1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學競賽（07-11年）試題分類匯總立體幾何一、選擇題1. （07全國）正四棱錐PABCD中，APC=60°，則二面角APBC平面角余弦值為（ B ）A. B. C. D. 解：如圖，在側面PAB內，作AMPB，垂足為M。連結CM、AC，則AMC為二面角APBC的平面角。不妨設AB=2，則，斜高為，故，由此得。在AMC中，由余弦定理得。2. （08全國）若三個棱長均為整數(shù)（單位：cm）的正方體的表面積之和為564 cm2，則這三個正方體的體積之和為 （ A ）A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3或564 cm3

2、 D. 586 cm3解 設這三個正方體的棱長分別為，則有，不妨設，從而，故只能取9，8，7，6若，則，易知，得一組解若，則，但，從而或5若，則無解，若，則無解此時無解若，則，有唯一解，若，則，此時，故，但，故，此時無解綜上，共有兩組解或體積為cm3或cm33.（08江蘇）設a，b是夾角為30°的異面直線，則滿足條件“，且”的平面， 答： D A. 不存在 B. 有且只有一對 C. 有且只有兩對 D. 有無數(shù)對解 任作a的平面，可以作無數(shù)個. 在b上任取一點M，過M作的垂線. b與垂線確定的平面垂直于. 選D.4.（08湖南）連結球面上兩點的線段稱為球的弦. 半徑為4的球的兩條弦AB

3、、CD的長度分別等于和，、分別為、的中點，每兩條弦的兩端都在球面上運動，有下面四個命題：弦、可能相交于點 弦、可能相交于點的最大值為5 的最小值為1其中真命題為（ ）A. B. C. D.解答：假設、相交于點，則、共面，所以、四點共圓，而過圓的弦的中點的弦的長度顯然有，所以是錯的容易證明，當以為直徑的圓面與以為直徑的圓面平行且在球心兩側時，最大為，故對當以為直徑的圓面與以為直徑的圓面平行且在球心同側時，最小為1，故對.顯然是對的顯然是對的.故選5.（08江西）四面體的六條棱長分別為，且知，則 .、； 、； 、； 、答案：.解：四面體中，除外，其余的棱皆與相鄰接，若長的棱與相鄰，不妨設，據(jù)構成三

4、角形條件，可知，于是中，兩邊之和小于第三邊，矛盾。6.（08浙江）圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點，動點P在圓錐底面內（包括圓周）。若AMMP，則P點形成的軌跡的長度為（ B ）A. B. C. 3 D.7.（10浙江）在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=BB1，則CA1與C1B所成的角的大小是( C )A60° B75° C90° D105°解答：C。建立空間直角坐標系，以所在的直線為軸，在平面上垂直于 的直線為軸，所在的直線為軸。則，。8.（11浙江）設有一立體的三視圖如下，則該立體體積為（ A ）2231

5、221 22 正視圖 側視圖 俯視圖（圓和正方形）A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+解答：該幾何體是一個圓柱與一個長方體的組成，其中重疊了一部分（），所以該幾何體的體積為。正確答案為A。二、填空題1.（07全國）已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，以頂點A為球心，為半徑作一個球，則球面與正方體的表面相交所得到的曲線的長等于_。解：如圖，球面與正方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一類在不過頂點A的三個面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上。在面AA1B1B上，交線為弧E

6、F且在過球心A的大圓上，因為，AA1=1，則。同理，所以，故弧EF的長為，而這樣的弧共有三條。在面BB1C1C上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，此時，小圓的圓心為B，半徑為，所以弧FG的長為。這樣的弧也有三條。于是，所得的曲線長為。2.（08全國）一個半徑為1的小球在一個內壁棱長為的正四面體容器內可向各個方向自由運動，則該小球永遠不可能接觸到的容器內壁的面積是 解 如答12圖1，考慮小球擠在一個角時的情況，記小球半徑為，作平面/平面，與小球相切于點，則小球球心為正四面體的中心，垂足為的中心因答12圖1 ，故，從而記此時小球與面的切點為，連接，則考慮小球與正四面體的一個

7、面(不妨取為)相切時的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，記為，如答12圖2記正四面體的棱長為，過作于答12圖2 因，有，故小三角形的邊長小球與面不能接觸到的部分的面積為（如答12圖2中陰影部分） 又，所以由對稱性，且正四面體共4個面，所以小球不能接觸到的容器內壁的面積共為3.（09湖北）已知正方體的棱長為1，O為底面ABCD的中心，M，N分別是棱A1D1和CC1的中點則四面體的體積為4.（10全國）正三棱柱的9條棱長都相等，是的中點，二面角,則 .解：如圖， .設與交于點 則 .從而平面 .過在平面上作,垂足為.連結,則為二面角的平面角.設,則易求得.在直角中，,即 .又 .5.（08河北）在三棱錐中，則三棱錐體積的最大值為 答案：.解：設，根據(jù)余弦定理有，故，由于棱錐的高不超過它的側棱長，所以.事實上，取，且時，可以驗證滿足已知條件，此時，棱錐體積可以達到最大6.（08江西）四面體中，面與面成的二面角，頂點在面上的射影是的垂心，是的重心，若，則 答案：解：設面交于，則因，故在上，且，于是，在三角形中，由余弦定理得7（11浙江）直三棱柱，底面是正三角形，P，E分別為，上的動點（含端點），D為BC邊上的中點，且。則直線的夾角為_。解答：因為平面ABC平面，ADBC，所以A