1、二項(xiàng)分布1 . n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)一般地，由n次試驗(yàn)構(gòu)成，且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立完成，每次試驗(yàn)的結(jié)果僅有 兩種對(duì)立的狀態(tài)，即A與入，每次試驗(yàn)中P(A) p 0。我們將這樣的試驗(yàn)稱(chēng)為n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，也稱(chēng)為伯努利試驗(yàn)。(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)滿(mǎn)足的條件 第一：每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行的；第 二：各次試驗(yàn)中的事件是互相獨(dú)立的；第三：每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果。(2 ) n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率 P(X k) CnPk(1 PL。2 .二項(xiàng)分布若隨機(jī)變量X 的分布列為P(X k)Ckpkqn k ,其中0 p 1p q 1,k 0,1,2L ,n,則稱(chēng)X服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布，記作X :

2、 B(n, p)。1 . 一盒零件中有9個(gè)正品和3個(gè)次品，每次取一個(gè)零件，如果取出的次品不更 放回,求在取得正品前已取出的次品數(shù) X的概率分布。2 .一名學(xué)生每天騎車(chē)上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交 通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是 1.3(1)設(shè) 為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求的分布列；設(shè) 為這名學(xué)生在首次停車(chē)前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)，求的分布列；(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.3 .甲乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為1,乙每次擊中目標(biāo)的概2率為2.3(1)記甲擊中目標(biāo)的此時(shí)為，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率；(3

3、)求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率.【鞏固練習(xí)】1.已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球的2分，取出一個(gè)黑 球白1分.現(xiàn)從該箱中任取(無(wú)放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球，記隨機(jī) 變量X為取出3球所得分?jǐn)?shù)之和.(I )求X的分布列；(11)求*的數(shù)學(xué)期望E(X).2甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球,.約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有 人獲勝或每人都已投球 3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙3每次投籃投中的概率為1,且各次投籃互不影響.2(I)求甲獲勝的概率；(n)求投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù) 的分布列與期望3.設(shè)籃球隊(duì)A與B進(jìn)行比賽，每場(chǎng)比賽均有一隊(duì)勝，若有一隊(duì)勝4場(chǎng)

4、則比賽宣告結(jié)束，假定A,B在每場(chǎng)比賽中獲勝的概率都是 1 ,試求需要比賽場(chǎng)數(shù)的2期望.3.電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類(lèi)體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了 100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié) 目時(shí)間的頻率分布直方圖；將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于 40分鐘的觀眾稱(chēng)為“體育迷”.(I )根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與 性別有關(guān)(H )將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率 .現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采 用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人 數(shù)為X若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期

5、望和方差.5.某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考 試，否則即被淘汰，已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為 4、3、2 ,且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響.555(I )求該選手被淘汰的概率；(n)該選手在選拔中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)記為 己，求隨機(jī)變量己的分布列與數(shù)數(shù)期 望.(注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示)6 . 一批產(chǎn)品共10件，其中7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件， 在下述三種情況下，分別求直至取得正品時(shí)所需次數(shù)的概率分別布.(1)每次取出的產(chǎn)品不再放回去；(2)每次取出的產(chǎn)品仍放回去；(3)每次取出一件次品后，總是另取一件正品放回到這批產(chǎn)

6、品中.7 .設(shè)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量己表示方程x2+bx+c=0實(shí)根的個(gè)數(shù)(重根按一個(gè)計(jì)).(I)求方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率;(II )求己的分布列和數(shù)學(xué)期望；8 .(本題滿(mǎn)分12分)某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則如下： 消費(fèi)額每滿(mǎn)100元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)一次，并獲得相應(yīng) x-AXCC60 .A金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置.若指針停在A區(qū)域返券60 元；停在B區(qū)域返券30元；停在C區(qū)域不返券.例如：消費(fèi)218元，可轉(zhuǎn) 動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和.(I)若某位顧客消費(fèi)128元，求返券金額不低于30元的概率；(I

7、I )若某位顧客恰好消費(fèi)280元，并按規(guī)則參與了活動(dòng)，他獲得返券的金 額記為(元)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.9 .(本題滿(mǎn)分12分)中國(guó)？黃石第三屆國(guó)際礦冶文化旅游節(jié)將于 2012年8月20 日在黃石鐵山舉行，為了搞好接待工作，組委會(huì)準(zhǔn)備在湖北理工學(xué)院和湖北師范 學(xué)院分別招募8名和12名志愿者，將這20名志愿者的身高編成如下莖葉圖(單 位：cmj)若身高在175cm以上(包括175cmj)定義為“高個(gè)子”，身高在175cm以下 (不包括175cm)定義為“非高個(gè)子”，且只有湖北師范學(xué)院的“高個(gè)子”才能 擔(dān)任“兼職導(dǎo)游”。湖北理工學(xué)院湖北師范學(xué)院9158 99161 2 5 8 96 5

8、0173 4 67 2180 1119(1)根據(jù)志愿者的身高編莖葉圖指出湖北 師范學(xué)院志愿者身高的中位數(shù)；(2)如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中抽取5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少(3)若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者， 用表示所選志愿者中能擔(dān)任“兼職導(dǎo)游”的人 數(shù)，試寫(xiě)出 的分布列，并求 的數(shù)學(xué)期望。10 .某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2,，8,其 中X5為標(biāo)準(zhǔn)A, X3為標(biāo)準(zhǔn)B,已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零 售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件，假定甲、 乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的

9、執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)(I)已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù) X的概率分布列如下所示：5678x1P0. 4ab0. 1且X的數(shù)字期望EX=6,求a, b的值；(II )為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù) X2,從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 30件，相 應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望.11 .受轎車(chē)在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)產(chǎn)生每輛轎車(chē)的利潤(rùn)與該轎車(chē)首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)，某轎車(chē)制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車(chē)，保修期均為2年，現(xiàn)從該

10、廠已售出的兩種品牌轎車(chē)中隨機(jī)抽取 50輛，統(tǒng)計(jì)書(shū)數(shù)據(jù)如下：將頻率視為概率，解答下列問(wèn)題：(I )從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車(chē)中隨機(jī)抽取一輛， 求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保 修期內(nèi)的概率；(II )若該廠生產(chǎn)的轎車(chē)均能售出，記住生產(chǎn)一輛甲品牌轎車(chē)的利潤(rùn)為， 生產(chǎn)一輛乙品牌轎車(chē)的利潤(rùn)為，分別求，的分布列；(III )該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車(chē)銷(xiāo)量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn) 其中一種品牌轎車(chē)，若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)該產(chǎn)生哪種 品牌的轎車(chē)說(shuō)明理由。鞏固練習(xí)答案1.【解析】本題主要考察分布列，數(shù)學(xué)期望等知識(shí)點(diǎn)(I) X的可能取值有:3,4,5,6.C52c420P(X6C5353)高42;P(X 4)3

11、42C：c;c；c：15C32P(X5)宇42；P(X 6)342C3C9故，所求X的分布列為X34565201015521p42422142144221(n)所求X的數(shù)學(xué)期望E(X)為：61313日X)=i P(X i).【答案】(i)見(jiàn)解析；(n).1 4332 .【考點(diǎn)定位】本題考查離散隨機(jī)變量的分布列和期望與相互獨(dú)立事件的概率，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，相互獨(dú)立事件是指兩事件發(fā)生的概率互不影響，注意應(yīng)用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式.解：設(shè)入，區(qū)分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則11.P Ak, P Bk , k 1,2,332(1)記“甲獲勝”為事件 C,由互斥事件有一個(gè)發(fā)

12、生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式知，P C P A1P AB1A2P A1B1A2B2A3PA P A P B1PA2P A1PBi P A2PB2PA312 113 3 2 3（2）的所有可能為由獨(dú)立性知：PP2PP 3 P ABiA2B222211113233 9:1,2,31 P A P A1B1ab!a2p A1B1A2B222113272712 123 3 2 322212329綜上知，有分布列123P232919221 13從而，E 12 2-31 13（次）399 93.解：（1）事件 X 4”表示，A勝4場(chǎng)或B勝4場(chǎng)（即B負(fù)4場(chǎng)或A負(fù)4場(chǎng)），且兩兩互斥.P(X 4)

13、C4/1、4 /100/L0/1、4(C )(C )C4( J( c )22222一16（2）事件“ X 5”表示，A在第5場(chǎng)中取勝且前4場(chǎng)中勝3場(chǎng)，或B在第5場(chǎng)中取勝且前4場(chǎng)中勝3場(chǎng)（即第5場(chǎng)A負(fù)且4場(chǎng)中A負(fù)了 3場(chǎng)），且這兩者又是互斥的，所P(X416Q 1 -1 3/1 45) -C4(-)(-) 22311( 1 11 ? 1 C，一)(-)222（3）類(lèi)似地，事件“ X 6”、“X 7”的概率分別為13 1 3 1P(X 6)C3( )3()22213131P(X 7)C3( )3()22251651612, 1 自1、5 2C5(2) (2)1c方乎4)6 222比賽場(chǎng)數(shù)的分布列為

14、X45672455P16161616 2455故比賽的期望為 E(X) 4一567 5.8125 (場(chǎng)) 16161616這就是說(shuō)，在比賽雙方實(shí)力相當(dāng)?shù)那闆r下，平均地說(shuō)，進(jìn)行6場(chǎng)才能分出勝負(fù).4.【答案及解析】(I)由頻率頒布直方圖可知,在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2X2列聯(lián)表如 下：由2 X 2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得：因?yàn)?)P(A3)142433101-.555555125(l)解法二：記“該選手能正確回答第i輪的問(wèn)題”的事件為 Ai(i 123),一，432則 P(A)P(A2)P(A3)555該選手被淘汰的概率P 1 P(AA2A3) 1 P(A)P(A2)P(A

15、3). 4 3 2 1011555 1251(n)的可能值為 1,2,3, P( 1) P(A1) 一，54 28P( 2) P(AA) P(A)P(A2)-5 5254 312P( 3) PCA2) P(A)P(AJ-1-.5 525的分布列為123P一812525258125752525 256. (1) X的所有可能值為1, 2, 3, 4。X的分布列為P(X=1)=7/10 ,P(X=2)=3/10 X 7/9=7/30 ,P(X=3)=3/10 X 2/9 X 7/8=7/120 ,P(X=4)=3/10 X 2/9 X 1/8=1/120。(2) X的所有可能值為1, 2, 3,

16、4。X的分布列為P(X=k)= (A)k L , k=1, 2, 3, 1010(3) X的所有可能值為1, 2, 3, 4。X的分布列為P(X=1)=7/10 ,P(X=2)=3/10 X 8/10=6/25 , P(X=3)=3/10 X 2/10 X 9/10=27/500 ,P(X=4)=3/10 X 2/10 X 1/10=3/500。7.解：(I)由題意知，本題是一個(gè)等可能事件的概率，0306090120所以，隨機(jī)變量的分布列為:其數(shù)學(xué)期望11分9、解：(1)根據(jù)志愿者的身高編莖葉圖知湖北師范學(xué)院志愿者身高的中位數(shù)為:168 169168.5 .2 分125 -203人;(2)由莖

17、葉圖可知，“高個(gè)子”有8人，“非高個(gè)子”有12人，按照分層抽樣抽取的 5人中“高個(gè)子”為5 2人，“非高個(gè)子”為20C27則至少有1人為圖個(gè)子的概率 P = 1話6分C5210(3)由題可知：湖北師范學(xué)院的高個(gè)子只有3人，則的可能取值為0,1 , 2,3 ;故 P( 0)C53C31056P(八 C52C330I) 3-C；56P( 2)C5C3C；1556P(C33) -4C3156即的分布列為:10561056305610.解：(I)因?yàn)?EX11513056一十3 一56566,所以 5 0.4 6a 7b 8 0.1又由X1的概率分布列得0.4 a b 0.16a a7b 3.2“ 口

18、,解得b 0.5.0.3,0.2.215560.5.31566,即6a 7b 3.2.0. 30. 20. 20. 1f70. 180. 1X2的概率分布(II )由已知得，樣本的頻率分布表如下：X23456用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級(jí)系數(shù) 列如下：X 2345678P0. 30. 20. 20. 10. 10. 1所以EX2 3P(X2 3)4P(X2 4)5P(X2 5)6P(X26) 7P(X27) 8P(X23 0.3 4 0.2 5 0.2 6 0.1 7 0.1 8 0.1 4.8.即乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于.(III )乙廠的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性，理由如下：因?yàn)榧讖S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的期望數(shù)學(xué)等于6,價(jià)格為6元/件，所以其性?xún)r(jià)比為 6 16因?yàn)橐覐S產(chǎn)呂的等級(jí)系數(shù)的期望等于，價(jià)格為4元/件，