1、第四節(jié)第四節(jié) 平面及其方程平面及其方程 如今來建立平面如今來建立平面 的方程的方程. 那么點那么點 M 在平在平面面 上的充要條件是上的充要條件是設(shè)平面設(shè)平面 過過點點,),(0000zyxM是平面是平面 的法向量的法向量.在平面在平面 上任取一點上任取一點 M(x, y, z)，,0n MM.00 nMM即即nMM0 .,CBA n該方程稱為平面該方程稱為平面 的點法式方程的點法式方程., 0)()()(000 zzCyyBxxA ,0000zzyyxxMM 因因為為所以有所以有 ,CBA n例例 1 求過點求過點(2, 1, 1)且垂直于向量且垂直于向量 i + 2j + 3k 的平面方程

2、的平面方程 . 解解 顯然，所求平面的法向量顯然，所求平面的法向量 n = i + 2j + 3k ，又由于平面過又由于平面過( 2, 1, 1 )， 所以由公式可得該平面方程所以由公式可得該平面方程為為, 0)1(3)1(2)2( zyx即即 x + 2y + 3z7 = 0 .例例 2求過點求過點 M1( 1, 2, -1 ), M2( 2, 3, 1 ) 且和平且和平面面 x - y + z + 1 = 0 垂直的平面方程垂直的平面方程.解解由于點由于點 M1 ，M2 在所求平面上，所以向量在所求平面上，所以向量 在該平面上，在該平面上， 2,1,121 MM 且與知平面的法向量且與知平

3、面的法向量 n1 = 1, 1, 1 垂直垂直.故該平面的法向量故該平面的法向量121nn MMkjikji23111211 M1M2n10723 zyx為所求的平面的方程為所求的平面的方程., 0)1(2)2()1(3 zyx因此因此由于該平面過點由于該平面過點 M1(1, 2,1)，即即將方程將方程 展開，展開， 得得, 0)(000 CzByAxCzByAx這是關(guān)于這是關(guān)于 x，y，z 的一次方程，的一次方程， 所以平面可用所以平面可用 x，y，z 的一次方程來表示的一次方程來表示. 反之，恣意的反之，恣意的 x，y，z 的一次方程的一次方程0 DCzByAx( (式中式中 A A，B

4、B，C C 不全為零不全為零) )有無窮多組解有無窮多組解. . 由此可知由此可知 x，y，z 的一次方程的一次方程 都表示平面，都表示平面，用方程用方程 減去上式，減去上式， 得得, 0000 DCzByAx 設(shè)設(shè) x0，y0，z0 是其中的一組解，是其中的一組解， 那么那么有有, 0)()()(000 zzCyyBxxA這就是方程這就是方程 ，它表示過點它表示過點(x0, y0, z0 )，且以且以為法向量的平面，為法向量的平面， CBA, n 其中系數(shù)其中系數(shù) A，B，C 表示法向量的坐標表示法向量的坐標. 方程方程 稱為平面的普通方程稱為平面的普通方程.下面討論平面的普通方程的一些特殊

5、情況下面討論平面的普通方程的一些特殊情況.顯然，平面經(jīng)過原點顯然，平面經(jīng)過原點.Ax + By + Cz = 0 .1當當D = 0時，方程成為時，方程成為xzyO 所以該平所以該平面平行于面平行于 x 軸軸 (圖圖(a)； 當當A = D = 0時，方程成為時，方程成為法向量法向量0，B，C與與i = 1，0，0垂直，垂直，By + Cz + D= 0 .2當當A = 0時，方程成為時，方程成為xzyOaBy + Cz = 0 , 它所表示的平面經(jīng)過它所表示的平面經(jīng)過 x 軸軸 (圖圖(b).xzyOb所以該平面平行于所以該平面平行于 xy 坐標平面坐標平面 .法向量法向量0，0，C與與 k

6、 = 0，0，1平行，平行， Cz + D= 0 ，3當當A = B= 0時，方程成為時，方程成為xzyO 和和 M3(0, 0 , c )例例 3 3求過點求過點 M1( a, 0, 0 )， M2( 0, b, 0 )的平面方程的平面方程(其中其中 abc 0).解解設(shè)所求的平面方程為設(shè)所求的平面方程為Ax + By + Cz + D = 0 ( A、B、C 不全為零不全為零)，由于點由于點 M1，M2，M3 在平面上，在平面上，所以所以 ,0,0,0DCcDBbDAa解此方程組，可得解此方程組，可得,aDA ,bDB .cDC M1axzyM2M3Ocb代入所設(shè)的方程，代入所設(shè)的方程，

7、有有,0 DzcDybDxaD消去消去 D ， 得得. 1 czbyax方程方程 稱為平面的截距式方程，稱為平面的截距式方程， 其中其中 a，b，c 分別稱為在分別稱為在 x 軸，軸，y 軸，軸，z 軸上的截距軸上的截距.所以所以 因此它因此它的法向量與的法向量與 a 垂直，垂直， 即即由于此平面過點由于此平面過點 M 1，M2 ，例例 4設(shè)一平面過設(shè)一平面過 M1(1, 0, 2) 和和 M2(1, 2, 2)，且與向量且與向量 平行，平行， 1,1,1 a試求此平面的方程試求此平面的方程.解解設(shè)所求平面的方程為設(shè)所求平面的方程為 Ax + By + Cz + D = 0 .,02 DCA.

8、022 DCBA又由于所求平面與向量又由于所求平面與向量 平行，平行， 1,1,1 aA + B + C = 0解聯(lián)立方程、，得解聯(lián)立方程、，得 A = C，B = 2C，D = C，所以有所以有, 02 CCzCyCx消去消去 C ， 即為所求的平面方程為即為所求的平面方程為. 012 zyx例例 5設(shè)一平面經(jīng)過設(shè)一平面經(jīng)過 x 軸和點軸和點 M(4, 3, 1)，試求該平面的方程試求該平面的方程.解解由于所求平面經(jīng)過由于所求平面經(jīng)過 x 軸，軸， 所以可設(shè)它的方所以可設(shè)它的方程為程為By + Cz = 0 .由于點由于點 M 在所求的平面上，在所求的平面上，因此有因此有 3B C = 0 ，將將 C = 3B 代回方程代回方程 ，并簡化，即得所求平面，并簡化，即得所求平面方程為方程為y 3z = 0 設(shè)平面設(shè)平面 1、2 的方程分別為的方程分別為兩平面法向量的夾角，兩平面法向量的夾角， 稱為兩平面的夾角稱為兩平面的夾角.,01111 DzCyBxA.02222 DzCyBxA它們的夾角為它們的夾角為 .222222212121212121CBACBACCBBAA 212121),(coscosnnnnnn 那么平面那么平面1、2 垂直的充要條垂直的充要條件是件是A1A2+ B1B2 + C1C2