1、實(shí)用文案2008 年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試題及解答分類匯編大全（ 14 空間向量與立體幾何）一、選擇題：1(2008 全國(guó)卷理 ) 已知三棱柱 ABCA1B1C1 的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1 在底面 ABC 內(nèi)的射影為 ABC 的中心，則 AB1 與底面 ABC 所成角的正弦值等于（C ）A 1B2C 3D 233331. 解： C由題意知三棱錐A1ABC 為正四面體，設(shè)棱長(zhǎng)為 a ，則 AB13a ，棱柱的高AO1a2AO2a2( 23 a)26 a （即點(diǎn) B1 到底面 ABC 的距離），故 AB1 與底面323ABC 所成角的正弦值為AO12AB1.3另解：設(shè) AB, AC, AA 為空間

2、向量的一組基底，AB, AC, AA 的兩兩間的夾角為 60011長(zhǎng)度均為 a ，平面 ABC 的法向量為 OA1AA11 AB1AC, AB1 ABAA133OAAB12 a2 , OA6,AB311313OA1 AB12則 AB1 與底面 ABC 所成角的正弦值為3.AO AB11二、填空題：1(2008全國(guó)卷理 ) 等邊三角形 ABC 與正方形 ABDE 有一公共邊 AB ，二面角 CABD 的余弦值為3 ， M ， N 分別是 AC， BC 的中點(diǎn)，則 EM ， AN 所成角的余弦值等于1361. 答案：1.設(shè)AB2，作CO面 ABDE，C6OHAB ，則 CHAB ，CHO 為二面角

3、 CABD 的平面角MCH3, OHCHcosCHO1 ，結(jié)合等邊三角形ABCNE與正方形 ABDE 可知此四棱錐為正四棱錐，則ANEMCH3A11HoAN( ACAB), EMACAE ,22BDANEM1 (ABAC) (1 ACAE)1z1 題圖（ 1）222故 EM ， AN 所成角的余弦值A(chǔ)N EM1CAN EM6M另解：以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，NE則點(diǎn) A(1,1,0), B(1, 1,0), E( 1,1,0), C(0,0,2),AHM( 1,1 ,2), N(1 ,1 ,2 ) ,oyBD222222x1 題圖（ 2）標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案則 AN (3,1,

4、2), EM (1,3 ,2),AN EM1,AN EM3 ,2222222故 EM ， AN 所成角的余弦值A(chǔ)N EM1AN EM.6三、解答題：1（ 2008 安徽文） 如圖，在四棱錐 OABCD 中，底面 ABCD 四邊長(zhǎng)為1的菱形，OA 底面 ABCD , OA2, M 為 OA的中點(diǎn)。O（）求異面直線AB與 MD所成角的大小；（）求點(diǎn) B 到平面 OCD的距離。1方法一（綜合法）M（ 1） CD AB, MDC 為異面直線 AB 與 MD 所成的角（或其補(bǔ)角 ）作 APCD于P, 連接 MPA OA 平面ABCD ， CDMPB2 ADP4, DP=2 MDMA2AD 22 ， co

5、s MDPDP1, MDCMDPOMD23所以AB 與 MD 所成角的大小為3M（） AB 平面 OCD,點(diǎn) A 和點(diǎn) B 到平面OCD的距離相等，連接 OP,過點(diǎn) A 作 AQOP 于點(diǎn) Q， AP CD ,OA CD,CD 平面 OAP, AQ平面 OAP, AQCDA又 AQOP, AQ平面 OCD ,線段 AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A 到平面 OCD的距離BABC, 4DCQDPC OPOD 2DP 2OA2AD 2DP24 113 2， APDP2222OA AP222 ，所以點(diǎn) B 到平面 OCD的距離為 2 AQ2OP32332方法二(向量法 )作 APCD 于點(diǎn) P, 如圖 , 分別以 A

6、B,AP,AO所在直線為 x, y, z 軸建立坐標(biāo)系A(chǔ)(0,0,0),B(1,0,0),2,0),D (2,2zP(0,2,0), O(0,0, 2), M (0, 0,1) ,22O(1) 設(shè) AB 與 MD 所成的角為, AB (1,0,0), MD(2 ,2, 1)M22ADP標(biāo)準(zhǔn)文檔xBCy實(shí)用文案cosAB MD1 ,AB MD,32 AB 與 MD 所成角的大小為3(2) OP (0,222, 2), OD(,2)222 設(shè)平面 OCD的法向量為 n(x, y, z), 則 n OP 0,n OD 02 y 2z 0即22 2x y 2z 02 2取 z2 , 解得 n (0,4

7、, 2)設(shè)點(diǎn) B 到平面 OCD的距離為 d , 則 d 為 OB 在向量 n(0,4, 2) 上的投影的絕對(duì)值 ,OB n2 OB (1,0, 2) , d.n32所以點(diǎn) B 到平面 OCD的距離為2（ 2008 安徽理） 如圖，在四棱錐OABCD 中，底面 ABCD 四邊長(zhǎng)為 1 的菱形，ABC,4OA 底面ABCD, OA 2, M 為 OA的中點(diǎn)， N 為 BC 的中點(diǎn)。（）證明：直線 MN 平面 OCD ；（）求異面直線AB與 MD所成角的大??；（）求點(diǎn)B 到平面 OCD的距離。2 方法一（綜合法）（1）取 OB中點(diǎn) E，連接 ME， NEOMME AB,AB CD， ME CDAD

8、又NE OC, 平面 MNE 平面 OCDMN 平面 OCDBNC（2）CD AB, MDC 為異面直線 AB 與 MD 所成的角（或O其補(bǔ)角 ）作 AP CD于P, 連接 MP OA 平面ABCD ， CD MPEM2QADP, DP=24ADMDMA2AD 22 ， cosMDPDP1 , MDCMDPMD23所以AB 與 MD 所成角的大小為3PBNC（ 3） AB 平面 OCD, 點(diǎn) A 和點(diǎn) B 到平面 OCD的距離相等，連接OP,過點(diǎn) A 作標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案AQ OP 于點(diǎn) Q， APCD,OA CD,CD平面OAP, AQCD又 AQOP, AQ平面 OCD , 線段 AQ的長(zhǎng)就

9、是點(diǎn) A 到平面 OCD的距離 OPOD 2DP 2OA2AD2DP 24113 2， APDP2222OA AP2222 AQ2OP32，所以點(diǎn) B 到平面 OCD的距離為33方法二 ( 向量法 )2作 AP CD 于點(diǎn) P, 如圖 , 分別以 AB,AP,AO所在直線為 x, y, z 軸建立坐標(biāo)系A(chǔ)(0,0,0), B(1,0,0), P(0,2 ,0), D(2 ,2 ,0), O(0,0,2),M (0,0,1), N (12 ,2,0),22244(1) MN (12 ,2 ,1),OP(0,2 , 2),OD(2 ,2 ,2)44222設(shè)平面 OCD的法向量為 n( x, y,

10、z) , 則 n OP0,n OD0z2y2z0O2即22y2z0xM22取 z2 , 解得 n (0,4, 2) MN n (12 ,2 , 1) (0,4, 2) 044DMN 平面 OCDA(2) 設(shè) AB 與 MD 所成的角為22, AB (1,0,0), MD (, ,1)22xBNC P yAB MD1,AB與MD所成角的大小為cos2,3AB MD3(3) 設(shè)點(diǎn) B 到平面 OCD的交流為 d , 則 d 為 OB 在向量 n(0,4,2) 上的投影的絕對(duì)值 ,由 OB(1,0, 2) , 得 dOB n22n3. 所以點(diǎn) B 到平面 OCD的距離為33（ 2008 北京文） 如

11、圖，在三棱錐-中，= =2，=90°，=，.P ABCAC BCACBAP BP AB PC AC（）求證： PCAB；（）求二面角B- AP- C的大小 .3解法一：（）取AB中點(diǎn) D，連結(jié) PD， CD. AP=BP， PD AB. AC=BC. CD AB. PD CD D. AB平面 PCD.標(biāo)準(zhǔn)文檔 PC 平面 PCD， PC AB.（） AC=BC, AP=BP, APC BPC.又 PC AC， PC BC.又 ACB 90°，即 AC BC，且 AC PC=C， AB BP， BE AP. EC是 BE在平面 PAC內(nèi)的射影， CE AP. BEC是二面角

12、B- AP-C的平面角 .3在 BCE中， BCE=90° , BC=2, BE=AB 2 sin = BC6BEC.BE3二面角- -的大小為 aresin6BAPC.3解法二：（） AC=BC, AP=BP, APC BPC.又 PC AC. PC BC. AC BC=C, PC平面 ABC. AB 平面 ABC， PC AB.( ) 如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系實(shí)用文案6 ，C-xyz.則 C（ 0，0， 0），A（ 0， 2， 0）， B（2， 0， 0） . 設(shè) P（ 0，0， t ） , PB= AB 22 ， t =2, P(0,0,2).取 AP中點(diǎn) E，連結(jié)

13、BE， CE. AC= PC, AB = BP , CE AP, BE AP. BEC是二面角 B-AP- C的平面角 .EEC(0, 1,1), EB( 2, 1, 1), (0,1,1), cos =EC EB23BEC.ECEB2 63二面角 B-AP-C的大小為 arccos3 .34（ 2008 北京理） 如圖， 在三棱錐 PABC 中， ACBC 2，ACB 90 ， AP BPAB ，PC ACP（）求證：PCAB ；（）求二面角 BAPC 的大小；（）求點(diǎn) C 到平面 APB 的距離D標(biāo)準(zhǔn)文檔ABC實(shí)用文案4解法一：（）取 AB 中點(diǎn) D ，連結(jié) PD， CD APBP ，PD

14、AB ACBC ，CDAB PDCDD ，AB平面 PCD PC平面 PCD ，PCAB （）ACBC，APBP ， APC BPC 又PC AC，PC BCPE又 ACB90 ，即 ACBC ，且 AC PCC ，ABBC平面 PAC 取 AP 中點(diǎn) E 連結(jié) BE，CE CABBP ，BEAP EC是 BE 在平面 PAC 內(nèi)的射影，CEAP BEC 是二面角 BAPC 的平面角在 BCE 中，BCE90， BC2， BE36 ，AB2sinBECBC6BE3二面角 BAPC 的大小為 arcsin6 PAB平面 PCD ，3（）由（）知平面 APB平面 PCD H過C作CHPD ，垂足為

15、 H D平面 APB平面 PCDPD ，ABCH平面 APB CH 的長(zhǎng)即為點(diǎn) C 到平面 APB 的距離C由（）知 PCAB ，又 PCAC ，且 ABACA ，PC平面 ABC CD平面 ABC ，PCCD 在 Rt PCD 中， CD1 AB2，PD3 PB6 ，22PCPD2CD 22 CHPCCD 23PD3點(diǎn) C 到平面 APB 的距離為23 3解法二：（）ACBC，APBP ， APC BPC 又PC AC，PC BC標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案ACBCC ，PC平面 ABC AB平面 ABC ，PCAB C 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 C xyz （）如圖，以則 C (0，0，0)， A(0

16、，2，0)， B(2，0，0) 設(shè) P(0，0，t ) PBAB22，zPt 2 ， P(0，0，2)E取 AP 中點(diǎn) E ，連結(jié) BE，CE HyxACPC，ABBP ，ABCEAP，BEAP CBEC 是二面角BAPC 的平面角E(011)， ， EC(0， 1， 1)， EB(2， 1， 1)，cosBECEC EB23 ECEB263二面角 BAPC 的大小為 arccos3 ACBCPC ，3（）C 在平面 APB 內(nèi)的射影為正 APB 的中心 H ，且 CH 的長(zhǎng)為點(diǎn) C 到平面 APB 的距離如（）建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz BH2HE ，點(diǎn) H222CH23的坐標(biāo)為， 3333

17、點(diǎn) C 到平面 APB 的距離為23 35 (2008 福建文 )如圖，在四棱錐中，側(cè)面PAD底面 ABCD,側(cè)棱 PA=PD= 2, 底面 ABCD為直角梯形，其中BC AD,AB CD,AD=2AB=2BC=2,O為 AD中點(diǎn)。（ 1）求證： PO平面 ABCD;（ 2）求異面直線 PB 與 CD所成角的余弦值； （3）求點(diǎn) A到平面 PCD的距離5. 解：如圖， A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)所以CD (1,1,0), PB (1,1,1)PB CD6COS PB ,CD3PB CD所以異面直線所成的角的余弦值為：63(2)

18、設(shè)平面 PCD的法向量為 n( x, y, z) ， CP( 1,0,1), CD ( 1,1,0)n CP0xz0，所以；n CD0xy0令 x=1,則 y=z=1, 所以 n(1,1,1)又 AC(1,1,0)標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案n AC2 3則，點(diǎn) A 到平面 PCD的距離為：dn36(2008 福建理 )如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面 PAD底面 ABCD，側(cè)棱 PA=PD2 ，底面 ABCD為直角梯形，其中, ,=2 =2=2,O為中點(diǎn) .BC AD ABAD AD ABBCAD（）求證： PO平面 ABCD；（）求異面直線與所成角的大?。籔D CD（）線段 AD上是否存在點(diǎn)Q，使得

19、它到平面PCD的距離為3？AQ2若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 .QD6本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成角、點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力. 滿分 12分.解法一：（）證明：在PAD中 PA=PD, O為 AD中點(diǎn)，所以 PO AD,又側(cè)面底面, 平面PAD平面=,PADABCDABCDADPO 平面 PAD，所以 PO平面 ABCD.（）連結(jié) BO，在直角梯形ABCD中、 BC AD， AD=2AB=2BC,有 ODBC且 OD=BC, 所以四邊形 OBCD是平行四邊形，所以 OB DC.由（）知， POOB, PBO為銳角，所以

20、PBO是異面直線 PB與 CD所成的角 .因?yàn)?AD=2AB=2BC=2, 在 Rt AOB中， AB=1, AO=1,所以 OB2，在 Rt 中，因?yàn)?， 1，所以 1，POAAPAOOP在 Rt PBO中， tan PBO PG12 ,PBO arctan 2 .BC222所以異面直線PB與 CD所成的角是 arctan 2 .2（）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為3 .12設(shè) ，則S DQCCD=OB= 2 ，QD xx ，由（）得2在 Rt中，PCOC2OP22,POC所以 PC=CD=DP,S PCD3 (2) 23 ,42由 Vp-DQC=VQ-PCD, 得 2，所以存在點(diǎn)

21、Q滿足題意，此時(shí)AQ1QD.3解法二：( ) 同解法一 .標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案( ) 以 O為坐標(biāo)原點(diǎn)， OC、OD、OP 的方向分別為x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系, 依題意，易得(0,-1,0),(1,-1,0),(1,0,0),(0,1,0),O-xyzABCDP(0,0,1),所以 CD（110，），PB（1， 1，1）.所以異面直線PB與 CD所成的角是 arccos6 ，3( ) 假設(shè)存在點(diǎn) Q，使得它到平面PCD的距離為3 ，2由( ) 知 CP ( 1,0,1),CD(1,1,0).設(shè)平面的法向量為n=(0,y0,z0).PCDxn CP0,x0z00,y0

22、 z0 ，則所以x0 y0即 x0n CD0,0,取 x0=1, 得平面 PCD的一個(gè)法向量為 n=(1,1,1).設(shè) Q(0, y,0)( 1y1),CQ(1, y,0), 由CQ n31y3, 解 y=-1 或n，得3222y= 5 ( 舍去 ) ，21, QD3AQ1此時(shí) AQ，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí).22QD37、 (2008 海南、寧夏理 ) 如圖，已知點(diǎn)P 在正方體 ABCD A1B1C1D1 的對(duì)角線 BD1 上， PDA=60°。（ 1）求 DP與 CC所成角的大小； （ 2）求 DP與平面 AA D D所成角的大小。1117解：如圖，以D 為原點(diǎn)， DA 為單位

23、長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系DxyzD1則 DA(10，0)， CC(0，01)， 連結(jié) BD，BD AB 1在平面 BBDD中，延長(zhǎng) DP交BD 于H 1P設(shè) DH(m， m，1)(m0) ，由已知DH，DA60 ，D由 DA DH DA DH cosDA，DH可得2m2m21 AB22 ，2 ，z解得m，所以 DH22122020 1 1DHC2cos，22A（）因?yàn)?，BDH CC122P所以DH，CC45 D即 DP 與 CC 所成的角為 45 C（）平面 AA D D 的一個(gè)法向量是DC(01，0) AB2201101因?yàn)閏os，22，xDH DC122C 1Cy標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案所以DH，DC

24、60 可得 DP 與平面AA D D 所成的角為 30 8. (2008 湖北文 ) 如圖，在直三棱柱 ABCA1 B1C1 中，平面 A1 BC側(cè)面 A1 ABB1.（）求證：ABBC;（）若 AA1ACa ，直線 AC與平面 A1 BC 所成的角為，二面角A1BC A的大小為,求證：.28. 本小題主要考查線面關(guān)系、 直線與平面所成角、 二面角等有關(guān)知識(shí)， 考查空間想象能力和推理論證能力. （滿分 12 分）( ) 證明：如右圖，過點(diǎn)A 在平面 A1ABB1 內(nèi)作 AD A1B 于 D，則由平面 A1BC側(cè)面 A1ABB1, 且平面 A1BC側(cè)面 A1ABB1 A1B，得 AD平面A1BC

25、. 又 BC 平面 A1BC所以 AD BC.因?yàn)槿庵鵄BC A1B1C1 是直三棱柱 ,則 AA1底面 ABC,所以 AA1 BC.又 AA1 AD=A, 從而 BC側(cè)面 A1ABB1, 又 AB 側(cè)面 A1ABB1，故 AB BC.( ) 證法 1：連接 CD, 則由 ( ) 知 ACD就是直線 AC與平面 A1BC所成的角， ABA1就是二面角 A1 BCA 的頰角， 即 ACD ，ABA1=.于是在 Rt ADC中， sin = ADAD , 在 RtADA1中， sin AA1D AD AD ,ACaAA1asin=sin 1 , 由于與1都是銳角，所以1 .AADAADAAD又由

26、 Rt1知，1 1，故 .A ABAADAAB22證法 2：由 ( ) 知，以點(diǎn) B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC、 BA、BB1 所在的直線分別為x 軸、 y 軸、 z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .設(shè) AB=c（ c a，則 B(0,0,0) ， A(0,c,0) ， C(a 2c2 ,0,0 ),A1 (0, c,a ) ，于是 BC(a2c 2 ,0,0) ，BA1（，c,a ）0,AC(a2c 2 , c,0)AA1c,a設(shè)平面 A1BC的一個(gè)法向量為n=( x,y,z),則由nBA10,cyaz0,得a2c2 x 0.nBC0,可取 n（ 0， a，c），于是n· AC =ac

27、 0， AC 與 n 的夾角為銳角,則sin=cosn AC(0,a, c) (a 2c2 ,c,0)c,=a 2c2(a2c 2 ) c 2a2c 2| n | | AC |標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案BA1BA(0,a, c)(0,0, a)c,cos =a 2c2a 2|BA1 |BA|ac2所以 sin=cos=sin(),又 0，所以+=.2229. (2008湖北理 ) 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1 C1 中，平面ABC側(cè)面 A1ABB1.（）求證：ABBC；（）若直線 AC與平面 A1BC所成的角為 , 二面角 A1-BC-A 的大小為 的大小關(guān)系，并予以證明 .9. 本小題主要考查直棱

28、柱、 直線與平面所成角、 二面角和線面關(guān)系等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理能力. （滿分 12 分）（）證明：如右圖，過點(diǎn)A 在平面 A ABB內(nèi)作11AD A1B于 D，則側(cè)面 A ABB=A B, 得由平面 A BC側(cè)面 AABB, 且平面 A BC1111111AD平面 A1BC, 又 BC平面 A1BC，所以 ADBC.因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1 是直三棱柱，則 AA1底面 ABC，所以 AA1BC.又 AA1 AD=A, 從而 BC側(cè)面 A1 ABB1，又 AB 側(cè)面 A1ABB1，故 AB BC.（）解法1：連接 CD，則由（）知ACD 是直線 AC與平面 A BC1所成的角，ABA1 是二面角 A1 BC A的平面角，即ACD,ABA1 ,于是在 Rt ADC中， sinAD , 在 Rt ADB中， sinAD ,ACAB由 AB AC，得 sin sin，又0 ， ，所以 ，解法 2：由（）知，以點(diǎn)B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以2BC、BA、BB 所在的直線1分AA=a, AC=b,別為 x 軸、 y 軸、 z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)1=, 則(0,0,0),(0,0