1、高一數學必修一各章知識點總結高一數學必修 1 各章知識點總 結第一章 集合與函數概念、集合有關概念1. 集合的含義2. 集合的中元素的三個特性：(1) 元素的確定性如：世界上最高的山(2) 元素的互異性如：由 HAPPY 的字母組成的集合 H,A,P,Y 元素的無序性：如：a,b,c和a,c,b是表示同一個集合3. 集合的表示：如：我校的籃球隊員, 太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。 注意：常用數集及其記法： 非負整數集(即自然數集) 記作： N 正整數集 N* 或 N+ 整數集 Z 有理

2、數集 Q 實數1) 列舉法：a,b,c2) 描述法：將集合中的元素的公共屬性 描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。x R| x-3>2 ,x| x-3>23 )語言描述法：例： 不是直角三角形的三角形4 )Venn 圖 ：4、集合的分類：（1）有限集含有有限個元素的集合（2）無限集 含有無限個元素的集合（3）空集 不含任何元素的集合 例：x|x2 = 5二、集合間的基本關系1.“包含”關系一子集注意：A B有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A2 “相等”關系 A=B （5 5,且 5 ,則

3、5=5） 實例：設A=xx2-1=0 B=-1,1“元素相同則兩集合相等”即：任何一個集合是它本身的子集。A A 真子集:如果A B,且A B那就說集合A是集合B的真子集，記作A - B（或B A） 如果A B, B C ,那么A C 如果A B同時B A那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集三、集合的運算運算類型交集并集補集疋義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做由所有屬于集合A或屬于集合B的 元素所組成的集設S是一個集合， A是S的一個子 集，由S中所有不 屬于A的元素

4、組成A,B的交集.記作A B (讀作A交B'),即A B=x|x A ,且X B.合，叫做A,B的并集.記作：A B （讀作A并B'）,即A B=x|x A ,或X B）.的集合，叫做S中 子集A的補集（或 余集）記作CSA ,即CsA=x|x S）且X A韋 恩 圖 示OD圖1d圖2性質A A=AA =A B=B AABAABBA A=AA =AA B=B AA B AABB(CUA)(CUB)=CU (A B)(CUA)(CUB)=CU(A B)A (CUA)=UA (CUA)= .例題：1. 下列四組對象，能構成集合的是（）A某班所有高個子的學生 B著名的藝術家C一切很大

5、的書D倒數等于它自身的實數2. 集合a，b，C 的真子集共有 個3. 若集合 M=yy=x 2-2x+1,xR,N=xx 0,貝U M 與 N 的關系是.4. 設集合A= 1 X 2 , B=XX a ,若A B ,則a的取值范圍是5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學實驗做得正確得有 31人，兩種實驗都做錯得有 4人，則這兩種實驗都做對的有 _人。6. 用描述法表示圖中陰影部分的點(含邊界上的點)組成的集合M=7. 已知集合 A=x X .定義域：能使函數式有意義的實數 X的集合稱為 函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1) 分式的分母

6、不等于零； (2) 偶次方根的被開方數不小于零；(3) 對數式的真數必須大于零；(4) 指數、對數式的底必須大于零且不等于 1.(5) 如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的X的值組成的集合.+2x-8=0, B=x X 2-5x+6=0, C=x X 2-mx+m 2-19=0,若 B C,A C=，求 m 的值二、函數的有關概念1 函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某 個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數 X ,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么 就稱f: ATB為從集合A到集合B的一個函數記 作：y=f(x)，

7、x .其中，X叫做自變量，X的取值范 圍A叫做函數的定義域；與X的值相對應的y值叫做 函數值，函數值的集合f(x) X 叫做函數的值域.(6) 指數為零底不可以等于零，義.(7) 實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意相同函數的判斷方法：表達式相同(與表示自 變量和函數值的字母無關)；定義域一致(兩點 必須同時具備)(見課本21頁相關例2)2 值域：先考慮其定義域(1) 觀察法(2) 配方法(3) 代換法3.函數圖象知識歸納(1) 定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f() , (X A)中的X為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(X, y)的 集合C,叫做函數y=f(x),(x A)的圖象

8、.C上每一點 的坐標(X, y)均滿足函數關系y=f(x),反過來，以滿 足y=f(x)的每一組有序實數對X、y為坐標的點(X, y),均在C上.畫法A、描點法：B、圖象變換法常用變換方法有三種1) 平移變換2) 伸縮變換3) 對稱變換4 區(qū)間的概念(1) 區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間(2) 無窮區(qū)間(3) 區(qū)間的數軸表示.5 映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某 一個確定的對應法則f,使對于集合A中的任意一個 元素X ,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對 應，那么就稱對應f： A B為從集合A到集合B的 一個映射。記作“f (對應關系)：A (原象)B(象)”對于映射

9、f: ATB來說，則應滿足：(1) 集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且 象是唯一的；(2) 集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是 同一個；(3) 不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原 象。6.分段函數(1) 在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函 數。(2) 各部分的自變量的取值情況(3) 分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各 段值域的并集補充：復合函數如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),則 y=fg(x)=F(x)(x A) 稱為f、g的復合函數。二.函數的性質1.函數的單調性(局部性質)(1)增函數設函數y=f(x)的定義域為I ,如果

10、對于定義域I內 的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量X1，X2 ,當x1<x2 時，都有f(Xl)vf(X2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函 數.區(qū)間D稱為y=f(x)的單調增區(qū)間.如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值X1，X2 , 當X1<X2時，都有f(xi) > f(x 2),那么就說f(x)在這個區(qū) 間上是減函數.區(qū)間D稱為y=f(x)的單調減區(qū)間.注意：函數的單調性是函數的局部性質；(2)圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數，那 么說函數y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性， 在單調區(qū)間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函 數的圖象從左到右

11、是下降的.(3) .函數單調區(qū)間與單調性的判定方法(A) 定義法：取 X1，X2D'且 X1<X2；Q乍差 f(Xl) f(X2)； 變形(通常是因式分解和配方)；©定號(即判斷差f(Xl) f(x2)的正負)；Q下結論(指出函數f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性)(B) 圖象法(從圖象上看升降)(C) 復合函數的單調性復合函數fg()的單調性與構成它的函數u=g(x)， y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律：“同增異減”注意：函數的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.8. 函數的奇偶性(整體性質)(1)偶函數一般地，對于函數f()的

12、定義域內的任意一個X,都 有f(- x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數.(2) 奇函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個X,都 有f(- X)=f(x),那么f(x)就叫做奇函數.(3) 具有奇偶性的函數的圖象的特征 偶函數的圖象關于 y 軸對稱；奇函數的圖象關于原點 對稱.利用定義判斷函數奇偶性的步驟：d首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點 對稱； 確定f( x)與f(x)的關系；g作出相應結論：若f( x) = f(x)或f( x) f(x)= 0 ,則 f(x)是偶函數；若 f( x) = f(x)或 f( x) + f(x) =0 ,則f(x)是奇函數.注意：函數

13、定義域關于原點對稱是函數具有奇偶 性的必要條件.首先看函數的定義域是否關于原點對 稱,若不對稱則函數是非奇非偶函數 .若對稱, (1)再 根據定義判定；由f(-x) ±±(x)=0或f(x) / f(-x)= ±1來 判定; (3)利用定理,或借助函數的圖象判定 .9、函數的解析表達式(1 ).函數的解析式是函數的一種表示方法,要求兩 個變量之間的函數關系時,一是要求出它們之間的對 應法則,二是要求出函數的定義域 . (2)求函數的解析式的主要方法有：1) 湊配法2) 待定系數法3) 換元法4) 消參法10 函數最大(小)值(定義見課本 p36頁)用二次函數的性質

14、(配方法)求函數的最大(小)值色幣用圖象求函數的最大(小)值 刑用函數單調性的判斷函數的最大(小)值：如果函數y=f(x)在區(qū)間a, b上單調遞增，在區(qū)間b ,c上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數y=f(x)在區(qū)間a, b上單調遞減，在區(qū)間b ,c上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)； 例題：1. 求下列函數的定義域： y2 4x ,求函數f(M , f(2x 1)的解析式7. 已知函數 f(x)滿足 2f(x) f( M CX 4,則 f(X)=。8. 設f(X是R上的奇函數，且當X 0,)時,f (X)x(1 3X),則當X (,0)時f(X

15、> =215 y 1 (X 1)2y X 33x 16已知函數f (x 1)2. 設函數f (x)的定義域為0, 1,則函數f(2)的定義域為 3. 若函數f( 1)的定義域為2 , 3,則函數f(2x 1)的定義域是X 2(x1)4.函數f (X)X2 ( 1X2),若 f (X)3 ,則X =2x(x2)5.求下列函數的值域： y X2 2x3 (XR)yX22x3 X 1,2 y X . 12xy .X24x59. 求下列函數的單調區(qū)間: y x2 2x 3 y2x3 y 2 6 X 1310. 判斷函數y X 1的單調性并證明你的結論.11. 設函數f（x） 1 x2判斷它的奇偶

16、性并且求證：f（丄）f （X）1 X2X第二章基本初等函數一、指數函數（一）指數與指數幕的運算1. 根式的概念：一般地，如果Xn a ,那么X叫做a 的n次方根，其中n >1 ,且n N *.負數沒有偶次方根;n 0 0當n是奇數時，IanIal a0的任何次方根都是0,記作n ： n-a(aa (a2 .分數指數幕a ,當n是偶數時,0）0）正數的分數指數幕的意義，規(guī)定:ma7 rmam (a 0, m, n N*, n 1),a n1 1 *m =(a 0, m,n N ,n 1)m n amCn aa0的正分數指數幕等于0, 0的負分數指數幕沒有 意義3 .實數指數幕的運算性質(1

17、)rra ar S a(a0,r,sR)；(ar)srs(2)a(a0,r,sR)；(3)(ab)rr S a a(a0,r,sR).(二) 指數函數及其性質1、指數函數的概念：一般地，函數y ax(a 0,且a 1)叫做指數函數，其中X是自變 量，函數的定義域為R.注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1 .2、指數函數的圖象和性質a>1O<a<1j.1 1111'i-定義域R定義域R值域y > O值域y> 0在R上單調遞增在R上單調遞減非奇非偶函數非奇非偶函數函數圖象都 過定點(O，1)函數圖象都 過定點(O，1)注意：禾U用函數的單調性

18、，結合圖象還可以看出：(1) 在a，b上，f(x) ax (a O且a 1)值域是 f(a),f(b)或f(b),f(a);(2) 若X O ,則f (x)1 ; f (x)取遍所有正數當且僅當X R ;(3)對于指數函數f(x) ax(a 0且a 1),總有f(1) a ；二、對數函數(一)對數1 .對數的概念：一般地，如果ax N (a 0,a1),那么數X叫做以a為底N的對數，記作：X IogaN(a 底數，N 真數，Ioga N 對數式) 說明：O注意底數的限制a0 ,且 a 1 ；ax N log a N X ；注意對數的書寫格式.兩個重要對數：常用對數：以10為底的對數Ig N ;

19、Ioga NO自然對數：以無理數e 2.71828為底的對數的對數 InN .指數式與對數式的互化幕值 真數ab = N Iog a N = bL底數指數對數(二)對數的運算性質如果a 0 ,且a 1，M 0，N 0 ,那么: (DIOga(M N) Ioga M + Ioga N ;OIOga Iog a M IOgaN ;NOIOgaMn n IogaM (n R).注意：換底公式0 ,且 C 1 ;Iogbalog c b Z CLlog a b -( a 0 ,且 a 1; Clog C ab 0 )利用換底公式推導下面的結論(1) Iogambn -Iogab ;( 2) Iogab

20、m（二）對數函數0 ,且 a 1)1、對數函數的概念：函數y Ioga x（a叫做對數函數，其中X是自變量，函數的定義域是 （0，+ ）注意：匸對數函數的定義與指數函數類似，都是形式 定義，注意辨別。如：Y 2Iog2X，y Iog5仝都不是5對數函數，而只能稱其為對數型函數對數函數對底數的限制：（a 0,且a 1）.2、對數函數的性質：a>10<a<1IrL-二二一.110"1S . 定義域X> 0定義域X>0值域為R值域為R在R上遞增在R上遞減函數圖象 都過定點（1，0）函數圖象都過 定點（1，0）1X(三) 幕函數1、幕函數定義：一般地，形如 y X (a R)的函數 稱為幕函數，其中 為常數2、幕函數性質歸納.(1) 所有的幕函數在(0, + )都有定義并且圖象都 過點(1 , 1 )；(2) 0時，幕函數的圖象通過原點，并且在區(qū)間0,)上是增函數.特別地，當1時，幕函數的圖象下凸；當01時，幕函數的圖象上凸；(3) 0時，幕函數的圖象在區(qū)間(0,)上是減函 數.在第一象限內，當X從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當X趨于 時， 圖象在X軸上方無限地逼近X軸正半軸.例題：1.已知a>0