1、12.12.5 5 三角形全等的判定三角形全等的判定初二（初二（5、6）班）班ABCDEF 1、 什么叫全等三角形？什么叫全等三角形？能夠重合的兩個三角形叫能夠重合的兩個三角形叫 全等三角形。全等三角形。 2、 已知已知ABC DEF，找出其中相等的邊與角，找出其中相等的邊與角AB=DE CA=FD BC=EF A= D B=E C= F全等三角形性質(zhì)：全等三角形性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。幾何語言：幾何語言：ABCDEF全等三角形全等三角形 的對應(yīng)邊相等的對應(yīng)邊相等對應(yīng)角相等對應(yīng)角相等題設(shè)題設(shè)結(jié)論結(jié)論ABC DEFAB=DE CA=FD BC

2、=EF A= D B=E C= F把性質(zhì)定理的題設(shè)和結(jié)論交換：把性質(zhì)定理的題設(shè)和結(jié)論交換：ABCDEF題設(shè)題設(shè)結(jié)論結(jié)論對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等的三角形。的三角形。是全等三角形是全等三角形AB=DE CA=FD BC=EF B=E C= FABC DEF A= D三角形全等的判定三角形全等的判定判定三角形全等是否需要這么條件？判定三角形全等是否需要這么條件？ABCDEFAB=DE CA=FD BC=EF A= D B=E C= F1.滿足這六個條件可以保證滿足這六個條件可以保證ABC DEF嗎？嗎？2.如果只滿足這些條件中的一部分如果只滿足這些條件中的一部分,那么能保證那么能

3、保證ABC DEF嗎嗎?思考：思考：1.1.只給一條邊時；只給一條邊時；331.只給一個條件只給一個條件452.只給一個角時；只給一個角時；45結(jié)論結(jié)論: :只有一條邊或一個角對應(yīng)相等只有一條邊或一個角對應(yīng)相等的的兩個三角形不一定全等兩個三角形不一定全等. .兩邊；兩邊；兩角。兩角。一邊一角；一邊一角； 2.如果滿足如果滿足兩個兩個條件，你能說出條件，你能說出有哪幾種可能的情況？有哪幾種可能的情況？如果三角形的兩邊分別為如果三角形的兩邊分別為4cm4cm，6cm 6cm 時時6cm6cm4cm4cm結(jié)論結(jié)論: :兩條邊對應(yīng)相等的兩條邊對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等兩個三角形不一定全等. .三角

4、形的一條邊為三角形的一條邊為4cm,4cm,一個內(nèi)角為一個內(nèi)角為3030時時: :4cm4cm3030結(jié)論結(jié)論: :一條邊一個角對應(yīng)相等的一條邊一個角對應(yīng)相等的兩個兩個三角形不一定全等三角形不一定全等. .45304530如果三角形的兩個內(nèi)角分別是如果三角形的兩個內(nèi)角分別是3030，4545時時結(jié)論結(jié)論: :兩個角對應(yīng)相等的兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等兩個三角形不一定全等. .兩個條件兩個條件兩角；兩角；兩邊；兩邊；一邊一角一邊一角。結(jié)論：只給出一個或兩個條件時，都不結(jié)論：只給出一個或兩個條件時，都不能保證所畫的三角形一定全等。能保證所畫的三角形一定全等。一個條件一個條件一角；一角；一

5、邊；一邊；三角三角；三邊；三邊；兩邊一角；兩邊一角；兩角一邊。兩角一邊。 3.如果滿足如果滿足三個三個條件，你能說出有條件，你能說出有哪幾種可能的情況？哪幾種可能的情況？探索三角形全等的條件探索三角形全等的條件已知兩個三角形的三個內(nèi)角分別為已知兩個三角形的三個內(nèi)角分別為3030，6060 ，9090 它們一定全等嗎？它們一定全等嗎？這說明有三個角對應(yīng)相等的兩個三角形這說明有三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等不一定全等三個角三個角已知兩個三角形的三條邊都分別為已知兩個三角形的三條邊都分別為3cm3cm、4cm4cm、6cm 6cm 。它們一定全等嗎？。它們一定全等嗎？3cm4cm6cm4cm6

6、cm3cm6cm4cm3cm三條邊三條邊知識回顧知識回顧1. 已知三角形的兩邊長為已知三角形的兩邊長為6、7，求第三邊的取值，求第三邊的取值范圍范圍 。2.已知等腰三角形的邊為已知等腰三角形的邊為7、8，則三角形的周長，則三角形的周長為為 。3. 三角形的外角和是三角形的外角和是 。4. 9邊形的內(nèi)角和邊形的內(nèi)角和 ，外角和，外角和 。5. 如果三角形的三邊分別為如果三角形的三邊分別為5、8、2a+1.則則a的取的取值范圍值范圍 。除了除了SSS外外,還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全等的條件等的條件.(2) 三條邊三條邊(1) 三個角三個角(3) 兩邊一角兩邊一

7、角(4) 兩角一邊兩角一邊 當(dāng)兩個三角形滿足六個條件中的三個時，有四種當(dāng)兩個三角形滿足六個條件中的三個時，有四種情況情況:SSS不能不能!SASASA、AAS除了除了SSS外外,還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全等的條件等的條件.(2) 三條邊三條邊(1) 三個角三個角(3) 兩邊一角兩邊一角(4) 兩角一邊兩角一邊 當(dāng)兩個三角形滿足六個條件中的三個時，有四種當(dāng)兩個三角形滿足六個條件中的三個時，有四種情況情況:SSS不能不能!?繼續(xù)探討三角形全等的條件：繼續(xù)探討三角形全等的條件： 兩邊一角兩邊一角思考：已知一個三角形的兩條邊和一個角，那么這兩條邊思考：已知一個三角

8、形的兩條邊和一個角，那么這兩條邊與這一個角的位置上有幾種可能性呢？與這一個角的位置上有幾種可能性呢？ABCABC圖一圖一圖二圖二在圖一中，在圖一中， A A是是ABAB和和ACAC的的夾角，夾角，符合圖一的條件，符合圖一的條件，它它可稱為可稱為“兩邊夾角兩邊夾角”。符合圖二的條件，符合圖二的條件， 通常通常說成說成“兩邊和其中一邊的對角兩邊和其中一邊的對角”1.1.在下列圖中找出全等三角形在下列圖中找出全等三角形?308 cm9 cm?308 cm8 cm8 cm5 cm30?8 cm5 cm308 cm?5 cm8 cm5 cm?308 cm9 cm?308 cm8 cmA4545 探索邊邊

9、角探索邊邊角BBC10cm10cm 8cm8cm 8cm8cm 兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎? ?已知：已知：AC=10cm,BC=8cm, AC=10cm,BC=8cm, A=45 . .ABCABC的形狀與大小是唯的形狀與大小是唯一確定的嗎一確定的嗎? ?10cm10cm ABC4545 8cm8cm 探索邊邊角探索邊邊角BA8cm8cm 4545 10cm10cm CSSASSA不存在不存在顯然：顯然： ABCABC與與ABABC C不全等不全等 三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫為

10、為“邊邊邊邊邊邊”或或“SSS”）。）。ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD知識梳理知識梳理: :在在ABC與與DEF中中ABC DEF（SAS） 兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。等。(可以簡寫成可以簡寫成“邊角邊邊角邊”或或知識梳理知識梳理: :FEDCBAAC=DFC=FBC=EF知識梳理知識梳理: :DCBAABDABC兩邊及一角對應(yīng)相等的兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎？兩個三角形全等嗎？兩邊及夾角對應(yīng)相等的兩邊及夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（兩個三角形全等（SAS)SAS)；

11、兩邊及其中一邊的的對角對應(yīng)相兩邊及其中一邊的的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等等的兩個三角形不一定全等 現(xiàn)在你知道哪些三角形全等的現(xiàn)在你知道哪些三角形全等的判定方法？判定方法？SSS,SASA BCA BC幾何語言：幾何語言：在在RtABC 和和 RtABC中，中， AB = =AB，BC = =BC，RtABC RtABC（HL） 4.“4.“斜邊、直角邊斜邊、直角邊”公理公理(HL)(HL)：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等。斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等。簡寫為簡寫為“斜邊、直角邊斜邊、直角邊”或或“HL”除了除了SSS外外,還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全還

12、有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全等的條件等的條件.(2) 三條邊三條邊(1) 三個角三個角(3) 兩邊一角兩邊一角(4) 兩角一邊兩角一邊 當(dāng)兩個三角形滿足六個條件中的三個時，有四種當(dāng)兩個三角形滿足六個條件中的三個時，有四種情況情況:SSS不能不能!SAS?幾何語言：幾何語言：在在ABC 和和 AB C中，中，ABC AB C（ASA）A =AAB = = ABB =B3.3.角邊角公理角邊角公理(ASA)(ASA)：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等.簡簡寫寫成成“角邊角角邊角”或或“ASA ”ABCA BC 幾何語言：幾何語言：在在ABC 和和

13、AB C中，中，ABC AB C（AAS）A =AB =BAC= = AC4.4.角角邊公理角角邊公理(AAS)(AAS)：兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等全等.簡簡寫成寫成“角角邊角角邊”或或“AAS ”ABCA BC 除了除了SSS外外,還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全等的條件等的條件.(2) 三條邊三條邊(1) 三個角三個角(3) 兩邊一角兩邊一角(4) 兩角一邊兩角一邊 當(dāng)兩個三角形滿足六個條件中的三個時，有四種當(dāng)兩個三角形滿足六個條件中的三個時，有四種情況情況:SSS不能不能!SAS （HL）AS

14、A、AAS在在ABC 與與 ABC中，中，ABC ABC （SSS）AB = =AB AC = =AC BC = =BC 用符號語言表達用符號語言表達: :1.1.邊邊邊公理邊邊邊公理(SSS)(SSS)：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等簡寫為三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等簡寫為“邊邊邊邊邊邊”或或“SSS”.”.ABCA BC 證明：證明：D 是是BC 中點，中點， BD = =DC 在在ABD 與與ACD 中，中， ABD ACD （ SSS ）例例1.1.如圖，有一個三角形鋼架，如圖，有一個三角形鋼架，AB = =AC ，AD 是是連接點連接點A 與與BC 中點中點D 的支架求證：的支架求證：

15、ABD ACD CBDAAB = =AC ，BD = =CD ，AD = =AD ，準備條件：證全等時要用的條件要先證好；準備條件：證全等時要用的條件要先證好；三角形全等書寫三步驟：三角形全等書寫三步驟：寫出在哪兩個三角形中寫出在哪兩個三角形中擺出三個條件用大括號括起來擺出三個條件用大括號括起來寫出全等結(jié)論寫出全等結(jié)論證明的書寫步驟：證明的書寫步驟： 三步走：三步走：準備條件準備條件擺齊條件擺齊條件得結(jié)論得結(jié)論注重書寫格式注重書寫格式練習(xí)練習(xí): 已知：如圖，已知：如圖，AB=AD，BC=DC， 求證求證：ABC ADCABCDACAC ( ) AB=AD ( )BC=DC ( ) ABC AD

16、C（SSS）證明：在證明：在ABC和和ADC中中=已知已知已知已知 公共邊公共邊如圖，如圖，ABC 和和EFD 中，中，AB =EF，AC =ED，點點B，D，C，F(xiàn) 在一條直線上在一條直線上. .（1）添加一個條件，由）添加一個條件，由“SSS”判定判定ABC EFD； （2）在（）在（1）的基礎(chǔ)上，）的基礎(chǔ)上， 求證：求證：ABEFABCDEFBCBCCBCBDCBBF=CDABCD1 1、填空題：、填空題：解：解： ABCDCB理由如下：理由如下：AB = CDAC = BD=ABC z （ ） （SSS SSS （1 1）如圖，）如圖，AB=CDAB=CD，AC=BDAC=BD，ABC

17、ABC和和DCBDCB是否全等？是否全等？試說明理由。試說明理由。 （2 2）如圖，）如圖，D D、F F是線段是線段BCBC上的兩點，上的兩點，AB=CEAB=CE，AF=DEAF=DE，要使，要使ABFABFECD ECD ，還需要條件還需要條件 AE B D F CB D F C =或或 BD=FC已知已知: : 如圖如圖, , 四邊形四邊形ABCDABCD中，中，AD=CB,AB=CDAD=CB,AB=CD求證：求證： A A C C。A C D B分析：要證兩角或兩線段相等，常先證這兩角或兩線段分析：要證兩角或兩線段相等，常先證這兩角或兩線段所在的兩三角形全等，從而需構(gòu)造全等三角形。

18、所在的兩三角形全等，從而需構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造公共邊是常添的輔助線構(gòu)造公共邊是常添的輔助線1234幾何語言：幾何語言：在在ABC 和和 AB C中，中，ABC AB C（SAS）AB = = ABA =AAC = =AC 2.2.邊角邊邊角邊公理公理(SAS)(SAS)：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.簡簡寫成寫成“邊角邊邊角邊”或或“SAS ”ABCA BC 例例. . 如圖，如圖，AC=BDAC=BD，CAB= DBACAB= DBA，你，你能判斷能判斷BC=ADBC=AD嗎？說明理由。嗎？說明理由。ABCD證明證明: :在在ABCABC與

19、與BADBAD中中 AC=BD CAB=DBA AB=BAABC BAD（SAS）(已知已知)(已知已知)(公共邊公共邊)BC=AD (全等三角形的對應(yīng)邊相等）全等三角形的對應(yīng)邊相等）例例如圖，有一池塘，要測池塘兩端如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，的距離，可先在平地上取一個不經(jīng)過池塘可以直接到達點可先在平地上取一個不經(jīng)過池塘可以直接到達點A 和和B的點的點C，連接，連接AC并延長至并延長至D，使，使CD = =CA，連接，連接BC 并延并延長至長至E，使，使CE = =CB，連接，連接ED，那么量出，那么量出DE的長就是的長就是A，B的距離為什么？的距離為什么？ABCDE12AC =

20、 = DC（已知），（已知），1 =2 （對頂角相等），（對頂角相等），BC = =EC（已知）（已知） ，證明：證明：在在ABC 和和DEC 中，中，ABCDE12ABC DEC（SAS）AB = =DE （全等三角形的對應(yīng)邊相等）（全等三角形的對應(yīng)邊相等）證明：證明：在在ABE 和和ACD 中，中，ABE ACD（ASA）AE = =ADB =C，AB = =AC ，A =A ，例例1如圖，點如圖，點D 在在AB上，點上，點E 在在AC上，上，BA = =AC， B =C求證：求證：AD = =AE ABCDE證明：證明：DAB =EAC，DAC =EAB. .AEBE，ADDC，D =

21、=E = =90. .在在ADC 和和AEB 中中, ,ABCDE例例2如圖，如圖，AEBE，ADDC，CD = =BE，DAB =EAC求證：求證：AB = =AC DAC =EAB，D =E，CD = =BE，ADC AEB（AAS）AC = =AB例例2如圖，如圖，AEBE，ADDC，CD = =BE，DAB =EAC求證：求證：AB = =AC 證明：證明：ABCDE練習(xí)如圖，練習(xí)如圖，E，F(xiàn) 在線段在線段AC上，上，ADCB，AE = = CF若若B = =D，求證：，求證：DF = =BEABCDEF證明：證明：ADCB ，A =C. .AE = =CF ，AF = =CE. .在

22、在ADF 和和CBE 中中, ,練習(xí)如圖，練習(xí)如圖，E，F(xiàn) 在線段在線段AC上，上，ADCB，AE = =CF若若B = =D，求證：，求證：DF = =BEA =C，D =B ，AF = =CE ，ADF CBE（AAS）DF = =BE證明：證明：ABCDEF練習(xí)練習(xí)1如圖，如圖，C 是路段是路段AB 的中點，兩人從的中點，兩人從C 同時同時 出發(fā)，以相同的速度分別沿出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時到達兩條直線行走，并同時到達D，E 兩地兩地DAAB，EBAB D，E 與路段與路段AB的距離的距離相等嗎？為什么？相等嗎？為什么？ABCDE如圖，如圖，AB = =CD，AEBC，

23、DFBC，垂足分別為垂足分別為E ，F(xiàn)，CE = =BF求證：求證：AE = =DFABCDEF如圖如圖,D,D是是ABCABC的的BCBC邊上的中點邊上的中點, ,DEAC,DFAB,DEAC,DFAB,垂足分別為垂足分別為E,F,E,F,且且DE=DF.DE=DF.求證求證: : ABCABC是等腰三角形是等腰三角形. . DBCAFE經(jīng)驗總結(jié)經(jīng)驗總結(jié)三角形全等判定方法的靈活運用：三角形全等判定方法的靈活運用：證明三角形全等時，一般需要證明三角形全等時，一般需要3 3個條件：個條件：如果已知如果已知兩組邊相等兩組邊相等，就試著去找，就試著去找第三邊第三邊或或兩邊的夾角兩邊的夾角，利用，利用

24、“SSS”“SSS”，“SAS”“SAS”來證明。來證明。如果已知如果已知兩組角相等兩組角相等，就試著去找，就試著去找一組邊一組邊，利用，利用“AAS”“AAS”，“ASA”“ASA”來證明。來證明。課堂練習(xí)課堂練習(xí)1 1、已知：如圖，、已知：如圖，ABAD，ACAE，112. 2. 求證：求證：ABCADE. .122、已知：如圖，、已知：如圖，AE是是ABC的中的中線，線，D是是 BC延長線上一點，且延長線上一點，且CDAB，BCABAC.求證：求證：AD2AE. ABCDE【點評】這里【點評】這里1和和2不是所證三角形中的角，不是所證三角形中的角，BAC和和DAE才是三角形的內(nèi)角才是三角形的內(nèi)角.所以須證所以須證BACDAE，才能滿足、三個條件，才能滿足、三個條件. 【分析】通過添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是【分析】通過添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是一種常用的思考方法一種常用的思考方法.若已知條件中有中線，若已知條件中有中線，常延長中線成兩倍關(guān)系，構(gòu)成全等三角形常延長中線成兩倍關(guān)系，構(gòu)成全等三角形. F證明題：證明題：3已知已知:如圖，如圖，ADBC，ADCB. 求證求證:ABCD. 【提示】連結(jié)【提示】連結(jié)AC， 由由 ABC CDA，故故