1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學建模論文 班級：實驗1201 姓名：Schen 學號： 日期：2014/6/8影院座位設計問題摘 要通過研究電影院的座位設計問題，根據(jù)觀眾對座位的滿意程度主要取決于視角與仰角這一前提條件，建立滿意程度最大的相關模型，并進行了相關求解。問題一，首先建立在滿足仰角條件（30°）情況下的優(yōu)化模型，運用Matlab軟件求解出當?shù)匕寰€的傾角為10°時，最佳位置距離屏幕的水平距離為6.2275米。接著分別對視角和仰角賦權(quán)重，對座位進行離散分析，并引入滿意度函數(shù)建立了離散加權(quán)模型，最后運用軟件求解出當?shù)匕寰€的傾角為時，最佳位置距屏幕的水平距離為6.8635米

2、。問題二，根據(jù)問題一中的離散加權(quán)模型，將座位看作離散的點，建立滿意度函數(shù)平均值模型，再利用軟件解得，當?shù)匕寰€的傾角為時，所有觀眾的平均滿意程度最大。問題三，為進一步提高觀眾的滿意程度，將地板線設計成折線形狀，即相鄰兩排座位所在的點構(gòu)成一條直線，且每排座位所在地板線的傾角以變化，增加到后保持不變，第一排抬高米。關鍵詞： 離散分析 加權(quán) 平均滿意度 優(yōu)化模型 Matlab一、問題重述下圖-1為影院的剖面示意圖，座位的滿意程度主要取決于視角和仰角。視角是觀眾眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角，越大越好；仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，如果太大會使人的頭部過分上仰，引起不舒適感，一般要求不超

3、過。記影院的屏幕高為，上邊緣距離地面高為,影院的地板線通常與水平線有一個傾角，第一排和最后一排與屏幕水平距離分別為，觀眾的平均座高為（指眼睛到地面的距離），已知參數(shù)h=1.8m, H=5m, d=4.5m, D=19m, c=1.1m.(1) 地板線傾角，問最佳座位在什么地方。(2) 求地板線傾角（一般不超過），使所有觀眾的平均滿意程度最大。(3) 地板線設計成什么形狀可以進一步提高觀眾的滿意程度。圖-1 影院剖面示意圖二、問題的分析電影院座位的設計應滿足什么要求？是一個非常現(xiàn)實的問題。根據(jù)題意觀眾對座位的滿意程度主要取決于觀看時的視角和仰角，越大越好，而越小越好，最佳位置就是要在這兩者之間找

4、到一個契合點，使觀眾對兩者的綜合滿意程度達到最大。本文通過對水平視角和仰角取權(quán)重，建立適當?shù)淖鴺讼?，從而建立一個線形型滿意度函數(shù)。針對問題一，已知地板線傾角，求最佳座位所在，即將問題轉(zhuǎn)化求綜合滿意度函數(shù)的最大值，建立離散加權(quán)的函數(shù)模型并利用數(shù)學軟件運算求解；針對問題二，將所有觀眾視為離散的點，要使所有觀眾的平均滿意程度達到最大，即將問題轉(zhuǎn)化求滿意度函數(shù)平均值的最大值。對此利用問題一所建立的滿意度函數(shù)，將自變量轉(zhuǎn)化為地板線傾角；針對問題三，對地板線形狀進行優(yōu)化設計，使觀眾的平均滿意程度可以進一步提高。本文為使模型簡化，更好地說明問題，文中將作以下假設。三、模型假設1.觀眾的平均滿意度只取決于視角

5、和仰角，其他因素忽略不計；2.最后排座位的最高點不超過屏幕的上邊緣；3.相鄰兩排座位間的間距相等，取為0.8；4.對于同一排座位，觀眾的滿意程度相同；5.所有觀眾的座位等高為平均座高；6.影院的的地板成階梯狀。四、符號說明水平視角視高差，即從眼睛到頭頂?shù)呢Q直距離仰角觀眾對水平視角為的滿意程度地板線與水平線的傾角觀眾對仰角為的滿意程度第一排離屏幕水平距離平均滿意程度最后一排離屏幕水平距離視角、仰角在綜合滿意度中的權(quán)重屏幕的高度相鄰兩排座位間沿地板線方向的間距屏幕上邊緣離地面的高度五、模型的建立與求解5.1 問題一每一個到影院看電影的觀眾都想坐在最佳位置，而對座位的滿意程度主要取決于兩個因素：水平

6、視角和仰角，且視角是觀眾眼睛到屏幕上下邊緣的視線的夾角，越大越好，仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，太大使人的頭部過分上仰，引起不適，要求不超過。5.1.1 模型的建立：仰角在滿足條件的范圍內(nèi),觀眾滿意度只取決于視角BOMNP屏幕地面地板視覺線圖-2 影院剖面坐標分析圖xy以第一排觀眾的眼睛為原點，建立平面直角坐標系，如圖-2所示：其中，為屏幕，為地板線，為所有的觀眾的眼睛所在的直線。則由圖可設視覺線上任意一點的坐標為，屏幕上下點的坐標分別為，的斜率記為,的斜率記為。由斜率公式得：， (1.1)則直線和的斜率與夾角滿足如下關系： (1.2)仰角滿足條件：所以： (1.3)由公式(1

7、.1) (1.2)得到模型為：5.1.2 模型的求解當時，用軟件運算求解（程序見附錄1），得最大視角為=13.9172°，仰角為=30°，x=1.7275米。即點的坐標為（1.7275,0.3046）為最佳位置。離屏幕的水平距離為4.5+1.7275=6.2275米。5.1.3 模型的建立：離散加權(quán)模型在地板線上的座位可視為是離散的點，設兩排座位在地板線方向上的前后間距為（查閱相關資料間距一般取0.8米），則在水平方向的間距為，考慮仰角和視角對觀眾的滿意度為主要因素。對模型進行修正，將座位連續(xù)情況進行離散化可以得到： (2.1)(2.2)其中，為地板線上的座位的總排數(shù)，且。

8、根據(jù)題意，在假設條件下，對于第排座位，建立觀眾對視角、仰角的滿意度函數(shù)如下： (2.3) (2.4)式中為第排座位上觀眾視角和仰角，表示在給定的情況下最優(yōu)滿意度，表示在給定的情況下最差滿意度。視角、仰角在綜合滿意度中的權(quán)重分別為，建立第排座位綜合滿意度函數(shù)如下： (2.5)根據(jù)地板線傾角，通過計算可以得出， ，主觀給定權(quán)重，根據(jù)模型的建立，可以得出： (2.6)將式(2.1)和式(2.2)帶入公式(2.6)得到優(yōu)化模型為： 5.1.4 模型的求解用軟件運算求解（程序見附錄2）可得： 米，排，最大滿意度為,最大視角為=13.128°，仰角為,最佳位置離屏幕的水平距離為4.5+2.362

9、35=6.8635 米。5.2 問題二5.2.1 模型的建立要使所有觀眾的平均滿意程度達到最大，即需求的最大值。由模型可知，第排觀眾的滿意度為,則觀眾平均滿意程度函數(shù)為：，平均滿意度的大小由每一排的滿意度所決定，而又是由仰角和視角所決定。所以，要使觀眾的滿意程度達到最大，取決于兩個方面：(1) 仰角不超過條件的座位所占的比例越大，觀眾的平均滿意程度就越大； (2) 所有座位的視角的均值越大，觀眾的平均滿意程度就越大。由式(1.1)可知，地板線傾角的改變將同時使所有座位的仰角和視角的大小發(fā)生改變，且在某一座位(即取某一定值)，在逐漸增大的過程中仰角逐漸減小，視角逐漸增大，見圖2所示。仰角不超過條

10、件的區(qū)域擴大，即地板線傾角越大,仰角不超過條件的座位所占的比例越大。圖-3 視角和仰角隨變化的變化曲線第一排觀眾的仰角為，不滿足仰角的條件，由模型可知第排座位所對應的仰角的正切值： 其中為地板線上的座位的總排數(shù)：，隨著地板線傾角的變化，相鄰兩排座位間的間距不變，但相鄰兩排座位間的水平間距會發(fā)生改變。由于地板線傾角不超過，所以，并限制最后一排觀眾的視高不要超過屏幕的上邊緣，即。由模型知第排座位所對應的水平視角的正切值為：5.2.2 模型的求解對一個取定的，判斷所在的位置仰角是否超過，若超過，則該座位的綜合滿意度必須同時考慮仰角和視角的取值；否則，只需要考慮視角的取值，把所有座位的綜合滿意度相加，

11、并求出觀眾的平均綜合滿意度，判斷此時的平均滿意度是否最大，最后一排的高度是否超過屏幕的上邊緣，并記下最大值時的取值。當取地板線傾角為變化時，通過計算可以得出，。由模型的(2.5)式得 （3.1） 所以，將式(2.1)和式(2.2)帶入公式(3.1)得到平均滿意度的優(yōu)化模型為：用軟件計算（程序見附錄3）可得：最大平均滿意度為，對應地板線的傾角為。5.3問題三5.3.1 模型的建立與求解由上兩問可知,觀眾的滿意程度與仰角,視角和地板線傾角都有關,而每一座位到屏幕的水平距離基本固定不變，考慮觀眾的滿意度，就要考慮仰角，視角隨著的變化情況。引理 地板線不管設計成什么形狀,各排的間距不變，區(qū)別在于各排的

12、高度差如何變化，若豎直方向上的兩定點，在與它們相距一定水平距離的豎直方向上有一動點，當該動點位于兩定點的垂直平分線上時，動點與兩定點形成的視角最大。動點距兩定點的垂直平分線越近，動點與兩定點形成的視角越大。要使每一個座位所對應的視角取最大值,對應的y值應在直線上.設計地板線應考慮以下幾個方面：(1) 第排座位所在的位置應高于第排座位所在的高度； (2)前一排的觀眾不會擋住后一排觀眾的視線； (3)視角盡可能大,即眼睛的位置應盡可能分布在垂直平分線的附近； (4)仰角的座位所占的比例盡可能大。假設每排座位所在的點構(gòu)成一條折線，任意相鄰兩排座位水平間距為，第排座位地板線傾角為，第排座位與第排座位地

13、板線傾角變化為。從而可得：，故：同理可得： ； 觀眾平均滿意程度函數(shù)為： ；可算出地板線上的座位的總排數(shù)為：，則得出當時，=0.4622。但此時，根據(jù)一般習慣，要求地板線傾角，但此時求得最后一排座位的地板線傾角為，因此文中將對此進一步的修改：當時，令。當時，即將問題轉(zhuǎn)化為問題二中所建立的模型。由于，則地板線傾角增加到第9排到達，然后保持不變。對于這兩種情況，分別代入不同的函數(shù)，求得：滿意度函數(shù)的最大值。=0.4593>0.4520 故報告廳座位的前9排呈折線狀，以遞增,當傾角增加到時保持不變，且第一排應抬高米。六、模型的評價與推廣6.1 模型的評價 6.1.1 模型的優(yōu)點: 模型抓住了影

14、響觀眾滿意程度的主要因素(仰角和視角),合理構(gòu)造滿意度函數(shù)。模型具有較好的通用性，對現(xiàn)實有較強的指導意義。6.1.2 模型的不足以及需要改進的地方:模型主觀假設同一排座位觀眾的滿意程度相同,而實際情況并非如此,這就使得我們的模型在解決實際問題時存在一定的局限性。模型建立的過程中,以觀眾眼睛所在的點為坐高點,沒有考慮前排觀眾額部對后排觀眾的遮擋,需要進一步的考慮在內(nèi)。模型計算比較粗糙，精確度不夠高！6.2 模型的推廣本文中所建立模型的方法和思想對其他類似的問題也很適用,有一定的參考價值。七、參考文獻1 金煒東，線性型滿意度及其組合運算，鐵道學報2 李祖苑，影院座位設計，中國科技論文在線3 劉學智

15、，影院座位的安排，中國科技論文在線4 龔堅，計算機視覺，北京：科學技術(shù)出版社八、附 錄：附錄一：clear;%clc;H=5;h=1.8;D=19;d=4.5;c=1.1;Q=0.1763; %tan(10/180*pi);a=0;for x=1.7275:0.0001:14.5000 %仰角修正 t=h*(x+d)/(x+d)2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c); if a<t a=t; endendfor x=1.7275:0.0001:14.5000 %仰角修正 t=h*(x+d)/(x+d)2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c); if a=t fprintf(

16、'nX is:%d',x); fprintf('na is:%d',(atan(h*(x+d)/(x+d)2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c)/pi*180); fprintf('nb is:%dn',(atan(-(x*Q-H+c)/(x+d)/pi*180); endenda附錄二：clear;%clc;H=5;h=1.8;D=19;d=4.5;c=1.1;Q=0.1763; %tan(10/180*pi);s=0;for x=2.3635 3.1514 3.9392 4.7271 5.5149 6.3028 7.0906 7.87

17、85 8.6663 9.4542 10.2420 11.0298 11.8177 12.6055 13.3934 14.1812 t=3.1596*(h*(x+d)/(x+d)2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c)-0.5025*(-(x*Q-H+c)/(x+d)+0.1357; if s<t s=t; endendfor x=2.3635 3.1514 3.9392 4.7271 5.5149 6.3028 7.0906 7.8785 8.6663 9.4542 10.2420 11.0298 11.8177 12.6055 13.3934 14.1812 t=3.1596*(

18、h*(x+d)/(x+d)2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c)-0.5025*(-(x*Q-H+c)/(x+d)+0.1357; if s=t fprintf('nX is:%d',x); fprintf('nk is:%d',x/(0.8*cos(10/180*pi)+1); fprintf('na is:%d',(atan(h*(x+d)/(x+d)2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c)/pi*180); fprintf('nb is:%dn',(atan(-(x*Q-H+c)/(x+d)/pi*180); endends附錄三：clear;clc;H=5;h=1.8;D=19;d=4.5;c=1.1;l=0.8;t=0;ST=0;for Q=0:0.0001:15.0543 %傾角修正 sum=0; for k=1:floor(14.5/cos(Q/180*pi)+1) x=(k-1)*l*cos(Q/180*pi); T=tan(Q