1、.1第七章 二項(xiàng)樹模型與期權(quán)估價 .2 衍生金融產(chǎn)品定價問題是現(xiàn)代金融和財務(wù)理論研究的難點(diǎn)和熱點(diǎn)問題。 本章將以歐式股票期權(quán)為標(biāo)準(zhǔn)展開分析，然后將有關(guān)理論應(yīng)用到美式期權(quán)。 下面我們來介紹歐式項(xiàng)式期權(quán)定價。.3估算實(shí)例 一個歐式股票買權(quán)，約定價格為26美元，到期時間為3個月。標(biāo)的股票當(dāng)前價格為25美元，假設(shè)到期時，股價將有兩種可能：或上升到30美元或下降到20美元.假定無風(fēng)險利率為10. 求期權(quán)的價格？ .4 下面嘗試構(gòu)造一個投資組合消除這種風(fēng)險： 組合中包括股票多頭和買權(quán)空頭 如果能按合適的比例買進(jìn)股票，同時賣出買權(quán)，使得在股票上的盈余(虧損)正好被買權(quán)上的虧損(盈余)所抵消，那么組合的風(fēng)險將

2、被消除。 這時投資組合的價值在目前和將來的某一時刻是確定的。.5 假定賣出一個買權(quán)同時買進(jìn)股股票的組合，消除了風(fēng)險，那么此時構(gòu)造了一個無風(fēng)險的組合。 投資組合期初 到期ST=30ST=20買進(jìn)股票-2530 20 賣出買權(quán)C-4 0總計C -2530 -4 20 .6 在期權(quán)到期時，不管股票的價格為30美元還是20美元，投資組合的價值應(yīng)該是確定的。從而也是相同的，即有：30-4=20， 因此，=410=0.4這樣，無風(fēng)險的投資組合應(yīng)為：買進(jìn)0.4股股票同時賣出一個買權(quán)。 投資組合的到期價值為：300.4-4=200.4=8美元。.7 上述投資組合既然是無風(fēng)險的，在不存在套利機(jī)會的情況下，其回報

3、率一定等于無風(fēng)險利率。.8假定無風(fēng)險利率為10，投資組合的期初價值為：8美元exp(-0.10.25)=8美元0.975=7.8美元而投資組合的期初價值又等于25-c所以，25-c=7.8美元從而：C=25-7.8美元=250.4-7.8美元=2.2美元這個買權(quán)的價值或價格應(yīng)該為2.2美元.9 已知一個歐式股票賣權(quán)，X=26美元；T=3個月=0.25年；S=25美元；上升因子u=1.2，下降因子d=0.8；無風(fēng)險利率r=10。 第一步：根據(jù)已知條件，做出股價二項(xiàng)樹圖。 第二步：賣入一個賣權(quán)同時賣入股票組成無風(fēng)險投資組合，求出 其中股票多頭可以消除賣權(quán)多頭的風(fēng)險。.10 根據(jù)30=20+6， 得

4、=610=0.6。 第三步：投資組合的價值 到期時價值：300.6=200.6+6=18美元 當(dāng)前價值：18exp(-0.10.25)=17.56美元 第四步：賣權(quán)的價值 根據(jù)p+25 =17.56 得p=17.56-250.6=2.56美元 .11 一期二項(xiàng)樹模型 以S代表股票的價格，f代表期權(quán)(買權(quán)或賣權(quán))的價格， 代表購進(jìn)股票股數(shù)，T代表一期的時間。 Su-fu=Sd-fd =(fu- fd)/(Su-Sd) 若要構(gòu)造無風(fēng)險的組合，須購買的股票股數(shù)等于期末期權(quán)價值的變動幅度與股票價格的變動幅度之比， 或說同一期末兩節(jié)點(diǎn)之間期權(quán)價值的差值與股票價格的差值之比。.12 投資組合到期價值的期初

5、值或現(xiàn)值為S一f根據(jù)套利原理，應(yīng)有：S-f=(Su-fu)exp(-rT)=(Sdfd)exp(-rT)帶入上面的，整理得： f =exp(-rT) pfu+(1-p)fd其中， p= exp(rT)-d/(u-d)注意，這里要求：0pl，即dexp(-rT) u。.13 借助于這一模型，就可以計算得出只有一期股票價格變動的期權(quán)價格。具體步驟為：第一步，計算p第二步，計算期權(quán)到期的期望現(xiàn)金流量pfu+(1-p)fd；第三步，按無風(fēng)險利率折現(xiàn)上述現(xiàn)金流量，得出期權(quán)的(理論)價格。.14 在上例中，u=1.2，d=0.8；r=0.1；T=0.25；fu(買權(quán))=4，fd(買權(quán))=0；fu(賣權(quán))=

6、0，fd(賣權(quán))= 6。 pfu(買權(quán))+(1-p)fd(買權(quán))=0.5634+0.4370=2.253； pfu(賣權(quán))+(1-p)fd(賣權(quán)) =0.5630+0.4376=2.620； c=exp(-rT)pfu(買權(quán))+(1-p)fd(買權(quán)) =exp(-0.10.25)2.253=2.20美元； p=exp(-rTpfu(賣權(quán))+(1-p)fd(賣權(quán)) = exp(-0.10.25)2.620=2.56美元。.15 兩期二項(xiàng)樹模型 假定歐式買權(quán)約定價格為56美元，到期時間為6個月，標(biāo)的股票當(dāng)前價格為60，每3個月上升或下降20，無風(fēng)險利率為10。 如何根據(jù)上述股票價格的變化情況得出期

7、初的買權(quán)價格呢? 如果知道節(jié)點(diǎn)c u和c d時期權(quán)的價值，期初的買權(quán)價格根據(jù)一期的二項(xiàng)樹模型即可計算得出。但現(xiàn)在，c u和c d不能從3個月時的股票價格直接得出，因?yàn)榇藭r期權(quán)不能執(zhí)行。 盡管3個月時期權(quán)不能執(zhí)行，但可以出售，而其價格或價值根據(jù)一期的二項(xiàng)樹模型可以從6個月買權(quán)價值推出。 注意，我們?nèi)砸訲代表一期即3個月的時間，因而期權(quán)的到期時間為2T。.16 f0=exp(-rT)pfu+(1-p)fd =exp(-2rT)p2fuu+2 p(1-p)fud+(1-p)2fdd .17二項(xiàng)式模型與期權(quán)定價 二項(xiàng)式期權(quán)定價模型是由Cox，Ross和Rubinstein等人提出的，研究者的最初動機(jī)是

8、以該模型為基礎(chǔ)，為推導(dǎo)Black-Scholes模型提供一種比較簡單和直觀的方法。但是，隨著研究的不斷深入，二項(xiàng)式模型不再僅僅是作為解決Black-Scholes模型的一種輔助工具，它已經(jīng)成為建立復(fù)雜期權(quán)(如美式期權(quán)和非標(biāo)準(zhǔn)的變異期權(quán))定價模型的基本手段。.18 一、無紅利股票美式期權(quán) 考慮到提前執(zhí)行的選擇，美式期權(quán)在任何未到期的節(jié)點(diǎn)上未到期的節(jié)點(diǎn)上的價值將是下面兩個價值中較大的一個： (1)繼續(xù)持有直到下一期的價值，稱為持有價值，即價格； (2)立即執(zhí)行的價值，稱為執(zhí)行價值，即內(nèi)在價值。.19 下面先通過例子說明在無紅利情況下美式期權(quán)的估價?！纠?股票當(dāng)前價格為50美元，每3個月上升或下降

9、20。已知無風(fēng)險利率為10。在這一股票上的美式買權(quán)約定價格為52美元，到期時間為9個月。試求這一美式買權(quán)的當(dāng)前價格。.20 (3)計算6個月時買權(quán)在3個節(jié)點(diǎn)的持有(到9個月)價值。Cuu=exp(-rT)pCuu+(1-p) Cuud=exp(-0.10.25)0.56334.4+0.4375.6=21.28美元Cud=exp(-rT)p Cuud+(1-p) Cuud=exp(-0.10.25)0.5635.6+0.4370=3.08美元Cdd=0美元.21 (4)根據(jù)6個月的實(shí)際價值計算3個月時買權(quán)在2個節(jié)點(diǎn)的持有(到6個月)價值。 Cu=exp(-rT)pCuu+(1-p) Cud =e

10、xp(-0.10.25)0.56321.28+0.4373.08=13.0美元 Cd= exp(-rT)pCud+(1-p) Cdd =exp(-0.10.25)0.5633.08+0.4370=1.69美元.22 二、有紅利股票美式期權(quán) 在有紅利情況下，美式買權(quán)和賣權(quán)提前執(zhí)行的決策有所不同，因此其價值也不同。下面通過實(shí)例加以說明，并驗(yàn)證前面章節(jié)分析的結(jié)論。.23 1美式買權(quán) 假定股票當(dāng)前價格為60美元，每3個月上升或下降50；3個月時將按股票當(dāng)時價格的20發(fā)放紅利。 已知無風(fēng)險利率為10。在這一股票上的美式買權(quán)約定價格為40美元，到期時間為6個月。 試求這一美式買權(quán)的當(dāng)前價格。.24 (3)

11、計算3個月時買權(quán)在2個節(jié)點(diǎn)的持有(到6個月)價值。 Cu=exp(-rT)PCuu+(1-p) Cud =exp(-0.10.25)0.52368+0.47470=34.84美元 Cd=0美元 比較持有價值與相應(yīng)的執(zhí)行價值，34.84美元大于32美元。 然而，如果期權(quán)持有人在除息日之前執(zhí)行期權(quán)，實(shí)際已接近3個月末，股票價格也接近90或30美元，從而，期權(quán)的內(nèi)在價值約為 Cu=90-40=50美元，大于34.84美元。 Cd=0美元 這說明買權(quán)的實(shí)際價值為50美元和O美元，應(yīng)該立即執(zhí)行期權(quán)。.25 (4)按3個月的實(shí)際價值計算當(dāng)前買權(quán)的價值。Co=exp(-rT) pCu+(1-p) Cd=exp(-0.10.25) 0.525350+0.47470=25.62美元目前期權(quán)價值2562美元大于立即執(zhí)行價值20美元(=60美元-40美元)所以，應(yīng)持有買權(quán)。 如果在除息日之前股票價格升至90美元，則應(yīng)立即執(zhí)行期權(quán)；如果除息日之前股票價格降至