1、一板凳黎子問題板凳黎子三十三,一百條腿都朝天,問幾個板凳幾個望子板凳和黎子烙餅用的,有三條腿；板凳,四條腿一共三十三個.問幾個板凳幾個望子?二隔墻分銀隔墻聽得客分銀,不知人數不知銀.七兩分之多四兩,九兩分之少半兩.問多少銀子多少人古時16兩1斤三一百饅頭一百僧我國明代珠算家程大位的名著?直指算法統(tǒng)宗?里有一道著名算題：一百饅頭一百僧,大僧三個更無爭,小僧三人分一個,大小和尚各幾丁譯成白話文,其意思是：有100個和尚分100只饅頭,正好分完.如果大和尚一人分3只,小和尚3人分一只,試問大小和尚各有幾人方法一,用方程設大和尚有x人,那么小和尚有100x人,根據題意列得方程：3x+1/3100-x=

2、100解方程得：x=25小和尚：10025=75人方法二,雞兔同籠法：假設100人全是大和尚,應吃饅頭多少個3X100=300個.2這樣多吃了幾個呢300 100=200個.3為什么多吃了200個呢這是由于把小和尚當成大和尚.那么把小和尚當成大和尚時,每個小和尚多算了幾個饅頭3-1/3=8/34每個小和尚多算了8/3個饅頭,一共多算了200個,所以小和尚有：2003/3=75人大和尚：10075=25人方法三,分組法：由于大和尚一人分3只饅頭,小和尚3人分一只饅頭.我們可以把3個小和尚與1個大和尚編為一組,這樣每組4個和尚剛好分4個饅頭,那么100個和尚總共分為100+3+1=25組,由于每組

3、有1個大和尚,所以有25個大和尚；又由于每組有3個小和尚,所以有25X3=75個小和尚這是?直指算法統(tǒng)宗?里的解法,原話是：置僧一百為實,以三一并得四為法除之,得大僧二十五個.所謂實"便是“被除數“,法"便是除數.列式就是：100+(3+1)=25,100-25=75o我國古代勞動人民的智慧由此可見一斑.四雞兔同籠問題雞兔同籠不知數,三十六頭籠中露.數清腳共五十雙,各有多少雞和兔一隊強盜一隊狗,二隊拼作一隊走,數頭一共三百六,數腿一共八百九,問有多少強盜多少狗?1 .雞兔同籠,共17個頭,42條腿.問：雞有幾只,兔有幾只2 .小明的儲蓄罐里有1角和5角的硬幣共27枚,價值1

4、.5元.問：一角的硬幣有幾枚,5角的硬幣有幾枚3 .用大小卡車往城市運送29噸蔬菜,大卡車每輛每次運5噸,小卡車每輛每次運3噸,問：大小卡車各用幾輛一次能運完(注意有多解)4 .每校有100名學生參加數學競賽,平均分是63分,其中男生平均分是60分,女生平均分是70分.問：男生比女生多幾人5 .學校買回4個籃球和5個排球,一共用了185元,一個籃球比一個排球貴8元.問：籃球的單價是多少6 .解放軍進行野營拉練.晴天每天走35千米,雨天每天走28千米,11天一共走350千米.求這期間晴天共有多少天7 .小強集郵,他用一元錢買了4分和8分的郵票共20張.問：小強買了4分郵票幾張8 .一堆2分和5分

5、的硬幣共299分,其中2分硬幣的個數是5分硬幣個數的4倍.問：5分硬幣有幾枚9 .某人領得獎金240元,有2元5元10元三種人民幣共50張,其中2元和5元的張數一樣多.問：10元的張數是多少10 .小明買了4分和8分的郵票共花去6元8角錢,8分的郵票比4分的多40張.問：8分的郵票是幾張11 .雞兔同籠,共200只,雞的腳比兔的腳少56只.問：雞有幾只,兔有幾只12 .有一輛貨車運送2000只玻璃瓶,運費按到達時完好瓶子計算每只2角,如有破損,那么破損一個瓶子要倒賠1元.結果運費379.6元.問：運送中損壞了幾只瓶子13 .某數學測驗共20題,做對一題得5分,做錯一題倒扣1分,不做不扣分.小華

6、得了76分.問：小華做對幾題14 .雞兔同籠,共有頭100個,足316只.問：雞有幾只,兔有幾只?15 .小明花了34元錢買賀卡和明信片,一共買了14張.賀卡每張3角5分,明信片每張2角5分.問：小明買了幾張賀卡,幾張明信片16 .濰坊盲童學校舉行數學競賽,共20道試題,做對一題得5分,做錯或沒有做的題,每題倒扣3分.劉剛得了60分.問：他做對了幾題17 .雞兔同籠,共有腳100只.假設將雞換成兔,兔換成雞,那么共有腳92只,問：雞有幾只,兔有幾只18 .雞兔共有100只,雞腳比兔腳多80只,問：雞兔各有多少19 .雞兔同籠,共有30個頭,88只腳.求籠中雞兔各有多少只20 .小明用10元錢正

7、好買了20分和50分的郵票共35張,求這兩種郵票名買了多少張21 .小紅用13元6角正好買了50分和80分郵票共計20張,求兩種郵票各買了多少張22 .小剛的儲蓄罐里共2分和5分硬幣70枚,小剛數了一下,一共有194分,求兩種硬幣各有多少枚23 .三年一班30人共向北京奧運會捐款205元,同學每人了捐了5元或10元,你知道捐5元和10元的同學各有多少人嗎24 .松鼠媽媽采松籽,晴天每天可以采20個,雨天每天只能采12個.它一連8天共采了112個松籽,這八天有幾天晴天幾天雨天25 .某校有一批同學參加數學競賽,平均得63分,總分是3150分.其中男生平均得60分,女生平均得70分.求參加競賽的男

8、女各有多少人26 .一次數學競賽共有20道題.做對一道題得5分,做錯一題倒扣3分,劉冬考了52分,你知道劉冬做對了幾道題27 .一次數學競賽共有20道題.做對一道題得8分,做錯一題倒扣4分,劉冬考了112分,你知道劉冬做對了幾道題28 .52名同學去劃船,一共乘坐11只船,其中每只大船坐6人,每只小船坐4人.求大船和小船各幾只29 .在一個停車場上,停了小轎車和摩托車一共32輛,這些車一共108個輪子.求小轎車和摩托車各有多少輛雞兔同籠問題一一根底學習一解做題3一般雞兔同籠例1:雞兔同籠,共17個頭,42條腿.問：雞有幾只,兔有幾只【答案】4只,13只【解題關鍵點】不加注的都是雞兔同籠模板,套

9、公式兔：42-17M/2=4只；雞：17-4=13只【結束】4一般雞兔同籠例2:籠子里有假設干只雞和兔.從上面數,有8個頭,從下面數,有26只腳,雞和兔各有幾只【答案】兔有5只,雞有3只.【解題關鍵點】解法1:假設的方法.如果假設籠子里都是雞,就有8X2=16只腳,這樣就多出2616=10只腳,一只兔比一只雞多2只腳,也就是有10攵=5只兔.所以籠子里有3只雞,5只兔.解法2:如果假設籠子里都是兔,那么也可以列式：雞：8%26+42=3只兔：8-3=5只解法3:用方程解的.解：設兔有x只,那么就有8-x只雞,雞兔共有26只腳,就是4x+28-x=262x+16=26x=58-5=3只【結束】5

10、另一類,主者同籠問題【答案】1:把他們看成一個整體,把3者間的關系,轉換成2類物體間諜關系2:三個未知數列三個方程【結束】6另一類雞兔同籠例1:有蜘蛛,蜻蜓,蟬三種動物共18只,共有腿118條,翅膀20對蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿,2對翅膀；蟬6條腿,1對翅膀,三種動物各幾只【答案】蜘蛛是5只,蜻蜓是7只,蟬是6只.【解題關鍵點】方程假設蜘蛛為x,蜻蜓為y,蟬為Z那么x+y+z=188x+6y+6z=1182y+z=20由此算出x=5y=7z=6所以蜘蛛是5只,蜻蜓是7只,蟬是6只.1雞兔同籠,共17個頭,42條腿.問：雞有幾只,兔有幾只2小明的儲蓄罐里有1角和5角的硬幣共27枚,價值1.5元.問

11、：一角的硬幣有幾枚,5角的硬幣有幾枚3用大小卡車往城市運送29噸蔬菜,大卡車每輛每次運5噸,小卡車每輛每次運3噸,問:大小卡車各用幾輛一次能運完注意有多解4每校有100名學生參加數學競賽,平均分是63分,其中男生平均分是60分,女生平均分是70分.問：男生比女生多幾人5學校買回4個籃千和5個排球,一共用了185元,一個籃球比一個排球貴8元.問：籃球的單價是多少7小強集郵,他用一元錢買了4分和8分的郵票共20張.問：小強買了4分郵票幾張8一堆2分和5分的硬幣共299分,其中2分硬幣的個數是5分硬幣個數的4倍.問：5分硬幣有幾枚9某人領得獎金240元,有2元5元10元三種人民幣共50張,其中2元和

12、5元的張數一樣多.問：10元的張數是多少10小明買了4分和8分的郵票共花去6元8角錢,8分的郵票比4分的多40張.問：8分的郵票是幾張11雞兔同籠,共200只,雞的腳比兔的腳少56只.問：雞有幾只,兔有幾只12有一輛貨車運送2000只玻璃瓶,運費按到達時完好瓶子計算每只2角,如有破損,那么破損一個瓶子要倒賠1元.結果運費379.6元.問：運送中損壞了幾只瓶子13某數學測驗共20題,做對一題得5分,做錯一題倒扣1分,不做不扣分.小華得了76分.問：小華做對幾題14雞兔同籠,共有頭100個,足316只.問：雞有幾只,兔有幾只15小明花了34元錢買賀卡和明信片,一共買了14張.賀卡每張3角5分,明信

13、片每張2角5分.問：小明買了幾張賀卡,幾張明信片16東湖小學六年級舉行數學競賽,共20道試題,做對一題得5分,做錯或沒有做的題,每題倒扣3分.劉剛得了60分.問：他做對了幾題17雞兔同籠,共有腳100只.假設將雞換成兔,兔換成雞,那么共有腳92只,問：雞有幾只,兔有幾只18100個饅頭100個和尚吃,大和尚每人吃3個,小和尚三人吃1個,問：大和尚有幾個,小和尚有幾個19雞兔共有100只,雞腳比兔腳多80只,問：雞兔各有多少1 .雞兔同籠,共有30個頭,88只腳.求籠中雞兔各有多少只2 .雞兔同籠不知數,三十六頭籠中露.數清腳共五十雙,各有多少雞和兔3 .小明用10元錢正好買了20分和50分的郵

14、票共35張,求這兩種郵票名買了多少張4 .小紅用13元6角正好買了50分和80分郵票共計20張,求兩種郵票各買了多少張5 .小剛的儲蓄罐里共2分和5分硬幣70枚,小剛數了一下,一共有194分,求兩種硬幣各有多少枚6 .三年一班30人共向北京奧運會捐款205元,同學每人了捐了5元或10元,你知道捐5元和10元的同學各有多少人嗎7 .松鼠媽媽采松籽,晴天每天可以采20個,雨天每天只能采12個.它一連8天共采了112個松籽,這八天有幾天晴天幾天雨天8 .某校有一批同學參加數學競賽,平均得63分,總分是3150分.其中男生平均得60分,女生平均得70分.求參加競賽的男女各有多少人9 .一次數學競賽共有

15、20道題.做對一道題得5分,做錯一題倒扣3分,劉冬考了52分,你知道劉冬做對了幾道題10 .一次數學競賽共有20道題.做對一道題得8分,做錯一題倒扣4分,劉冬考了112分,你知道劉冬做對了幾道題11 .52名同學去劃船,一共乘坐11只船,其中每只大船坐6人,每只小船坐4人.求大船和小船各幾只12 .在一個停車場上,停了小轎車和摩托車一共32輛,這些車一共108個輪子.求小轎車和摩托車各有多少輛13 .解放軍進行野營拉練.晴天每天走35千米,雨天每天走28千米,11天一共走了350千米.求這期間晴天共有多少天14 .100個和尚吃了100個面包,大和尚1人吃3個,小和尚3人吃1個.求大小和尚各有

16、多少個15 .一隊強盜一隊狗,二隊拼作一隊走,數頭一共三百六,數腿一共八百九,問有多少強盜多少狗雞兔同籠問題根底學習一解做題3一般雞兔同籠例1:雞兔同籠,共17個頭,42條腿.問：雞有幾只,兔有幾只?【答案】4只,13只【解題關鍵點】不加注的都是雞兔同籠模板,套公式兔：42-17M/2=4只；雞：17-4=13只【結束】4一般雞兔同籠例2:籠子里有假設干只雞和兔.從上面數,有8個頭,從下面數,有26只腳,雞和兔各有幾只【答案】兔有5只,雞有3只.【解題關鍵點】解法1:假設的方法.如果假設籠子里都是雞,就有8X2=16只腳,這樣就多出2616=10只腳,一只兔比一只雞多2只腳,也就是有10攵=5

17、只兔.所以籠子里有3只雞,5只兔.解法2:如果假設籠子里都是兔,那么也可以列式：雞：8%26+42=3只兔：8-3=5只解法3:用方程解的.解：設兔有x只,那么就有8-x只雞,雞兔共有26只腳,就是4x+28-x=262x+16=26x=58-5=3只【結束】5另一類,主者同籠問題【答案】1:把他們看成一個整體,把3者間的關系,轉換成2類物體間諜關系2:三個未知數列三個方程【結束】6另一類雞兔同籠例1:有蜘蛛,蜻蜓,蟬三種動物共18只,共有腿118條,翅膀20對蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿,2對翅膀；蟬6條腿,1對翅膀,三種動物各幾只【答案】蜘蛛是5只,蜻蜓是7只,蟬是6只.【解題關鍵點】方程假設蜘

18、蛛為x,蜻蜓為y,蟬為Z那么x+y+z=188x+6y+6z=1182y+z=20由此算出x=5y=7z=6所以蜘蛛是5只,蜻蜓是7只,蟬是6只.百雞問題?張邱建算經?中,是原書卷下第38題,也是全書的最后一題：今有雞翁一,值錢伍；雞母一,值錢三；雞雛三,值錢一.凡百錢買雞百只,問雞翁母雛各幾何答日：雞翁四,值錢二十；雞母十八,值錢五十四；雞雛七十八,值錢二十六.又答：雞翁八,值錢四十；雞母十一,值錢三十三,雞雛八十一,值錢二十七.又答：雞翁十二,值錢六十；雞母四值錢十二；雞雛八十四,值錢二十八.該問題導致三元不定方程組,其重要之處在于開創(chuàng)乙問多答的先例,這是過去中國古算書中所沒有的.秦王暗點

19、兵問題和韓信亂點兵問題,都是后人對物不知其數問題的一種故事化.物不知其數問題出自一千六百年前我國古代數學名著?孫子算經?.原題為：今有物不知其數,三三數之二,五五數之三,七七數之二,問物幾何這道題的意思是：有一批物品,不知道有幾件.如果三件三件地數,就會剩下兩件；如果五件五件地數,就會剩下三件；如果七件七件地數,也會剩下兩件.問：這批物品共有多少件變成一個純粹的數學問題就是：有一個數,用3除余2,用5除余3,用7除余2.求這個數這個問題很簡單：用3除余2,用7除也余2,所以用3與7的最小公倍數21除也余2,而用21除余2的數我們首先就會想到23;23恰好被5除余3,所以23就是此題的一個答案.

20、這個問題之所以簡單,是由于有被3除和被7除余數相同這個特殊性.如果沒有這個特殊性,問題就不那么簡單了,也更有趣得多.我們換一個例子：韓信點一隊士兵的人數,三人一組余兩人,五人一組余三人,七人一組余四人.問：這隊士兵至少有多少人這個題目是要求出一個正數,使之用3除余2,用5除余3,用7除余4,而且希望所求出的數盡可能地小.如果一位同學從來沒有接觸過這類問題,也能利用試驗加分析的方法一步一步地增加條件推出答案.例如我們從用3除余2這個條件開始.滿足這個條件的數是3n+2,其中n是非負整數.要使3n+2還能滿足用5除余3的條件,可以把n分別用1,2,3,代入來試.當n=1時,3n+2=5,5除以5不

21、用余3,不合題意；當n=2時,3n+2=8,8除以5正好余3,可見8這個數同時滿足用3除余2和用5除余3這兩個條件.最后一個條件是用7除余4.8不滿足這個條件.我們要在8的根底上得到一個數,使之同時滿足三個條件.為此,我們想到,可以使新數等于8與3和5的一個倍數的和.由于8加上3與5的任何整數倍所得之和除以3仍然余2,除以5仍然余3.于是我們讓新數為8+15m,分別把m=1,2,代進去試驗.當試到m=3時,得到8+15m=53,53除以7恰好余4,因而53符合題目要求.我國古代學者早就研究過這個問題.例如我國明朝數學家程大位在他著的?算法統(tǒng)宗?(1593年)中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解

22、法：三人同行七十稀,五樹梅花甘一枝,七子團圓正半月,除百零五便得知.正半月暗指15.除百零五的原意是,當所得的數比105大時,就105105地往下減,使之小于105;這相當于用105去除,求出余數.這四句口訣暗示的意思是：當除數分別是357時,用70乘以用3除的余數,用21乘以用5除的余數,用15乘以用7除的余數,然后把這三個乘積相加.加得的結果如果比105大,就除以105,所得的余數就是滿足題目要求的最小正整數解.按這四句口訣暗示的方法計算韓信點的這隊士兵的人數可得：70>2+21>+15>4=263,263=2X105+53,所以,這隊士兵至少有53人.在這種方法里,我們

23、看到：702115這三個數很重要,稍加研究,可以發(fā)現它們的特點是：70是5與7的倍數,而用3除余1;21是3與7的倍數,而用5除余1;15是3與5的倍數,而用7除余1.因而70>2是5與7的倍數,用3除余2;21>3是3與7的倍數,用5除余3;15M是3與5的倍數,用7除余4.如果一個數除以a余數為b,那么給這個數加上a的一個倍數以后再除以a,余數仍然是b.所以,把70X221與15必都加起來所得的結果能同時滿足用3除余2用5除余3用7除余4的要求.一般地,70m+21n+15k(1<iK3,1<K5,1<R7)能同時滿足用3除余m用5除余n用7除余k的要求.除以

24、105取余數,是為了求符合題意的最小正整數解.我們已經知道了702115這三個數的性質和用處,那么,是怎么把它們找到的呢要是換了一個題目,三個除數不再是357,應該怎樣去求出類似的有用的數呢為了求出是5與7的倍數而用3除余1的數,我們看看5與7的最小公倍數是否符合要求.5與7的最小公倍數是5X7=35,35除以3余2,35的2倍除以3余2,35的2倍除以3就能余1了,于是我們得到了主人同行七十稀為了求出是3與7的倍數而用5除余1的數,我們看看3與7的最小公倍數是否符合要求.3與7的最小公倍數是3X7=21,21除以5恰好余1,于是我們得到了五樹梅花甘一枝為了求出是3與5的倍數而用7除余1的數,我們看看3與5的最小公倍數是否符合要求.3與5的最小公倍數是3X5=15,15除以7恰好余1,因而我們得到了七子團圓正半月357的最小公倍數是105,所以除百零五便得知.例如：試求一數,使之用4除余3,用5除余2,用7除余5.我們先求是5與7的倍數而用4除余1的數；5與7的最小公倍數是5X7=35