1、人行走的最佳速度模型摘要人類(lèi)每天的日常生活都需要行走，看似簡(jiǎn)單的動(dòng)作其中卻蘊(yùn)含著豐富的物理和數(shù)學(xué)知識(shí)。以何種方式、何種步速行走才最“省力”，做功最少，這是許多人都關(guān)心的。本題要求我們?cè)跇O度理想的條件下，由淺及深地探究人要以多大的步速行走才能在單位時(shí)間內(nèi)做功最少。在此之前，我們首先證明了問(wèn)題一和問(wèn)題二，求解出人在行走時(shí)身體重心的升高量和把腿看作繞腰部轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻直桿并勻速行走時(shí)，單位時(shí)間所需動(dòng)能。然后，我們綜合運(yùn)用物理學(xué)和數(shù)學(xué)知識(shí)，建立了人在勻速行走時(shí)做功最少的最佳速度模型，通過(guò)問(wèn)題三和問(wèn)題四的兩種不同假設(shè)，給出了兩種情況下的最佳步速。最后我們綜合考慮現(xiàn)實(shí)實(shí)際，對(duì)模型的合理性和普適性進(jìn)行了分析，并

2、對(duì)模型的優(yōu)缺點(diǎn)及改進(jìn)方向進(jìn)行了討論。關(guān)鍵詞：勻速行走 重力勢(shì)能 動(dòng)能 功能轉(zhuǎn)換 最優(yōu)解1 問(wèn)題的重述人行走時(shí)作的功是抬高人體重心所需勢(shì)能與兩腿運(yùn)動(dòng)所需動(dòng)能之和，在勻速行走的情況下，人該以多大的速度行走才會(huì)使得自身做功最少。為此，需要研究的主要內(nèi)容如下：1. 求解證明人在勻速行走時(shí)身體重心的升高量。2. 將腿看作均勻直桿，行走看作腿繞腰部的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，單位時(shí)間所需動(dòng)能。3. 求解當(dāng)行走速度一定時(shí)，每秒行走幾步速度最少，建立模型并分析題設(shè)答案的合理性。4. 當(dāng)腿部質(zhì)量分布不均勻時(shí)，求證分析上述模型及其結(jié)果的合理性。2 問(wèn)題的分析該模型主要運(yùn)用優(yōu)化問(wèn)題最優(yōu)解的分析方法，輔以物理學(xué)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)、力學(xué)公式以及

3、數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧，最終求解出理想結(jié)果。對(duì)于問(wèn)題一，在已知腿長(zhǎng)和步長(zhǎng)的前提下，由簡(jiǎn)化圖示分析可得雙腿在貼合和分開(kāi)時(shí)候的高度差，即人體重心的升高量；對(duì)于問(wèn)題二，利用題設(shè)的理想化條件，通過(guò)物理學(xué)中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的相關(guān)知識(shí)求出轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；問(wèn)題三和問(wèn)題四的求解需要借助問(wèn)題一和問(wèn)題二的結(jié)果，即已知重心的升高量和單位時(shí)間所需動(dòng)能，人行走時(shí)消耗的總能量即為勢(shì)能與動(dòng)能之和。3 模型的假設(shè)與符號(hào)的約定3.1 模型的假設(shè)與說(shuō)明1. 人行走時(shí)作的功W=兩腿運(yùn)動(dòng)所需的動(dòng)能Wl+人體重心升高所需勢(shì)能W；2. 人在行走時(shí)不考慮人體生物質(zhì)能的消耗，只考慮物理能量的消耗；3. 人在行走時(shí)步速是均勻的，排除自身疲勞程度、人與人之間身體素質(zhì)差

4、異、路面情況等外界干擾因素；4. 在對(duì)問(wèn)題二和問(wèn)題三求解時(shí)，將腿看作均勻直桿，行走看作腿繞腰部的轉(zhuǎn)動(dòng)；在對(duì)問(wèn)題四求解時(shí)，將腿的質(zhì)量集中在腳部，行走看作腳的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；3.2 符號(hào)的約定與說(shuō)明符號(hào)符號(hào)的意義l腿長(zhǎng)s步長(zhǎng)人體重心升高量v行走速度（勻速）m腿的質(zhì)量M人體的質(zhì)量g重力加速度 W 人行走時(shí)作的總功人體重心升高所需勢(shì)能兩腿運(yùn)動(dòng)所需動(dòng)能n每秒行走步數(shù)j轉(zhuǎn)動(dòng)慣量w角速度4 模型的建立與求解4.1 問(wèn)題一的求解由簡(jiǎn)化圖示可知， 聯(lián)立方程、可解得所以，4.2 問(wèn)題二的求解在問(wèn)題二的題設(shè)背景下，我們得知，腿看作均勻直桿（即為剛體），行走看作腿繞腰部的轉(zhuǎn)動(dòng)。由物理學(xué)中的相關(guān)知識(shí)可得，剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

5、慣量等于每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。因此，本問(wèn)題可抽象為物理學(xué)中的均勻直桿繞其一端端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題。由此，不難得到以下各式：腿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 角速度： 單位時(shí)間內(nèi)所走步數(shù)： 物理學(xué)中轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度之間的關(guān)系式：E=12jw2單位時(shí)間內(nèi)兩腿運(yùn)動(dòng)所需動(dòng)能： 將方程代入中，得到： 4.3 問(wèn)題三的求解該問(wèn)題給出了人體的質(zhì)量，首先我們可以求出目標(biāo)函數(shù)并對(duì)其微分，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)計(jì)算即可求出最優(yōu)解。然后代入題目給出的條件數(shù)值并計(jì)算出結(jié)果。最后，我們將得到的結(jié)果與實(shí)際情況進(jìn)行比較討論。由問(wèn)題一的結(jié)果可得，單位時(shí)間內(nèi)人體重心升高量所需勢(shì)能為：由問(wèn)題二的結(jié)果可得，單位時(shí)間內(nèi)行

6、走所需的總功為： 假設(shè)行走速度v一定，若要求做工最小，將上式對(duì)n求微分即可得到：將題目給出的條件數(shù)值，代入上式得到：聯(lián)系現(xiàn)實(shí)實(shí)際我們可以明顯得知，人在正常行走時(shí)每秒鐘走5步是不可能的。因此，問(wèn)題三的假設(shè)條件不符合現(xiàn)實(shí)情況，是不合理的。4.4 問(wèn)題四的求解在該問(wèn)題中我們假設(shè)腿的質(zhì)量集中在腳部，行走看作腳的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。因此，動(dòng)能計(jì)算公式需要改變?yōu)橹本€(xiàn)運(yùn)動(dòng)下的情況。此時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)兩腿行走的動(dòng)能計(jì)算公式為：則單位時(shí)間內(nèi)行走所需的總功為：按照問(wèn)題三的方法，將上式對(duì)n求微分并代入條件數(shù)值，得到最終結(jié)果為：聯(lián)系實(shí)際我們得知，在正常情況下，人行走時(shí)每秒鐘走3步是可行的。因此，問(wèn)題四的假設(shè)條件是合理的。5 模型

7、的評(píng)價(jià)與分析本模型的建立過(guò)程是以人行走時(shí)保持勻速不變?yōu)榍疤?，并且只考慮了人在行走時(shí)消耗的物理能量而未考慮自身消耗的生物能量，即人在行走時(shí)做的總功只包含身體重心升高所需的勢(shì)能和兩腿運(yùn)動(dòng)時(shí)所需的動(dòng)能。建立模型后，我們利用微分的方法求解最優(yōu)解，代入題設(shè)條件數(shù)值并與實(shí)際情況做比較，最終我們得出，將腿的質(zhì)量集中在腳部，行走看作腳的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)更符合實(shí)際。當(dāng)然，本模型也有其自身不可避免的局限性。模型的假設(shè)條件是極度理想化的，現(xiàn)實(shí)中人不可能在行走時(shí)一直保持勻速不變，而腿部的質(zhì)量也絕不可能是均勻分布或者集中在腳部的，不僅如此，行走時(shí)的路面情況等外界因素也是難以忽略的。當(dāng)遇到具體情境時(shí)，這些問(wèn)題都應(yīng)該考慮到。參考文