確定.因此b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0的根的判別式. >0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. =0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根. <0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.判別式的應(yīng)用(1)不解方程判定方程根的情況;(2)根據(jù)參數(shù)系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；(3)解與根有關(guān)的證明題.3 .韋達(dá)定理及其應(yīng)用bc定理：如果方程ax2bxc0(aw0)的兩

5、個(gè)根是xi,x2,那么x1x2Ix1x2I.當(dāng)a=1時(shí)，xix2b，xix2c應(yīng)用：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；(2)已知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知系數(shù)；(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程；(4)已知兩數(shù)和與積求兩數(shù).4 .一元二次方程的應(yīng)用(1)面積問(wèn)題；(2)數(shù)字問(wèn)題;(3)平均增長(zhǎng)率問(wèn)題.步驟：分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系(包括隱含的)；設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；找出相等關(guān)系，并用它列出方程；解方程求出題中未知數(shù)的值；檢驗(yàn)所求的答數(shù)是否符合題意，并做答.這里關(guān)鍵性的步驟是和.注意

6、：列一元二次方程應(yīng)用題是一元一次方程解應(yīng)用題的拓展，解題的方法是相同的，但因一元二次方程有兩解，要檢驗(yàn)方程的解是否符合題意及實(shí)際問(wèn)題的意義.第二十二章二次函數(shù)二次函數(shù)及其圖像二次函數(shù)概念一般地，把形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常數(shù)，aw0,b,c可以為0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。x為自變量，y為因變量。等號(hào)右邊自變量的最高次數(shù)是2。二次函數(shù)圖像Fft/b4ac-b3d是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線2町頂點(diǎn)坐標(biāo)2"4。J,交點(diǎn)式為'一/一為心(僅限于與x軸有交點(diǎn)和的拋物線)，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是月崗和欣4°匕注意：“

7、變量”不同于“自變量”，不能說(shuō)“二次函數(shù)是指變量的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)”?！拔粗獢?shù)”只是一個(gè)數(shù)(具體值未知，但是只取一個(gè)值)，“變量”可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念(函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個(gè)數(shù)或函數(shù)一一也會(huì)遇到特殊情況)，但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別，如同函數(shù)不等于函數(shù)的關(guān)系。二次函數(shù)公式大全二次函數(shù)I .定義與定義表達(dá)式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，aw0)則稱y為x的二次函數(shù)。二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)

8、式。II .二次函數(shù)的三種表達(dá)式一般式：y=ax2;+bx+c(a,b,c為常數(shù)，aw0)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2;+k拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和B(x2,0)的拋物線注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：h=-b/2ak=(4ac-b2;)/4ax1,x2=(-b±Vb2;-4ac)/2aIII .二次函數(shù)的圖象在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x的圖象，可以看出，二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。IV .拋物線的性質(zhì)1 .拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特

9、別地,當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)2 .拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)巳坐標(biāo)為P-b/2a,(4ac-b2;)/4a。當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)A=b2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。3 .二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。4 .一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右。5 .常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于(0,c)6 .拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)A=b2-4a

10、c>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。A=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。A=b2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。V.二次函數(shù)與一元二次方程特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax2;+bx+c,當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，即ax2;+bx+c=0此時(shí)，函數(shù)圖象與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。例1,二次函數(shù)尸配方為'“的形式，則()用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程1.如果拋物線Vax2bxc與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0,那么當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)的值是0,因此xx02就是萬(wàn)程axbxc0的一個(gè)根。2.二

11、次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對(duì)應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒(méi)有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時(shí)間最少、效率最高等問(wèn)題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。第二十三章旋轉(zhuǎn)圖形的旋轉(zhuǎn)1 .圖形的旋轉(zhuǎn)（1）定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圓形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角。（圖形的旋轉(zhuǎn)本節(jié)我們重點(diǎn)了解旋轉(zhuǎn)、平移性質(zhì)，除外還有一個(gè)重點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)稱變換。二、知識(shí)要點(diǎn)1、旋轉(zhuǎn)：將一個(gè)圖形繞著某點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一

12、個(gè)角度的變換叫做旋轉(zhuǎn)。其中，。叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。2、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形全等對(duì)應(yīng)線段與O形成的角叫做旋轉(zhuǎn)角XA各旋轉(zhuǎn)角都相等o3、平移：將一個(gè)圖形沿著某條直線方向平移一定的距離的變換叫做平移。其中，該直線的方向叫做平移方向，該距離叫做平移距離。4、平移性質(zhì)平移后的圖形與原圖形全等兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)邊連線的線段平行相等（等于平行距離）各組對(duì)應(yīng)線段平行且相等5、中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱：若一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。，能夠與另一個(gè)圖形完全重合，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱。其中，點(diǎn)O叫做對(duì)稱中心、兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)。中心對(duì)稱圖形：若一個(gè)圖形

13、繞著某個(gè)點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，能夠與原來(lái)的圖形完全重合，則這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。其中，這個(gè)點(diǎn)叫做該圖形的對(duì)稱中心。6、軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形（1）、軸對(duì)稱：若兩個(gè)圖形沿著某條軸對(duì)折，能夠完全重合，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱或它們成軸對(duì)稱。其中，這條軸叫做對(duì)稱軸。注：軸對(duì)稱的性質(zhì)：兩個(gè)圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分（2）軸對(duì)稱圖形：若一個(gè)圖形沿著某條軸對(duì)折，能夠完全重合，則這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形。7、點(diǎn)的對(duì)稱變換（ 1） 、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)的符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x,y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為p/（-x,-y）（ 2） 、關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于

14、x軸對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，x相等，y的符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x,y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P，（x,-y）（ 3） 、關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，y相等，x的符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x,y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P，（-x,y）（4）、關(guān)于直線y=x對(duì)稱兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱時(shí)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)與之前對(duì)換，即：P（x,y）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為P，（y,x）（5）、兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線y=-x對(duì)稱時(shí)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)與之前完全相反，即：P（x,y）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為P，（-y，-x）注：y=x的直線是過(guò)一三象限的角平分線，y=-x的直線是過(guò)二四象限的角平分線。第二十四章圓圓定義：（

15、1）平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。（2）平面上一條線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360°，留下的軌跡叫圓。圓心：（1）如定義（1）中，該定點(diǎn)為圓心（2）如定義（2）中，繞的那一端的端點(diǎn)為圓心。（3）圓任意兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)為圓心。（ 4） 垂直于圓內(nèi)任意一條弦且兩個(gè)端點(diǎn)在圓上的線段的二分點(diǎn)為圓心。注：圓心一般用字母O表示直徑：通過(guò)圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。圓的直徑和半徑都有無(wú)數(shù)條。圓是軸對(duì)稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑

16、是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d。圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，用字母C表示。圓的周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。圓的周長(zhǎng)除以直徑的商是一個(gè)固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（無(wú)理數(shù)），用字母兀表示。計(jì)算時(shí)，通常取它的近似值，兀。直徑所對(duì)的圓周角是直角。90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。兀rA2,用字母S表示。一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的二分之一。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓

17、心角相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦心距也相等。周長(zhǎng)計(jì)算公式1.、已知直徑：C=ttd2、已知半徑：C=2兀r3、已知周長(zhǎng)：兀4、圓周長(zhǎng)的一半:12周長(zhǎng)（曲線）5、半圓的長(zhǎng)：12周長(zhǎng)+直徑面積計(jì)算公式：1、已知半徑：S=ttr平方2、已知直徑：S=ti（d2）平方3、已知周長(zhǎng)：S=tt（c2兀）平方點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系1. 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑點(diǎn)在圓上點(diǎn)到圓心的距離等于半徑點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑2.過(guò)三點(diǎn)的圓不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。3. 外接圓和外心經(jīng)過(guò)三角

18、形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。4. 直線和圓的位置關(guān)系相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線。相切：直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)。相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)叫這條直線和圓相離。5. 直線和圓位置關(guān)系的性質(zhì)和判定如果O。的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d,那么直線l和。O相交；直線l和。O相切；直線l和。O相離。圓和圓定義：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的外離。兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓

19、上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部，叫做兩個(gè)圓的外切。兩個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)，叫做兩個(gè)圓的相交。兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，叫做兩個(gè)圓的內(nèi)切。兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的內(nèi)含。原理：圓心距和半徑的數(shù)量關(guān)系：兩圓外離v=>d>R+r兩圓外切v=>d=R+r兩圓相交v=>R-r<d<R+r(R2r)兩圓內(nèi)切v=>d=R-r(R>r)兩圓內(nèi)含v=>d<R-r(R>r)正多邊形和圓一、本章知識(shí)框架基本元素：定義R瓠、弦、圓心、半徑垂在定理圓的認(rèn)識(shí)對(duì)稱性：旋轉(zhuǎn)對(duì)稱.御撇、中心

20、對(duì)視二在土、加,，方圓心角、孤、弦、走心距天系與圓有關(guān)的角二圓心角.IB周角、弦切角點(diǎn)與圓相交與圓有關(guān)的位置關(guān)耳直統(tǒng)與同相切一切線及切線長(zhǎng)相離圓與國(guó)的位置關(guān)系魴儲(chǔ)圓中的有關(guān)計(jì)算.弧長(zhǎng)和扇形、弓形的解.圓錐與圓錐的側(cè)面展AW二、本章重點(diǎn)1 .圓的定義：線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓.圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.2 .判定一個(gè)點(diǎn)P是否在。上.設(shè)。的半徑為R,OP=d,則有d>r點(diǎn)P在。O外；d=r點(diǎn)P在。O上；d<r點(diǎn)P在。O內(nèi).3 .與圓有關(guān)的角(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).(2

21、)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.圓周角的性質(zhì)：圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半.同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等.90。的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角.(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角.弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角.弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半.4 .圓的性質(zhì)：(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖

22、形，對(duì)稱中心是圓心.在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等.(2)軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸.垂徑定理及推論：(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.(3)弦的垂直平分線過(guò)圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧.(4)平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過(guò)圓心，且垂直平分此弦.(5)平行弦夾的弧相等.5 .三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心三角形的內(nèi)心：是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離

23、相等，通常用“I”表示.三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示.三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn).6 .切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定:經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線.切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.經(jīng)過(guò)圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過(guò)切點(diǎn).經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過(guò)圓心

24、.(3)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng).(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.7 .圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角.(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等.8 .直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)。O半徑為R,點(diǎn)O到直線l的距離為d.(1)直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)直線和圓相離d>R直線和。O有唯一公共點(diǎn)直線l和。O相切d=R直線l和。O有兩個(gè)公共點(diǎn)直線l和。O相交d<R.9 .圓和圓的位置關(guān)系：設(shè)口的半

25、徑為Rr(R>r),圓心距口工口廣九(1產(chǎn)5和0。工沒(méi)有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部0Clr0°2外離d>R+r.05和0°工沒(méi)有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在外部001002內(nèi)含d<Rr0。1和0%有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部口外切d=R+r.。0。有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，的每個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部?jī)?nèi)切d=Rr.(5嚴(yán)05有兩個(gè)公共點(diǎn)相交Rr<d<R+r.10 .兩圓的性質(zhì)：(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓連心線.(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn).11 .圓中有關(guān)計(jì)算：圓的面

26、積公式：周長(zhǎng)C=2兀R._njR圓心角為n°、半徑為R的弧長(zhǎng)二面T._n兀R?_1限圓心角為n°,半徑為R,弧長(zhǎng)為l的扇形的面積36。2.弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算.圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R,母線長(zhǎng)為l的圓柱的體積為，側(cè)面積為2冗Rl,全面積為圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R,母線長(zhǎng)為1,高為h的圓錐的側(cè)面積為九Rl,全面積為磯+工爐，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有解+注意：(1)圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式。(2)扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別(2)扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別知識(shí)點(diǎn)4、圓錐的側(cè)面積圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，如圖所

27、示，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為1,底面圓的半徑為r,那么這個(gè)扇形的半徑為1,扇形的弧長(zhǎng)為2m ,圓錐的側(cè)面積說(shuō)明：(1)圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。;沁= 2折=廚2,圓錐的全面積(2)研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)5、圓柱的側(cè)面積圓柱的側(cè)面積展開圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長(zhǎng)，若圓柱的底面半徑為r,高為h,則圓柱的側(cè)面積,圓柱的全面積&££感=加為+?冊(cè)=皿知識(shí)小結(jié)：圓錐與圓柱的比較名稱圓錐圓柱圖形%h；H1c圖形的形成過(guò)程由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，

28、如RtSOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)f。由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。圖形的組成側(cè)面展開圖的特征一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面扇形兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面矩形面積計(jì)算方法S»*祖-SB+-ra-1+-2祖1號(hào)笈S感+2號(hào)震-2Hh+2m口第二十五章概率初步隨機(jī)事件與概率1.隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間具有下列三個(gè)特性的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但事先知道每次試驗(yàn)所有可能的結(jié)果；(3)每次試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合為樣本空間，用表示，其中的每一個(gè)結(jié)果用e表示，e稱為樣本空間中的樣本點(diǎn)，記作e2 .

29、隨機(jī)事件在隨機(jī)試驗(yàn)中，把一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生、而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻呈現(xiàn)某種規(guī)律性的事情稱為隨機(jī)事件(簡(jiǎn)稱事件).通常把必然事件(記作)與不可能事件(記作)看作特殊的隨機(jī)事件.3 .頻率與概率的定義(1)頻率的定義設(shè)隨機(jī)事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了次，則比值/ n稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率，記作f Afn(A)fn(A),即(2)概率的統(tǒng)計(jì)定義在進(jìn)行大量重復(fù)試3中，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí),頻率fn(A)在一個(gè)穩(wěn)定的值(0<<1)附近擺動(dòng)，規(guī)定事件 A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值為概率，即 P(A) p(3)古典概率的定義具有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型

30、稱為古典概型：(i)試驗(yàn)的樣本空間是個(gè)有限集，不妨記作ei,%,L 自. ;(ii)在每次試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)(i1,2，L，n)出現(xiàn)的概率相同，即P(ei)P(e2)LP(0)在古典概型中，規(guī)定事件 A的概率為P(A)A中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)nA中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)(4)幾何概率的定義如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是一個(gè)區(qū)域(可以是直線上的區(qū)間、平面或空間中的區(qū)域)，且樣本空間中每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有等可能性，那么規(guī)定事件A的概率為A勺長(zhǎng)度(或面積、體積)P(A)樣本空間的的長(zhǎng)度(或面積、體積).用列舉法求概率1、當(dāng)一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，并且各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等時(shí)，可以用被關(guān)注的結(jié)果在全部

31、試驗(yàn)結(jié)果中所占的比分析出事件中該結(jié)果發(fā)生的概率，此時(shí)可采用列舉法.2、列舉法就是把要數(shù)的對(duì)象一一列舉出來(lái)分析求解的方法.但有時(shí)一一列舉出的情況數(shù)目很大，此時(shí)需要考慮如何去排除不合理的情況，盡可能減少列舉的問(wèn)題可能解的數(shù)目3、利用列表法或樹形圖法求概率的關(guān)鍵是：注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同；其中某一事件發(fā)生的一、.某一事件發(fā)牛的次數(shù)概率一a一、rIm鉆班；在考查各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和某一事件發(fā)生的次數(shù)時(shí)不能重復(fù)也不能遺漏；各種情況出現(xiàn)的次數(shù)4、用列表法或樹形圖法求得的概率是理論概率，而實(shí)驗(yàn)估計(jì)值是頻率，它通常受到實(shí)驗(yàn)次數(shù)的影響而產(chǎn)生波動(dòng)，因此兩者不一定一致，實(shí)驗(yàn)次數(shù)較多時(shí)，頻率穩(wěn)定于概率，但并

32、不完全等于概率。用頻率估計(jì)概率在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率應(yīng)該穩(wěn)定于該事件發(fā)生的概率。事件發(fā)生的頻率與概率既有區(qū)別又有聯(lián)系：事件發(fā)生的頻率不一定相同，是個(gè)變數(shù)，而事件發(fā)生的概率是個(gè)常數(shù)；但它們之間又有密切的聯(lián)系，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率越來(lái)越穩(wěn)定于概率。在具體操作過(guò)程中，大家往往發(fā)現(xiàn)：雖然多次試驗(yàn)結(jié)果的頻率逐漸穩(wěn)定于概率，但可能無(wú)論做多少次試驗(yàn)，兩者之間存在著一定的偏差。應(yīng)該注意：這種偏差的存在是經(jīng)常的，并且是正常的。另外，由于受到某些因素的影響，通過(guò)試驗(yàn)得到的估計(jì)結(jié)果往往不太理想，甚至有可能出現(xiàn)極端情況，此時(shí)我們應(yīng)正確地看待這樣的結(jié)果并嘗試著對(duì)結(jié)果進(jìn)行合理的

33、解釋。對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的頻率與理論概率的偏差的理解也是形成隨機(jī)觀念的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越大時(shí)，出現(xiàn)極端情況的可能性就越小。因此，我們常常通過(guò)做大量重復(fù)試驗(yàn)來(lái)獲得事件發(fā)生的頻率，并用它作為概率的估計(jì)值。試驗(yàn)次數(shù)越多，得到的估計(jì)結(jié)果就越可靠。第二十六章反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)1反比例函數(shù)的定義k._一般地，形如y（k為常數(shù)，k0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，它可以從以下幾個(gè)方面來(lái)理解：xx是自變量，y是x的反比例函數(shù)；自變量x的取值范圍是x0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)值的取值范圍是y0；比例系數(shù)k0是反比例函數(shù)定義的一個(gè)重要組成部分；反比例函數(shù)有三種表達(dá)式：三k y（k0）,x ykx1（k0）, xyk（

34、定值）（k0）;kk函數(shù)y（k0）與x（k0）是等價(jià)的，所以當(dāng)y是x的反比例函數(shù)時(shí)，x也是y的反比例函數(shù)。xykk（k為常數(shù)，k0）是反比例函數(shù)的一部分，當(dāng)k=0時(shí)，y,就不是反比例函數(shù)了，由于反比例函數(shù)yxx（k0）中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此，只要一組對(duì)應(yīng)值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。知識(shí)點(diǎn)2用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式k由于反比例函數(shù)y一（k0）中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此，只要一組對(duì)應(yīng)值，就可以求出k的值，從而x確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。知識(shí)點(diǎn)3反比例函數(shù)的圖像及畫法反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限，它們與原點(diǎn)對(duì)

35、稱，由于反比例函數(shù)中自變量函數(shù)中自變量x0,函數(shù)值y0,所以它的圖像與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。反比例的畫法分三個(gè)步驟：列表；描點(diǎn)；連線。再作反比例函數(shù)的圖像時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：列表時(shí)選取的數(shù)值宜對(duì)稱選??；列表時(shí)選取的數(shù)值越多，畫的圖像越精確；連線時(shí)，必須根據(jù)自變量大小從左至右（或從右至左）用光滑的曲線連接，切忌畫成折線;畫圖像時(shí)，它的兩個(gè)分支應(yīng)全部畫出，但切忌將圖像與坐標(biāo)軸相交。知識(shí)點(diǎn)4反比例函數(shù)的性質(zhì)關(guān)于反比例函數(shù)的性質(zhì)，主要研究它的圖像的位置及函數(shù)值的增減情況，如下表：(k0)性質(zhì)x的取值范圍是x0,y的取值范圍是y0當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)圖像的兩

36、個(gè)分支分別在第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。x的取值范圍是x0,y的取值范圍是y0當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。注意：描述函數(shù)值的增減情況時(shí)，必須指出“在每個(gè)象限內(nèi)”否則，籠統(tǒng)地說(shuō)，當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而減小“，就會(huì)與事實(shí)不符的矛盾。反比例函數(shù)圖像的位置和函數(shù)的增減性，是有反比例函數(shù)系數(shù)k的符號(hào)決定的，反過(guò)來(lái)，由反比例函數(shù)圖像（雙曲k_.線）的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出k的符號(hào)。如y在第一、第三象限，則可知k0。x,k反比例函數(shù)yk（kx如圖所示，過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)貝Uk|xyxyPFk反比例函數(shù)yk（kx原點(diǎn)。雙曲

37、線是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)；雙曲線又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直線y=x和直線y=-xo第二十七章相似27.1圖形的相似概述0）中比例系數(shù)k的絕對(duì)值k的幾何意義。PE0)（x,v）分另1J作x軸、y軸的垂線，E、F分別為垂足,S矩形OEPFk|越小，雙曲線y越靠近坐標(biāo)x中，k越大，雙曲線y越遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn);x如果兩個(gè)圖形形狀相同，但大小不一定相等，那么這兩個(gè)圖形相似。（相似的符號(hào)：S）判定如果兩個(gè)多邊形滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似。相似比相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫相似比。相似比為1時(shí)，相似的兩個(gè)圖形全等。性質(zhì)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長(zhǎng)比等

38、于相似比。相似多邊形的面積比等于相似比的平方。27. 2相似三角形判定1 .兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等2 .兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等3 .三邊對(duì)應(yīng)成比例4 .平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長(zhǎng)線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。例題. AB8 A'B'C'.ZA=ZA'/B=ZB'工、力欣島翎4、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于性質(zhì)1 .相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段相似比。2 .相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。3 .相似三角形面積的比等于相似比的平方27. 3位似如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這兩個(gè)

39、圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。性質(zhì)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊平行或共線。位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點(diǎn)，不過(guò)位似圖形也會(huì)隨著位似中心的位變而位變。根據(jù)一個(gè)位似中心可以作兩個(gè)關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形，這兩個(gè)圖形分布在位似中心的兩側(cè)，并且關(guān)于位似中心對(duì)稱。注思1、位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；2、兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)；3、兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；

40、4、位似比就是相似比.利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似；5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形位似。第二十八章銳角三角函數(shù)28. 1銳角三角函數(shù)銳角角A的正弦（sin），余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec）,（余割csc）都叫做角A的銳角三角函數(shù)。正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊，余弦（cos）等于鄰邊比斜邊正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊；直角三角形ABC中，角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊，余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對(duì)邊比鄰邊，28. 2解直角三角形勾股定理，只適用于直角三角形（外國(guó)叫“畢達(dá)哥拉斯定理”）aA2+bA2=cA2

41、,其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。5。他們分別是3, 4和5的倍數(shù)。勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數(shù)。比如：3,4,直角三角形的特征直角三角形兩個(gè)銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：在RtABC中，若/C=90°,則a2+b2=c2;勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，在ABC中，若a2+b2=c2,則/C=90°射影定理：AC2=ADgAB,BC2=BDgAB,CD2=DAgDB.銳角三角函數(shù)