1、 “三維”數(shù)學(xué)課堂 關(guān)于數(shù)學(xué)“好課”的思考 上海市桃李園實(shí)驗(yàn)學(xué)校 戚元彬在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，發(fā)展思維能力是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的核心。數(shù)學(xué)課的最大特點(diǎn)是思維性。判斷一節(jié)數(shù)學(xué)課是否是“好課”？我認(rèn)為應(yīng)分析這節(jié)課的“三維”性如何。這里說的“三維”是指：啟動思維、主動思維、互動思維。啟動思維簡捷科學(xué)、主動思維真實(shí)高效、互動思維情感碰撞的數(shù)學(xué)課應(yīng)該是“好課”。這也是我們研究數(shù)學(xué)課的方向。“三維”是“我要學(xué)”數(shù)學(xué)課堂特點(diǎn)的概括。素質(zhì)是人的品格特征的深層內(nèi)涵，教育只有通過內(nèi)化才能轉(zhuǎn)化為學(xué)生個體的素質(zhì)。因此，在教學(xué)過程中充分發(fā)揮學(xué)生主體作用是實(shí)施素質(zhì)教育的重要條件，也是素質(zhì)教育發(fā)展的實(shí)質(zhì)體現(xiàn)。實(shí)施素質(zhì)教育，要強(qiáng)調(diào)學(xué)生

2、是學(xué)習(xí)的主人。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生主動參與，積極思考，敢于相互交流，充分調(diào)動學(xué)生的主動性、積極性和創(chuàng)造性，變被動接受的“要我學(xué)”為主動進(jìn)取的“我要學(xué)”。在這種“我要學(xué)”數(shù)學(xué)課堂中，啟動思維是實(shí)現(xiàn)“我要學(xué)”的首要條件，是順利完成主動思維的重要保證；而主動思維是“我要學(xué)”的中心內(nèi)容，是學(xué)生真正意義的學(xué)習(xí)，是發(fā)揮學(xué)生主動性的重要體現(xiàn)；互動思維有利于將數(shù)學(xué)課堂推向高潮，有利于培養(yǎng)學(xué)生的競爭意識、合作意識及創(chuàng)新精神，互動思維讓課堂真正成為師生思維碰撞、師生共同進(jìn)步的公共空間。一 啟動思維蘇霍姆林斯基曾說：如果教師不想方設(shè)法使學(xué)生產(chǎn)生情緒高昂和智力振奮的內(nèi)心狀態(tài)，就急于傳授知識，那么這種知識只能使人

3、產(chǎn)生冷漠的態(tài)度，而不動情感的腦力勞動就會帶來疲倦。啟動思維，就是在教師的科學(xué)引導(dǎo)下，在很短的時間內(nèi)，使所有的學(xué)生集中注意和精力，使學(xué)生對要學(xué)的內(nèi)容產(chǎn)生一種強(qiáng)烈的求知欲望。啟動思維，一般用于一節(jié)課的開始或講解新知識的開始。啟動思維的實(shí)施程序?yàn)椋杭凶⒁庖龑?dǎo)興趣激發(fā)思維?？茖W(xué)地啟動思維，點(diǎn)燃了學(xué)生思維的火花，進(jìn)一步為學(xué)生主動思維奠定了良好的基礎(chǔ)。例1，在教“不在一條直線上的三點(diǎn)確定一個圓”時，教師先發(fā)給學(xué)生每人一個破碎了的圓形硬紙片，教師在導(dǎo)入時說：“同學(xué)們拿到的是一臺機(jī)器上的破碎了的皮帶輪對應(yīng)的圓形紙片。現(xiàn)在請同學(xué)們發(fā)揮自己的聰明才智，比一比誰能最快地利用這個硬紙片幫助配制一個同樣大小的皮帶輪，

4、使機(jī)器盡快地恢復(fù)運(yùn)轉(zhuǎn)”。同學(xué)們立即行動起來，有的用量角器、圓規(guī)比比畫畫，一段弧一段弧地連接，有的幾個人在一起把各自的碎片拿來拼湊，學(xué)生順利進(jìn)入主動思維的情境之中。通過創(chuàng)設(shè)情境啟動思維，學(xué)生的思維完全被激活了。例2，在教“用拆添項(xiàng)法分解因式”時，首先提出如何將分解因式的問題，要求學(xué)生板演。學(xué)生中出現(xiàn)兩種解法：解法1：解法2：兩種解法得到了不同的結(jié)果，引起學(xué)生認(rèn)知沖突，此時學(xué)生議論紛紛，情緒振奮，有的說：“一定是誰做錯了?！庇械恼J(rèn)為兩種解法都沒有錯，還有的學(xué)生提出了自己的猜想：大概還能繼續(xù)分解下去，得到。教師通過揭示已有知識結(jié)構(gòu)所無法解決的矛盾，突出學(xué)習(xí)新知識的必要性，誘導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生疑惑，思維得到啟

5、動，甚至情感因素也得到激發(fā)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生嘗試和探索，主動學(xué)習(xí)因式分解的新方法。由于數(shù)學(xué)在生產(chǎn)和生活實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，因此可以選取一些生動形象的實(shí)際例子來啟動思維，既可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動機(jī)、喚醒學(xué)生主動思維，又符合學(xué)生從實(shí)踐到理論、從感性知識到理性知識的認(rèn)識規(guī)律。學(xué)習(xí)函數(shù)概念、方差概念等知識時，可以通過聯(lián)系實(shí)際啟動思維。例3，在教“圓錐的體積”時，教師可以采用這樣一種實(shí)驗(yàn)來啟動學(xué)生思維：取同底等高的圓柱和圓錐，將圓錐盛滿水，然后倒入圓柱中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)三次正好倒?jié)M。此時，學(xué)生就會猜想：圓錐與圓柱的體積關(guān)系是不是一比三呢？怎樣證明這個猜想呢？通過實(shí)驗(yàn)，既可以激發(fā)學(xué)生的思維活動，又可以活躍課

6、堂氣氛，產(chǎn)生很好的教學(xué)效果。在原有的比較熟悉的知識的基礎(chǔ)上，通過類比法啟動學(xué)生思維，是教師常用的又一手法。例如在進(jìn)行“分式基本性質(zhì)”教學(xué)時，可以先復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，然后通過類比啟動思維，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)。根據(jù)學(xué)生的年齡特征和學(xué)習(xí)心理狀態(tài)，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，遵循趣味性和啟發(fā)性原則，精心設(shè)計，靈活地運(yùn)用多種方法激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和能動性。科學(xué)有效地啟動思維是課堂教學(xué)成功的關(guān)鍵。 二 主動思維1.主動思維始于問題。學(xué)生的主動思維主要體現(xiàn)在：學(xué)生積極主動參與教學(xué)活動，動口、動手、動腦，自主解決問題，獲得了體驗(yàn)，學(xué)到了知識，鍛煉了能力。問題是啟發(fā)學(xué)生思維的動力，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)質(zhì)是教師與學(xué)

7、生雙邊共同設(shè)疑、釋疑、解疑的過程，是以問題解決為核心展開的。有了問題，才會思考，有了思考，才會有解決問題的方法。教師有目的地提出具有適度的探究性和一定的挑戰(zhàn)性的問題，可以充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識，讓學(xué)生在不斷解決問題的過程中主動獲取知識。例如，在教二次根式的性質(zhì)“”時，教師在復(fù)習(xí)二次根式的概念和公式的基礎(chǔ)上，先提出問題1：如果把式子的平方記號從根號外移到根號內(nèi)，變?yōu)?，那么等于什么？（學(xué)生不假思索地脫口而出：）教師又提出問題2：如果把改為，那么它又等于什么呢？（學(xué)生在教師的誘導(dǎo)下，得到）這樣便得到的結(jié)果，這種結(jié)果使學(xué)生產(chǎn)生疑問，引起學(xué)生進(jìn)一步主動思考。教師提出問題3：取何值時，等式成立？取何值時，

8、等式成立？教師化難為易提出問題4：你會計算：（1）（2）的值嗎？。教師通過不斷的設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生去主動思考，達(dá)到深刻理解二次根式性質(zhì)的目的。教師有目的的提問，可以激發(fā)學(xué)生主動思維，引導(dǎo)他們主動積極參與教學(xué)活動，從而增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的動力。教師恰當(dāng)?shù)奶釂?，不僅可以激發(fā)學(xué)生的思維活動，而且還可以有效地控制教學(xué)方向。2.體驗(yàn)式教學(xué)有利于發(fā)揮學(xué)生主動性、培養(yǎng)學(xué)生探索精神。知識是人們認(rèn)識的結(jié)果，是已經(jīng)獲得的結(jié)果，也是已經(jīng)過去的結(jié)果。智慧比知識更重要，過程比結(jié)果更重要，知識是啟發(fā)智慧的手段，過程是結(jié)果的動態(tài)延伸。教學(xué)中能夠把結(jié)果變成過程，才能把知識變成智慧。在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生開展觀察、操作、比較、概括、猜想、

9、推理、交流等多種形式的活動，使學(xué)生通過這些活動，掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能，初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度去觀察事物和思考問題、解決問題。體驗(yàn)式教學(xué)有利于發(fā)揮學(xué)生的主動性、培養(yǎng)學(xué)生探索精神。在教學(xué)“勾股定理”時，我們可以采用探究式教學(xué)法，設(shè)計如下。1.導(dǎo)入。教師提問“直角三角形三邊有什么大小關(guān)系？”使學(xué)生注意力集中于三邊關(guān)系：a、b<c<a+b。接著教師講述了一段數(shù)學(xué)史故事，肯定了直角三角形三邊有等量關(guān)系。2.動腦動手動口。呈現(xiàn)小方格背景上的圖形（圖1），通過計算、填數(shù)據(jù)表等小組活動來研究直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系。圖1 小方格背景上的圖形面積計算在計算過程中，學(xué)生通過數(shù)單位小方格的辦法，可以獨(dú)

10、立地順利計算出a2、2ab、b2，對于c2則無法求出；教師鼓勵學(xué)生小組內(nèi)部討論c2的計算辦法，并在巡視中對不同的小組給予適當(dāng)提示（可以利用小方格背景外補(bǔ)或內(nèi)割正方形來計算），并讓計算出c2的學(xué)生上黑板講解方法。隨后，教師要求學(xué)生繼續(xù)完成填表，并通過投影個別學(xué)生的計算結(jié)果全班共同校對數(shù)據(jù)表。表2 要求學(xué)生填寫的數(shù)據(jù)表a214916b24916252ab4122440c25132541圖2學(xué)生的發(fā)現(xiàn)注：數(shù)據(jù)是后來填上去的3.觀察與猜想。教師要求學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)表猜想直角三角形三邊之間可能的數(shù)量關(guān)系，并把學(xué)生的發(fā)現(xiàn)板書下來（有5個，如圖2）。學(xué)生提出了多個猜想，尤其是2ab+1=c2這類出乎意料的結(jié)論。

11、教師指出這僅僅是根據(jù)四個直角三角形得出的，要求學(xué)生在方格背景上再畫一些直角三角形進(jìn)行驗(yàn)證。很快，學(xué)生通過使用反例駁斥了2ab+1=c2的猜想。4.推理論證。教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：通過驗(yàn)證，一些同學(xué)畫出的直角三角形否定了2ab+1=c2，但a2+b2=c2的這類結(jié)論總是對的，驗(yàn)證多少可以說明這個猜想成立呢？由此引出一般證明的必要性。借助學(xué)生計算c2的兩種方法，教師讓學(xué)生嘗試證明可以化簡為a2+b2=c2的這個結(jié)論。圖9 證明時隱去了小方格的背景由于證明的時候，學(xué)生使用的圖形已經(jīng)隱去了方格背景（如圖9），因而沒有了具體的數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)而使用一般的字母，學(xué)生利用求c2的方法，在思路上很自然地證明出了a2+

12、b2=c2的正確性。5.討論和交流。教師回過來啟發(fā)學(xué)生思考為什么會得到一類2ab+1=c2的結(jié)論？學(xué)生通過觀察圖形和證明勾股定理的過程，指出了是因?yàn)閍-b=1或b-a=1。進(jìn)一步推廣：如果兩邊相差2（即a-b=2或b-a=2），則可以得到2ab+4=c2；兩邊相差3，得到2ab+9=c2隨后，教師請一些同學(xué)交流這節(jié)課的感受，讓學(xué)生小結(jié)。教師提出了兩項(xiàng)課外興趣小組活動中繼續(xù)可以探討的問題（收集關(guān)于勾股定理的歷史故事；運(yùn)用勾股定理解決一些問題）?！肮垂啥ɡ怼钡慕虒W(xué)，主要是采用了探究式教學(xué)法，用小方格背景和數(shù)據(jù)表為學(xué)生提出猜想搭建了適當(dāng)?shù)钠脚_，突出強(qiáng)調(diào)了學(xué)生主動獲取知識的過程。這樣設(shè)計能夠讓學(xué)生在教

13、師的精心鋪墊下探究勾股定理，既然是探究，學(xué)生學(xué)到的不僅僅是知識點(diǎn)，更重要的是學(xué)會了一種利用數(shù)據(jù)表提出猜想的方法、體驗(yàn)了提出猜想與推理論證的過程，在活動的過程中培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)造思維能力，這些重要的學(xué)習(xí)收獲正是學(xué)生主動思維的結(jié)果。只有在學(xué)生主動思維的情況下，真正意義的學(xué)習(xí)才會發(fā)生。要讓學(xué)生圍繞問題，通過活動進(jìn)行感知、建構(gòu)，通過主動探究加以深化、提高。數(shù)學(xué)課堂有了真正的主動思維，數(shù)學(xué)教學(xué)定會取得較高的效益。三 互動思維1.開放的數(shù)學(xué)課堂有利于師生互動在開放的數(shù)學(xué)課堂上，允許不同學(xué)生有不同的思維。首先給學(xué)生思考的時間，其次要創(chuàng)設(shè)競爭的情境，激勵學(xué)生求異思維。長期的標(biāo)準(zhǔn)程序、標(biāo)準(zhǔn)答案的教育，把學(xué)

14、生訓(xùn)練成了解題的工具。其實(shí)，數(shù)學(xué)本身是開放的，數(shù)學(xué)的開放性、多樣性是人的認(rèn)識結(jié)構(gòu)、認(rèn)知能力的反映，學(xué)生認(rèn)知潛力的發(fā)展需要開放的數(shù)學(xué)教育。舉一個生動的畫圓想像的實(shí)驗(yàn)例子：一位老師在幼兒園的黑板上畫了一個圓，問：“小朋友們，你們想象一下，這個圓可能是什么？”結(jié)果兩分鐘內(nèi)，小朋友們說出了22個不同的答案。有的說，這是一個蘋果；有的說，這是一個月亮；有的說，這是一個燒餅；有一個小朋友說，這是老師的大眼睛。這位老師拿同樣的實(shí)驗(yàn)到大學(xué)一年級去做。要他們想象以一下黑板上的圓可能是什么。結(jié)果兩分鐘過去了，沒有一個同學(xué)發(fā)言。老師沒有辦法，只好點(diǎn)名請班長帶頭發(fā)言。班長慢吞吞地站起來遲疑地說：“這大概是個零吧？”這

15、個實(shí)驗(yàn)非常簡單，卻非常能說明問題。沒有受過教育的小朋友在兩分鐘內(nèi)說出了22種不同的答案，經(jīng)過了小學(xué)、初中、高中教育，經(jīng)過高考選拔，一路過關(guān)斬將進(jìn)入了大學(xué)的優(yōu)秀學(xué)生，面對這么一個簡單的問題，兩分鐘過去了，卻沒有人回答。大學(xué)生真的全都失去了想像力了嗎？不是的，經(jīng)過多年的教育，他們建立一個信念：老師的任何問題都是有一個標(biāo)準(zhǔn)答案的，面對這樣一個突如其來的問題，他們揣摩不出老師的標(biāo)準(zhǔn)答案是什么，所以就不敢貿(mào)然回答，不愿當(dāng)眾出丑。他們關(guān)心的不是我怎么看問題，我怎么想問題，而是老師怎樣看問題，老師期望的答案是什么。在心理上，他們已經(jīng)習(xí)慣了接受老師的答案，而不是向老師的答案提出挑戰(zhàn)。這也是我們國家中學(xué)教育的缺

16、憾。學(xué)生認(rèn)知潛力的發(fā)展需要開放的數(shù)學(xué)教育，新世紀(jì)的素質(zhì)教育需要開放的數(shù)學(xué)課堂。開放的數(shù)學(xué)課堂，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，可以更有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性，有利于引發(fā)師生間思維的碰撞。例如，在上述“勾股定理”的教學(xué)過程中，學(xué)生的猜想、推理、論證和交流都是開放的，讓學(xué)生在互動中釋放思維的火花。在開放的數(shù)學(xué)課堂上，我們可以體驗(yàn)到學(xué)生間真實(shí)的思維碰撞；在開放的數(shù)學(xué)課堂上，利用合作交流、競賽等形式，我們有利于培養(yǎng)學(xué)生的競爭意識及合作意識；在開放的數(shù)學(xué)課堂上，我們可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。2.互動思維掀起數(shù)學(xué)課堂小高潮數(shù)學(xué)課堂小高潮通常表現(xiàn)為：求知欲望強(qiáng)烈，思維活躍敏捷，心情激動快樂。心理學(xué)與教

17、育學(xué)研究表明：互動在教學(xué)中，不僅有動力作用，而且有消除疲勞、激活創(chuàng)造力的作用。我追求充滿激情的教學(xué)，這種教學(xué)活動具有強(qiáng)烈的召喚力和感染力，在學(xué)生主動思維的基礎(chǔ)上有效觸發(fā)學(xué)生的思維碰撞，不僅引起學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，而且此時此景下的學(xué)生思維敏捷靈活，富有創(chuàng)造性，也使學(xué)生在可接受的范圍內(nèi)獲得愉快的成功體驗(yàn)。教學(xué)雙方產(chǎn)生共振效應(yīng)，教學(xué)小高潮隨之形成。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，經(jīng)常通過巧妙提問、巧設(shè)懸念、一題多解、一題多變、實(shí)驗(yàn)操作等方法，來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使課堂教學(xué)處在一種積極、融洽、活躍的氛圍之中，從而掀起一個又一個的教學(xué)小高潮。前面提到的例子，在教“用拆添項(xiàng)法分解因式”時，可

18、運(yùn)用巧設(shè)懸念法，引起學(xué)生的高度關(guān)注和廣泛參與，促使學(xué)生積極思考，使思維的敏感性、靈活性逐步達(dá)到最佳的狀態(tài)，掀起課堂小高潮；在教“圓錐的體積”時，可運(yùn)用實(shí)驗(yàn)操作法，讓學(xué)生動中促思，玩中長知，樂中成才，使學(xué)習(xí)內(nèi)容在有趣的實(shí)驗(yàn)操作中深刻理解和掌握，此時，學(xué)生感知、思維、想象等心理活動異?；钴S，學(xué)生饒有興趣地參與公式的推導(dǎo)過程，學(xué)生不斷掀起思維的波瀾，課堂形成一波未平一波又起的教學(xué)高潮；在教二次根式的性質(zhì)“”時，可通過巧妙提問法，巧妙的提問使平淡的教學(xué)內(nèi)容變得新奇，滿足了學(xué)生好奇的心理，激發(fā)了學(xué)生濃厚的興趣，學(xué)生的情緒就高昂，熱情就飽滿，思維就活躍，發(fā)言就熱烈，這些自然會掀起數(shù)學(xué)課堂教學(xué)小高潮。上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：教師主導(dǎo)，所強(qiáng)調(diào)的是對學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)和啟迪；學(xué)習(xí)主體，要充分發(fā)揮學(xué)生的積極性和主動性，讓學(xué)生在主動參與教學(xué)活動的情況下學(xué)習(xí)；學(xué)生個體主動