1、（華東師大版）八年級數(shù)學(xué)因式分解一一十字相乘法與分組分解法【學(xué)習(xí)要求】1 1 . .理解十字相乘法與分組分解法；2 2 . .會運用十字相乘法與分組分解法分解因式。【知識內(nèi)容】1. .十字相乘法分解因式：（1 1）首項系數(shù)是 1 1 的二次三項式的因式分解，我們學(xué)習(xí)了多項式的乘法，即2xaxb=xabxab2將上式反過來，xabxab=xaxb得到了因式分解的一種方法一一十字相乘法，用這種方法來分解因式的關(guān)鍵在于確定2上式中的 a a 和 b,b,例如，為了分解因式x+px+q,就需要找到滿足下列條件的 a a、b；ab=pab-q（2 2）二次項系數(shù)不為 1 1 的二次三項式的因式分解二次三

2、項式ax2+bx+c中，當(dāng)a#1時，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可歸納為“分兩頭，湊中間”，例如，分解因式2x2-7x+6,首先要把二次項系數(shù) 2 2 分成 1X2,1X2,常數(shù)項 6 6 分成（一2產(chǎn)（一3）,寫成十字相乘，左邊兩個數(shù)的積為二次項系數(shù)。X右邊兩個數(shù)相乘為常數(shù)項，交叉相乘的和為1M（一3）+2M（一2）二一7,正好是一次項2系數(shù)，從而得2x7x6=（x一2（2x一3）。（3 3）含有兩個字母的二次三項式的因式分解如果是形如2a2b2-7ab+6的形式，則把 abab 看作一個整體，相當(dāng)于 x,x,如果是形如22222x-7xy+6y,則先寫成2x-7y-x+6y,把 y y

3、 看作已知數(shù)，寫成十字相乘的形式例 2.2.分解因式:22x29xy100y21y2-3yc2rc2所以2x-7xy+6y=(x-2y2x-3y),即右邊十字上都要帶上字母y,分解的結(jié)果也是含有兩個字母的兩個因式的積。2.2.分組分解法分解因式：我們把被分解的多項式分成若干組， 分別按“基本方法”即提取公因式法和運用公式法進行分解， 然后，綜合起來，再從總體上按“基本方法”繼續(xù)進行分解，直到分解出最后結(jié)果。這種分解因式的方法叫做分組分解法。如果一個多項式適當(dāng)分組， 使分組后各組之間有公因式或可應(yīng)用公式， 那么這個多項式就可以用分組的方法分解因式。分組分解法適用于不能直接使用提取公因式法，公式法

4、和十字相乘法的多項式。分組分解法并不是一種獨立的因式分解的方法。 通過對多項式進行適當(dāng)?shù)姆纸M， 把多項式轉(zhuǎn)化為可以應(yīng)用基本方法分解的結(jié)構(gòu)形式，使之具有公因式，或者符合公式的特點等，從而達到可以利用基本方法進行分解因式的目的。我們有目的地將多項式的某些項組成一組，從局部考慮，使每組能夠分解，從而達到整個多項式因式分解的目的，至于如何恰當(dāng)?shù)胤纸M，需要具體問題具體分析，但分組時要有預(yù)見性，要統(tǒng)籌思考，減少盲目性，分組的好壞直接影響到因式分解能否順利進行。通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)，不斷總結(jié)規(guī)律，便能掌握分組的技巧?！镜湫屠}】124xx7例 1 1.分解因式：33分析：當(dāng)系數(shù)有分?jǐn)?shù)或小數(shù)時，應(yīng)先化為整數(shù)系數(shù)，便

5、于下一步十字相乘。124-xx7解：3312_二一一x-4x-2131一&x-7x3：x;77+3=422解.x29xy100y22=x29yx100y=x4yx25y1人25-25y+=29y2例 3,3,分解因式：3x1僅+10分析：首項系數(shù)為 3 3 應(yīng)分解為 1X3,1X3,常數(shù)項為 1010 是正數(shù)，分解成的兩個因式同號且應(yīng)與一次項系數(shù)-11的符號相同，用十字相乘法嘗試如下：2解：3x-11x10=x-23x-52例 4.4.因式分解：x+6x7分析：這個二次三項不符合完全平方公式的特點，首先，二次項與常數(shù)項不同號，其次，常數(shù)項的絕對值不是一次項系數(shù)一半的平方，所以不能直接用

6、公式分解，但經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃魏?，便可用公式分解。另外，這樣的二次三項式可用十字相乘法分解。解：方法一x26x-7-x26x9-9-7分析：含兩個字母的二次三項式，把其中一個字母如y y 看成是常數(shù)。3,-1-103(-1)1(-10)=133二01(-1)3(-10)二一311(-5)3(-2)-111.-53-21(-2)3(-5)-17其中符合對角兩數(shù)之積的和為-11的只有第三個。2x3-16x34x3-4x7x-12方法二：x6x-7=x7x-1-1小結(jié)：方法一叫配方法。用配方法分解二次三項式時，其前提是二次項系數(shù)為果二次項系數(shù)不是1,則提取這個系數(shù)，使二次項系數(shù)轉(zhuǎn)化為1）;其關(guān)鍵是，加上

7、緊接著減去一次項系數(shù)絕對值一半的平方，這樣便達到配方的目的。在用十字相乘法分解二次三項式時，主要考慮的是十字相乘后的代數(shù)和應(yīng)是一次項。例5.分解因式:22x2xy-3x-3y2.2.a-b4a-4b=：2x2-3x廣2xy-3y-x2x-3y2x-3=2x-3xy說明：解法 1 1 和解法 2 2 雖然是不同的分組方式，但卻有著相同的內(nèi)在聯(lián)系，即兩組中(3)(3)2_224x-9y-24yz-16z(4)(4)分析:首先注意到前兩項的公因式2x和后兩項的公因式-3,分別把它們提出來，剩下的是相同因式（x+y）,可以繼續(xù)用提公因式法分解。此題也可以考慮含有y的項分在一組。如下面法（二）解法。2解

8、(一)：2x2xy-3x-3y=2x22xy-3x3y=2xxy-3xyHixy2x-3解（二）：_22x2xy-3x-3y的對應(yīng)項系數(shù)成比例，分別為 1:11:1 和 2:2:(-3)。這也是分組中必須遵循的規(guī)律之一。(2)(2)分析：若將此題按上題中法(二)方法分組將含有 a a 的項分在一組即2,/,2a+4a=a(a+4),含有b的項一組即b4b=b(b+4),那a(a+4)與b(b+4)再沒有公因式可提，不可再分解下去?？上葘2-b2一組應(yīng)用平方差公式，再提出因式。解：a2-b24a-4b=a2-b2：i，4a-4b=aba-b4a-b=a-bab422(3)(3)若將此題應(yīng)用(2

9、)2)題方法分組將4x-9y一組應(yīng)用平方差公式，或者將.224x-16z一組應(yīng)用平方差公式后再沒有公因式可提，分組失敗。觀察題中特點，后三項符合完全平方公式，將此題一、三分組先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。,2c22解.4x-9y-24yz-16z222=4xT.9y24yz16z22=2x：i13y4z=2x3y4z2x-3y-4z(4)(4)分析：此題按照系數(shù)比為 1 1 或者為-1,可以有不同的分組方法。.32.法(一)：x-x-x,1=x3-x2iix-12=xx-1iix-1=x-1x2-1=x-1x1x-1=(x+1(x-1f32,法（二）：原式=（x-x）（x1）=xX

10、2-1）X2-12=x一1x-1=x1x-1x-12=x1x-1說明：分組時，不僅要注意各項的系數(shù)，還要注意到各項系數(shù)間的關(guān)系，這樣可以啟示我們對下一步分解的預(yù)測，如下一步是提公因式還是應(yīng)用公式等。一般對于四項式的多項式的分解，若分組后可直接提取公因式，一般將四項式兩項兩項分成兩組，并在各組提公因式后，它們的另一個因式恰好相同，在組與組之間仍有公因式可提，如例 5 5（1 1）題的兩種解法。兩項兩項分組后也可各自用平方差公式，再提取組之間的公因式。如例 5 5 的（2 2）題、（4 4）題。若分組后可應(yīng)用公式還可將四項式中進行三項和一項分組先用完全平方公式再應(yīng)用平方差公式。如例 5 5 中的（

11、3 3）題。例 6 6.分解因式：ab（c2+d2）+cd（a2+b2）分析：多項式帶有括號，不便于直接分組，先將括號去掉，整理后再分組分解。解abc2d2cda2b2 2, 22, 2,=abcabdacdbcd=abc2a2cdLabd2b2cd=acbcadbdadbc二Jbcadacbd2,22-2八例 7 7.已知4x+4xy+y4x2y+1=0,求證：2x+3xy+yxy=0分析：要證明一個多項式的值為零，通常是將此多項式分解因式。若分解后的因式中有一個值為零，則原多項式的值為零。經(jīng)過分組分解，可知2x2+3xy+y2xy=（x+yI2x+y1）,若x+y或2x+y1為零，則原多項

12、式的值為零。為達此目的，就要從條件入手。證明：因為4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0,所以（2x+yj-2（2x+y）+1=022xy-1V=0所以2x y-1=022又因為2x3xyy-x-y=xy2xy-1而2xy-1=022所以2x3xyy-x-y-0C22例 8 8.已知3x-4xy-7y+13x-37y+m能分解成兩個一次因式的乘積，求 m m 的值。并將此多項式分解因式。分析：根據(jù)因式分解的概念和乘法法則可知，原多項式所分解得的兩個因式必然都是三項式，而原多項式的前三項可分解為( (3x3x-7-7y1y1( (x x+ +y y) )于是可設(shè)原多項式分解為(3x-7y+aI

13、x+y+b),再根據(jù)恒等式中的對應(yīng)項系數(shù)相等，便能使問題得到解決。22解：設(shè)3x-4xy-7y+13x37y+m-I3x-7yra.11xy1，b122.=3x-4xy-7ya3bxa-7byaba+3b=13，a7b=37對應(yīng)項系數(shù)相等，所以戶b=m由解得：a a=-=-2 2，b b=5=5將a=-2,b=5代入,得：m=1022所以3x-4xy-7y13x-37ym22=3x-4xy-7y13x-37y-10=3x-7yaxyb=3x-7y-2xy5分析：在通常情況下，由一個方程求兩個未知數(shù)的值，條件是不夠的，但在特殊條件下又是可行的，這“特殊條件”包括非負數(shù)的和等于零的性質(zhì)。本題已有一

14、個明顯的非負數(shù)，即x-3y-1,而另一個非負數(shù)可由因式分解得到。于是問題能夠解決。解：因為lx3y1+x2+4y2=4xy，所以一,.2.2-x-3y-l|+x-4xy+4y=0,2即x-3y-1+(x2y)=0 x-3y-1=0所以x-2y=0解這個方程組，得:x=-2,y=-1【模擬試題】(答題時間：40分鐘)一.選擇題。21 1 . .用分組分解法分解多項式x-mx-nx+mn分組正確的是()22A A(x-mx-nx)+mnB(x-mx)-(nx+mn)22C(x+mn)-(mx+nx)D(x-nx)-(mx-mn)11.1(a-b)+lb-_ja-I-(b-b)A.A. 4 4，B.

15、B.I I4 4，a2-b2-b+1a2-b2+b-IC.C.1 14 4) )D.I I42 22 23.3.將多項式ab-a-b+1分解因式，其中正確的是()A.A.ab1ab7例 9.9.已知一 22x-3y-1x4y=4xy，求 x x 與 y y 的值。2.2.用分組分解法分解多項式-b2b-14,分組正確的是(22B.(a-Hb-1)Ca21b21口.D.(a+rp-rib+rp-n4.4.下列因式分解中，不正確的是（x4-16y4=x-2yx2yx24y2.填空題。2_2_x-2xy_35y=x-7y2.2._22x-7x-15=x-53.3.2-1y20y2=4.4.x23xy

16、-=xyx-4y5.5.x2-28y2=x7yx-4y6.6.kx25x-6=3x-2B.B.axay-bx-byfa-bxyC.C.22_1-a-b2abD.D.二xy1xy-15 5.把多項式2xy-X22y+1分解因式的結(jié)果是A.A.x-y1y-x1B.B.xy-1y-x-1C.C.xy-1x-y1D.D.x-y1x-y-1A.A.1.1.一 2 一-7.18x-19x+5=(9x+m(2x+n)，則m=,n=。三.分解因式。2(1)(1)2x-5x-3(2)(2)5x2-21x+1822(3)(3)a-5ab-24b2(4)xy2xy-2442(5)3x6x-92c2,(6) x2xy

17、y-1(7)a2b2-a22ab1222c(8)xy-z2xy(9)aba-bc2b-c3(10)x5x-6四.解答題。221. .已知x2xy3y=5,求整數(shù) x x 和 y y 的值。2 .已知A=(x+2(x-3伏+4(X-5)+49(x為整數(shù))，求證：A為一個完全平方數(shù)?！驹囶}答案】一 .選擇題。1.1. D2.C3.D4.D5.AD2.C3.D4.D5.A二 .填空題。x2-2xy-35y2=x-7yx5y1.1.22x2-7x-15=x-52x33.3.2-1y20y2=5y-14y14.4.22.x-3xy-4y）i：xyx-4y5.5.22x3xy-28y=x7yx-4y6.6.2kx+5x-6=（3x-2（2x+3）,k=67.7.一_2 一一18x-19x5=9xm2xm），則m=/,n=三.分解因式。（1 1）（2x+1x-3）5x-6x-3（3 3）a3ba-8b（4）xy6xy-423x3x1x-1（6 6）xy1xy-1（7 7）ab1aab1-a（8）xyzxy-z