1、從數(shù)學(xué)角度探尋音樂的規(guī)律以獻(xiàn)給愛麗絲為例摘要：長久以來，大部分人對(duì)音樂的認(rèn)識(shí)僅僅是停留在聽覺上面，即旋律與音高，但是讓我們撥開她的面紗，卻發(fā)現(xiàn)如此感性的東西當(dāng)中竟然蘊(yùn)藏著如此之多的理性數(shù)學(xué)。音樂的出現(xiàn)伴隨著數(shù)學(xué)，人們常說節(jié)奏是音樂的靈魂，可節(jié)奏不就是一種數(shù)學(xué)嗎？我們有時(shí)候說這首音樂聽起來真是完美極了，可這個(gè)世界上又什么東西是完美的，唯有數(shù)學(xué)，不同的組合，不同的序列，演藝出不同的音樂。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；萌芽；拍號(hào)；鍵盤；等比數(shù)列；變換；高潮；時(shí)間我們以獻(xiàn)給愛麗絲這首鋼琴曲為例，簡單的介紹一下音樂之中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)。 一、音樂中數(shù)學(xué)的萌芽相傳畢達(dá)哥拉斯路過一家鐵匠鋪時(shí)，在“鏗鏗鏘鏘”的打鐵聲音的啟發(fā)之下進(jìn)

2、行了許多試驗(yàn)，試圖尋找樂器發(fā)出更加協(xié)調(diào)、動(dòng)聽的聲音的規(guī)律。經(jīng)過多次地觀察與反復(fù)地比較，他終于發(fā)現(xiàn)三弦琴發(fā)聲的協(xié)調(diào)性與琴上三根弦的長度有著密切聯(lián)系，三根弦的長度比例為3: 4: 6 時(shí)最為適合。根據(jù)這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯探索并完善了音樂數(shù)，如1: 2 產(chǎn)生八度，2: 3 產(chǎn)生五度，3: 4 產(chǎn)生四度等等。他發(fā)現(xiàn)每根振動(dòng)著的弦只要按音樂數(shù)的比例劃分，就可以產(chǎn)生不同的音程。這和鐵匠鋪里的打鐵的聲音高低是隨著鐵錘的大小和敲擊力度的輕重變化而變化的原理一樣。后來，他繼而發(fā)現(xiàn)聲音在質(zhì)上的差別如聲音的長短、高低、強(qiáng)弱等等是由發(fā)音體數(shù)量的差別而產(chǎn)生差別的。被撥動(dòng)琴弦的每一組和諧組合都可以記為整數(shù)的比例，按照比例

3、增加弦的長度就能產(chǎn)生音階。如從產(chǎn)生音高C的弦開始，C 的16 /15 長度給出B，C 的6 /5 長度給出A，C 的4 /3 長度給出G，C 的3 /2 長度給出F，C 的8 /5 長度給出E，C的16 /9 長度給出D，C 的2 /1 長度給出低音C。由此他得出結(jié)論: 音樂能夠反映出的作為宇宙本質(zhì)的數(shù)理關(guān)系，能夠體現(xiàn)作為宇宙根本規(guī)律的“和諧”。 二、拍號(hào)中的數(shù)學(xué)在每一首樂曲的開頭部分， 我們總能看到一個(gè)分?jǐn)?shù)，比如，2/ 4 、3/ 4 、3/ 8 、6/ 8 等，這些分?jǐn)?shù)是用來表示不同拍子的符號(hào)， 即是音樂中的拍號(hào)，其中分?jǐn)?shù)的分子表示每小節(jié)單位拍的數(shù)目，分母表示單位拍的音符時(shí)值， 即表示以幾

4、分音符為一拍。 拍號(hào)一旦確定， 那么每小節(jié)內(nèi)的音符就要遵循由拍號(hào)所確定的拍數(shù)， 這可以通過數(shù)學(xué)中的分?jǐn)?shù)加法法則來檢驗(yàn)。我們節(jié)選獻(xiàn)給愛麗絲的某些片段，獻(xiàn)給愛麗絲這首曲子的拍號(hào)是3/4拍，我們可以看到第一小節(jié)由6個(gè)八分音符組成，即6×（1/8）=3/4，同樣，下面的小結(jié)2×（1/8）+1/2=3/4，原來每首曲子的拍號(hào)并不是憑空加上去的，而是根據(jù)每小結(jié)音符的拍值計(jì)算上去的。 三、鍵盤上的數(shù)學(xué) 圖一如圖一所示，我們知道在鋼琴的鍵盤上，從一個(gè)C 鍵到下一個(gè)C 鍵就是音樂中的一個(gè)度音程(如圖1) 。 其中共包括13 個(gè)鍵，有8 個(gè)白鍵和5 個(gè)黑鍵，而5 個(gè)黑鍵分成2 組，一組有2 個(gè)

5、黑鍵，一組有3 個(gè)黑鍵。 2 、3 、5 、8 、13 恰好就是著名的斐波那契數(shù)列中的前幾個(gè)數(shù)。 四、音樂中的等比數(shù)列如果說斐波那契數(shù)在鋼琴鍵上的出現(xiàn)是一種巧合， 那么等比數(shù)列在音樂中的出現(xiàn)就決非偶然了: 1 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、i 等音階就是利用等比數(shù)列規(guī)定的。 再來看圖一，顯然這個(gè)八度音程被黑鍵和白鍵分成了12 個(gè)半音，并且我們知道下一個(gè)C鍵發(fā)出樂音的振動(dòng)次數(shù)(即頻率) 是第一個(gè)C 鍵振動(dòng)次數(shù)的2倍，因?yàn)橛? 來分割，所以這個(gè)劃分是按照等比數(shù)列而作出的。 我們?nèi)菀浊蟪龇指畋葂 ， 顯然x 滿足x12= 2 ，解這個(gè)方程可得x 是個(gè)無理數(shù)， 大約是1.06。于是我們說某個(gè)半

6、音的音高是那個(gè)音的音高的1.06 倍，而全音的音高是那個(gè)音的音高1.06平方倍。 實(shí)際上，在吉它中也存在著同樣的等比數(shù)列。 五、音樂中的平移變換平移是一種簡單的數(shù)學(xué)計(jì)算或者形式，那么在音樂中是否也存在這樣的平移呢？讓我們在先給愛麗絲這首鋼琴曲中尋找一下，看看是否有他們的身影。、，其中箭頭的方向?yàn)橐舴钠揭品较?，我們可以看出，第一幅圖中的音符經(jīng)歷了向右向上平移，第二幅圖中的音符經(jīng)歷了向右向下平移。六、音樂中的反射變換同樣以獻(xiàn)給愛麗絲為例，在曲譜中不難找出像這樣的對(duì)稱音符。音樂是我們感情表達(dá)的工具，其實(shí)讓我們仔細(xì)想一下，數(shù)學(xué)中的平移給我們更多的感覺是一種相同信號(hào)的輸出，就像我們高興時(shí)連續(xù)不斷的大笑

7、，或者悲傷時(shí)連續(xù)不斷的哭泣一樣。同樣，對(duì)稱給我們的感覺是平衡，就像我們情緒的上升和下降，比如大笑之后，小聲逐漸消失，直至趨于原始的平靜狀態(tài)。 七、獻(xiàn)給愛麗絲高潮位置的數(shù)學(xué)計(jì)算0.6 18 是蘇聯(lián)音樂理論家對(duì)數(shù)以千計(jì)的各種體裁。結(jié)構(gòu)的器樂作品的高潮位置分析側(cè)定的結(jié)果。 x 表示主體結(jié)構(gòu)的小節(jié)數(shù)(曲式的附屬部分一般不計(jì)算在內(nèi)) G 代表高潮所在的小節(jié)位。在小型曲式的器樂作品中， 高潮所處的小節(jié)位置一般比較明顯， 稱為高湘點(diǎn)， 有時(shí)只在一兩小節(jié)之間。如舒柏特的蘇格蘭娜曲 是一首方整性的單二部曲式， 全曲共16 小節(jié)， 四二拍子， A、B 兩樂段均為八小節(jié)并結(jié)束在主調(diào)(G 大調(diào)) 上。第九小節(jié)至第十小

8、節(jié)之間出現(xiàn)了離調(diào)(到e 小側(cè))， 調(diào)式、調(diào)性及寫法上與人樂段形成了對(duì)比。 力度上用sf 加強(qiáng)。伴奏聲部的音區(qū)提高， 增加了明亮的色彩。 通過以上的分析， 可得出: 高潮的位置在第九小節(jié)與第十小節(jié)之間。 可以運(yùn)用以下公式來驗(yàn)證：G=0.618×n（小結(jié)總數(shù)）我們以獻(xiàn)給愛麗絲為例，獻(xiàn)給愛麗絲一共有105小結(jié)，根據(jù)公式計(jì)算，我們可以得知獻(xiàn)給愛麗絲這首曲子的高潮位置大約在65小結(jié)左右，根據(jù)樂譜我們也可以看出，65小結(jié)左右確實(shí)為這首曲子的高潮部分。 八、計(jì)算樂曲時(shí)間根據(jù)作品所指示的速度并按照這個(gè)速度在較準(zhǔn)確的時(shí)間范圍內(nèi)去表現(xiàn)樂思， 對(duì)于每位演唱者、演奏者、音樂指導(dǎo)及音樂教師來說尤為重耍。 如何計(jì)算音樂作品的約略時(shí)長? 如何估計(jì)一場音樂會(huì)的演出時(shí)間? 如何運(yùn)用這個(gè)“尺度” 檢查學(xué)習(xí)者的演唱或演奏的時(shí)間是否符合作品的要求? 是我們在排練或教學(xué)中時(shí)常遇到的一些麻煩問題。根據(jù)公式我們就可以計(jì)算出樂曲的演奏實(shí)踐，假設(shè)我們以的速度演奏曲目，m=3，x=105，s=90，我們可以算出SH=3。5，也就是3。5分鐘。音樂的各個(gè)方面都與數(shù)學(xué)緊密的聯(lián)系在一起，數(shù)學(xué)體現(xiàn)著這個(gè)世界上某些事物的本質(zhì)，音樂體現(xiàn)著完美，而數(shù)學(xué)正是完美的代表，讓我們在聆聽優(yōu)美音樂的同時(shí)，一起來感受數(shù)學(xué)所給我們帶來的震撼吧。參考文獻(xiàn)：劉衛(wèi)鋒，王尚志。數(shù)學(xué)與音樂。首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，2005劉丹，張乃堯。清華大學(xué)自動(dòng)化系。模糊