1、第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一、穩(wěn)定性的概念和定義一、穩(wěn)定性的概念和定義二、穩(wěn)定的充要條件二、穩(wěn)定的充要條件三、代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)三、代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)四、勞斯判據(jù)的特殊情況四、勞斯判據(jù)的特殊情況 穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最重要的問題，是系統(tǒng)穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最重要的問題，是系統(tǒng)正常工作的首要條件。控制系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中，正常工作的首要條件?？刂葡到y(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中，總會(huì)受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動(dòng)，例如負(fù)總會(huì)受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動(dòng)，例如負(fù)載或能源的波動(dòng)、環(huán)境條件的改變、系統(tǒng)參數(shù)載或能源的波動(dòng)、環(huán)境條件的改變、系統(tǒng)參數(shù)的變化等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，當(dāng)它受到擾動(dòng)時(shí)，的變化等。如果

2、系統(tǒng)不穩(wěn)定，當(dāng)它受到擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)中各物理量就會(huì)偏離其平衡工作點(diǎn)，并且系統(tǒng)中各物理量就會(huì)偏離其平衡工作點(diǎn)，并且越 偏 越 遠(yuǎn) ， 即 使 擾 動(dòng) 消 失 了 ， 也 不 可越 偏 越 遠(yuǎn) ， 即 使 擾 動(dòng) 消 失 了 ， 也 不 可能恢復(fù)原來的平衡狀態(tài)。能恢復(fù)原來的平衡狀態(tài)。 如果系統(tǒng)受到擾動(dòng)后，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而如果系統(tǒng)受到擾動(dòng)后，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的狀態(tài)，則當(dāng)擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或具有穩(wěn)定性的。否則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或具有穩(wěn)定性的。否則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，或不具有穩(wěn)定性。定的，或不具有穩(wěn)定性

3、。0AAAfABBA( )a( )b( )c5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性也可以這樣定義：若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差作用下，其過渡過程隨著時(shí)間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)原來平衡狀態(tài)的性能，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定；否則，稱該系統(tǒng)為不穩(wěn)定。 必須指出：穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性，它取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入無關(guān)。 控制理論中所討論的穩(wěn)定性其實(shí)都是指自由振蕩下的穩(wěn)定性，即討論輸入為零，系統(tǒng)僅存在非零初始偏差時(shí)的穩(wěn)定性，或者討論自由振蕩是收斂的還是發(fā)散的。5.2系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件 若系統(tǒng)初始條件為零，對(duì)系統(tǒng)加上理想單位脈沖信若系統(tǒng)初

4、始條件為零，對(duì)系統(tǒng)加上理想單位脈沖信號(hào)號(hào) ，系統(tǒng)的輸出就是線性系統(tǒng)的脈沖過渡函數(shù)，系統(tǒng)的輸出就是線性系統(tǒng)的脈沖過渡函數(shù) ， 就相當(dāng)于擾動(dòng)信號(hào)作用下輸出偏離原平衡狀態(tài)的就相當(dāng)于擾動(dòng)信號(hào)作用下輸出偏離原平衡狀態(tài)的情況。如果當(dāng)情況。如果當(dāng) 時(shí)，脈沖過渡函數(shù)時(shí)，脈沖過渡函數(shù) 收斂于收斂于系統(tǒng)原平衡工作點(diǎn)，即下式成立：系統(tǒng)原平衡工作點(diǎn)，即下式成立：( ) t( )g t( )g tt ( )g tlim( )0tg t則線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。則線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。( )( ) ( )C sG s R s( )( )C sG s( )( )c tg tlim ( )0tc t 設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)傳

5、遞函數(shù)為：( )( )( )M ssD s( )0D S 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為: :12,ns ss 設(shè)特征根互不相等，設(shè)特征根互不相等，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)可改寫如下：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)可改寫如下：閉環(huán)特征根為閉環(huán)特征根為: :1( )( )( )niiiAM ssD ss s 則系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的拉氏變換為：則系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的拉氏變換為：1( )( )niiiAC sss s得系統(tǒng)的脈沖過渡函數(shù)為（響應(yīng)）得系統(tǒng)的脈沖過渡函數(shù)為（響應(yīng)）1( )( )ins tiig tc tAe1lim ( )lim0instittig tAe(1)(1)若若 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)is若系統(tǒng)穩(wěn)定若系統(tǒng)穩(wěn)定lim

6、0is titAe0is (2)(2)若若 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)isiiisj發(fā)散發(fā)散0is 0i0) tsinjBtcosA(elim) t ( glimn1iiiiititt0)t(sineClimn1iiitiit線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是它的所有特征根都具有件是它的所有特征根都具有負(fù)實(shí)部或都位于負(fù)實(shí)部或都位于S S平面的左半平面的左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。(3)(3)若特征根為若特征根為k k個(gè)實(shí)根，個(gè)實(shí)根，r r個(gè)復(fù)數(shù)根，個(gè)復(fù)數(shù)根，0i0ip )tsin(eAeC) t (giir1itiitipk1ii 控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)特征方程的根

7、全部具有負(fù)實(shí)部。系統(tǒng)特征方程的根就是閉環(huán)極點(diǎn)，所以控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件也可以表示為：閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部具有負(fù)實(shí)部，或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部位于平面的S左半面內(nèi)。例例 一個(gè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為一個(gè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為( )(21)kG sss試說明系統(tǒng)是否穩(wěn)定。試說明系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為( )( )1( )G ssG s(21)kssk22kssk2( )20D sssk1,21184ks 系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定0k1. 1. 系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步判別（必要條件）（必要條件）設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為如下標(biāo)準(zhǔn)形式設(shè)系

8、統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：1011( )nnnnD sa sa sasa02. 2. 勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)0241135212331231101nnnnsaaasaaasbbbscccsfsg5.2代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)0211311aabaaa直至其余 項(xiàng)均為零。ib03111aabaaa 670421511aabaaa 1311211aacbbb 1521311aacbbb1731411aacbbb 1nga按此規(guī)律一直計(jì)算到按此規(guī)律一直計(jì)算到n n -1 -1行為止。行為止?？疾礻嚵斜淼谝涣邢禂?shù)的符號(hào)。假若勞斯陣列考察陣列表第一列系數(shù)的符號(hào)。假若勞斯陣列表中第一列系數(shù)均

9、為正數(shù)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的表中第一列系數(shù)均為正數(shù)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的; ;假若第一列系數(shù)有負(fù)數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且假若第一列系數(shù)有負(fù)數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且第一列系數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)等于在右半平面上第一列系數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)等于在右半平面上根的個(gè)數(shù)。根的個(gè)數(shù)。結(jié)論：結(jié)論：1011( )nnnnD sa sa sasa0二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：00a，02a，01a00a，02a，01a03a，3021aaaa例例 系統(tǒng)特征方程系統(tǒng)特征方程為為432( )D sssss 612116 0試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(2)(2)列寫勞斯陣列表如下列寫勞

10、斯陣列表如下: :解：解：(1) (1) 特征方程的所有系數(shù)均為正實(shí)數(shù)特征方程的所有系數(shù)均為正實(shí)數(shù)4 1 12 6s3 6 11s261 6 6s1455 6s0 6 s第一列的第一列的系數(shù)都為系數(shù)都為正數(shù)，系正數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定統(tǒng)穩(wěn)定例例 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為432( )1930D sssss110試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)閉環(huán)特征方程根的分布情況試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)閉環(huán)特征方程根的分布情況。(2)(2)列寫勞斯陣列表如下列寫勞斯陣列表如下: :解：解：(1)(1)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。系統(tǒng)特征方程的系數(shù)不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。4 1 -12 30s3 1 11s2 -3

11、0 30 s1 12 s0 30 s有兩個(gè)根位于有兩個(gè)根位于s平面的右半平面平面的右半平面練習(xí)練習(xí) 系統(tǒng)特征方程系統(tǒng)特征方程為為54320sssss3256試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，若不穩(wěn)定，則確定試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，若不穩(wěn)定，則確定具有正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。具有正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。答案：答案：系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定, ,有兩個(gè)有兩個(gè)根具有正實(shí)部根具有正實(shí)部, ,即有即有兩個(gè)根位于兩個(gè)根位于s s平面的平面的右半平面右半平面勞斯判據(jù)的特殊情況勞斯判據(jù)的特殊情況、勞斯表中某一行第一列元素為零，其余不為零或不、勞斯表中某一行第一列元素為零，其余不為零或不全為零，這時(shí)可用一個(gè)很小的正數(shù)來代替這個(gè)零

12、，全為零，這時(shí)可用一個(gè)很小的正數(shù)來代替這個(gè)零，然后繼續(xù)勞斯陣列表的運(yùn)算。若第一列元素不改變符號(hào)，然后繼續(xù)勞斯陣列表的運(yùn)算。若第一列元素不改變符號(hào)，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。2 0 16 s解：解：(1)(1)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。系統(tǒng)特征方程的系數(shù)滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。例例 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。432( )34126D sssss 04 1 4 16s3 3 12s148 12- 0s0 16 s2 16 s第一列第一列為零為零(2)(2)列寫勞斯陣列表如下列寫勞斯陣列表如下: :系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)不

13、穩(wěn)定，且有兩個(gè)根且有兩個(gè)根具有正實(shí)部具有正實(shí)部練習(xí)練習(xí) 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。432( )221Dsssss 0432101112212201sssss系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個(gè)根且有兩個(gè)根具有正實(shí)部具有正實(shí)部 若勞斯陣列表中某一行（設(shè)為第若勞斯陣列表中某一行（設(shè)為第k k行）的所有系數(shù)行）的所有系數(shù)均為零，則說明在根平面內(nèi)存在一些大小相等，并且關(guān)均為零，則說明在根平面內(nèi)存在一些大小相等，并且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根。于原點(diǎn)對(duì)稱的根。(3)(3)解輔助方程，得到所有數(shù)值相同、符號(hào)相異的根。解輔助方程，得到所有數(shù)值相同、符號(hào)相異的根。(1)(1)用用(k-

14、1)(k-1)行元素構(gòu)成輔助方程，輔助方程的最高階行元素構(gòu)成輔助方程，輔助方程的最高階次為次為(n-k+2)(n-k+2)，然后，然后s s的次數(shù)遞降的次數(shù)遞降2 2。(2)(2)將輔助方程對(duì)將輔助方程對(duì)s s求導(dǎo)，其系數(shù)作為全零行的元素，求導(dǎo)，其系數(shù)作為全零行的元素，繼續(xù)完成勞斯表。繼續(xù)完成勞斯表。(2)(2)列寫勞斯陣列表如下列寫勞斯陣列表如下: :解：解：(1) (1) 特征方程的所有系數(shù)均為正實(shí)數(shù)特征方程的所有系數(shù)均為正實(shí)數(shù)例例 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為65432( )2812201616D sssssss 0判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3 0 0s3 8 24 s18 3

15、s0 16 s5 2 12 16s6 1 8 20 16s4 2 12 16s42( )21216F sss2 6 16 s解輔助方程得解輔助方程得: :1,22sj3,42sj例例 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為5433312ssss2+9s -40判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若不穩(wěn)定，則確定具有正實(shí)部根判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若不穩(wěn)定，則確定具有正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。的個(gè)數(shù)。5433210134391 20001 21 891 225 001 2sssssss42( )3912F sss543238ssss 2+6s -40 練習(xí)練習(xí) 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為543321013426800081 2381 0

16、 0038sssssss42( )268F sss設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的k k的的范圍范圍1s)(sC)(sR(1)(5)kss( )( )( )(1)()C sKsR ss ssK5320sssK65解解(1)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：特征方程為：特征方程為：(2)(2)列勞斯陣列表列勞斯陣列表系數(shù)都為正實(shí)數(shù)系數(shù)都為正實(shí)數(shù)3 1 5 s2 6 k s130-k 6s0 k s3 1 5 s130-k 6s0 k s2 6 k s(2)列勞斯陣列表列勞斯陣列表0 0 K K 30, 0 0，30 - 30 - K K

17、0 0432( )210100DsssTss0按穩(wěn)定要求確定按穩(wěn)定要求確定 T T 的臨界值。的臨界值。解解 勞斯陣列表為勞斯陣列表為3 2 10 s110T-250 T-5s0 100 s4 1 T 100s2 T-5 100 s0TT10250550,T 即必須即必須 T 25T 25系統(tǒng)才能穩(wěn)定。系統(tǒng)才能穩(wěn)定。例例11 11 系統(tǒng)特征方程式為系統(tǒng)特征方程式為乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（預(yù)備知識(shí)）乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（預(yù)備知識(shí)） 時(shí)域判據(jù)的弱點(diǎn)：時(shí)域判據(jù)的弱點(diǎn)： 工程設(shè)計(jì)中，組成系統(tǒng)的各種參數(shù)尚未最后確定，時(shí)域工程設(shè)計(jì)中，組成系統(tǒng)的各種參數(shù)尚未最后確定，時(shí)域判據(jù)不能應(yīng)用；判據(jù)不能應(yīng)用； 時(shí)域判據(jù)僅能

18、判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，不能說明系統(tǒng)穩(wěn)定或時(shí)域判據(jù)僅能判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，不能說明系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定的程度，因而不能提出改善系統(tǒng)性能的具體途徑。不穩(wěn)定的程度，因而不能提出改善系統(tǒng)性能的具體途徑。Nyquist判據(jù)特點(diǎn)：判據(jù)特點(diǎn)： 圖解法：由圖解法：由幾何作圖幾何作圖判定系統(tǒng)穩(wěn)定性；判定系統(tǒng)穩(wěn)定性； 由由開環(huán)特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性開環(huán)特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性（開環(huán)特性由分析法（開環(huán)特性由分析法或?qū)嶒?yàn)法獲得）；或?qū)嶒?yàn)法獲得）； 可判斷系統(tǒng)可判斷系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性相對(duì)穩(wěn)定性； 可指出各環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。可指出各環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。5.3 Nyquist穩(wěn)定穩(wěn)定判據(jù)判據(jù)一、幅角原理（一、幅角原理（Cauch

19、y） 對(duì)于復(fù)變函數(shù)對(duì)于復(fù)變函數(shù))ps()ps)(ps()zs()zs)(zs(k)s(Fnm2121 如果函數(shù)如果函數(shù)f（Z）在）在Z0及及Z0的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，那么稱那么稱f（Z）在）在Z0解析解析。 如果在區(qū)域如果在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)解析，那么稱內(nèi)每一點(diǎn)解析，那么稱f（Z）在）在D內(nèi)解析或稱內(nèi)解析或稱f（Z）是）是D內(nèi)的一個(gè)內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)解析函數(shù)。 如果如果f（Z）在）在Z0不解析，那么稱不解析，那么稱Z0為為f（Z）的的奇點(diǎn)奇點(diǎn)。n設(shè)設(shè)F(s)在在s平面上（除有限個(gè)奇點(diǎn)外）為單值的連平面上（除有限個(gè)奇點(diǎn)外）為單值的連續(xù)正則函數(shù)。續(xù)正則函數(shù)。n設(shè)設(shè)s平面上解析點(diǎn)平面上解析點(diǎn)

20、s映射到映射到F(s)平面上為點(diǎn)平面上為點(diǎn)F(s)，或?yàn)閺脑c(diǎn)指向此映射點(diǎn)的向量或?yàn)閺脑c(diǎn)指向此映射點(diǎn)的向量F(s) 。n在在s平面上任意選定一封閉曲線平面上任意選定一封閉曲線Ls，只要此曲線不，只要此曲線不經(jīng)過經(jīng)過F(s)的奇點(diǎn)，則在的奇點(diǎn)，則在F(s)平面上必有一對(duì)應(yīng)的映平面上必有一對(duì)應(yīng)的映射曲線射曲線LF，也是一封閉曲線。，也是一封閉曲線。n當(dāng)解析點(diǎn)當(dāng)解析點(diǎn)s按按順時(shí)針順時(shí)針方向沿方向沿Ls變化一周時(shí)，向量變化一周時(shí)，向量F(s)將按將按順時(shí)針順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)N周，即周，即F(s)以原點(diǎn)為中心順時(shí)以原點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)針旋轉(zhuǎn)N周，這就等于曲線周，這就等于曲線LF順時(shí)針包圍原點(diǎn)順時(shí)針

21、包圍原點(diǎn)N次。次。 令：令：Z為包圍于為包圍于Ls內(nèi)的內(nèi)的F(s)的零點(diǎn)數(shù)，的零點(diǎn)數(shù)，P為包圍為包圍于于Ls內(nèi)的內(nèi)的F(s)的極點(diǎn)數(shù)，則的極點(diǎn)數(shù)，則 N=Z-P 向量向量F(s)的相位為的相位為 假設(shè)假設(shè)Ls內(nèi)只包圍了內(nèi)只包圍了F(s)的一個(gè)零點(diǎn)的一個(gè)零點(diǎn)zi，其他零極，其他零極點(diǎn)均位于點(diǎn)均位于Ls之外，當(dāng)之外，當(dāng)s沿沿Ls順時(shí)針方向移動(dòng)一周順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí)，向量時(shí)，向量(s-zi)的相位角變化的相位角變化-2弧度，而其他各弧度，而其他各向量的相位角變化為零。即向量向量的相位角變化為零。即向量F(s)的相位角變的相位角變化為化為-2，或者說，或者說F(s)在在F(s)平面上沿平面上沿LF繞

22、原點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)了一周。轉(zhuǎn)了一周。 njmipjszissF11)()()( 若若s平面上的封閉曲線包圍著平面上的封閉曲線包圍著F(s)的的Z個(gè)零點(diǎn)，個(gè)零點(diǎn)，則在則在F(s)平面上的映射曲線平面上的映射曲線LF將繞原點(diǎn)將繞原點(diǎn)順時(shí)順時(shí)針針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)Z周。周。 若若s平面上的封閉曲線包圍著平面上的封閉曲線包圍著F(s)的的P個(gè)極點(diǎn)，個(gè)極點(diǎn)，則在則在F(s)平面上的映射曲線平面上的映射曲線LF將繞原點(diǎn)將繞原點(diǎn)逆時(shí)逆時(shí)針針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)P周。周。 若若Ls包圍著包圍著F(s)的的Z個(gè)零點(diǎn)和個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，則在個(gè)極點(diǎn)，則在F(s)平面上的映射曲線平面上的映射曲線LF將繞原點(diǎn)將繞原點(diǎn)順時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)N=Z-P

23、圈。圈。二、二、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：)(.).()().()()()()(2121mnpspspszszszsKsHsGsGnmK）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù))()(1)()(sHsGsGsGB特征方程為：特征方程為： 0)()(1sHsG)()(1)(sHsGsF).(.).()().()().()().()().()()(2121212121nnpspspssssssspspspszszszsKpspspssFnnnmn） F(s)的零點(diǎn)的零點(diǎn)s1,s2.,sn即為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)即為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)的極點(diǎn)，亦即

24、系統(tǒng)特征方程的根；的極點(diǎn)，亦即系統(tǒng)特征方程的根； F(s)的極點(diǎn)的極點(diǎn)p1,p2.,pn即為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)即為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)的極點(diǎn)。的極點(diǎn)。 閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù) 開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù) GB(s) F(s) GK(s) 零點(diǎn)零點(diǎn) 極點(diǎn)極點(diǎn) 零點(diǎn)零點(diǎn) 極點(diǎn)極點(diǎn) 零點(diǎn)零點(diǎn) 極點(diǎn)極點(diǎn) 相同相同 相同相同 定常線性系統(tǒng)定常線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定的充要條件：其閉環(huán)系統(tǒng)的特征方：其閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程程1+G(s)H(s)=0的全部根具有負(fù)實(shí)部，即的全部根具有負(fù)實(shí)部，即GB(s)在在s平面的右半平面沒有平面的右半平面沒有極點(diǎn)極點(diǎn)，亦即亦即F(s)在在s平面的右半平面的右半平面沒有零

25、點(diǎn)。平面沒有零點(diǎn)。 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)首先選擇一條包圍首先選擇一條包圍整個(gè)整個(gè)s右半平面右半平面的封閉曲線的封閉曲線Ls。 設(shè)設(shè))()(1)(sHsGsF 在在s 右半平面有右半平面有Z個(gè)零點(diǎn)和個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，由幅角原理個(gè)極點(diǎn)，由幅角原理知，當(dāng)知，當(dāng)s沿沿s平面上的平面上的Nyquist軌跡移動(dòng)一周時(shí)，在軌跡移動(dòng)一周時(shí)，在F平面上的映射曲線平面上的映射曲線LF將繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)將繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)N=Z-P圈。圈。由由1)()()(sFsHsG 可知，可知，GH平面是將平面是將F平面的虛軸右移一個(gè)單位所平面的虛軸右移一個(gè)單位所構(gòu)成的復(fù)平面。構(gòu)成的復(fù)平面。F 平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，就是平面的坐

26、標(biāo)原點(diǎn)，就是GH平面平面的（的（-1，j0）點(diǎn)，）點(diǎn)，F(xiàn)(s)的映射曲線的映射曲線LF包圍原點(diǎn)的圈數(shù)就包圍原點(diǎn)的圈數(shù)就等于等于)()(sHsG的的映射曲線映射曲線LGH包圍（包圍（-1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)。）點(diǎn)的圈數(shù)。mnmnsHsGs當(dāng)常量當(dāng).0)()(lim 這里這里s是指模而言。所以是指模而言。所以s平面上半徑為平面上半徑為的半圓映射到的半圓映射到GH平面上為原點(diǎn)或?qū)嵼S上的一點(diǎn)。平面上為原點(diǎn)或?qū)嵼S上的一點(diǎn)。 由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是F(s)在在s平平面的右半平面沒有零點(diǎn)，即面的右半平面沒有零點(diǎn)，即Z=0。 所以如果所以如果G(s)H(s)的的Nyquist軌跡

27、軌跡逆時(shí)針逆時(shí)針方方向包圍向包圍（-1，j0）點(diǎn)）點(diǎn)P圈圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。P為為G(s)H(s)在在s平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)。平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)。 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)由由-到到+變化時(shí)，變化時(shí)，若若GH平面上的開環(huán)頻率特性平面上的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)逆逆時(shí)針方向包圍（時(shí)針方向包圍（-1，j0）點(diǎn)）點(diǎn)P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。穩(wěn)定。P為為G(s)Hs)在在s平面的右半平面的極平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)。點(diǎn)數(shù)。 對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，有對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，有P=0，此時(shí)閉環(huán)系，此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是

28、，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)不包含（不包含（-1，j0）點(diǎn)。）點(diǎn)。 例例 1P=0N=0Z=N+P=0穩(wěn)定穩(wěn)定P=0N=2Z=2+P=2不穩(wěn)定不穩(wěn)定) 1)(1)(12() 1)(1()()(321221sTsTsTsTsTsTKsHsGbaP=1N=-1Z=N+P=0穩(wěn)定穩(wěn)定例例 2I Im mk0 j -1 j0-Nyquist判據(jù)判據(jù)P = 0 (由由G(s)表達(dá)式知表達(dá)式知)N0 (由由Nyquist圖圖)由由N Z P , 所以所以Z = 0，故系統(tǒng)穩(wěn)定故系統(tǒng)穩(wěn)定 ) 1)(1()(21jTjTkjG例例 3 002700)(0100)0(01jGjG 02單調(diào)變化單調(diào)變化與

29、實(shí)軸有交點(diǎn)與實(shí)軸有交點(diǎn)，為，為7.9Nyquist判據(jù)：判據(jù)：N2,P = 0 ,N =ZP， 故故Z = 2。有兩個(gè)極點(diǎn)在右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定有兩個(gè)極點(diǎn)在右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。kk不穩(wěn)定不穩(wěn)定可能穩(wěn)定可能穩(wěn)定例例 4) 12 . 0)(15 . 0)(1(100)(jjjjG畫畫Nyquist圖：圖：R Re eI Im m100例例 5) 1)(1)(1)(1)(1() 1)(1()(543210101jTjTjTjTjTjTjTkjG540201321T,TT,TT,T,T00002700000)j(Gk)j(G Nyquist判據(jù)：判據(jù)：N=0，P=0，所以，所以Z=0系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定

30、ImRek0-1例例 6)s( sk)s(G10積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) = 1 000018009001)s(G)s(G 0)(020sG00018090)s(G單調(diào)變化單調(diào)變化ImRe-1問題問題：N? P = ? j 0 0 0 0 ABC 在原點(diǎn)附近令在原點(diǎn)附近令V=1 jeS當(dāng)當(dāng)從從時(shí)時(shí) 202 jjjkekekeG)()(jkeG202)(jkeG三、開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)的三、開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)的Nyquist軌跡軌跡22000220202 jj)( jekeksekABCABC-1ImReABC 0 0 在無窮遠(yuǎn)處順時(shí)在無窮遠(yuǎn)處順時(shí)針針繞行繞行 角角N 0，P = 0所以所以Z = 0系統(tǒng)

31、穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定例例 6) 12)(1() 14()()(2sssssHsGP=0 N=2Z=N+P=2不穩(wěn)定不穩(wěn)定例例 7例例 8) 1()(2TssksG積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) = 2002700)(180)(0sGsG單調(diào)遞減單調(diào)遞減無窮遠(yuǎn)處順時(shí)針繞行無窮遠(yuǎn)處順時(shí)針繞行2ImRe0 0 -1N=2，P = 0，所以，所以Z = 2系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定小結(jié)：小結(jié)：積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)數(shù)數(shù) = 1 在無窮遠(yuǎn)處順時(shí)針繞在無窮遠(yuǎn)處順時(shí)針繞 圈圈 = 2 在無窮遠(yuǎn)處順時(shí)針繞在無窮遠(yuǎn)處順時(shí)針繞 圈圈 = 3 在無窮遠(yuǎn)處順時(shí)針繞在無窮遠(yuǎn)處順時(shí)針繞 圈圈 32Nyquist判據(jù)判據(jù)：已知已知 開環(huán)極點(diǎn)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)數(shù) P

32、 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)數(shù)數(shù) Nyquist圖繞圖繞(-1,j0)點(diǎn)圈數(shù)點(diǎn)圈數(shù) N求求 閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)數(shù) Z意味著必須已知意味著必須已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)問題問題：(1) Nyquist圖是否包含系統(tǒng)穩(wěn)定性的全部信息圖是否包含系統(tǒng)穩(wěn)定性的全部信息? (2)僅用僅用 Nyquist圖（如實(shí)驗(yàn)所得）能否判斷穩(wěn)定圖（如實(shí)驗(yàn)所得）能否判斷穩(wěn)定？四、關(guān)于四、關(guān)于Nyquist判據(jù)的幾點(diǎn)說明判據(jù)的幾點(diǎn)說明 （1）Nyquist判據(jù)并不是在判據(jù)并不是在s平面而是在平面而是在GH平面判平面判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。根據(jù)別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。根據(jù)G(j)H(j)軌跡包圍軌跡包圍（-1，j0）點(diǎn)的情況來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

33、。）點(diǎn)的情況來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 （2）Nyquist判據(jù)的證明復(fù)雜，但應(yīng)用簡單。判據(jù)的證明復(fù)雜，但應(yīng)用簡單。 （3）在）在P=0，即，即GK(s)在在s平面的右半平面無極點(diǎn)時(shí)，平面的右半平面無極點(diǎn)時(shí)，習(xí)慣稱為開環(huán)穩(wěn)定。否則開環(huán)不穩(wěn)定。開環(huán)不穩(wěn)定，閉習(xí)慣稱為開環(huán)穩(wěn)定。否則開環(huán)不穩(wěn)定。開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)仍可能穩(wěn)定；開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)也可能不穩(wěn)定。環(huán)仍可能穩(wěn)定；開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)也可能不穩(wěn)定。 （4）開環(huán)）開環(huán)Nyquist軌跡對(duì)實(shí)軸是對(duì)稱的，因?yàn)楫?dāng)軌跡對(duì)實(shí)軸是對(duì)稱的，因?yàn)楫?dāng)-變變?yōu)闉?時(shí)，時(shí)，G(-j)H(-j)與與G(j)H(j)的模相同，而相的模相同，而相位異號(hào)。位異號(hào)。 五、具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的

34、穩(wěn)定分析五、具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的穩(wěn)定分析具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)傳遞函數(shù) )()()()()()()()(1111jGjGjGjGejGjGesGsGKKjKsK 延時(shí)環(huán)節(jié)不改變?cè)到y(tǒng)的幅頻特性，僅僅使相頻延時(shí)環(huán)節(jié)不改變?cè)到y(tǒng)的幅頻特性，僅僅使相頻發(fā)生變化。發(fā)生變化。jKsKejjjGesssGsssG) 1(1)() 1(1)() 1(1)(1例例系統(tǒng)的特征方程系統(tǒng)的特征方程 0)(11 sesG當(dāng)1)(1 sesG時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。)(1)(11jGjG 解得解得15. 1786. 015. 1 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 15. 1 閉

35、環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定5.4 Bode穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)一、一、Nyquist圖和圖和Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系Nyquist圖上的單位圓對(duì)應(yīng)于圖上的單位圓對(duì)應(yīng)于Bode圖上的圖上的0分分貝線，即對(duì)應(yīng)幅頻特性圖的橫軸。貝線，即對(duì)應(yīng)幅頻特性圖的橫軸。剪切頻率，幅值穿越頻率，幅值交界頻率剪切頻率，幅值穿越頻率，幅值交界頻率c Nyquist圖上的負(fù)實(shí)軸相當(dāng)于圖上的負(fù)實(shí)軸相當(dāng)于Bode圖上的圖上的-180線，線，即對(duì)數(shù)相頻特性圖的橫軸。即對(duì)數(shù)相頻特性圖的橫軸。相位穿越頻率，相位交界頻率相位穿越頻率，相位交界頻率g二、穿越的概念二、穿越的概念 在在Bode圖上，在開環(huán)對(duì)數(shù)圖上，在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特

36、性為正值的頻率范幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，沿圍內(nèi)，沿增加的方向，增加的方向，對(duì)數(shù)相頻特性曲線對(duì)數(shù)相頻特性曲線自下而自下而上上穿過穿過-180線為線為正穿越正穿越； 沿沿增加的方向，對(duì)數(shù)相增加的方向，對(duì)數(shù)相頻特性曲線自上而下穿過頻特性曲線自上而下穿過-180線為線為負(fù)穿越負(fù)穿越。三、三、Bode判據(jù)判據(jù) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，在Bode圖上，當(dāng)圖上，當(dāng)由由0變到變到+時(shí)，在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻時(shí)，在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)率范圍內(nèi)，開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)-180線線正穿越正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差為與負(fù)穿越次數(shù)之差為P/2時(shí)，時(shí)，閉環(huán)

37、系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則；否則不穩(wěn)定。其中不穩(wěn)定。其中P為開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在在s平平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)。面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)。 在在P=0時(shí)，若開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性比其對(duì)數(shù)相頻特時(shí)，若開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性比其對(duì)數(shù)相頻特性先交于橫軸，即性先交于橫軸，即cg，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定多個(gè)剪切頻率，以最大的來判別穩(wěn)定性。多個(gè)剪切頻率，以最大的來判別穩(wěn)定性。5.5 系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性相對(duì)穩(wěn)定性相對(duì)穩(wěn)定性穩(wěn)定裕量穩(wěn)定裕量幅值穿越頻率幅值穿越頻率相位穿越頻率相位穿越頻率0180)(1)(ggcKcjjG幅值裕量幅值裕量相角裕量相角裕量穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定)(L

38、 dB s/raddB0 s/rad00)( -1800c g k kg00 )(L dB s/raddB0 s/rad00)( -1800c g k kg00 相角裕量相角裕量幅值裕量幅值裕量00)(180)(18000cKcjG系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定為負(fù)值為負(fù)值00)(lg20)(1lg20gggKgKgkkjGjGk系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定為滿足動(dòng)態(tài)性能的要求，相角裕量在為滿足動(dòng)態(tài)性能的要求，相角裕量在300600 幅值裕量在幅值裕量在515dB| )H(jG(j|1Kg)2()(222nnnKssssG例例 1例例 2 ) 11 . 0)(1()(sssksG

39、KK=5和和K=20判系統(tǒng)的穩(wěn)定性，求相角裕量和幅值裕量判系統(tǒng)的穩(wěn)定性，求相角裕量和幅值裕量(1)低頻段低頻段: 1 k=5 L(1) = 20lg5 = 14dB -20dB/dec k=20 L(1) = 20lg20 = 26dB -20dB/dec(2)轉(zhuǎn)折頻率：轉(zhuǎn)折頻率： 11 20dB/dec 210 20 dB/dec)(L dB s/rad1100.12040-20-40-20-40-60 s/rad)( 度0.1110-900-1800-270014dB26dB3.16計(jì)算相角裕量：求穿越計(jì)算相角裕量：求穿越0dB線的線的c和和(c)K=5-40c1114dB0dB242144014140111.,dBlgdB)lg(lgccc 0411180616810900100111101.)(.).(tg)(tg)(cccc 系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定66012.60K=20-40c2126dB0dB474264026140122.,dBlgdB