1、 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄 第四章第四章 三角形三角形第二節(jié)第二節(jié) 三角形及其性質三角形及其性質第一部分第一部分 考點研究考點研究 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄等腰三角形的性質與判定等腰三角形的性質與判定等邊三角形的性質與判定等邊三角形的性質與判定直角三角形的性質與判定直角三角形的性質與判定 考點精講三角形及三角形及其性質其性質三角形及其三角形及其邊角關系邊角關系特殊三

2、角形的特殊三角形的性質及判定性質及判定三角形分類三角形分類三角形邊角關系三角形邊角關系三角形的重要線段三角形的重要線段 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄三角形分類三角形分類按邊分按邊分按角分按角分不等邊三角形不等邊三角形_等邊三角形等邊三角形銳角三角形銳角三角形_鈍角三角形鈍角三角形等腰三角形等腰三角形直角三角形直角三角形 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄三角形邊三角形邊角關系角關

3、系邊的關系：兩邊之和邊的關系：兩邊之和_第三邊，兩邊第三邊，兩邊之差之差_第三邊第三邊角的關系角的關系邊角關系：同一個三角形中，等邊對等角，邊角關系：同一個三角形中，等邊對等角，等角對等角對_，大邊對，大邊對_內角和等于內角和等于_任意一個外角任意一個外角_和它不相和它不相鄰的兩個內角之和鄰的兩個內角之和任意一個外角大于任何一個和它任意一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角不相鄰的內角大于大于小于小于180等于等于等邊等邊大角大角 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄三角形的重要線段三角形的重

4、要線段角平分線角平分線中線中線高線高線中位線中位線 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄角平分線：如圖，角平分線：如圖，AD是是ABC的角平分線，也的角平分線，也 可以有以下三種等價描述可以有以下三種等價描述 （1）AD平分平分_交交BC于點于點D （2）BADDAC12_ （3）BAC2BAD2 _11 11 BACBACDAC 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄中線：中線：如圖，如圖

5、，AM是是ABC的中線，也可以有以下的中線，也可以有以下三種等價描述：三種等價描述：（1）AM是是ABC中中 _邊上的中線邊上的中線（2）點）點M是是 _邊的中點邊的中點（3）BM _ _BC重心：三角形的三條中線的交點，到三角形頂重心：三角形的三條中線的交點，到三角形頂點的距離等于它到對邊中點距離的點的距離等于它到對邊中點距離的2倍倍12 12 13 13 14 14 15 15 BCBCMC12 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄高線：高線：如圖，如圖，AD是是ABC的高，也可以有以下

6、的高，也可以有以下兩種等價描述：兩種等價描述：（1）AD垂直于垂直于 _，垂足為，垂足為D（2）ADB90或或ADC90垂心：三角形的三條垂心：三角形的三條 高線的交點高線的交點16 16 BC 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄中位線：如圖，中位線：如圖，DE是是ABC的中位線，也可以有的中位線，也可以有 以下兩種等價描述以下兩種等價描述 （1）DE平行于平行于 _且且DE= _BC （2）點）點D是是AB邊的邊的 _，點，點E是是AC邊的邊的 _ 17 17 18 18 19 19 2

7、0 20 BC中點中點中點中點12 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄等腰三角形的性質與判定等腰三角形的性質與判定概念概念性質性質判定判定面積計算公式面積計算公式 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄概念：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，如概念：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，如 圖圖 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩

8、轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄性質性質1.兩底角相等兩底角相等2.兩腰相等兩腰相等3.它是軸對稱圖形，有一條對稱軸它是軸對稱圖形，有一條對稱軸4.頂角的頂角的 _，底邊上的高和底邊，底邊上的高和底邊的中線互相重合的中線互相重合21 21 角平分線角平分線 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄判定判定1.有兩邊相等的三角形是等腰三角形有兩邊相等的三角形是等腰三角形2.有兩角相等的三角形是等腰三角形有兩角相等的三角形是等腰三角形 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精

9、講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄面積計算公式：面積計算公式：S= ah，其中，其中a是底邊長，是底邊長，h是是 底邊上的高底邊上的高12 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄等邊三角形的性質與判定等邊三角形的性質與判定概念概念性質性質判定判定面積計算公式面積計算公式 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄概念：三邊都相等的三角形叫做等

10、邊三角形，概念：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形， 如圖如圖 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄性質性質1.三邊相等三邊相等2.三角相等，且每一個角都等于三角相等，且每一個角都等于 _3.是軸對稱圖形，有是軸對稱圖形，有 _條對稱軸條對稱軸23 23 22 22 60三三 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄判定判定1.三邊都三邊都 _的三角形是等邊三角形的三角形是等邊三角形2.三角都三

11、角都 _的三角形是等邊三角形的三角形是等邊三角形3.有一個角是有一個角是 _的等腰三角形是等的等腰三角形是等邊三角形邊三角形24 24 25 25 26 26 相等相等相等相等60 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄面積計算公式：面積計算公式：S= ah，a是三角形任意一邊的是三角形任意一邊的 長，長，h是任意邊上的高是任意邊上的高12 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄直角三角形的性

12、質與判定直角三角形的性質與判定性質性質判定判定面積計算公式面積計算公式 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄性質性質1.兩銳角之和等于兩銳角之和等于 _2.斜邊上的中線等于斜邊的斜邊上的中線等于斜邊的 _3.30角所對的直角邊等于斜邊的一半角所對的直角邊等于斜邊的一半4.勾股定理：若直角三角形的兩直角邊分別為勾股定理：若直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為，斜邊為c，則有，則有a2+b2=c2，如圖，如圖5.在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的

13、一半，那么這條直角邊所對的銳角等于一半，那么這條直角邊所對的銳角等于3027 27 28 28 90一半一半 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄判定判定1.有一個角為有一個角為90的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形2.勾股定理逆定理：若勾股定理逆定理：若a2+b2=c2,則以則以a、b、c為為邊的三角形是直角三角形邊的三角形是直角三角形3.一條邊的中線等于這條邊的一半的三角形是一條邊的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形直角三角形4.有兩個角互余的三角形是直角三角形有兩個角互余的

14、三角形是直角三角形 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄面積計算公式：面積計算公式：S= _= ch，其中，其中a、b為兩為兩 個直角邊，個直角邊，c為斜邊，為斜邊，h為斜邊上的為斜邊上的 高高1212ab29 29 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄 重難點突破 特殊三角形性質求角度（特殊三角形性質求角度（高頻）例例1（2015樂山樂山）如圖，在等腰三角形）如圖，在等腰三角形ABC中，

15、中，AB=AC，DE垂直平分垂直平分AB，已知，已知ADE=40，則，則DBC=_. 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄 DE垂直平分垂直平分AB，AD=BD，AED=90，A=ABD， ADE=40，A=90-40=50， ABD=A=50， AB=AC,ABC=C= （180-A）=65,DBC=ABC-ABD=65-50=1512【解析解析】 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄

16、在特殊三角形中求角的度數(shù)，涉及的知識點在特殊三角形中求角的度數(shù)，涉及的知識點有三個：有三個： 等腰三角形的性質；等邊三角形的性質；等腰三角形的性質；等邊三角形的性質；直角三角形的性質直角三角形的性質. 等腰三角形的性質是連接題中邊角關系的重等腰三角形的性質是連接題中邊角關系的重要橋梁，把邊的關系轉化成角的關系（如等邊對要橋梁，把邊的關系轉化成角的關系（如等邊對等角，等腰三角形底邊上的中線、高線與頂角的等角，等腰三角形底邊上的中線、高線與頂角的角平分線重合）是等腰三角形性質的本質所在角平分線重合）是等腰三角形性質的本質所在. 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓

17、營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄 因為等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以因為等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以在等腰三角形性質的基礎上，等邊三角形每個內在等腰三角形性質的基礎上，等邊三角形每個內角是角是60，是解決角度問題時常用的性質，是解決角度問題時常用的性質. 在直角三角形中直角三角形的兩個銳角互余在直角三角形中直角三角形的兩個銳角互余以及含以及含30角或角或45角的直角三角形的性質在解角的直角三角形的性質在解題時常常會用到題時常常會用到. 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年

18、中招真題年中招真題 目錄目錄1. 如圖，如圖，AD是等邊三角形是等邊三角形ABC的中線，的中線，AE=AD,則則EDC=( )A. 30 B. 20C. 25 D. 15 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄 AD是等邊三角形是等邊三角形ABC的中線，的中線，CAD=30，ADBC， AE=AD，ADE是等腰三角形，是等腰三角形，ADE=AED= （180-EAD）=75,ADBC,ADC=90,EDC=ADC-ADE =90-75=15.12【解析解析】 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓

19、營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄2. （2015菏澤菏澤）如圖，）如圖，ABC中，中，C=90，AE平平分分BAC,BDAE交交AE的延長線于的延長線于D.若若1=24 ，則則EAB等于等于( )A. 66 B. 33C. 24 D. 12 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄 C=90，BDAE, CAE+AEC=90，1+BED=90， AEC=BED(對頂角相等）對頂角相等）.CAE=1=24， AE平分平分BA

20、C，EAB=CAE=24.故選故選 C【解析解析】 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄 與直角三角形結合的動態(tài)問題與直角三角形結合的動態(tài)問題例例2（2015江西江西）如圖）如圖,在在ABC中中,AB=BC=4, AO=BO,P是射線是射線CO上的一個動點上的一個動點,AOC=60,則當則當PAB為直角三角形時為直角三角形時,AP的長為的長為_. 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄 由于

21、點由于點P在射線在射線CO上運動，上運動，當當PAB為直為直角三角形時，有三種情況：（角三角形時，有三種情況：（1）當）當APB90時，時，如解圖，當點如解圖，當點P在線在線段段CO上時，上時，AB=BC=4，AO=BO，AO=2，PO=AO=2， AOC=60，APO是等邊三角形，是等邊三角形，AP=AO=2；解圖解圖【解析解析】 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄如解圖所示，當點如解圖所示，當點P在在CO的延長線上時，的延長線上時，AB=BC=4，AO=BO，AOC=60，OP=OA=

22、OB=2， POB=AOC=60，POB是等邊三角形，即是等邊三角形，即PB=OB=2，AP= ； 2222422 3ABBP解圖解圖 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄（2）當）當ABP=90時，如解圖所示，時，如解圖所示，AB=BC=4，AO=BO，AOBO2，又又BOP=AOC=60，ABP=90，BP= ,在在RtAPB中，中，AP= = ; AP的長度為的長度為2或或 或或 .22AB +PB224 +(2 3) =2 72 32 2 3 3解圖解圖2 7 尾頁尾頁首頁首頁考點特

23、訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄 本題考查等腰三角形性質與直角三角形的判本題考查等腰三角形性質與直角三角形的判定定.解答此題的關鍵在于當解答此題的關鍵在于當PAB為直角三角形時為直角三角形時要分類討論，并且當要分類討論，并且當APB=90時要分點時要分點P在在CO上與點上與點P在在CO的延長線上兩種情況的延長線上兩種情況. 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄3. 如圖，在如圖，在ABC中，中，ABC90，

24、AB5，BC12，P是是BC邊上一動點，設邊上一動點，設BPx，若能在，若能在AC邊邊上找到一點上找到一點Q，使，使BQP90，則，則x的取值范圍為的取值范圍為_. 尾頁尾頁首頁首頁考點特訓營考點特訓營考點精講考點精講考點特訓營考點特訓營重難點突破重難點突破玩轉河南玩轉河南8年中招真題年中招真題 目錄目錄 當點當點P與與C重合時，以重合時，以BP為直徑作圓與為直徑作圓與AC交交于點于點Q1，則，則BQ1C90，此時，此時x=12是最大值；是最大值；當以當以O為圓心，為圓心，BP1為直徑的圓與直線為直徑的圓與直線AC、AB相切相切時，存在時，存在BQ2P1=90，AB、AC是是 O的切線，的切線， AQ2AB5，又，又 AC =13， CQ2=8，