1、沒有極限概念，如何理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義（中學(xué)數(shù)學(xué)研究）沒有極限概念，如何理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義安徽省阜陽市第三中學(xué)董海濤236006導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，由于它是研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的工具，也是研究函數(shù)性質(zhì)的有效方法，同時它也是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，所以在歷次教材改革中，變動既頻繁乂較大，既體現(xiàn)了編者對它割舍不下的情懷乂充滿了不知如何安排的迷茫。本文就北師大版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-2（以下簡稱“新課程教材”）中對這部分內(nèi)容的安排，提出教學(xué)中的困惑，并結(jié)合實踐，提出對策，供大家參考。1新課程教材安排與原人教版全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)選修II（以下簡稱舊課程教材）相比，新課程教材

2、在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求上都有很大變化，其中與本文討論有關(guān)的是導(dǎo)數(shù)概念的引入，不講極限概念，而是注重通過實際背景創(chuàng)設(shè)豐富的情境，不惜篇幅引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，從本質(zhì)上認(rèn)識和理解導(dǎo)數(shù)概念，在給出導(dǎo)數(shù)定義后，乂給出了三個具體例子，加深對導(dǎo)數(shù)的實際意義的認(rèn)識，這些都是舊課程教材所沒有呈現(xiàn)的。教材的具體安排是：§1變化的快慢與變化率，用了兩個實例分析和兩個例題，幫助學(xué)生實現(xiàn)“平均變化率”到“瞬時變化率”的質(zhì)的飛躍，為導(dǎo)數(shù)概念的引入做好了扎實的鋪墊。§2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，由于有了上一節(jié)大2 / 9沒有極限概念，如何理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義（中學(xué)數(shù)學(xué)研究）量生動的背景

3、實例，至此，抽象出導(dǎo)數(shù)定義已是水到渠成。實際教學(xué)中,學(xué)生對“在數(shù)學(xué)中，稱瞬時變化率即為函數(shù)y=f(x)在x。點的導(dǎo)數(shù)”是欣然接受的，相對于舊課程教材，導(dǎo)數(shù)定義的給出無疑是成功的，但我們的困惑是：2沒有極限的概念，如何理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義新課程教材在§2中,專門安排了§2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義，教材在描述性地給出了曲線的切線定義后，緊接著就是該切線的斜率就是函數(shù)y二f(x)在xo處的導(dǎo)數(shù)/(%)。學(xué)生的困惑是:“玉)不是函數(shù)y=f(x)在點xo處的瞬時變化率嗎？它反映的不是割線AB在點xo處的變化快慢嗎？它怎么又是y=f(x)在點xo處的切線斜率了呢？我們困惑的是：(1)本想弱化形

4、式化的定義，降低學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的難度，但教材在導(dǎo)數(shù)定義后，又通常用符號/Vo)表示，記作/U)=lim-5)=lim八:38X-XoNT。AX這里還是出現(xiàn)了形式化的定義了。(2)極限定義能回避得了嗎？導(dǎo)數(shù)定義中無法回避，這是不爭的事實，新課程教材在§3計算導(dǎo)數(shù)中，不僅出現(xiàn)了極限的符號，而且出現(xiàn)了極限的運算，與其在這里讓老師費盡口舌給一頭霧水的學(xué)生解釋半天(事實上學(xué)生仍無法理解),既偏離了主題又沒有效果，不如干脆增加一節(jié)極限的定義。3 / 9沒有極限概念，如何理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義(中學(xué)數(shù)學(xué)研究)3我們的對策我省是2006年秋季進(jìn)入新課改的，首輪教學(xué)中我們循規(guī)蹈矩地按教材進(jìn)行的教學(xué)，結(jié)果學(xué)生

5、只能是生吞活剝地記下結(jié)論，由于不理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在實際應(yīng)用中，只能是照搬模仿，根本談不上靈活二字。在2007年開始的二輪教學(xué)中，我們對新教程教材作了大膽的嘗試，收到了理想的效果，具體地在兩處做了調(diào)整。3.1增加一節(jié)極限的定義在選修2-2§2變化率與導(dǎo)數(shù)的§1變化的快慢與變化率之前，增加一節(jié)，課題是極限的定義，課時為一節(jié)課，主要介紹極限符號的引入和使用，初步滲透極限思想，具體內(nèi)容是：首先，通過列舉實例，給出數(shù)列極限的描述性定義：一般地，設(shè)即是一個無窮數(shù)列，如果當(dāng)n趨向于無窮大時,而無限地趨向于一個常數(shù)a,則稱a是數(shù)列aj的極限。然后給出形式化的符號表示：即當(dāng)-8時,丁一“

6、記作"lima”=4然后，將數(shù)列極限的初步認(rèn)識正遷移到函數(shù)極限，仍然通過實例列舉，只介紹當(dāng)X-%時,函數(shù)f(x)的極限，并給出形式化的符號表示：當(dāng)X-/時，f(x)-a,記作lim/(x)=a，以實現(xiàn)數(shù)列極限的順應(yīng)和同化。這里不介紹當(dāng)工一8時，函數(shù)6)的極限，也不介紹函數(shù)的左、右極限”，以免增加學(xué)生理解上的困難,更主要的是避免沖淡主題我們這里只是介紹極限的形式化表示和極限思想，并不涉及極限的完整定義。實事上，在舊課程教材選修II中，學(xué)生對時,函數(shù)f(x)的極限”的理解要比函數(shù)的左、右極限容易的多。最后,為了加深對極限符合的認(rèn)識，我們設(shè)計了一組練習(xí)：1、請用語言描述下列極限符號的含義(

7、有的教師根據(jù)班級學(xué)生情況，要求學(xué)生探究符合要求的數(shù)列an或函數(shù)f(x)的解析式)：liman=1(2)limf(x)=-2(3)liinf(x)=:(4)limf(x)=4X1XT。JKI2、選擇題：正三棱錐S-ABC的相鄰兩個側(cè)面所成的二面角為a,貝g的取值范圍是()A、(0,%)B、/)D、o3323.2調(diào)整一段敘述有了極限的符號表示，在§1節(jié)例1和例2中，均可以用極限符號表示小球在t=5s時刻的瞬時速度”和合金棒在x=2處的線密度了，而且將§2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義的敘述調(diào)整為:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間xo,xo+n的平均變化率為生，如圖2-3X所示,它是過A(xoj(xo

8、)和B(xo+Ax,f(Xo+8)兩點的直線的斜率，直線AB稱為曲線y=f(x)在A處的一條割線。如圖2-4所示，設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像是一條光滑的曲線，從圖像上可以看出：當(dāng)點B(xo+n)1(X0+7)沿著曲線逐漸向點A(xo,f(xo4 / 9沒有極限概念，如何理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義(中學(xué)數(shù)學(xué)研究)靠近時,割線AB將繞著點A逐漸移動，當(dāng)點B沿著曲線無限接近點A(即虱-0)時，割線AB也無限地逼近一個極限位置直線AC,直線AC和曲線y=f(x)在點A處給我們相切的感覺,稱直線AC為曲線y=f(x)在點A處的切線。由于割線AB和切線AC都過點A,所以割線AB無限地趨近切線AC也即是Kab無限地趨

9、近KaCo將上述變化過程表示如下：當(dāng)x-0時，Kab-Kac,由極限的定義，即K=limK=lim-=lim八L八Ao“T。aA-MJ4Xa*。所以函數(shù)y=f(x)在xo處的導(dǎo)數(shù)廣(.)就是曲線在點A(xO/yo)處的切線斜率，這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。維活動淹沒在形式化的海洋里，強調(diào)本質(zhì)，注重適度的形式化(新課標(biāo)十大基本理念之一)無疑是十分正確的。但5 / 9沒有極限概念，如何理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義（中學(xué)數(shù)學(xué)研究）形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項基本要求o具體地，導(dǎo)數(shù)定義能離開形式化的表達(dá)嗎？離開形式化的表達(dá)，只能讓學(xué)生死記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，這與新課標(biāo)理念背道而弛吧。事實上，高二學(xué)生理解極限、導(dǎo)數(shù)的形式化表達(dá)并沒有什么障礙。4.2增加一節(jié)極限的定義，是否增加了課時？新課標(biāo)實施的陣地在課堂，增加一節(jié)極限定義，是增加了一個課時，看看以高考為目的的普遍高中的課時安排吧，有幾個學(xué)校的數(shù)學(xué)課時是每周四節(jié)？搞理論可以走得極端一些，但實踐還是以尊重客觀實際的好，以我校兩個年級的實際教學(xué)效果看，增加一節(jié)極限定義，無疑是必要的。4.3新課標(biāo)要求實踐于一線的廣大教師，不僅是教材的執(zhí)行者，還應(yīng)是教材完善的參與者和建議者，教材是實現(xiàn)課程目標(biāo)、實施課堂教學(xué)