1、連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的比較)()()(tytytyzszi)()()(kykykyzszi)()(tytf)()(kykf)()()(khkfkyzs)()()(thtftyzs連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)常系數(shù)線性微分方程常系數(shù)線性微分方程卷積積分卷積積分離散系統(tǒng)離散系統(tǒng))()(kykf常系數(shù)線性差分方程常系數(shù)線性差分方程卷積和卷積和 LTILTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)離散系統(tǒng)的響應(yīng) 單位序列和單位序列響應(yīng)單位序列和單位序列響應(yīng) 卷積和卷積和本章要點(diǎn)：本章要點(diǎn)： 差分與差分方程差分與差分方程 前向差分、后向差分以及差分方程前向差分、后向差分以及差分方程 差分方程解差分方程解 數(shù)值解、經(jīng)典解，以及不同特征根對應(yīng)的齊

2、數(shù)值解、經(jīng)典解，以及不同特征根對應(yīng)的齊次解和不同激勵(lì)對應(yīng)的特解次解和不同激勵(lì)對應(yīng)的特解 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)一、差分與差分方程一、差分與差分方程)() 1()(kfkfkf) 1()()(kfkfkf1、前向差分與后向差分、前向差分與后向差分 一階后向差分一階后向差分一階前向差分一階前向差分2 2、前向差分與后向差分的關(guān)系、前向差分與后向差分的關(guān)系3 3、差分方程的一般形式、差分方程的一般形式將各階差分寫為將各階差分寫為y(k)y(k)及其各移位序列的線性組合：及其各移位序列的線性組合：常系數(shù)差分方程，用來描述LTI離散系統(tǒng)；變系數(shù)差分方程變系數(shù)差分方程) 1()(kf

3、kf0)(,),(),(, kykykykfn0)(,),1(),(, nkykykykg1 1、用迭代法求差分方程的數(shù)值解、用迭代法求差分方程的數(shù)值解差分方程是具有遞推關(guān)系的代數(shù)方程，當(dāng)已知差分方程是具有遞推關(guān)系的代數(shù)方程，當(dāng)已知初始條件和激勵(lì)時(shí)可以利用迭代法求得差分方初始條件和激勵(lì)時(shí)可以利用迭代法求得差分方程的數(shù)值解程的數(shù)值解當(dāng)差分方程階次當(dāng)差分方程階次較低較低時(shí)可以使用此法時(shí)可以使用此法二、差分方程的解二、差分方程的解例例3.11 若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為)()2(2) 1(3)(kfkykyky已知初始條件y(0)=0,y(1)=2,激勵(lì)f(k)=2k(

4、k),求y(k) 解：將差分方程中除y(k)以外的各項(xiàng)都移到等號右端，得)()2(2) 1(3)(kfkykyky對k=2，將已知初始值y(0)=0,y(1)=2代入上式，得2)2()0(2) 1 (3)2(fyyy依次迭代可得.10)4()2(2)3(3)4(10)3() 1 (2)2(3)3(fyyyfyyy特點(diǎn)：便于用計(jì)算機(jī)求解例例3.11 若單輸入若單輸入- -單輸出的單輸出的LTILTI系統(tǒng)的激勵(lì)為系統(tǒng)的激勵(lì)為f(k),f(k),全響應(yīng)為全響應(yīng)為y(k)y(k)，則描述系統(tǒng)激，則描述系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是勵(lì)與響應(yīng)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是n n階階常系數(shù)線性差分方程，一般可寫為

5、：常系數(shù)線性差分方程，一般可寫為：2 2、差分方程的經(jīng)典解、差分方程的經(jīng)典解nimjjijkfbikya00)()(解由齊次解和特解兩部分組成：解由齊次解和特解兩部分組成：1 1）齊次解：）齊次解：齊次方程齊次方程niinikya00)(00111 aaannn )()()(kykykyph的解稱為齊次解的解稱為齊次解. .它的它的n n個(gè)根個(gè)根i i（i=1,2, i=1,2, ,n) ,n)稱為差分方程稱為差分方程的特征根的特征根令令y(k)=C k1, 0)(.) 1()(01nnankyakyaky 均為單實(shí)根時(shí)的齊次解：均為單實(shí)根時(shí)的齊次解： 1 1為為r r重根，其余重根，其余(n

6、-r)(n-r)為特征單根：為特征單根： 有一對共軛復(fù)根有一對共軛復(fù)根1 1 、2 2=a+jb=a+jb Y Yh h(k)=(k)=k kCcos(k)+Dsin(kCcos(k)+Dsin(k) ) （其中（其中=arctan(b=arctan(b/a)/a)，=(a=(a2 2+b+b2 2) )1/21/2 nikiihcky1)( nijkjjrikirihckcky111)(幾種典型激勵(lì)函數(shù)相應(yīng)的特解激勵(lì)函數(shù)激勵(lì)函數(shù)f(t)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)函數(shù)y(t)的特解的特解mk k cos或或 k sinka10111所有特征根不等于PkPkPkPmmmm10111重特征根等于有rPkPkPk

7、Pkmmmmr沖特征根時(shí)是當(dāng)為特征單根時(shí)當(dāng)不等于特征根時(shí)當(dāng)raaPkaPakPakPaaPkaPaPakkkrrkrrkkk011101 kQkPsin)cos(選定特解后代入原差分方程，求出待定系數(shù)就得出方程的特解。3 3）全解）全解 )()()(kykykyph代入初始條件求出待定系數(shù)代入初始條件求出待定系數(shù)C Ci i ，于是得到完全，于是得到完全解的閉式解的閉式見書見書P88P88 解：方程的特征方程為例3.1-2,若描述某系統(tǒng)的差分方程為)()2(4) 1(4)(kfkykyky已知初始條件y(0)=0,y(1)=-1,激勵(lì)f(k)=2k,k0。求方程的全解0442特征根為1 22，

8、為二重根，齊次解為kkhCkCky)2()2()(21由題意，設(shè)特解為0,2)(kPkykp 將yp(k)代入到原方程得kkkkkfPPP2)(242422141P全解為：0,241)2()2()()()(21kCkCkykykykkkph將已知條件代入，得C11,C2=1/40,241)2(41)2()(kkkykkk自由響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)1、解形式、解形式 零狀態(tài)響應(yīng)，僅由激勵(lì)引起零輸入響應(yīng)，激勵(lì)為零時(shí)的響應(yīng)三、零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)三、零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng))()()(kykykyzszi當(dāng)特征根均為單根時(shí)，有：當(dāng)特征根均為單根時(shí)，有：czii 由初始狀態(tài)決定，由初始狀態(tài)決定，

9、czsi由激勵(lì)決定，由激勵(lì)決定，且且ci=czii+czsinikiziizicky1)(nipkizsizskycky1)()( 由于由于y yzszs(k(k) )為零狀態(tài)響應(yīng)，為零狀態(tài)響應(yīng)，k0k0時(shí)激勵(lì)還沒有接入，時(shí)激勵(lì)還沒有接入，所以有：所以有：yzs(-1)=yzs(-2)=yzs(-n)=0而，而，y(k)=yzi(k)+yzs(k)，故：，故：yzi(-1)=y(-1)，yzi(-2)=y(-2)，yzi(-n)=y(-n) -系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)的初始狀態(tài)2、求初始值、求初始值 初始值：y(0),y(1)y(n-1) 可由差分方程推出例3.1-4 若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為)

10、()2(2) 1(3)(kfkykyky已知f(k)=0,k0時(shí)為零，因而在k0時(shí)，系統(tǒng)的h(k)和系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的函數(shù)形式相同。 因此因此，求h(k)的問題轉(zhuǎn)化為求差分方程的齊次解的問題，而h(0)可按零狀態(tài)的條件由差分方程確定。例題例題 例3.2-1 求下圖所示離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)。見書見書p96（2 2）h(k)h(k)滿足滿足 h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=(k)h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=(k) h(-1)=h(-2)=0 h(-1)=h(-2)=0 (3) (3)求初始值：用迭代法求初始值：用迭代法 h(k)=h(k-1)+2h(k-2)+ (k)

11、h(k)=h(k-1)+2h(k-2)+ (k) h(0)=h(-1)+2h(-2)+1=1 h(0)=h(-1)+2h(-2)+1=1 h(1)=h(0)+2h(-1)+0=1 h(1)=h(0)+2h(-1)+0=1(4) (4) k k0 0時(shí)時(shí), h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=0, h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=0 h(k)=c h(k)=c1 1(-1)+c(-1)+c2 2(2)(2) h(0)=c h(0)=c1 1+c+c2 2=1 =1 ； h(1)=-ch(1)=-c1 1+2c+2c2 2=1 =1 得得 c c1 1=1/3;c=1/3;c2 2=2

12、/3=2/3所以 )()2(32) 1(31)(kkhkk（1 1）列寫差分方程）列寫差分方程： y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k) 階躍響應(yīng)：階躍響應(yīng)：g(k)g(k) 1). 1).定義：定義：g(k)=T0, (k) g(k)=T0, (k) 2).h(k) 2).h(k)與與g(k)g(k)的關(guān)系：的關(guān)系： 0)()()(jkijkik0)()()(jkijkhihkg經(jīng)典法經(jīng)典法; ;由由h(k)h(k)求出求出 例：同例例：同例3.2-13.2-1 經(jīng)典法：經(jīng)典法： g(k)-g(k-1)-2g(k-2)= (k)g(k

13、)-g(k-1)-2g(k-2)= (k) g(-1)=g(-2)=0 g(-1)=g(-2)=0 對對k0,g(k)-g(k-1)-2gk0,g(k)-g(k-1)-2g（k-2k-2）=1=1 齊次解：齊次解：g gn n(k(k)=c)=c1 1 (-1) (-1)k k +c +c2 2(2)(2)k k 特解：特解：g gp p(k(k)=p)=p0 0=- =- 求求g(k)g(k)的方法的方法g(k)= cg(k)= c1 1 (-1)(-1)k k + c + c2 2(2)(2)k k - - k0 k0見書見書P87，表，表32 g(-1)= -c g(-1)= -c1 1

14、+2c+2c2 2- - =0 =0 g(-2)= c g(-2)= c1 1+ c+ c2 2- - =0 =0 所以：所以：c c1 1 =1/6; c =1/6; c2 2=4/3 =4/3 利用h(k)求g(k): )()2(32) 1(31)(kkhkkkiiikiihkg0)2(32) 1(31)()(g(k)=1/6g(k)=1/6 (-1)(-1)k k + 4/3(2) + 4/3(2)k k - - (k) (k) 1)2(232) 1(1 61)(kkkg0,21)2(34) 1(61kkk3.3 3.3 卷積和卷積和1. 1. 卷積和的定義卷積和的定義: : f(t)

15、y f(t) yzs zs(t (t)=h(t)=h(t)* *f(t)f(t) (t) h(t) (t) h(t) f(k) y f(k) yzs zs(k(k)=h(k)=h(k)* *f(k)f(k) (k) h(k) (k) h(k)f(kf(k）的分解：）的分解： k=-2, f(-2)k=-2, f(-2)* * (k+2) (k+2) k=-1, f(-1) k=-1, f(-1)* * (k+1) (k+1) k=0, f(0) k=0, f(0)* * (k) (k) k=1, f(1) k=1, f(1)* * (k-1) (k-1) k=i, f(i) k=i, f(i)

16、* * (k-i) (k-i) iikif)()(f(k) )()(TTf(k)(k)yzsiikifiikTif)()(iikhif)()(h(k)*f(k)3.3.一般定義一般定義: : iikfif)()(k)f*(k)ff(k)2121i: i:求和變量求和變量 ：-+ + ；k:k:參考量：參考量：-+3.3 卷積和 1 .序列的時(shí)域分解 任意離散序列f(k) 可表示為 f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0)(k) + f(1)(k-1)+ f(2)(k-2)+ + f(i)(k i) + 2 .任意序列作用下的零狀態(tài)響應(yīng)根據(jù)h(k)的定義：3 .卷積和的定義 已知定義在區(qū)間

17、（ ，）上的兩個(gè)函數(shù)f1(k)和f2(k)，則定義和為f1(t)與f2(t)的卷積和，簡稱卷積；記為f(k)= f1(k)*f2(k)注意：求和是在虛設(shè)的變量i 下進(jìn)行的，i 為求和變量，k 為參變量。結(jié)果仍為k 的函數(shù)。例題例題 例1：f (k) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求yzs(k)。 解： yzs(k) = f (k) * h(k)當(dāng)i k時(shí)，(k - i) = 0這種卷積和的計(jì)算方法稱為：解析法。 例例2 已知序列x(k)=(3)-k(k) ，y(k)=1, -k, 試驗(yàn)證x(k)和y(k)的卷積和運(yùn)算滿足交換律，即)()()()(kxkykykx證證: 先計(jì)

18、算x(k)*y(k)，考慮到(k)的特性，有 5 . 1233111)3(1)()3()()()()(0iiiiiiikyixkykx再計(jì)算再計(jì)算y(k)*x(k)，同樣考慮到，同樣考慮到u(k)的特性，可得的特性，可得 求解過程中對k沒有限制，故上式可寫為x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5 -k可見，x(k)*y(k)運(yùn)算滿足交換律。運(yùn)算滿足交換律。 5 . 1313) 3() 3(3) 3() 3()() 3(1)()()()()()(kkkikiikikiikiikikxiykxky所以 5 . 1)()()()(kxkykykx 例3：求 (k) * (k)解解：例4：求a

19、k (k) * (k 4)解：解：考慮到(i)的特性，可將上式表示為 iiikiekfkf)()()()(21例例 設(shè)f1(k)=e-k( k)，f2(k)= (k), 求f1(k)*f2(k)。解解 由卷積和定義式得 1)1(1100211111)()()(eeeeeeikekfkfkkkiiii顯然，上式中顯然，上式中k0，故應(yīng)寫為，故應(yīng)寫為 )(11)()()()(1)1(21keekkekfkfkk1)1(1100211111)()()(eeeeeeikekfkfkkkiiii二、卷積的圖解法二、卷積的圖解法 卷積過程可分解為四步： （1）換元： k換為i得f1(i)， f2(i) （

20、2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn)f2(i),右移k f2(k i) （3）乘積： f1(i) f2(k i) （4）求和： i 從到對乘積項(xiàng)求和。 注意：k 為參變量。 下面舉例說明。 例1：f1(k)、f2(k)如圖所示，已 知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？（1）換元（2） f2(i)反轉(zhuǎn)得f2( i)（3） f2(i)右移2得f2(2i)（4） f1(i)乘f2(2i)（5）求和，得f(2) = 4.5.)0()2() 1 () 1 ()2()0() 3() 1()2(21212121fffffffff解：畫出解：畫出f1(i),f2(i),f2(-i)?列表法求卷積和列表法求卷積和 f(k) =ff(k) =f1 1(k)(k)* *f f2 2(k)= f(k)= f1 1(i)f(i)f2 2(k-i)(k-i) ki 0序號：序號：i+k-i=ki+k-i=kf(k)f(k)卷積和長度卷積和長度: N=L+M-1 (L+M: N=L+M-1 (L+M是原序列長）是原序列長）見書p104)0()3() 1 ()2()2()