1、2.利用通解定理求解定理：如果心人是互質(zhì)的整數(shù)，c是整數(shù)，且方程，戊+川=。有一組解,則此方程的一切整數(shù)解可表J = 0一、f x = x0+bt z+. . 、i 3女不為，（其中（為整數(shù)）= %一，例2 （198年“希望杯”試題）籃球、排球、足球放在一堆共25個，其中籃球個數(shù)是足球個數(shù)的7倍，那么 排球的個數(shù)是.解析設(shè)足球x個，排球），個，則籃球7x個.依題意有8x+y=25.:x, yGN易知，是方程的解,y = i丫 一 a +,，其通解為一。昨N）y = 1-8/可解得一 2WrW0當(dāng) r=-2 時，一；） = 17當(dāng)1=一1時，! C； y = 9. x = 3當(dāng)r=0時，y =

2、i所以，排球數(shù)為1個、9個或17個.點評：對于一些系數(shù)比較簡單的不定式方程，我們可以先觀察得出一組特解，再由定理得出通解，然后 根據(jù)題意求出/的取值范圍，再代入求出未知數(shù)的值.3.分離整系數(shù)求解例3 （2002年新加坡數(shù)學(xué)競賽題）正整數(shù)滿足8加+9=，皿+6,則機的最大值為解析 8小一=-9+6 ；即（8）川=9+6 .當(dāng)=8時，原方程無解：-9+ 6-9+ 72-66 八.66當(dāng)W8時,m=9+ - 71 + 8- + 8n 8當(dāng)-8=1,即=9時，有最大值9+66=75,滿足題意.所以，小的最大值為75.二、不定方程組一般來說，求一個未知數(shù)需要一個關(guān)于它的方程，求個未知數(shù)需要個獨立的關(guān)于它

3、的方程.當(dāng)未知 數(shù)的個數(shù)大于方程的個數(shù)時的方程組稱之為不定方程組.例 4 已知、z 滿足8 += ，則 x+、，+z=.解析 要求出x+y+z的值就需要對、式通過加減法將它們的系數(shù)和（差）變成1 ： 1 ： 1.Xk得2息+56+4依=15k, （3）+得（2A+7）x+（5*+l）y+（軟+3）z=15k+14,依題意得 2A+7=5k+1 =4攵+3,解之得k=2.將k=2代人式得llx+lly+llz=44,，x+y+z=4.點評：兩個未知數(shù)三個方程，一般不能求出唯一解，所以所求代數(shù)式一定能由兩個方程通過變形而來， 否則是求不出來的.如本題求x+y+2z是求不出來的，因為由2A+7=5k

4、+l得出k=2,代入2（軟+3）不能等 于 5A+1.4x - 3 y - 3z = 0X - 3 y - z = 0且型為求高生的值.7 解析：一得3x-2z=0,即工=二乙37將代人得y=-211再將A-= I z, y= -z代人所求代數(shù)式，產(chǎn)+ 2戶=軍（9；9=1 z3 .9廠+廠一2一（宗）2+（-1）22 11點評：同例4 一樣，本題也求不出x、v、x的具體值，但方程組和求出的代數(shù)式是關(guān)于x、y、z的齊次式, 所以只要將其中一個未知數(shù)看成常數(shù)，用它表示另兩個未知數(shù)即可求出.三、不定方程組的整數(shù)解不定方程的整數(shù)解問題一般利用消元的方法，將其化為不定方程求解.例6中國雞問題：雞翁一，

5、值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞，問雞翁、雞母、 雞雛各幾何？解析：設(shè)雞翁、雞母、雞雛的只數(shù)分別為小y、z,則有x + y + z = 1005x + 3y + | = 100消去x得7x+4y=100yGN，0W7x=100fW100,，0 4, 8, 12,代入式得y=25, 18, 11, 4, 代人式得z=75, 78, 81, 84y = 25,z = 75z = 78y = ll,z = 81x = 12, y = 4z = 84點評：本題轉(zhuǎn)化成求7x+4y=l（X）的非負整數(shù)問題后，也可以用通解方法求解，易知x=O, y=25是特解.好題妙解】佳題新題品味例不定

6、方程4x+7.v=2001有 組正整數(shù)解.解析：4x+7y=3X667,易知是其一組特解.y = 667.其通解為尸rez y = 667 - 47f-667 + 7f 211667 - 4f 21解之得96WW166可取整數(shù)值共71個.4x+7y=2001有71組正整數(shù)解.點評：將常數(shù)項分解，結(jié)合未知數(shù)系數(shù)的特點，使我特解變得容易，像這類解的組數(shù)較多的問題，一般 用通解定理解決.中考真題欣賞例（廣州市中考題）在車站開始檢票時，有“（。0）名旅客在候車室排隊等候檢票進站，檢票開始后，仍 有旅客繼續(xù)前來排隊檢票進站.設(shè)旅客按固定速度增加，檢票口檢票速度也是固定的，若開放一個檢票口，則 需30mi

7、n方可將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢：若開放兩個檢票口，則需lOmin方可將排隊等候檢票的 旅客全部檢票完畢；如果要在5min內(nèi)將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢，以便后來到站的旅客隨到隨檢， 至少要同時開放幾個檢票口？解析：題中有幾個未知量，不妨設(shè)旅客增加的速度為名/分鐘，每個窗口檢票的速度為c人/分鐘，需要 開x個窗口.依據(jù)題意，有a + 30b = 30c = 1,所以原方程有整數(shù)解，且 椀=6,是方程的一組特解.于是，原方程的整數(shù)解為 %:9.=6-6ly=9+7L19+ 7t NO g-1.當(dāng)，=0時，得r=6,ly =9：p=25, b=2.t rx =6t rx=259即原方程的

8、正整數(shù)解為=9； y = 23.4.解:因為（5, -15）=5 ,而522,故原方程沒有整數(shù)解，解:設(shè)2分的硬市x個和5分的硬幣y個，可湊成一元錢，則依題意可得2%+ % = 100,顯然 05,循原方程的一組待解.于是，原方程的所有整數(shù)解是：；：這里，為整數(shù).令 I 九=2,u 廣=45 -50,于是_】0, 小5 .解：設(shè)原六位數(shù)前三位數(shù)字組成的數(shù)為離，后三位數(shù)字組成的數(shù)為九則有GdORi+y） =1000y十孫 142y =85力,由于（857,142） =1,則 1421 孫8571 打且 142M8571y，且工、y 為三位數(shù)，所以* =142,丫 = 857.即這個六位數(shù)是M28

9、57.6 .解;設(shè)小雞被套中了父次，小猴被套中了 ,次,則小狗被套中了（】0_彳_八次,依題意有9+5y 4明心，“=一即小雞被套中5次 y=zx092(10-r-y)二 61,即 7* +3，= 41,且；yNO.N解:設(shè)支票上的元數(shù)與角，分數(shù)分別為“、九則有方程lOOy+z - 350 =2（1004+外，這里科y為整 數(shù)，且0（工 100,0 Wy 100.化簡方程，得9Sr = 19% + 350,即199“ - 9叼=-350,其特解為 廣 二所以，方程1穿-98y=-350的通解為=14+982,又由于owxioo 0這可得 lyo =32.ly = 32 + 199t。成仁故李林

10、所持支票的面額為14.32元,誤看成32. 14元,應(yīng)退回32. 14 -14.32 = 17, 82（元）.1.解,注意到= 100, j “,是其一個特解，所以原方程的通解為.jm = 100 -8t = 1 + 19f1由可得0WIW1Z所以，滿足條件的正整數(shù)對(人)有13對.2.解:設(shè)出題數(shù)為16、21、24的測試次數(shù)分別為工則依題意，有,：(”4y*Z=20, 16x+21y+24r374.于是” $ 8z = 54,解之得二：為整數(shù)，進而可得 = 11 + 3a U =3 +54f由于北、丫都為非負整數(shù),故 只能為6,從而有6次測試是出題21道, 3.解：設(shè)所求的正鋌數(shù)為明并設(shè)“29。+7 =416+28 =7c.這里。、人C為正整數(shù).解不定方程2%-43 = 21,得工m1為整數(shù).又7I29.47,故7Iq,從而，符合條件的最小(0 249 4292t.正整數(shù)a =70,此時工=2037.4解:設(shè)通)是方程的非負整數(shù)解，則0WZW6,分別就z = 0,1,2,.6討論,可知方程的非負整數(shù) 解的組數(shù)為竽卜外怎川外向“如圖+ 7=37.5.證明:為滿足任意兩數(shù)之積是另一個數(shù)的倍數(shù)，我們令彳=4,y =k,，=“ 則要求 ab + be -ca =1.不妨取6 = a -1, c = a(a - 1) -1.所以，若。為大于1的正整數(shù)，則正整數(shù)組”,y,z)滿足要