1、國(guó)立臺(tái)北師範(fàn)學(xué)院學(xué)報(bào)，第十七卷第二期（九十三年九月）122國(guó)立臺(tái)北師範(fàn)學(xué)院國(guó)小數(shù)學(xué)資優(yōu)生運(yùn)用畫(huà)圖策略解題之探究林 香、張英傑* 林 香：臺(tái)北縣秀山國(guó)小教師張英傑：國(guó)立臺(tái)北師範(fàn)學(xué)院數(shù)學(xué)暨資訊教育學(xué)系副教授投稿收件日：93年3月31日；修正日：93年6月8日；接受日：93年7月2日摘 要本研究旨在探討國(guó)小數(shù)學(xué)資優(yōu)生運(yùn)用畫(huà)圖策略解題但有不同解題表現(xiàn)者的解題過(guò)程差異；研究對(duì)象是由參加2003年亞太區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹亞競(jìng)賽臺(tái)灣區(qū)初賽錄取學(xué)生中選取運(yùn)用畫(huà)圖策略解題次數(shù)最多但不同解題正確率的4名學(xué)生進(jìn)行半結(jié)構(gòu)性晤談，研究發(fā)現(xiàn)如下：4個(gè)個(gè)案的解題過(guò)程差異可分為四個(gè)方面來(lái)說(shuō)：（一）圖畫(huà)表徵的內(nèi)容差異（二）圖畫(huà)表徵

2、的形成差異（三）圖畫(huà)表徵的運(yùn)用差異（四）評(píng)估解答的差異。關(guān)鍵詞：國(guó)小、數(shù)學(xué)資優(yōu)生、數(shù)學(xué)解題、畫(huà)圖策略國(guó)立臺(tái)北師範(fàn)學(xué)院學(xué)報(bào)，第十七卷第二期（九十三年九月）122國(guó)立臺(tái)北師範(fàn)學(xué)院國(guó)小數(shù)學(xué)資優(yōu)生運(yùn)用畫(huà)圖策略解題之探究林 香、張英傑* 林 香：臺(tái)北縣秀山國(guó)小教師張英傑：國(guó)立臺(tái)北師範(fàn)學(xué)院數(shù)學(xué)暨資訊教育學(xué)系副教授壹、研究動(dòng)機(jī)與目的九十學(xué)年度開(kāi)始實(shí)施的國(guó)民中小學(xué)九年一貫課程綱要中，特別強(qiáng)調(diào)要培養(yǎng)學(xué)生能帶著走的能力，而非背不動(dòng)的書(shū)包，並列舉了十大基本能力指標(biāo)，其中獨(dú)立思考與解決問(wèn)題正是學(xué)生必需具備的能力之一（教育部，民89）。在數(shù)學(xué)教育中，解決問(wèn)題也是一個(gè)重要的課題。從美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（National Co

3、uncil of Teachers of Mathematics, NCTM）歷年來(lái)所公佈的課程標(biāo)準(zhǔn)，把問(wèn)題解決列為重點(diǎn)之一（NCTM, 1989, 2000），即可顯示問(wèn)題解決在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及數(shù)學(xué)課程中的重要性。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教育改革也以數(shù)學(xué)解題為方向，八十二年版國(guó)小數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)之總目標(biāo)指出：國(guó)民小學(xué)數(shù)學(xué)教育目標(biāo)，在於輔導(dǎo)學(xué)生從日常生活經(jīng)驗(yàn)中，獲得有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而培養(yǎng)有效運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，以解決實(shí)際問(wèn)題的態(tài)度及能力。（教育部，民82，頁(yè)91）數(shù)學(xué)新課程的重點(diǎn)之一是將數(shù)學(xué)視為解題（周筱亭，民83）；目前九年一貫數(shù)學(xué)領(lǐng)域目標(biāo)亦強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，期望學(xué)生達(dá)成發(fā)展形成數(shù)學(xué)問(wèn)題與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

4、的能力，並透過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)激勵(lì)多樣性的獨(dú)立思維方式，激盪各種想法，激發(fā)創(chuàng)造力（教育部，民90）。迎接知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代的來(lái)臨，教育部於民國(guó)91年公佈創(chuàng)造力教育白皮書(shū)，培養(yǎng)學(xué)生思考創(chuàng)新的能力，以打造創(chuàng)造力國(guó)度（教育部，民91），而創(chuàng)新思考其實(shí)正是數(shù)學(xué)解題所強(qiáng)調(diào)的精神。臺(tái)灣地區(qū)因物質(zhì)資源有限，人力資源的開(kāi)發(fā)益形重要，為促進(jìn)國(guó)家各項(xiàng)建設(shè)，需透過(guò)教育過(guò)程，挑選各種才智優(yōu)異的學(xué)生，給予充足的學(xué)習(xí)方案，培養(yǎng)其成為對(duì)國(guó)家建設(shè)有貢獻(xiàn)之人才（吳武典，民88）。是故教師應(yīng)發(fā)掘與啟發(fā)國(guó)小數(shù)學(xué)資優(yōu)生的數(shù)學(xué)解題潛能，將來(lái)貢獻(xiàn)於社會(huì)國(guó)家。然誠(chéng)如謝淡宜（民88）的研究指出，要發(fā)展及提升數(shù)學(xué)資優(yōu)生的解題能力，應(yīng)先瞭解其解題特質(zhì)及解題思

5、維。但研究者閱讀相關(guān)文獻(xiàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，國(guó)內(nèi)有關(guān)國(guó)小學(xué)童數(shù)學(xué)解題的研究顯然很多（王正信，民91；林碧珍，民78；邱佳寧，民90；涂金堂，民84；陳明媚，民91；楊明家，民86；楊瑞智，民83；謝淡宜，民88；鍾政廷，民91），不過(guò)甚少對(duì)具有數(shù)學(xué)潛能之學(xué)生進(jìn)行探究，因此研究者以國(guó)小數(shù)學(xué)資優(yōu)生為對(duì)象進(jìn)行解題研究。數(shù)學(xué)解題是一個(gè)複雜的心智活動(dòng)，一般人面對(duì)問(wèn)題時(shí)，會(huì)運(yùn)用各種辦法以達(dá)到目標(biāo)或求得解答；而且同一個(gè)問(wèn)題，每一個(gè)人所採(cǎi)用的策略不一定相同，甚至一個(gè)人處理不同類型的問(wèn)題可能使用的方法也不同，因此策略的運(yùn)用可說(shuō)是人類高層次思維運(yùn)作的表現(xiàn)，也是解題成功的關(guān)鍵因素之一。解題策略的種類非常多，其中圖畫(huà)表徵策略是許

6、多學(xué)者及解題教學(xué)研究較常提到的有效解題策略之一（吳昭容，民79；林淑菁，民92；徐文鈺，民81；楊淑芳，民90；魏君芝，民92），但運(yùn)用圖畫(huà)表徵策略並不一定保證成功解題（楊瑞智，民83；Campbell, Collis & Watson, 1995; Lowrie & Kay, 2001）。也就是有的人畫(huà)圖成功解題，有的人畫(huà)圖仍失?。谎芯空哒J(rèn)為有必要瞭解為什麼同樣運(yùn)用畫(huà)圖策略，為什麼有不同的解題成效，他們之間的差異值得深入探究。綜合上述動(dòng)機(jī)，本研究旨在探討國(guó)小數(shù)學(xué)資優(yōu)生運(yùn)用畫(huà)圖策略解題但有不同解題正確率者的解題過(guò)程差異。希望藉由此研究，進(jìn)一步了解國(guó)小數(shù)學(xué)資優(yōu)生的解題思維及策略運(yùn)用的想法，也期望

7、研究結(jié)果能提供相關(guān)教育人員參考，以增進(jìn)教學(xué)效能，提升學(xué)生的解題能力，或者作為未來(lái)的研究參考。貳、文獻(xiàn)探討本研究旨在瞭解影響國(guó)小數(shù)學(xué)資優(yōu)生運(yùn)用畫(huà)圖策略解題但不同解題正確率者的解題過(guò)程差異。故對(duì)畫(huà)圖策略與數(shù)學(xué)解題的關(guān)係，及視覺(jué)思考、問(wèn)題表徵等相關(guān)的研究文獻(xiàn)也進(jìn)行探討，以作為本研究架構(gòu)之參考。一、畫(huà)圖策略與數(shù)學(xué)解題許多解題教學(xué)研究者（吳昭容，民79；林淑菁，民92；徐文鈺，民81；楊淑芳，民90；魏君芝，民92）指出有些數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象度較高，畫(huà)出圖形常有助於問(wèn)題的解決，透過(guò)畫(huà)圖的方式使問(wèn)題具體化、直觀化，進(jìn)而找出解題的途徑，因此解題教學(xué)時(shí)透過(guò)圖示說(shuō)明，也建議學(xué)生運(yùn)用畫(huà)圖方法於個(gè)人解題活動(dòng)中。所以畫(huà)圖策

8、略是指解題者在解題過(guò)程中，運(yùn)用畫(huà)圖的方式，畫(huà)出與題意相關(guān)的圖形或圖案，藉以幫助解題者觀察、推理、思考，是達(dá)到解答問(wèn)題的一種手段。畫(huà)圖策略亦可稱為圖畫(huà)表徵策略、圖示策略與圖解等。由認(rèn)知發(fā)展的觀點(diǎn)來(lái)看或由訊息處理的角度切入，圖像（圖示）在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有很大助益，因此應(yīng)用畫(huà)圖的方法於問(wèn)題解決的活動(dòng)中，透過(guò)圖畫(huà)表徵問(wèn)題較為抽象或較為複雜的成分，使解題者易於發(fā)現(xiàn)解題的關(guān)鍵，故畫(huà)圖策略可說(shuō)在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中扮演著一個(gè)重要角色，它是有助解題的有效策略，所以建議學(xué)生解題時(shí)可利用圖畫(huà)表徵策略。二、畫(huà)圖策略之相關(guān)研究（一）解題之視覺(jué)方法探討許多研究（紀(jì)惠英，民80；Hegarty & Kozhevnikov, 199

9、9; Krutetskii, 1976/1993; Lowrie, 2000; Lowrie & Clements, 2001; Lowrie & Kay, 2001）證實(shí)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生偏愛(ài)使用視覺(jué)或非視覺(jué)（語(yǔ)言）的方法，他們認(rèn)為至少在處理問(wèn)題的最初階段，解題者思考可能的解決方法時(shí)，他們偏愛(ài)使用視覺(jué)模式或偏愛(ài)非視覺(jué)的思維來(lái)解題。所謂視覺(jué)方法，是指?jìng)€(gè)體解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，會(huì)在腦海中或在紙上呈現(xiàn)與問(wèn)題有關(guān)的圖像，以幫助個(gè)體進(jìn)行解題思考。而解題者選擇使用視覺(jué)方法與個(gè)人的特質(zhì)有關(guān)，那與性別的關(guān)係如何？Lowrie and Kay（2001）探究112個(gè)六年級(jí)學(xué)生（61男生和51個(gè)女生）解題使用的方

10、法（視覺(jué)和非視覺(jué)）有無(wú)差異，結(jié)果發(fā)現(xiàn)性別對(duì)視覺(jué)或非視覺(jué)方法的偏愛(ài)沒(méi)有關(guān)聯(lián)，除外，Lowrie and Kay也進(jìn)一步調(diào)查作業(yè)的複雜度減少時(shí)，學(xué)生解數(shù)學(xué)問(wèn)題所使用的方法是否改變，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生有視覺(jué)或非視覺(jué)方法的偏愛(ài)外，問(wèn)題的困難度也影響學(xué)生選擇表徵問(wèn)題的方法；學(xué)生對(duì)於困難及新穎的問(wèn)題，較可能用視覺(jué)方法，相較之下，非視覺(jué)方法則使用在較少困難的情況。Lowrie and Clements（2001）的研究是讓三個(gè)不同解題類型（視覺(jué)型、非視覺(jué)型、調(diào)和型）的六年級(jí)學(xué)生一起討論數(shù)學(xué)問(wèn)題、解決問(wèn)題，然後在學(xué)年期間的不同階段，讓三個(gè)人個(gè)別解4個(gè)數(shù)學(xué)文字題，作者們觀察、分析三人解題之視覺(jué)歷程，結(jié)果發(fā)現(xiàn)在研究

11、期間，當(dāng)數(shù)學(xué)問(wèn)題減少新穎因素時(shí)，也就是屬於較熟悉的問(wèn)題，或類似的問(wèn)題，三個(gè)個(gè)案學(xué)生的解題行為轉(zhuǎn)變?yōu)檩^非視覺(jué)/語(yǔ)言推理。亦即一旦學(xué)生覺(jué)得他們擁有適當(dāng)?shù)幕：透拍钪R(shí)去連結(jié)先前經(jīng)驗(yàn)和所理解的解題策略，他們表現(xiàn)出想要以非視覺(jué)的方法解題，尤其屬於視覺(jué)型的個(gè)案，她在學(xué)年開(kāi)始偏愛(ài)使用視覺(jué)方法解題，在學(xué)年末解題方法有明顯轉(zhuǎn)變。綜合Lowrie and Clements（2001）與Lowrie and Kay（2001）的研究可知問(wèn)題性質(zhì)易影響視覺(jué)方法的選擇，也就是不管學(xué)生對(duì)於視覺(jué)方法是否有特殊偏愛(ài)，當(dāng)問(wèn)題屬於較熟悉的或類似的問(wèn)題，學(xué)生傾向於使用非視覺(jué)方法解題；反之，當(dāng)問(wèn)題是較困難、新穎的問(wèn)題，學(xué)生則傾向使

12、用視覺(jué)方法。（二）解題之問(wèn)題表徵探討ayes, 1989, 引自羅素貞，民85）。從這過(guò)程來(lái)看，問(wèn)題表徵的形成是問(wèn)題解決的第一步，它對(duì)解題計(jì)畫(huà)的形成與執(zhí)行有很大的影響。亦即問(wèn)題表徵是問(wèn)題解決中的重要成分，外在表徵更是解題的重要輔助；如果解題者對(duì)問(wèn)題所形成表徵的不正確，將會(huì)影響他找到正確解題的路徑與方法，故問(wèn)題表徵對(duì)解題成敗有關(guān)鍵性的影響。表徵的型式是多樣的，圖畫(huà)是其中的一種，運(yùn)用畫(huà)圖策略解題，是指解題者問(wèn)題解決時(shí)，運(yùn)用了圖畫(huà)表徵問(wèn)題及解決問(wèn)題。紀(jì)惠英（民80）的研究顯示解題者對(duì)表徵的型式有個(gè)人偏好的情形存在；陳其英（民88）的研究發(fā)現(xiàn)，影響學(xué)生解題表徵型式選擇的主要影響因素是個(gè)人特質(zhì)、解題經(jīng)驗(yàn)

13、、以及題目性質(zhì)。故探究數(shù)學(xué)資優(yōu)生運(yùn)用畫(huà)圖策略解題時(shí)，須重視這三個(gè)因素，由於學(xué)生的解題特質(zhì)與解題經(jīng)驗(yàn)非研究者所能控制，因此以問(wèn)題性質(zhì)為變項(xiàng)，來(lái)瞭解學(xué)生策略運(yùn)用的情形。解題者會(huì)依解題需要選擇表徵的型式，但如何形成問(wèn)題表徵？Mayer（1987/ 1990）綜合認(rèn)知心理學(xué)及訊息處理的觀點(diǎn)，提出問(wèn)題表徵應(yīng)包含兩個(gè)步驟：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)譯與問(wèn)題整合。1.問(wèn)題轉(zhuǎn)譯（problem translation）：指將問(wèn)題的每一個(gè)句子或主要的詞句轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)在心理表徵，也就是解題者對(duì)問(wèn)題的理解及對(duì)問(wèn)題所牽涉的數(shù)學(xué)事實(shí)進(jìn)行運(yùn)作轉(zhuǎn)譯成某種表徵。 2. 問(wèn)題整合（problem integration）：指將問(wèn)題中的訊息放在一起，使

14、連貫成一致的表徵。一個(gè)問(wèn)題的正確表徵不只是一個(gè)句子一個(gè)句子的轉(zhuǎn)譯而已，還需要將幾個(gè)陳述句關(guān)聯(lián)在一起成為有用的條件。Mayer在書(shū)中談到對(duì)學(xué)生而言，問(wèn)題轉(zhuǎn)譯歷程是不容易的，尤其是有關(guān)係語(yǔ)句的問(wèn)題（表示數(shù)量之間數(shù)量關(guān)係的陳述句）；有些學(xué)生在轉(zhuǎn)譯過(guò)程中忽略關(guān)係句，而產(chǎn)生轉(zhuǎn)譯錯(cuò)誤；有些人把問(wèn)題的每個(gè)陳述句分開(kāi)轉(zhuǎn)譯，不知如何將兩個(gè)陳述句之間關(guān)聯(lián)在一起，因此他強(qiáng)調(diào)問(wèn)題轉(zhuǎn)譯之後，更重要的要將陳述句整合連貫成一致的表徵。林香（民92）研究發(fā)現(xiàn)運(yùn)用畫(huà)圖策略解題的數(shù)學(xué)資優(yōu)生錯(cuò)誤情形較多的是圖畫(huà)表徵錯(cuò)誤；而有些研究（何縕琪和林清山，民83；Goldin, 1987, 引自楊瑞智，民83；Hegarty, Mayer

15、, & Monk, 1995）也發(fā)現(xiàn)解題者在問(wèn)題轉(zhuǎn)譯或表徵階段，除了忽略關(guān)係語(yǔ)句外，還有轉(zhuǎn)譯的方法亦是造成問(wèn)題表徵錯(cuò)誤的原因。他們指出學(xué)生在解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常直接設(shè)法轉(zhuǎn)譯問(wèn)題敘述，到算術(shù)式或代數(shù)式，常用關(guān)鍵字直接促成轉(zhuǎn)譯，例如看到共有就用加法、還剩就用減法，忽略了問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，造成解題失敗，也就是只有轉(zhuǎn)譯問(wèn)題陳述，而沒(méi)有整合有關(guān)解題的條件資訊。綜合上述文獻(xiàn)，研究者認(rèn)為探討國(guó)小數(shù)學(xué)資優(yōu)生運(yùn)用運(yùn)用畫(huà)圖策略卻有不同解題成效，須探究學(xué)生的解題過(guò)程，才得以瞭解其間的差異。而解題過(guò)程以訊息處理理論的觀點(diǎn)較適合作為本研究觀察學(xué)生解題行為之依據(jù)，其解題步驟有ayes, 1989, 引自羅素貞，民85），但本

16、研究受限於時(shí)間、人力、物力等因素，故將解題過(guò)程統(tǒng)整為三個(gè)階段，1.表徵問(wèn)題階段（步驟1）2.解決問(wèn)題階段（步驟2、3、4）3. 評(píng)估解答（步驟5）。參、研究方法與過(guò)程一、研究方法本研究主要探究國(guó)小數(shù)學(xué)資優(yōu)生運(yùn)用畫(huà)圖策略解題者但有不同解題成效者的解題過(guò)程差異。故研究者分析各種評(píng)量法後，決定採(cǎi)用兩種方式進(jìn)行，（一）筆試紙筆測(cè)驗(yàn)，以篩選運(yùn)用畫(huà)圖策略解題次數(shù)最多的學(xué)生作為晤談對(duì)象；（二）晤談半結(jié)構(gòu)性訪談，瞭解學(xué)生圖畫(huà)表徵及解決問(wèn)題等過(guò)程。個(gè)別晤談進(jìn)行的方式是先讓受試解2題數(shù)學(xué)問(wèn)題，完成解題後，請(qǐng)受試描述他的解題過(guò)程，及回答研究者的問(wèn)題。個(gè)別晤談時(shí)間約5070分鐘。晤談過(guò)程，研究者以錄音、錄影的方式蒐集

17、資料，之後再轉(zhuǎn)譯成文字紀(jì)錄。二、研究對(duì)象數(shù)學(xué)資優(yōu)生一般是指在數(shù)學(xué)方面具有高度潛能之學(xué)生，但國(guó)內(nèi)小學(xué)階段資賦優(yōu)異學(xué)生大都屬於一般智能優(yōu)異的資優(yōu)生，而非數(shù)學(xué)資優(yōu)生。本研究所指的數(shù)學(xué)資優(yōu)生是界定為參加亞太區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹亞競(jìng)賽臺(tái)灣區(qū)初賽錄取的國(guó)小五、六年級(jí)的學(xué)生。因?yàn)榇烁?jìng)賽試題難度頗高，且其內(nèi)容與範(fàn)圍都超出現(xiàn)行部頒之國(guó)小數(shù)學(xué)課程教材，初賽錄取的學(xué)生是所有參賽者中測(cè)驗(yàn)成績(jī)排名前20者，顯現(xiàn)其具有某些數(shù)學(xué)潛能。本研究樣本取自於參加2003年亞太地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹亞競(jìng)賽臺(tái)灣區(qū)初賽錄取學(xué)生；今年參加初賽的人數(shù)有565人，錄取初賽成績(jī)排行前20之學(xué)生，計(jì)一百二十名。本研究對(duì)象是由初賽錄取學(xué)生進(jìn)行筆試，以選取運(yùn)

18、用畫(huà)圖策略次數(shù)最多且解題正確率最高與最低各2人，合計(jì)四名，進(jìn)行個(gè)別晤談。三、研究工具本研究工具的設(shè)計(jì)方向，以可用畫(huà)圖方式解題的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題為主，例如題目中的數(shù)量關(guān)係較為複雜，已知條件較為隱密，很難找到解題方法，如果畫(huà)線段或畫(huà)其他圖形的方法，把題目中的數(shù)量關(guān)係，具體形象地表現(xiàn)出來(lái)，則可能找到解題的途徑，當(dāng)然這些問(wèn)題也可運(yùn)用其他策略解題。研究者參考相關(guān)解題研究（Campbell, Collis, & Watson, 1995; Hegarty & Kozhevnikov, 1999; Lowrie & Clements, 2001; Lowrie & Kay, 2001)，與Krutetskii（

19、1976/1993）中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力心理學(xué)及其他數(shù)學(xué)問(wèn)題叢書(shū)，共編製20題數(shù)學(xué)試題，試題設(shè)計(jì)完成後，與資優(yōu)班老師討論修正。在正式進(jìn)行研究之前，研究者以服務(wù)學(xué)校鄰近有資優(yōu)班之學(xué)校臺(tái)北縣健康、快樂(lè)國(guó)小及臺(tái)北市希望國(guó)小五、六年級(jí)資優(yōu)班學(xué)生（校名均為匿名），共105人進(jìn)行預(yù)試。預(yù)試後，以古典測(cè)驗(yàn)理論，總分取高、低分組27，進(jìn)行各試題難易度分析，及畫(huà)圖策略的認(rèn)定，其原則是只要學(xué)生在其答案紙上有任何圖畫(huà)（數(shù)線圖、數(shù)圖、集合圖、）或圖表，不管學(xué)生在解題過(guò)程中是否劃掉取消，均將其歸類為運(yùn)用了畫(huà)圖策略。根據(jù)試題的難易度（0.66以下）、鑑別度（0.52以上）及畫(huà)圖人數(shù)較多者為原則，從20道問(wèn)題中挑選5題作為篩選

20、研究對(duì)象的試題，另選2題作為晤談試題。在信度方面，本測(cè)驗(yàn)採(cǎi)評(píng)分者信度，即筆試施測(cè)完成後由研究者與另一位同校教師進(jìn)行評(píng)分，評(píng)分前研究者與另一位評(píng)分者共同討論評(píng)分內(nèi)容與評(píng)分原則，然後兩人個(gè)別評(píng)分，且將分?jǐn)?shù)寫(xiě)於研究者設(shè)計(jì)的表格上而不寫(xiě)於學(xué)生的作答紙上，完成評(píng)分後，研究者以SPSS統(tǒng)計(jì)軟體進(jìn)行兩位評(píng)分的分?jǐn)?shù)作相關(guān)分析，統(tǒng)計(jì)結(jié)果相關(guān)係數(shù)達(dá)0.993，顯示兩人的評(píng)分有一致性高。研究者針對(duì)筆試時(shí)運(yùn)用圖畫(huà)表徵策略次數(shù)最多之高、低解題正確率的受試4人（S34、S59、S23、S83），進(jìn)行一對(duì)一個(gè)別晤談，觀察瞭解他們運(yùn)用畫(huà)圖策略解題的過(guò)程。個(gè)別晤談主要以半結(jié)構(gòu)性的方式進(jìn)行訪談，訪談大綱與數(shù)學(xué)教育專家及培訓(xùn)教師群

21、共同討論修訂。訪談大綱如下：1. 請(qǐng)告訴我你的做法。 2. 你是怎麼畫(huà)出這個(gè)圖的？ 3. 請(qǐng)說(shuō)明這個(gè)圖跟解題有什麼關(guān)係。4. 你算完會(huì)檢查嗎？訪談大綱之效度亦採(cǎi)用專家效度。研究者根據(jù)文獻(xiàn)分析與研究目的設(shè)計(jì)晤談大綱，接著與培訓(xùn)教師群及數(shù)學(xué)教育專家共同討論修訂。肆、研究結(jié)果與討論本研究主要探究國(guó)小數(shù)學(xué)資優(yōu)生運(yùn)用畫(huà)圖策略解題但有不同解題成效者的解題過(guò)程差異，因受於篇幅限制，故本文主要針對(duì)晤談時(shí)所蒐集的資料進(jìn)行分析討論，而筆試資料分析於另外文章討論之。本研究先進(jìn)行筆試（試題有5題）以選取晤談對(duì)象，紙筆測(cè)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生解題時(shí)，每一題都運(yùn)用了畫(huà)圖策略，共計(jì)有14人，分析運(yùn)用畫(huà)圖策略次數(shù)最多的14人之答

22、對(duì)題數(shù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其解題表現(xiàn)差異很大（見(jiàn)表1），有的人解題正確5題，有的人卻只答對(duì)1題，故研究者選取答對(duì)題數(shù)最多的S34、S59和答對(duì)題數(shù)最少的S23、S83，計(jì)有4人，進(jìn)行一對(duì)一的半結(jié)構(gòu)性晤談，以瞭解學(xué)生運(yùn)用畫(huà)圖解題的過(guò)程。 表1 運(yùn)用畫(huà)圖策略最多次數(shù)者之答對(duì)題數(shù)統(tǒng)計(jì)答對(duì)題數(shù)學(xué) 生 編 號(hào)合計(jì)5S34、S592人4S29、S30、S563人3S22、S52、S55、S674人2S33、S60、S883人1S23、S832人為方便敘述與討論，將晤談的4個(gè)個(gè)案分別化名為繪智高（S34）、繪智強(qiáng)（S59）兩人是筆試時(shí)運(yùn)用畫(huà)圖策略次數(shù)最多之高解題正確率學(xué)生；繪智平（S23）、繪智梅（S83）是筆試時(shí)運(yùn)

23、用畫(huà)圖策略次數(shù)最多之低解題正確率學(xué)生。以下針對(duì)四個(gè)個(gè)案解決2個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程進(jìn)行分析討論，包括學(xué)生圖畫(huà)表徵的內(nèi)容，與利用圖畫(huà)表徵解題的過(guò)程，以下逐題討論之。一、第一題繩子問(wèn)題題目：有一捆繩子，第一次用去全長(zhǎng)的一半多3公尺，第2次用去第一次剩下的一半少10公尺，第三次用去15公尺，最後還剩7公尺，請(qǐng)問(wèn)這捆繩子有多長(zhǎng)？（答：54公尺）繪智高（S34）、繪智強(qiáng)（S59）、繪智平（S23）、繪智梅（S83）四人，看完題目後下筆就先畫(huà)圖表徵問(wèn)題（見(jiàn)圖1），4個(gè)個(gè)案的解題策略與筆試相似。不過(guò)四人的解題表現(xiàn)不同，繪智高（S34）、繪智強(qiáng)（S59）解題成功，而繪智平（S23）、繪智梅（S83）解題失敗。4個(gè)個(gè)

24、案表示透過(guò)畫(huà)圖可以較清楚題目的意思，並且可以掌握解題重要的關(guān)鍵部分。繪智強(qiáng)（S59）更清楚地說(shuō)透過(guò)圖可觀察到像第二次用去繩子的部分，一邊少10公尺另一邊多10公尺，一般人會(huì)因一半減10公尺而用加10公尺，其實(shí)應(yīng)該減10公尺。觀察他們四人的圖畫(huà)表徵，除了繪智梅是以一條線段表徵問(wèn)題外，其餘三人都是將三次用去情形分開(kāi)逐段表徵。解題失敗的繪智平（S23）解釋其做法：第3次用去15公尺加上剩下7公尺是22公尺，這是第二次（遲疑了2秒），對(duì)，是第二次的，22是第二次的一半，所以求第二次的全長(zhǎng)要乘以2，然後一半又多3公尺，所以要把3公尺剪掉，就是41，然後再乘以2，也就是跟剛一樣的一半，就得82。這個(gè)題目繪

25、智平解題錯(cuò)誤。繪智高（S34）繪智強(qiáng)（S59）繪智平（S23）繪智梅（S83）圖1 第一題個(gè)案解題原案研究者發(fā)現(xiàn)繪智平一開(kāi)始就畫(huà)圖，且圖畫(huà)表徵與繪智高（S34）相似，畫(huà)三條線分別表示三次用去情形（見(jiàn)圖1），但解題卻未能成功，進(jìn)一步瞭解其錯(cuò)誤原因。I：你算完會(huì)檢查嗎？ S：我沒(méi)有這種習(xí)慣？I：為什麼？S：會(huì)浪費(fèi)時(shí)間，而且平常算就要算對(duì)，就不用檢查。I：你怎麼知道你是算對(duì)的？S：只要算過(guò)去就好了。繪智平認(rèn)為有算出答案就不用浪費(fèi)時(shí)間檢查。研究者告訴他現(xiàn)在不是考試，不趕時(shí)間，試著檢查看看，然而他表示學(xué)校老師及補(bǔ)習(xí)班老師雖偶而會(huì)提起檢查，但沒(méi)有說(shuō)明檢查的方法。他認(rèn)為檢查就是重頭再算一次，於是重讀題目，並

26、看一下圖，發(fā)現(xiàn)前面的做法漏掉第一次用去剩下的一半少10公尺之10公尺部份，於是喃喃自語(yǔ)地表示一半少10公尺（遲疑一下），是加還是減？我想想看（停頓2秒），應(yīng)該是加，後來(lái)寫(xiě)下算式【221032,32264,64361,612122】。研究者發(fā)現(xiàn)該生在思考一半少10公尺應(yīng)如何計(jì)算時(shí)，並沒(méi)有對(duì)照所畫(huà)之圖思考，而是在腦海分析，此想法也得到他的證實(shí)，故研究者建議繪智平對(duì)照著圖做做看，後來(lái)由圖一歩一歩觀察及運(yùn)算，繪智平頓悟之前的錯(cuò)誤。研究者認(rèn)為繪智平（S23）解題失敗的原因主要解題過(guò)程沒(méi)有運(yùn)配合用圖思考，畫(huà)圖只是瞭解題目意思及找出解題的程序，但在解題過(guò)程中並沒(méi)有利用圖或?qū)φ請(qǐng)D分析思考，純粹用語(yǔ)言推理分析，

27、而逆推時(shí)受關(guān)鍵字多少干擾，所以無(wú)法正確解題。另一個(gè)解題失敗者繪智梅（S83）是畫(huà)一條線表示三次用去情形（見(jiàn)圖1）。I：請(qǐng)告訴我你第一題的做法。S：我是從後面往前推，剩下7公尺和第三次用的15公尺加起來(lái)22公尺，我看圖22是剩下的一半多10，所以22減10就是12這一段（指著圖），這一段是它（全長(zhǎng)）的四分之一，所以就乘以4，得到48。I：（指著圖）這一段為什麼是它的四分之一？S：（指著圖）因?yàn)橐婚_(kāi)始用它的一半，後又用它的一半到這一邊（12公尺長(zhǎng)的位置），所以就這樣。研究者發(fā)現(xiàn)繪智梅按照題目意思，一條繩子就畫(huà)一條線，然後依序畫(huà)出三次用去情形，其圖是符合題目敘述的，但把三個(gè)層次之部分-整體關(guān)係表徵在

28、同一線段，使這些關(guān)係看起來(lái)更複雜，導(dǎo)致她推論分析錯(cuò)誤，所以解題失敗。此種情形也出現(xiàn)在筆試時(shí)，雖然繪智梅知道逆推回去求解，但其圖畫(huà)表徵並不恰當(dāng)。故研究者建議她用不一樣的圖畫(huà)表徵問(wèn)題，但繪智梅不太瞭解研究者的意思，所以研究者提示將三次用去的情形分開(kāi)畫(huà)，不一定只畫(huà)一條線，於是繪智梅重畫(huà)三條線，依序表示第一次、第二次、第三次用去情形（見(jiàn)圖1重做之圖），依此圖再次解題。研究者發(fā)現(xiàn)她改變了圖畫(huà)表徵內(nèi)容就解題成功了。後來(lái)她也告訴研究者，把各次用去情形分開(kāi)畫(huà)的圖比較清楚，也比較不會(huì)亂掉，像之前所畫(huà)的圖就讓她沒(méi)注意第一次多3公尺。因此繪智梅（S83）這題解題失敗的原因主要在圖畫(huà)表徵的問(wèn)題，她的圖畫(huà)表徵雖正確但不

29、恰當(dāng)，使其遺漏了關(guān)鍵訊息（第一次多3公尺），造成分析錯(cuò)誤而解題失敗。二、第二題書(shū)架問(wèn)題題目：一個(gè)書(shū)架分為上、中、下三層，總共放有160本書(shū)。圖書(shū)館義工從上層移動(dòng)15本到下層，且將中層1/3的書(shū)淘汰拿掉，結(jié)果上層與中層的書(shū)本數(shù)相同，而下層的書(shū)本數(shù)是上層的1.5倍，請(qǐng)問(wèn)原來(lái)上、中、下三層各有幾本書(shū)？（上55本、中60本、下45本）繪智強(qiáng)（S59）、繪智平（S23）、繪智梅（S83）三人，看完題目後下筆就先畫(huà)圖表徵問(wèn)題（見(jiàn)圖2）；繪智高（S34）開(kāi)始直接列算式，但算不出，所以改用畫(huà)圖方法。結(jié)果繪智高（S34）、繪智強(qiáng)（S59）二人解題成功；繪智平（S23）、繪智梅（S83）二人解題失敗。在此題研究者

30、發(fā)現(xiàn)個(gè)案畫(huà)圖的方法不太一樣，繪智高（S34）、繪智強(qiáng)（S59）表示畫(huà)圖是為了瞭解各層書(shū)量有幾等分與差的關(guān)係，所以圖要盡量畫(huà)得標(biāo)準(zhǔn)，否則容易誤導(dǎo)；故畫(huà)圖時(shí)，先把題目看完，再把一等份的地方畫(huà)出來(lái)，慢慢畫(huà)其他等分的地方。而繪智強(qiáng)（S59）說(shuō)畫(huà)這個(gè)圖，如果照題目順序畫(huà)很麻煩，關(guān)係太複雜的時(shí)候，若先畫(huà)原來(lái)的上層再移走15，接著畫(huà)會(huì)比較不準(zhǔn)，所以先從下面往上看，1.5倍就是3倍，然後畫(huà)中層2/3是2倍，上層也一樣，然後多畫(huà)虛線代表移給下層15本，然後中層加1倍，就是拿掉的1/3。研究者認(rèn)為他們會(huì)注意畫(huà)圖的方法，且重視圖示的關(guān)係比例，因此其圖能呈現(xiàn)解題關(guān)鍵，這對(duì)解題是有相當(dāng)助益的。相對(duì)地，繪智平（S23）說(shuō)

31、畫(huà)圖的方法是照題目的敘述一句一句直接畫(huà)出，因此他只畫(huà)出各層書(shū)量改變情形，卻無(wú)法顧及各層之間的數(shù)量關(guān)係。繪智梅（S83）亦表示畫(huà)圖是想找出各層書(shū)量的倍數(shù)關(guān)係，不過(guò)她所畫(huà)的三條線段等長(zhǎng)，她告訴研究者上層與中層的書(shū)量原來(lái)是一樣的，因此畫(huà)圖表徵問(wèn)題時(shí)，將三層畫(huà)得等長(zhǎng)；也就是說(shuō)繪智梅（S83）在圖畫(huà)表徵前，已經(jīng)對(duì)問(wèn)題添加了自己的詮釋。繪智高（S34）繪智強(qiáng)（S59）繪智平（S23）繪智梅（S83）圖2 第二題個(gè)案解題原案研究者認(rèn)為繪智平（S23）畫(huà)圖解題失敗原因是其畫(huà)圖方式不當(dāng)，他想用畫(huà)圖方法找到三層有連貫性的東西，但他無(wú)法整合上、中、下三層的關(guān)係發(fā)現(xiàn)解題線索，因?yàn)樗a(chǎn)生圖畫(huà)表徵的方式是按照題目之?dāng)⑹鲆?/p>

32、句一句的轉(zhuǎn)譯，且只畫(huà)出各層書(shū)量改變情形，沒(méi)有顧及各層之間的數(shù)量關(guān)係，所以畫(huà)完後，有些線段比例關(guān)係就不符合題目條件，故無(wú)法產(chǎn)生算式解題。後來(lái)雖然改用代數(shù)式解法，但其運(yùn)算概念不正確，因此不算解題成功。繪智梅（S83）解題失敗的原因主要在圖畫(huà)表徵前，已經(jīng)對(duì)問(wèn)題添加了自己的詮釋，因此畫(huà)出代表上、中、下三層的線段等長(zhǎng)；也因一開(kāi)始的想法不對(duì)，所以利用圖思考解題程序時(shí)不能有正確的推論分析，雖然知道要找出各層書(shū)量的倍數(shù)關(guān)係，但思考目標(biāo)專注於各層改變情形的線段標(biāo)示，使得解題失敗。經(jīng)研究者的提示，由各線段的前段來(lái)思考各層倍數(shù)關(guān)係，就發(fā)現(xiàn)之前所做的假設(shè)想法錯(cuò)誤。三、綜合討論由四個(gè)個(gè)案解決2個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程分析，發(fā)現(xiàn)

33、學(xué)生解題過(guò)程及策略的運(yùn)用是非常不同的，故解題表現(xiàn)也有很大的差異。接著以三個(gè)解題階段來(lái)說(shuō)明他們解題過(guò)程的差異：（一）在表徵問(wèn)題階段四個(gè)個(gè)案，繪智高（S34）、繪智強(qiáng)（S59）、繪智平（S23）、繪智梅（S83）常用圖畫(huà)表徵問(wèn)題，在進(jìn)行解題，他們雖然利用同一表徵型式圖畫(huà)，但其表徵內(nèi)容是不一樣的。解題成功的學(xué)生，像繪智高（S34）、繪智強(qiáng)（S59）在畫(huà)圖之前能整合問(wèn)題訊息，所畫(huà)的圖能呈現(xiàn)解題關(guān)鍵與線索，故圖畫(huà)表徵的恰當(dāng)性與正確性均優(yōu)於解題失敗者；解題失敗的學(xué)生，像繪智平（S23）其圖畫(huà)表徵內(nèi)容有些不符合題目訊息其比例關(guān)係不對(duì)，所以不能從圖中獲得有益解題的線索；而繪智梅（S83）的圖畫(huà)表徵內(nèi)容不恰當(dāng)，

34、她對(duì)於有部分-整體關(guān)係的問(wèn)題，習(xí)慣以一條線表徵所有不同的關(guān)係，使其無(wú)法正確的分析推理，還有畫(huà)圖前對(duì)問(wèn)題已有不對(duì)的詮釋，因此其圖畫(huà)表徵內(nèi)容不利於解題。圖畫(huà)表徵的正確性和學(xué)生形成圖畫(huà)表徵的方法有關(guān)，解題成功的學(xué)生繪智高（S34）、繪智強(qiáng)（S59）知道如何畫(huà)才能使圖清楚明確，他們先畫(huà)出各量關(guān)係的等分及基準(zhǔn)部分，能使各關(guān)係表徵有連貫與一致性，故所產(chǎn)生的圖畫(huà)表徵內(nèi)容較能完全符合題目陳述且比例正確；解題失敗的學(xué)生如繪智平（S23）大都直接轉(zhuǎn)譯問(wèn)題的各句陳述，因此圖畫(huà)表徵不能連貫所有的條件，因此圖畫(huà)表徵不易呈現(xiàn)解題關(guān)鍵。故在此階段可發(fā)現(xiàn)，不同解題正確率學(xué)生在圖畫(huà)表徵的形成與圖畫(huà)表徵的內(nèi)容是有差異的。（二）在

35、解決問(wèn)題階段解題成功的學(xué)生，像繪智高（S34）、繪智強(qiáng)（S59）會(huì)用所產(chǎn)生的圖畫(huà)表徵思考解題程序，對(duì)圖做細(xì)微的觀察，發(fā)現(xiàn)可解答的線索，並配合著圖，確定計(jì)算進(jìn)度及所算是否正確；但解題失敗的學(xué)生如繪智平（S23）只是畫(huà)圖瞭解題意，雖然其圖畫(huà)表徵正確，不過(guò)在解決問(wèn)題時(shí)沒(méi)有利用圖對(duì)照運(yùn)算，且語(yǔ)言推理分析受其他因素干擾，以致於不能正確解題。故在此階段可發(fā)現(xiàn)，不同解題正確率學(xué)生對(duì)於圖畫(huà)表徵的運(yùn)用是有差異的。（三）在評(píng)估解答階段解題成功的學(xué)生像，繪智強(qiáng)（S59），做完題目一定會(huì)驗(yàn)算其答是否符合題目的各條件；解題失敗的學(xué)生，如繪智平（S23）、繪智梅（S83），他們雖然完成解題，不過(guò)都沒(méi)有回顧檢驗(yàn)其答案，有的

36、還有正確的圖畫(huà)表徵，像繪智平（S23）的繩子問(wèn)題的圖與繪智高（S34）、繪智強(qiáng)（S59）相似，但其答案錯(cuò)誤全然沒(méi)有察覺(jué)。繪智平（S23）、繪智梅（S83）說(shuō)沒(méi)有習(xí)慣也沒(méi)有必要檢查，繪智平（S23）更表示老師沒(méi)有說(shuō)檢查的方法，所以他不知如何檢驗(yàn)，由此顯示解題失敗的學(xué)生解題過(guò)程比較缺乏最後的評(píng)估與反省的步驟。故在此階段可發(fā)現(xiàn)，不同解題正確率學(xué)生在評(píng)估解答方面是有差異的。伍、研究結(jié)論與建議本研究主要透過(guò)參加2003年亞太區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹亞競(jìng)賽臺(tái)灣區(qū)初賽錄取學(xué)生（120名）中選取4名學(xué)生進(jìn)行半結(jié)構(gòu)性晤談，旨在探討國(guó)小數(shù)學(xué)資優(yōu)生運(yùn)用畫(huà)圖策略解題但不同解題正確率者的解題過(guò)程差異。本節(jié)茲將研究的主要發(fā)現(xiàn)歸納

37、成結(jié)論，並依據(jù)研究結(jié)果提出建議。一、結(jié)論國(guó)小數(shù)學(xué)資優(yōu)生解題運(yùn)用不同的解題策略，因而有不同的解題表現(xiàn)，但用同一種解題策略也有不同的解題表現(xiàn)。四個(gè)個(gè)案筆試5題都用了畫(huà)圖策略，但他們的解題表現(xiàn)差異很大，有的人解題正確5題，有的人只答對(duì)1題，他們解題過(guò)程畫(huà)圖策略運(yùn)用是否有差異？答案是肯定的。經(jīng)由個(gè)別訪談資料分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)運(yùn)用畫(huà)圖策略之高、低正確率者的解題過(guò)程差異可分為四個(gè)方面來(lái)說(shuō)：（一）圖畫(huà)表徵的內(nèi)容差異（二）圖畫(huà)表徵的形成差異（三）圖畫(huà)表徵的運(yùn)用差異（四）評(píng)估解答的差異。（一）圖畫(huà)表徵的內(nèi)容差異學(xué)生透過(guò)圖畫(huà)表徵協(xié)助解題思考，其先決條件是圖畫(huà)表徵正確且適當(dāng)，才能發(fā)揮輔助功用，反之，錯(cuò)誤及不當(dāng)?shù)膱D畫(huà)表徵

38、則無(wú)助於觀察推理。本研究發(fā)現(xiàn)高、低解題正確率學(xué)生的圖畫(huà)表徵的內(nèi)容是有差異的，高解題正確率的學(xué)生如繪智高（S34）、繪智強(qiáng)（S59）兩人所畫(huà)的圖之內(nèi)容較為正確且恰當(dāng)，他們根據(jù)問(wèn)題的條件敘述畫(huà)出合乎比例關(guān)係的線段圖，並且清楚的標(biāo)示數(shù)據(jù)數(shù)量關(guān)係，由圖畫(huà)表徵即可看到解題的關(guān)鍵，因此常能解題成功。而低解題正確率的學(xué)生如繪智平（S23）其圖畫(huà)表徵常常不合乎比例、有時(shí)標(biāo)示不清，因此無(wú)法從圖中找到解題的線索，所以常畫(huà)了圖就沒(méi)有任何計(jì)算紀(jì)錄。繪智梅（S83）則是圖畫(huà)表徵不恰當(dāng)及不正確，尤其處理有部分-整體關(guān)係之問(wèn)題時(shí)，繪智梅習(xí)慣以一條線段來(lái)表徵這些關(guān)係，這樣的圖畫(huà)表徵使各數(shù)量關(guān)係看起來(lái)更複雜，且容易遺漏了關(guān)鍵訊

39、息；另外在集合問(wèn)題時(shí)以一條線段表徵四種可能情形並不明確，這些不當(dāng)表徵造成解題失敗。（二）圖畫(huà)表徵的形成差異圖畫(huà)表徵的正確性與學(xué)生如何形成產(chǎn)生圖畫(huà)表徵有關(guān)，且如何形成問(wèn)題的表徵也是解題過(guò)程很重要的步驟。Mayer(1987；林清山譯，民79)認(rèn)為問(wèn)題表徵包含問(wèn)題轉(zhuǎn)譯與問(wèn)題整合兩個(gè)步驟，如果解題者只是針對(duì)問(wèn)題陳述一個(gè)句子一個(gè)句子的轉(zhuǎn)譯，沒(méi)有整合這些訊息形成連貫一致的表徵，容易導(dǎo)致解題失敗。本研究發(fā)現(xiàn)高、低解題正確率學(xué)生形成圖畫(huà)表徵的過(guò)程及方法是有差異的。高解題正確率的學(xué)生如繪智高（S34）表示畫(huà)圖的方法是先把題目看完，再把一等份的地方畫(huà)出來(lái)，慢慢畫(huà)其他等分的地方，繪智強(qiáng)（S59）表示有些題目照題目

40、敘述依序畫(huà)，但有些題目關(guān)係複雜照題目順序畫(huà)很麻煩。兩人在產(chǎn)生圖畫(huà)表徵前，會(huì)掌握?qǐng)D畫(huà)重點(diǎn)，確認(rèn)各數(shù)量間的等分及相差關(guān)係，並找出比較容易畫(huà)的方法，先畫(huà)一個(gè)基準(zhǔn)量，依此量再畫(huà)出其餘各數(shù)量長(zhǎng)度，因此其圖畫(huà)比較清楚且大小長(zhǎng)度比例準(zhǔn)確；也就是說(shuō)高解題正確率者，在形成圖畫(huà)表徵時(shí)，不是直接轉(zhuǎn)譯題目陳述，他們會(huì)先整合相關(guān)條件，確定找出各數(shù)量的倍數(shù)或等分關(guān)係，因此畫(huà)圖時(shí)會(huì)對(duì)照之前所畫(huà)，使整個(gè)圖有連貫性及一致性。低解題正確率學(xué)生表示畫(huà)圖時(shí)直接轉(zhuǎn)譯問(wèn)題的訊息即可，如繪智平（S23）是按照題目之所說(shuō)一句一句的轉(zhuǎn)譯，所以畫(huà)完後，有些線段比例關(guān)係就不符合題目條件，也就是說(shuō)單獨(dú)看各線段是合乎題目敘述，但如果把各關(guān)係整合起來(lái)，

41、部分圖畫(huà)內(nèi)容是不符合題目條件，所以繪智平（S23）表示其圖看不出連貫性；而繪智梅（S83）是讀完題目後，對(duì)問(wèn)題添加自己的詮釋，因此其圖畫(huà)表徵有題目中沒(méi)有之?dāng)⑹雠c不正確的數(shù)量關(guān)係。故低解題正確率者不當(dāng)詮釋問(wèn)題及直接轉(zhuǎn)譯問(wèn)題的方法，致使其圖畫(huà)表徵不正確。（三）圖畫(huà)表徵的運(yùn)用差異本研究發(fā)現(xiàn)運(yùn)用圖畫(huà)表徵策略高、低解題正確率學(xué)生，不僅在圖畫(huà)表徵的內(nèi)容與形成圖畫(huà)表徵的方法有差異，在問(wèn)題解決階段，對(duì)圖畫(huà)表徵的運(yùn)用也有差異。高解題正確率學(xué)生除了藉由圖畫(huà)瞭解題目的意思或找出解題的關(guān)鍵外，在運(yùn)算過(guò)程會(huì)配合圖，確定計(jì)算進(jìn)度及檢驗(yàn)所算是否正確，也就是說(shuō)高解題正確率學(xué)生不僅利用圖理解題意，分析解題程序，且運(yùn)算時(shí)配合圖思

42、考，並能應(yīng)用圖監(jiān)控解題運(yùn)作。但低解題正確率學(xué)生對(duì)於圖的利用不如高解題正確率學(xué)生，像繪智平（S23）在解決繩子問(wèn)題時(shí)其圖畫(huà)表徵與繪智高（S34）、繪智強(qiáng)（S59）相似，該生正確且恰當(dāng)?shù)乇磲珙}意且呈現(xiàn)解題線索，但仍解題失敗，因?yàn)樗诮忸}過(guò)程中並沒(méi)有利用圖或?qū)φ請(qǐng)D分析思考，純粹用語(yǔ)言推理分析。後來(lái)研究者建議該生對(duì)照?qǐng)D再解題一次，就能成功解題。（四）評(píng)估解答的差異許多解題研究（楊瑞智，民83；劉貞宜，民89；謝淡宜，民88）發(fā)現(xiàn)學(xué)生不會(huì)回顧及評(píng)估解答的正確性與合理性，尤其低解題能力者。在本研究亦發(fā)現(xiàn)運(yùn)用圖畫(huà)表徵策略高、低解題正確率學(xué)生在評(píng)估解答階段是有差異的。高解題正確率學(xué)生求出答案後會(huì)將答案帶回題目

43、或配合圖檢驗(yàn)，有的還不只驗(yàn)算一次，如繪智強(qiáng)（S59）；但低解題正確率學(xué)生完成解題後，都沒(méi)有回顧檢驗(yàn)其答案的動(dòng)作，雖然他們的圖畫(huà)表徵正確，但算出答案錯(cuò)誤全然沒(méi)有察覺(jué)，他們表示沒(méi)有習(xí)慣也沒(méi)有必要檢查，有的還不知如何檢驗(yàn)。二、建議根據(jù)本研究的結(jié)論，提出一些建議，提供教師數(shù)學(xué)解題教學(xué)及未來(lái)研究之參考。（一）對(duì)國(guó)小數(shù)學(xué)畫(huà)圖策略解題教學(xué)的建議研究者過(guò)去有這樣的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題碰到困難時(shí)，建議他們用畫(huà)圖策略試試看，有的學(xué)生透過(guò)畫(huà)圖解決其困難，但有的學(xué)生仍無(wú)法成功解題，甚至不知如何畫(huà)圖，因此無(wú)法得到協(xié)助。本研究發(fā)現(xiàn)不知如何畫(huà)圖的學(xué)生是因?yàn)闆](méi)有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，且運(yùn)用畫(huà)圖解題的成效，還要端視學(xué)生如何畫(huà)圖及圖畫(huà)表徵的

44、內(nèi)容，與如何運(yùn)用圖示，因此研究建議教師讓學(xué)生有畫(huà)圖解題的經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)，而進(jìn)行畫(huà)圖策略解題訓(xùn)練時(shí)應(yīng)包含三個(gè)重點(diǎn)：1. 確認(rèn)適當(dāng)?shù)膱D畫(huà)表徵學(xué)生以畫(huà)圖策略協(xié)助解題，不管是應(yīng)用於理解問(wèn)題或擬定解題計(jì)畫(huà)，都要產(chǎn)生正確與適切的圖畫(huà)表徵才有助於解題，故教師教學(xué)時(shí)有必要讓學(xué)生先確認(rèn)何種圖畫(huà)表徵較恰當(dāng)，是畫(huà)線段圖或集合圖，還是平面圖或立體圖，甚至以線段圖為例，還可更深入分析一條線或多條線表徵何者為佳。另外每一個(gè)學(xué)生對(duì)圖像的理解不同，因此教師進(jìn)行圖畫(huà)表徵策略解題教學(xué)，應(yīng)利用多樣化的的圖畫(huà)表徵型式，以增進(jìn)學(xué)生對(duì)圖像的理解與運(yùn)用。2. 形成圖畫(huà)表徵的技巧指導(dǎo)圖畫(huà)表徵的正確性影響解題，而解題者如何形成圖畫(huà)表徵則關(guān)係其圖畫(huà)

45、表徵的正確與否。本研究發(fā)現(xiàn)解題成功者的畫(huà)圖方法是不同於解題失敗者，成功者不只是按照題目訊息表徵，會(huì)先確定題目中各數(shù)量關(guān)係的基準(zhǔn)及等份關(guān)係，並照基準(zhǔn)依序畫(huà)出各量，還有會(huì)判斷從結(jié)果先畫(huà)或從開(kāi)始情況來(lái)表徵；有的問(wèn)題如果直接轉(zhuǎn)譯題目敘述，通常較不易畫(huà)出符合各種數(shù)量關(guān)係的圖。因此如何畫(huà)出正確且可呈現(xiàn)解題關(guān)鍵的圖是需要指導(dǎo)的。3. 圖畫(huà)表徵的運(yùn)用指導(dǎo)畫(huà)圖不只是瞭解題意，如何運(yùn)用圖畫(huà)表徵在整個(gè)解題階段，教師應(yīng)明確說(shuō)明，例如學(xué)生怎樣觀察圖畫(huà)表徵發(fā)現(xiàn)解題關(guān)鍵，或者運(yùn)算過(guò)程經(jīng)常對(duì)照?qǐng)D監(jiān)控解題程序，以及利用圖檢驗(yàn)答案的正確性等，使圖畫(huà)表徵發(fā)揮解題輔助效能。誠(chéng)如蕭見(jiàn)文（民85）在文章中提到有效的策略教學(xué)通常是奠基於述

46、說(shuō)清楚的訓(xùn)練。故教師指導(dǎo)學(xué)生用畫(huà)圖方法解題時(shí)，應(yīng)明確具體的示範(fàn)或討論分析。（二）未來(lái)研究的建議對(duì)於本研究之不足之處，提供給未來(lái)對(duì)此主題有興趣的研究者一些參考意見(jiàn)。1.研究對(duì)象方面本研究之對(duì)象是針對(duì)參加2003年亞太區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹亞競(jìng)賽臺(tái)灣區(qū)初賽錄取學(xué)生，限於研究者個(gè)人的能力與時(shí)間，僅能做初步的調(diào)查研究，及對(duì)少數(shù)學(xué)生進(jìn)行較為深入的訪談，研究結(jié)果無(wú)法做大範(fàn)圍的推廣。故建議後續(xù)的研究可增加晤談人數(shù)，使研究結(jié)果更具代表性；亦可擴(kuò)大研究對(duì)象，例如增加一般生，可與資優(yōu)生互相對(duì)照兩者在解題策略運(yùn)用的情形與差異，使研究更具普遍性，也增加研究廣度。2.研究?jī)?nèi)容方面本研究發(fā)現(xiàn)學(xué)生所產(chǎn)生的圖畫(huà)表徵是不同的，也有不

47、同的解題成效；這顯示學(xué)生畫(huà)圖表徵問(wèn)題有個(gè)別差異存在。為什麼同一個(gè)問(wèn)題學(xué)生會(huì)有不同的圖畫(huà)表徵，問(wèn)題的圖畫(huà)表徵與學(xué)生的語(yǔ)文理解能力或?qū)W習(xí)經(jīng)驗(yàn)有關(guān)嗎？或受到什麼因素影響？是值得後續(xù)研究進(jìn)一歩探討。3.研究方法方面本研究採(cǎi)用一對(duì)一半結(jié)構(gòu)性晤談的方式探究學(xué)生的解題策略的運(yùn)用，事前雖擬定了晤談大綱，也進(jìn)行晤談前練習(xí)，但在整理分析晤談資料時(shí)仍有一些不足和不夠詳盡之處，尤其針對(duì)不善表達(dá)學(xué)生如何引導(dǎo)說(shuō)明其想法，及如何發(fā)問(wèn)使受訪者明瞭訪談?wù)咭馑?，及避免誘導(dǎo)及暗示受訪者的回答等，都是訪談?wù)唔毺貏e注意之處。因此後續(xù)研究若採(cǎi)用晤談方法時(shí)，晤談前的計(jì)劃與練習(xí)是訪談?wù)唔氈茉斠?guī)劃與推演的重點(diǎn)，如此資料的獲得才不會(huì)有遺珠之憾。

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