1、§1. 三角形、四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【解題思路與方法】1.關(guān)注變化因素和不變因素以及圖形的特殊性，尋找常量和變量； 2.化動(dòng)為靜 (由一般到特殊)，以靜制動(dòng)；3.數(shù)學(xué)建模：確定圖形運(yùn)動(dòng)中的變量關(guān)系時(shí)常常建立函數(shù)模型，確定圖形運(yùn)動(dòng)中的特殊位置關(guān)系時(shí)常常建立方程模型；4.關(guān)注運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的三個(gè)要素：運(yùn)動(dòng)方向、速度、范圍（直線、射線、線段、折線）；5.注重分類討論，通過(guò)分別畫(huà)圖與分離圖形使問(wèn)題簡(jiǎn)單化；6.根據(jù)運(yùn)動(dòng)元素的不同分為動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、動(dòng)線問(wèn)題、動(dòng)圖問(wèn)題三大類型（包括點(diǎn)、線、圖同時(shí)運(yùn)動(dòng)）.典例解析一、三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例1. 已知，如圖ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形.動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)

2、A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），（1）如圖1，當(dāng)t為何值時(shí)，PBC是直角三角形？（2）如圖2，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng). 連接PQ交AC于D. 如果動(dòng)點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā).那么 當(dāng)t為何值時(shí)，DCQ是等腰三角形?（3）如圖3，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng). 連接PQ交AC于D，連接PC. 如果動(dòng)點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā). 請(qǐng)?zhí)骄浚涸邳c(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中PCD和QCD的面積是否相等？變式題：已知：如圖，ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/

3、s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PBQ是直角三角形?（2）設(shè)四邊形APQC的面積為y（cm2），求y與t的關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APQC的面積是ABC面積的三分之二？如果存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。例2. 如圖，已知ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)（1）若點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，1秒鐘時(shí)，BPD與CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)

4、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使BPDCPQ？(2)若點(diǎn)Q以(1)中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在ABC的哪條邊上相遇？變式題：如圖（1）ABC為等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)D在邊CA上，動(dòng)點(diǎn)P邊BC上，若這兩點(diǎn)分別從C、B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度由C向A和由B向C運(yùn)動(dòng)，連接AP，BD交于點(diǎn)Q，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中AP=BD?？赏ㄟ^(guò)證明 得到這個(gè)結(jié)論；（2）如果把原題中“動(dòng)點(diǎn)D在邊CA上，動(dòng)點(diǎn)P邊BC上，”改為“動(dòng)點(diǎn)D，P在射線CA和射線BC上運(yùn)動(dòng)”，其他條件不變，如圖（2）所示，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中BQP的大小保持不變利用圖（2）的

5、情形，求證：BQP=60°；（3）如果把原題中“動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上”改為“動(dòng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，連接PD交BC于E”，其他條件不變，如圖（3），則動(dòng)點(diǎn)D，P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DE始終等于PE嗎？寫(xiě)出證明過(guò)程二、特殊四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例3. 如圖，在等腰梯形中，,AB=12 cm,CD=6cm , 點(diǎn)從開(kāi)始沿邊向以每秒3cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)從開(kāi)始沿CD邊向D以每秒1cm的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。ABCDQP（1）求證：當(dāng)t=時(shí)，四邊形是平行四邊形；（2）PQ是否可能平分對(duì)角線BD？若能，求出當(dāng)t為何值時(shí)PQ平分BD；若不

6、能，請(qǐng)說(shuō)明理由；變式題：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，B90°，AB6cm，AD18cm，BC24cm。點(diǎn)p從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s（1）t為何值時(shí)，四邊形ABQP為矩形？（2）t為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形？（3）在其它條件不變的情況下，能否通過(guò)改變點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度，使得四邊形PQCD為菱形？例4. 如圖，ABC中，點(diǎn)O為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的外角平分線CF于點(diǎn)F，交ACB內(nèi)角平分線CE于E（1）試

7、說(shuō)明EO=FO；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形并證明你的結(jié)論；（3）若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，猜想ABC的形狀并證明你的結(jié)論變式題：1.如圖所示，有四個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q、E、F分別從正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿著AB、BC、CD、DA以同樣的速度向B、C、D、A各點(diǎn)移動(dòng)。（1）試判斷四邊形PQEF是正方形并證明。（2）PE是否總過(guò)某一定點(diǎn)，并說(shuō)明理由。（3）四邊形PQEF的頂點(diǎn)位于何處時(shí)，其面積最小，最大？各是多少？2.如圖所示，在ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊ABD、等邊ACE、等邊BCF.CBADFE（1）求證：四邊形DAEF是平行

8、四邊形； （2）探究下列問(wèn)題：（只填滿足的條件，不需證明）當(dāng)ABC滿足_條件時(shí)，四邊形DAEF是矩形；當(dāng)ABC滿足_條件時(shí)，四邊形DAEF是菱形；當(dāng)ABC滿足_條件時(shí)，以D、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在. 延伸課堂1.如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作ABBD，EDBD，連接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)；（2）請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最小？（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式+的最小值2.直線y=- 3/4x+6與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止點(diǎn)Q

9、沿線段OA運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)P沿路線OBA運(yùn)動(dòng)（1）直接寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），OPQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)S= 48/5時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出以點(diǎn)O、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)3.梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始，沿AD邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始，沿CB邊以3厘米/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。已知P、Q兩點(diǎn)分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問(wèn)：（1）t為何值時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形？（2）t為何值時(shí)，線段AB與線段PQ相等？（3）在某個(gè)時(shí)刻，四邊形PQCD可能是菱形嗎？為什么？（4）是否存在t值，使PQ把直角梯形分成周長(zhǎng)相等的兩部分？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由4. 如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DA向