1、20092010學(xué)年度高三數(shù)學(xué)（人教版A版）第一輪復(fù)習(xí)資料第二講 函數(shù)概念與表示一【課標(biāo)要求】1通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會(huì)對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念；2在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)；3通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用；4通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；5學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)二【命

2、題走向】函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，其中函數(shù)思想是最重要的數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)問題在歷年的高考中都占據(jù)相當(dāng)大的比例。從近幾年來看，對本部分內(nèi)容的考察形勢穩(wěn)中求變，向著更靈活的的方向發(fā)展，對于函數(shù)的概念及表示多以下面的形式出現(xiàn)：通過具體問題（幾何問題、實(shí)際應(yīng)用題）找出變量間的函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì)，尋求問題的結(jié)果。高考對函數(shù)概念與表示考察是以選擇或填空為主，以解答題形式出現(xiàn)的可能性相對較小，本節(jié)知識作為工具和其他知識結(jié)合起來命題的可能性依然很大預(yù)測2010年高考對本節(jié)的考察是：1題型是1個(gè)選擇和一個(gè)填空；2熱點(diǎn)是函數(shù)概念及函數(shù)的工具作用，以中等難度、題型新穎的試題綜合考

3、察函數(shù)成為新的熱點(diǎn)。三【要點(diǎn)精講】1函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作：y=f(x)，xA。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域。注意：（1）“y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應(yīng)的函數(shù)值，一個(gè)數(shù)，而不是f乘x2構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域（1）解決一切函

4、數(shù)問題必須認(rèn)真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式：自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍（如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等）；限制型：指命題的條件或人為對自變量x的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，往往也是難點(diǎn)，因?yàn)橛袝r(shí)這種限制比較隱蔽，容易犯錯(cuò)誤；實(shí)際型：解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真考察自變量x的實(shí)際意義。（2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題配方法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）；判別式法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程）；不等式法（運(yùn)用不等式的各種性質(zhì)）；函數(shù)法（運(yùn)用基本函數(shù)性質(zhì)，或

5、抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等）。3兩個(gè)函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個(gè)要素，即定義域A、值域C和對應(yīng)法則f。當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此，定義域和對應(yīng)法則為函數(shù)的兩個(gè)基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)。4區(qū)間（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示5映射的概念一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：AB

6、”。函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個(gè)非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應(yīng)關(guān)系，這種的對應(yīng)就叫映射。注意：（1）這兩個(gè)集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的其中f表示具體的對應(yīng)法則，可以用漢字?jǐn)⑹?。?）“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個(gè)；二是只有一個(gè)，也就是說有且只有一個(gè)的意思6常用的函數(shù)表示法（1）解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡稱解析式；（2）列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系；（3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系7分

7、段函數(shù)若一個(gè)函數(shù)的定義域分成了若干個(gè)子區(qū)間，而每個(gè)子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)；8復(fù)合函數(shù)若y=f(u)，u=g(x),xÎ(a，b)，uÎ(m,n)，那么y=fg(x)稱為復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域四【典例解析】題型1：函數(shù)概念例121.（2009天津卷文）設(shè)函數(shù)則不等式的解集是（ ）A. B. C. D.答案 A解析 由已知，函數(shù)先增后減再增當(dāng)，令解得。當(dāng)，故 ，解得【考點(diǎn)定位】本試題考查分段函數(shù)的單調(diào)性問題的運(yùn)用。以及一元二次不等式的求解（2）江蘇省如皋中學(xué)20072008學(xué)年度第二學(xué)期階段考試高三數(shù)學(xué)（理科）請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)同時(shí)滿足

8、下列兩個(gè)條件的函數(shù)y = f （x）：圖象關(guān)于y軸對稱；對定義域內(nèi)任意不同兩點(diǎn), 都有答： . 答案不唯一，在定義域內(nèi)圖象上凸的偶函數(shù)均可，如等等.首先由知f （x）為偶函數(shù)，由知f （x）在定義域內(nèi)圖象上凸，然后在基本初等函數(shù)中去尋找符合這兩點(diǎn)的模型函數(shù)【總結(jié)點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，問題以開放的形式出現(xiàn)，著重突出對考生數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求.點(diǎn)評：討論了函數(shù)的解析式的一些常用的變換技巧（賦值、變量代換、換元等等），這都是函數(shù)學(xué)習(xí)的常用基本功變式題：（2009北京文）已知函數(shù)若，則 . 答案 解析 本題主要考查分段函數(shù)和簡單的已知函數(shù)值求的值. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查.由，無解，故應(yīng)

9、填.例2（2007安徽 文理15）（1）函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則_ _；（2）函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則_。解：（1）由得，所以，則。（2）由得，所以，則。點(diǎn)評：通過對抽象函數(shù)的限制條件，變量換元得到函數(shù)解析式，考察學(xué)生的邏輯思維能力。題型二：判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同例3試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它們的值域及對應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)

10、；（2）由于函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)椋ǎ?）（0，+），而g（x）=的定義域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù)；（3）由于當(dāng)nN*時(shí)，2n±1為奇數(shù)，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它們的定義域、值域及對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)；（4）由于函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)閤|x0，而g（x）=的定義域?yàn)閤|x1或x0，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)；（5）函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)點(diǎn)評：對于兩個(gè)函數(shù)y=f（x）和y=g（x），當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對應(yīng)法則都相同時(shí)，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數(shù)若兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完

11、全相同，反之亦然。（1）第（5）小題易錯(cuò)判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對函數(shù)的概念理解不透要知道，在函數(shù)的定義域及對應(yīng)法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達(dá)式，這對于函數(shù)本身并無影響，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可視為同一函數(shù)。（2）對于兩個(gè)函數(shù)來講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個(gè)函數(shù)就不可能是同一函數(shù)題型三：函數(shù)定義域問題例4求下述函數(shù)的定義域：（1）；（2）解：（1），解得函數(shù)定義域?yàn)?（2） ，（先對a進(jìn)行分類討論，然后對k進(jìn)行分類討論），當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，得，1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)

12、，函數(shù)定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，得，1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椤｜c(diǎn)評：在這里只需要根據(jù)解析式有意義，列出不等式，但第（2）小題的解析式中含有參數(shù)，要對參數(shù)的取值進(jìn)行討論，考察學(xué)生分類討論的能力例5已知函數(shù)定義域?yàn)?0，2)，求下列函數(shù)的定義域：(1) ；(2)。解：（1）由0x2， 得 點(diǎn)評：本例不給出f(x)的解析式，即由f(x)的定義域求函數(shù)fg(x)的定義域關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法；求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定義域，后面還會(huì)涉及到變式題：已知函數(shù)f（x）=的定義域是R，則實(shí)

13、數(shù)a的取值范圍是（ ）AaB12a0C12a0Da解：由a=0或可得12a0，答案B。題型四：函數(shù)值域問題例5求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。解：（1）（配方法），的值域?yàn)楦念}：求函數(shù)，的值域。解：（利用函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)在上單調(diào)增，當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最小值為；當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最大值為函數(shù)，的值域?yàn)?。?）求復(fù)合函數(shù)的值域：設(shè)（），則原函數(shù)可化為。又，故，的值域?yàn)椋?）（法一）反函數(shù)法：的反函數(shù)為，其定義域?yàn)椋瘮?shù)的值域?yàn)椋ǚǘ┓蛛x變量法：，函數(shù)的值域?yàn)?。?）換元法（代數(shù)換元法）：設(shè)，則，原函數(shù)可化為，原函數(shù)值域?yàn)樽ⅲ嚎偨Y(jié)型值域，變形：

14、或（5）三角換元法：，設(shè)，則，原函數(shù)的值域?yàn)椋?）數(shù)形結(jié)合法：，函數(shù)值域?yàn)椤＃?）判別式法：恒成立，函數(shù)的定義域?yàn)?。由得?當(dāng)即時(shí)，即，當(dāng)即時(shí)，時(shí)方程恒有實(shí)根，且，原函數(shù)的值域?yàn)?。?），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立。，原函數(shù)的值域?yàn)?。?）（法一）方程法：原函數(shù)可化為：，（其中），原函數(shù)的值域?yàn)?。點(diǎn)評：上面討論了用初等方法求函數(shù)值域的一些常見類型與方法，在現(xiàn)行的中學(xué)數(shù)學(xué)要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函數(shù)的最大與最小值，在后面的復(fù)習(xí)中要作詳盡的討論。題型五：函數(shù)解析式例6（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函數(shù)，且滿足，求；（4）已知滿足，求。解：（1），（或）。（2）令（），

15、則，。（3）設(shè)，則，。（4） ，把中的換成，得 ，得，點(diǎn)評：第（1）題用配湊法；第（2）題用換元法；第（3）題已知一次函數(shù)，可用待定系數(shù)法；第（4）題用方程組法。例7上海市楊浦區(qū)2007-2008學(xué)年度第二學(xué)期高三學(xué)科測試數(shù)學(xué)試卷已知向量 （1）當(dāng)時(shí)， 求的值（2）(文科考生做) 求·的最大值與最小值（理科考生做）求·， 在上的最大值與最小值 解 （1）（文） （理）A=x| -1<x<1A=（-1，1），定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱f（x）= lg，則 f（-x）=lg= lg= lg，f（x）是奇函數(shù). （2）B=x| B=-1-a，1-a 當(dāng)a ³2時(shí)，

16、-1-a£-3， 1-a£-1，由A=（-1，1）， B=-1-a，1-a， 有反之，若，可取-a-1=2，則a=-3，a小于2. （注：反例不唯一）所以，a ³2是的充分非必要條件。例8江蘇省濱?？h08屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷2008-5-4 據(jù)調(diào)查，某地區(qū)100萬從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民，人均收入3000元，為了增加農(nóng)民的收入，當(dāng)?shù)卣e極引進(jìn)資本，建立各種加工企業(yè)，對當(dāng)?shù)氐霓r(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行深加工，同時(shí)吸收當(dāng)?shù)夭糠洲r(nóng)民進(jìn)入加工企業(yè)工作，據(jù)估計(jì)，如果有x(x0)萬人進(jìn)企業(yè)工作，那么剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的人均收入有望提高2x%，而進(jìn)入企業(yè)工作的農(nóng)民的人均收入為3000a元（

17、a0）。（1）在建立加工企業(yè)后，要使從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的年總收入不低于加工企業(yè)建立前的農(nóng)民的年總收入，試求x的取值范圍；（2）在（I）的條件下，當(dāng)?shù)卣畱?yīng)該如何引導(dǎo)農(nóng)民（即x多大時(shí)），能使這100萬農(nóng)民的人均年收入達(dá)到最大。解：（I）由題意得（100-x）·3000·（1+2x%）100×3000，即x250x0，解得0x50， 又x0 0x50； （II）設(shè)這100萬農(nóng)民的人均年收入為y元，則y= =x25(a+1)2+3000+475(a+1)2 (0<x50) （i）當(dāng)0<25(a+1)50，即0a1，當(dāng)x=25(a+1)時(shí)，y最大；（ii）當(dāng)2

18、5(a+1)50，即a 1，函數(shù)y在（0,50單調(diào)遞增，當(dāng)x=50時(shí)，y取最大值。答：在0a1時(shí)，安排25(a +1)萬人進(jìn)入企業(yè)工作，在a1時(shí)安排50萬人進(jìn)入企業(yè)工作，才能使這100萬人的人均年收入最大例9北京奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念章某特許專營店銷售紀(jì)念章，每枚進(jìn)價(jià)為5元，同時(shí)每銷售一枚這種紀(jì)念章還需向北京奧組委交特許經(jīng)營管理費(fèi)2元，預(yù)計(jì)這種紀(jì)念章以每枚20元的價(jià)格銷售時(shí)該店一年可銷售2000枚，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格在每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元?jiǎng)t增加銷售400枚，而每增加一元?jiǎng)t減少銷售100枚，現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格為x元（xN*）（）寫出該特許專營店一年內(nèi)銷售這種紀(jì)念章所獲得的利潤

19、y（元）與每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系式（并寫出這個(gè)函數(shù)的定義域）；（）當(dāng)每枚紀(jì)念銷售價(jià)格x為多少元時(shí)，該特許專營店一年內(nèi)利潤y（元）最大，并求出這個(gè)最大值（）依題意 此函數(shù)的定義域?yàn)?（） 當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，（元）；當(dāng)，因?yàn)閤N*，所以當(dāng)x23或24時(shí)，（元）； 綜合上可得當(dāng)時(shí)，該特許專營店獲得的利潤最大為32400元 15. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且同時(shí)滿足：(1)對任意，總有；(2)(3)若且，則有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.求證：.解：（I）令，由(3),則由對任意，總有 （2分）（II）任意且，則 （6分）(III) (8分)，即。 故即原式成

20、立。 （14分）點(diǎn)評：本題貼近生活。要求考生讀懂題目，迅速準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并加以解決。該題典型代表高考的方向題型7：課標(biāo)創(chuàng)新題例10（1）設(shè)，其中a、b、c、d是常數(shù)。如果求；（2）若不等式對滿足的所有m都成立，求x的取值范圍。解：（1）構(gòu)造函數(shù)則故：（2）原不等式可化為構(gòu)造函數(shù)，其圖象是一條線段。根據(jù)題意，只須：即解得。點(diǎn)評：上面兩個(gè)題目通過重新構(gòu)造函數(shù)解決了實(shí)際問題，體現(xiàn)了函數(shù)的工具作用例11.（2009四川卷文）設(shè)是已知平面上所有向量的集合，對于映射，記的象為。若映射滿足：對所有及任意實(shí)數(shù)都有，則稱為平面上的線性變換?，F(xiàn)有下列命題：設(shè)是平面上的線性變換，則 若是

21、平面上的單位向量，對，則是平面上的線性變換； 對，則是平面上的線性變換； 設(shè)是平面上的線性變換，則對任意實(shí)數(shù)均有。其中的真命題是 （寫出所有真命題的編號）答案 解析 ：令，則故是真命題 同理，：令，則故是真命題 ：，則有 是線性變換，故是真命題 ：由，則有 是單位向量，0，故是假命題【備考提示】本小題主要考查函數(shù)，對應(yīng)及高等數(shù)學(xué)線性變換的相關(guān)知識，試題立意新穎，突出創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)閱讀能力，具有選拔性質(zhì)五【思維總結(jié)】“函數(shù)”是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，學(xué)習(xí)函數(shù)的概念首先要掌握函數(shù)三要素的基本內(nèi)容與方法。由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表，實(shí)際上是求使給定式有意義的x的取值范圍它依賴于對各種式的認(rèn)識與解不等式技能的熟練。1求函數(shù)解析式的題型有：（1）已知函