1、會計學(xué)1變速直線運動中位置函數(shù)與速函數(shù)的聯(lián)系變速直線運動中位置函數(shù)與速函數(shù)的聯(lián)系第一頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。consider( ).xaf t dt write as( )( ).xaxf t dt Upper Limit of Integral Function第1頁/共28頁第二頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。)(xxhx( ) , ,Let f xC a bthen the upper limit ofintegral function xattfxd)()(Proof, ,bahxxhxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f()x

2、xh hxhxh)()(lim0)(lim fx )(xf)(xTh.1 ( ) , .is an antiderivative of f x on a b,)(baCxf)(xfy xbayO第2頁/共28頁第三頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。定理的重要意義：定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系.第3頁/共28頁第四頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。Theorem )()()()(xvxvfxuxuf Proof0( )( ),(),(),u

3、Letuf t dtuu xvv xthen )()()(0)(0 dttfdttfxvxu )()()()(xvxvfxuxuf )()()( xuxvdttf)()()( xuxvdttf)()( xvxu)()()()(xvvxuu 第4頁/共28頁第五頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。)sin(e2cosxx21cos20edlimtxxtx Sol.原式原式0limx00 x2e21Eg.2確定常數(shù)確定常數(shù) a , b , c 的值的值, 使使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbxSol.,0sin0 xxax時,0c. 0 b00原式原式 =)1ln(cosli

4、m20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c洛洛洛洛第5頁/共28頁第六頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。 ttf txfxd)()(0,0)(,),0)(xfxf且內(nèi)連續(xù)在設(shè)證明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) . Proof)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，（在xF只要證0)( xF 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x第6頁/共28頁第七頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。Proof

5、, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 令令第7頁/共28頁第八頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。( ) , ( )( ),Let f xC a b and Fxf xthen )()(d)(aFbFxxfba (Newton-Leibnitz Formula) Proof( )( )( )( )0,xaF xf t dtf xf x ( )( ).xaF xf t dtC Let xa ( ),CF a ( )( )( )x

6、af t dtF xF a Let xb ( )d( )( )baf xxF bF a 記作)(xFab)(xFabTh.2或第8頁/共28頁第九頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。)()()(aFbFdxxfba Formula in Fundamental Theorem shows：),)()(abfabF Note To evaluate the definite integral is to find the antiderivative.( , )a b 積積分分中中值值定定理理中中的的 可可在在開開區(qū)區(qū)間間),( ba取取得得. 第9頁/共28頁第十頁，編輯于星期日：十三點 三十

7、七分。Eg.5 Evaluate 20(2cossin1).Ixxdx 202sincosIxxx .23 Eg.6 20201( ),( ).512xxLet f xevaluatef x dxx Sol.Sol. 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx. 6 xyo12第10頁/共28頁第十一頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。Eg.7 Evaluate .,max222 dxxxSol.,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx2012222201( )f x dxx dxxdxx dx.211 xyo2xy xy 122 第11頁/共28

8、頁第十二頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。Eg.8 Evaluate Sol.112dxx dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln Sol. 面積面積xyo 0sin xdxA 0cos x. 2 第12頁/共28頁第十三頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。3.微積分基本公式微積分基本公式1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx )()()(aFbFdxxfba 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系的關(guān)系第13頁/共28頁第十四頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。

9、思考題思考題 設(shè)設(shè))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則dttfxa )(與與duufbx )(是是x的的函函數(shù)數(shù)還還是是 t與與 u的的函函數(shù)數(shù)？它它們們的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在嗎嗎？如如存存在在等等于于什什么么？ 第14頁/共28頁第十五頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。思考題解答思考題解答dttfxa )(與與duufbx )(都都是是x的的函函數(shù)數(shù))()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 第15頁/共28頁第十六頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。3234)(2xxxf解解：1.設(shè)設(shè),d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求求).(xf定積分為常數(shù)定積分為常

10、數(shù) ,d)(10axxf可設(shè)可設(shè)bxxf20d)(abxxxf2)(2, 則則10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b第16頁/共28頁第十七頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。證證：,dsin,dtan0302xxtttt試證: 當(dāng) 0limxxxxxx21023sin2tanlim 0 x時, = o( ) . xxxxx210232limxxx21202lim0所以 = o( ) . xxxxxsintan0時洛第17頁/共28頁第十八頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。,0) 1 (,)(1fCtf,ln

11、d)(31xttfx(e).f求解法解法1.31d)(lnxttfx) 1 ()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131(e) f解法解法2.對已知等式兩邊求導(dǎo),xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)(e)e1fuuffe1131duu31思考思考:若改題為xttfxlnd)(313?(e) f提示提示: 兩邊求導(dǎo), 得331)(xxfe1d)(e)xxff得第18頁/共28頁第十九頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。求求解解: 由于由于20dsin2sinxxnxIn的遞推公式(n為正整數(shù)) . ,dsin) 1(2sin201xxxnIn因此

12、1nnII20d) 12cos(2xxn20dsinsin) 12cos(2xxxxn12) 1(21nn1nnII12) 1(21nn所以),3 ,2(n2dcos2201xxI其中第19頁/共28頁第二十頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。一一、 填填空空題題：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . .

13、5 5、設(shè)、設(shè) ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin，練練 習(xí)習(xí) 題題第20頁/共28頁第二十一頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。（1 1） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時，時， 1I= =_ , ,2I= =_ _ ，（2 2） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時，時，1I= =_ ,_ ,2I= =_ . . 6 6、設(shè)、設(shè),sincos nxdxmx（1 1） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時，時，3I= =_ _ , ,（2 2） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時，時，3I= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_

14、 . .第21頁/共28頁第二十二頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。二、二、 求導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)數(shù)：1 1、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所確所確定，求定，求dxdy ；2 2、 設(shè)設(shè) 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、設(shè)、設(shè) 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 第22頁/共28頁第二十三頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。三、三、 計算下列各定積分：計算下列各定積分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx;

15、 ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列極限：求下列極限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .第23頁/共28頁第二十四頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。五、五、 設(shè)設(shè))(xf為連續(xù)函數(shù)，證明為連續(xù)函數(shù)，證明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . .六、六、 求函數(shù)求函數(shù) xdttttxf02113)(在區(qū)間在區(qū)間 1,0上的最上的最大值與最小值大值與最小值 . .七、七、 設(shè)設(shè) 時，時，或或，當(dāng)，當(dāng)時，時，當(dāng)當(dāng) xxxxxf000,sin21)(

16、 求求 xdttfx0)()（ 在在),( 內(nèi)的表達式內(nèi)的表達式 . .第24頁/共28頁第二十五頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。八、八、 設(shè)設(shè) baxf,)(在在上連續(xù)且上連續(xù)且,0)( xf xaxbtfdtdttfxF)()()( , ,證明：證明： （1 1） 、） 、2)( xF ; ; （2 2） 、方程） 、方程0)( xF在在),(ba內(nèi)有且僅有一個根內(nèi)有且僅有一個根 . .第25頁/共28頁第二十六頁，編輯于星期日：十三點 三十七分。一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ； 4 4、65； 5 5、(1)(1) ,； (2)0,0 (2)0,0； 7 7、;6145 8 8、6 ； 9 9、1