1、9.6 9.6 空間向量的夾角和距離公式空間向量的夾角和距離公式萊州市第十三中學(xué) 孫興文一、向量的直角坐標(biāo)運算一、向量的直角坐標(biāo)運算則設(shè)),(),(321321bbbbaaaa;ab;ab;a;a b/;.ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()ab ab abR112222/ababab1 122330a ba ba b| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空間直角坐標(biāo)系

2、中，已知、在空間直角坐標(biāo)系中，已知、，則，則111(,)A xyz222(,)B xyz二、距離與夾角二、距離與夾角（1）空間兩點間的距離公式）空間兩點間的距離公式cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb（2 2）. .兩個向量夾角公式兩個向量夾角公式注意：注意：（1）當(dāng)）當(dāng) 時，同向；時，同向；（2）當(dāng)）當(dāng) 時，反向；時，反向；（3）當(dāng)）當(dāng) 時，。時，。cos,1 a b與 abcos,1 a b與 abcos,0 a bab思考：當(dāng)思考：當(dāng) 及及 時，時，的夾角在什么范圍內(nèi)？的夾角在什么范圍內(nèi)？1cos,0 a b,10cos

3、 a b練習(xí)一：練習(xí)一：1.求下列兩個向量的夾角的余弦：求下列兩個向量的夾角的余弦：(1)(2,3,3),(1,0,0) ;ab(2)( 1,1,1),( 1,0,1) ; ab2.求下列兩點間的距離：求下列兩點間的距離：(1)(1,1,0) ,(1,1,1) ;AB(2)( 3,1,5) ,(0,2,3) .CD三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例例例1已知、，求：已知、，求：線段的中點坐標(biāo)和長度；線段的中點坐標(biāo)和長度；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：設(shè)是的中點，則解：設(shè)是的中點，則(, )M xy zAB113()(3,3,1)1,0,52,3 ,222 OMOAOB點的坐標(biāo)是點的坐標(biāo)是.M3

4、2,32222,(13)(03)(5 1)29 .A BdOABM例例2如圖，在正方體中，如圖，在正方體中，求與所成的角的余弦值。，求與所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：設(shè)正方體的棱長為解：設(shè)正方體的棱長為1，如圖建，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則立空間直角坐標(biāo)系，則Oxyz13(1,1,0) ,1,1 ,4BE11(0,0,0) ,0, 1 .4，DF1311,1(1,1,0)0,1 ,44BE 例例2如圖，在正方體中，如圖，在正方體中，求與所成的角的余弦值。，求與所成的角的余弦值。1111ABC

5、DA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCxyzO1110, 1(0,0,0)0, 1 .44 ，DF111115001 1,4416 BE DF111717|, |.44 BEDF111111151516cos,.17| |171744 BE DFBEDFBEDF正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F分別是C1A， D1 A1的中點，1）求cos.2）求點A到直線EF的距離。（用向量法）FEC1B1A1D1DABC課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：xyzO11111,ABCDABC DE F1.若正方體的邊長為分別是(1),(2).FAAEF 111CC

6、,D A的中點.求FE點 到直線的距離CB1A1D1C1BDAEF解:,Oxyz建立如圖的空間直角坐標(biāo)系得11(1,0,0),(1,1,),(,0,1).22AEF111( ,0, 1),( ,1,).222FAFE 56|,|.22FAFE 3.4FE FA 30cos,.10 FE FA課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：xyzO11111,ABCDABC DE F1.若正方體的邊長為分別是(1),(2).FAAEF 111CC ,D A的中點.求FE點 到直線的距離CB1A1D1C1BDAEF解:56(1)|,|.22FAFE 由知30cos,.10 FE FA30sin,.10 FE FAM,.AEA

7、MFE連結(jié)作11| |sin,|22AEFSFAFEFA FEAMFE 5306|.2104AM 6.4AEF故點 到直線的距離為課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：xyzO11111,ABCDABC DE F1.若正方體的邊長為分別是(1),(2).FAAEF 111CC ,D A的中點.求FE點 到直線的距離CB1A1D1C1BDAEF思路二:M,AEAMFE連結(jié)作|sin,AEFAF FE 點 到 直 線 的 距 離 公 式 d= AF在直角三角形 AFM中|sin,|AMAF FEFA | | sin,AMFAAF FE 課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：四、課堂小結(jié)：四、課堂小結(jié)：1.基本知識：基本知識：（1）向量的長度公式與兩點間的距離公式；）向量的長度公式與兩點間的距離公式；（2）兩個向量的夾角公式。）兩個向量的夾角公式。2.思想方法：用向量計算或證明幾何問題思想方法：用向量