1、常系數(shù)微分方程基本點v常系數(shù)線性微分方程及可化為這一類型的方程的解法-只須解解一個代數(shù)代數(shù)v某些特殊的非齊次微分方程也可通過代數(shù)運算和微分運算求得它的通解。掌握：v特征方程與特征根，及求常系數(shù)線性方程的通解v待定系數(shù)法與拉普拉斯變換法求非齊次線性方程的特解。4.2.1 復值函數(shù)與復值解復值函數(shù)v定義v極限與連續(xù) v導數(shù)與微分 000lim ( )lim( )lim( )ttttttz ttit( )( )( ), , z ttita b其中 (t), (t)是定義在上的實函數(shù).00lim ( )( )ttz tz t000000( )( )lim( )( )( ).ttz tz tz tttt

2、dz tz tdt存在,稱在 處有導數(shù)(可微),記為或可微函數(shù)的性質(zhì)可微函數(shù)的性質(zhì) 1. 復值可微函數(shù)與實值可微函數(shù)一樣具有線性性。復值可微函數(shù)與實值可微函數(shù)一樣具有線性性。()2. , , (cossin).KtittKiteeetit 設(shè)這里為實數(shù), 為實變量, 定義 1cos(+), 21 sin(-). 2ititititteetee則 1212()(1);(2 );(3),; ().K tK tKKtK tKtK tK tnK tnK tneeeeed eK etd tdeKed t其 中 為 實 變 量. , .3 , KtKiKite 設(shè)令=這里為實數(shù),為實變量,則函數(shù)有如下性質(zhì)

3、:1111( ).( )( )( ) (4.1)nnnnnndxdxdxatatat xftdtdtdt是方程的復值解, 則( )(1,., )ia t in都是實值函數(shù)( )( )( )xz ttit而定理定理8如果方程(4.2)中所有系數(shù)( )z t的實部 (t),虛部 (t)和共軛復值函數(shù)( )(4.2)z t 也都是方程的解.復值解：復值解：如果定義于區(qū)間a,b上的實值變量復值函數(shù)x=z(t)稱為方程(4.1)的，如果1111( )( )( ) ( ).( )( ) ( )( )nnnnnnd z tdz tdz tatatat z tf tdtdtdtatb對 于恒 成 立 .和和有

4、復值解( )(1,., )( ), ( )ia t inu t v t這里及都是實( )( ),xU tiV t定理定理9 如果方程,UV函數(shù) 那么實部 (t)和虛部 (t)分別是方程1111 ( ).( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tatat xv tdtdtdt的解.1111( ).( )( )( )( )nnnnnnd xdxdxatatat xu tiv tdtdtdt1111( ).( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tatat xu tdtdtdt4.2.2 常系數(shù)齊次線性微分方程和歐拉方程常系數(shù)齊次線性微分方程和歐拉方程 定義：定義：設(shè)齊次線性微分方程

5、中所有系數(shù)都是常數(shù)，即1111111111 ( .) .(),().tttttnntttnnnnnnnnnnnnxeL xdddLaaadtdtdeeeeeeFeaFtaaaaa將代 入得其 中(1)1111.0 (4.19)nnnnnndxdxdxL xaaa xdtdtdt解法解法 ：用歐拉待定系數(shù)法求方程：用歐拉待定系數(shù)法求方程(4.19)的基本解組的基本解組.12,.,naaa其中是實常數(shù). 稱(4.19)為n階常系數(shù)齊次線性微分方程.111.0 (4.21)( )(2) nnnnaaFa求方程的-稱為方(4.21)程的,相應(yīng)地稱為方程(4.根(4.19)19)的特征根特征方程. (3

6、)根據(jù)特征根的不同情況分別進行討論根據(jù)特征根的不同情況分別進行討論: 特征根是單根的情形特征根是單根的情形. 1212,.,(4.21) ,., (4.22)nntttnneee 設(shè)是特征方程的 個彼此不相等的根,則方程(4.19)有如下 個解: 如果特征根有復根，由于方程如果特征根有復根，由于方程(4.19)的系數(shù)為實常數(shù)，因此復的系數(shù)為實常數(shù)，因此復根總是成對出現(xiàn)的。根總是成對出現(xiàn)的。11 cos, sinttiietet設(shè)是一特征根,則也是特征根,可求得與之對應(yīng)的兩個實解代替對應(yīng)的兩個復值解:1111111.0 (4.19)().0 (4.21)nnnnnnnnnndxdxdxL xaa

7、a xdtdtdtFaaa 特征根是有重根的情形特征根是有重根的情形.11111111(4.21) ,., (4.25)ttktkketete設(shè) 是特征方程的 重特征根,則方程(4.19)如下 個解: 如果特征根有重復根，由于方程如果特征根有重復根，由于方程(4.19)的系數(shù)為實常數(shù)，因此復根的系數(shù)為實常數(shù)，因此復根總是成對出現(xiàn)的。總是成對出現(xiàn)的。11111111-1-122 cos, cos, . , cos, sin, sin, . , sin . ktttktttikikkkettettetettettet設(shè)是 重特征根,則也是 重特征根,可求得與之對應(yīng)的個實解代替對應(yīng)的個復值解:111

8、1111.0 (4.19)().0 (4.21)nnnnnnnnnndxdxdxL xaaa xdtdtdtFaaa作業(yè)vP164 2()v思考 p164 1 特征根是有重根的情形特征根是有重根的情形.11111111(4.21) ,., (4.25)ttktkketete設(shè) 是特征方程的 重特征根,則方程(4.19)如下 個解: 證明證明 分兩種情況：分兩種情況：1111()()()(1)2(2 )111(1)0. 0. , ()(1) (.,2!ttmmtmmmmxyexyem meymyyy1此 時 證 明 過 程 很 簡 單 .(2)作 變 量 變 換注 意 到 可得可得1111111

9、1(.) ,nnnnntnttyyyeeyedddL ybbbdtdtdtLy1111111.0 (4.19)().0 (4.21)nnnnnnnnnndxdxdxL xaaa xdtdtdtFaaa1111112111.,.,0, (4.23) ()0. (4.2.4). .nnnnnnnnnnndddLbbbdtdtdtbbbyyyybbGby其 中仍 為 常 數(shù) ,而 相 應(yīng) 的 特 征 方 程 為 直接計算易得直接計算易得111()(11)()=()()ttttteeeFeeLGL 因此因此1()( )FG 于是于是(4.19)化為化為1txye1111111.0 (4 .1 9 )(

10、).0 (4 .2 1)nnnnnnnnnndxdxd xL xaaa xd tdtd tFaaa 從而從而( )( )11()( ), 1,2,.,.jjFGjk11 (4.21)(4.24)0, 可見的根 = 對應(yīng)的根而且重數(shù)相同.問題就化為情形(1)了.y=f(x)只要找到y(tǒng)，就能找到x（通過f,且通過等式聯(lián)系）1txye1111111.0 (4 .1 9 )().0 (4 .2 1)nnnnnnnnnndxdxd xL xaaa xd tdtd tFaaa1111111 ,., (4.25)tttkkketete因此,對應(yīng)于特征方程(4.21)的 重特征根,方程(4.19)有 個解:1

11、1113231211,.,.,;1(1,.,1),.,(),(4.19),., . (,.,mmmmmmimjittktttktkkkkimkkknjieteteetete 2假設(shè)特征方程(4.21)的其他根的重數(shù)依次為單根時重數(shù)為而且當則方程有解4.26) 于是于是(4.26)全體全體n個解構(gòu)成方程個解構(gòu)成方程(4.19)的基本解組。的基本解組。1txye1111111.0 (4 .1 9 )().0 (4 .2 1)nnnnnnnnnndxdxd xL xaaa xd tdtd tFaaa31212,.,.,;1(1,.,1),.,(), mmimjik kkkimkkknji 12假設(shè)特

12、征方程(4.21)的根的重數(shù)依次為單根時重數(shù)為而且當則證明（反證法）證明（反證法） 假若這些函數(shù)線性相關(guān)，則有假若這些函數(shù)線性相關(guān)，則有111111,.,. (4.26) ,.,(4.19)mmmmttktttkteteteetete構(gòu) 成 方 程的 一 個 基 本 解 組 .1()()()01111()(.)=( )=0, (4.27) rrrrmmkttrrrkrrrrjAAtAtePt eA其 中是 常 數(shù) ,不 全 為 0.1txye1111111.0 (4 .1 9 )().0 (4 .2 1)nnnnnnnnnndxdxd xL xaaa xd tdtd tFaaa證明（反證法）證

13、明（反證法） 假若這些函數(shù)線性相關(guān)，則有假若這些函數(shù)線性相關(guān)，則有()()()011111()(.)=( )=0, (4.27) rrrrmmttrrrkrrrjkrAAtAePt eAt其 中是 常 數(shù) ,不 全 為 0.( )( )tt mm 不 失 一 般 性 ,假 定 多 項 式 P至 少 有 一 個 系 數(shù) 不 等 于 0,因 此 P110.(4.27),tetk微 分兩 邊 除 以然 后 對次 我 們 得 到1()2( )=0, (4.28) rmtrrQ t e11 ( )(-)( )( ),( )( )( )( ), ( )krrrrrrrrmQ tP tS tS tP tQ

14、tP tQt其中為次數(shù)低于的次數(shù)的多項式.與次數(shù)相同 且0.這就產(chǎn)生了矛盾。因此證明了這就產(chǎn)生了矛盾。因此證明了(4.26)全部全部n個解線性無關(guān)，從而構(gòu)個解線性無關(guān)，從而構(gòu)成了方程成了方程(4.19)的基本解組。的基本解組。( )( )( )011111(.)=( )=0, (4.27)rrrrmmtrrrkrrrkttAAtAeP t e1()2( )=0, (4.28) rmrrtQ t e1212)()(4.28)(4.28),(4.27) ( )=0,mmttmtRtkee等 式與 (4.27)類 似 ,但 項 數(shù) 減 少 了 .如 果兩 邊除 以然 后 對次 我 們 得 到 項 數(shù)

15、 更 少 的 類 似于的 恒 等 式 ,如 此 繼 續(xù) 下 去 ,經(jīng) 過 m-1次 后 ,就 可 得到 等 式微 分112121( )() () .()( )( )mkkkmmmmmmmRtP tWt其中 0111111,., . (4.26),.,mmmmttktttkteteteetete例例1 求方程440d xxdt 例例2 求方程330d xxdt.1212312333 (cossin), 22,ttxc eectctc c c其中為任意常數(shù). 解解 特征方程特征方程41234101,1,.ii 的根為12341234 cossin ,.ttxc ec ectctc cc c其中,為

16、任意常數(shù) 故方程的通解為故方程的通解為 解解 特征方程特征方程312,3131 01,22i 有特征根因此通解為例例3 求方程3232330d xd xdxxdtdtdt 例例4 求方程424220d xd xxdtdt.因此方程有四個實值解四個實值解cost, tcost, sint, tsint. 故通解為12341234 ()cos()sin , ,.xcc ttcc ttcc c其中c,為任意常數(shù) 解解 特征方程特征方程323331 0,(1)1, 即=0,得為方程的三重根2123123 () ,.txcc tc tec cc其中, 為任意常數(shù) 因此方程的通解為因此方程的通解為 解解

17、特征方程特征方程422221 0,(1)(),i 即=0,得特征根二重根 歐拉方程：歐拉方程：1111 ,ln, .0, (4.30) tnnnnnnxetxdydydybba ydtdtdt則代 入 方 程 (4.29),可 得考 慮 到 令11111.0 (4.29)nnnnnnnndydydyxa xaxa ydxdxdx12,.,naaa其中是實常數(shù). 此方程可以通過變量變換化成常系數(shù)齊次線性微分方程.歐拉方程解法歐拉方程解法 ：1(-1).(-1)(-1).(-2).0 (31 4.)KnyxK KK na K KK naK根方程(4.29)有的解,將其代入(4.29)可得的-稱(4

18、.30)特征方程,為方程的解方程(4. 1)求出3.12,.,nb bb其中是實常數(shù). 11111.0 (4.29)nnnnnnnndydydyxa xaxa ydxdxdx00001021 (-1).(-1)(-1).(-2).0 (4.31),(4.29) ,ln |,ln |,.,ln|.nKKKKmKK na K KK namKKmxxxxxxx(4.29)的特征方程有 重實根對應(yīng)于的 個解)若為111 (-1).(-1)(-1).(-2).0 (4.31),(4.29) , ln |,.,lncos(ln |)cos(ln |, )cos(ln |)sin(ln |)s , ln |

19、in(|nmmmKKna K KKnaKixxxxxxxxxxxx(4.29)的特征方程有對應(yīng)于的實值解為2重復根2 個)若1ln |)sin(ln |),., ln|,mxxxx例例5 求方程2220d ydyxxydxdx例例6 求方程222350d ydyxxydxdx.212, (1)1 0,(1)0,1. KKK KKKKyxK 得解到應(yīng)滿足的方程即因此設(shè)方程的通解為1212 y(ln |) ,.ccx xc c其中為任意常數(shù)21,2, (1) 350, 250,1 2 , KKK KKxKiyKK 得到 應(yīng)滿足的方程或因此,而方程設(shè)解 的通解為12121 ycos(2ln |)si

20、n(2ln |),.cxcxxc c其中為任意常數(shù)4.2.3 非齊次線性微分方程求非齊次線性方程的通解的的方法：求非齊次線性方程的通解的的方法：v常數(shù)變易法常數(shù)變易法v比較系數(shù)法v拉普拉斯變換法常系數(shù)非齊次線性微分方程：1111 .( ) (4.32)nnnnnndxdxdxL xaaa xftdtdtdt12,.,( )naaaf t其中是實常數(shù),是連續(xù)函數(shù). 稱(4.32)為n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.(1) 比較系數(shù)法比較系數(shù)法 類型類型I10110, ( ).mmmmf tb tb tbtb)如 果則(11 011( )(.),mmtmmftb tb tbtbe設(shè)比較系數(shù)法確定比較系

21、數(shù)法確定(4.33)中的待定常數(shù)：中的待定常數(shù)：1,.,mb0其中b ,b及是實常數(shù),那么方程(4.32)有形如1 011 (.)(4.33)kmmtmmxtB tB tBtBe,()0(1,0).kFkk重的 特 解 其 中為 特 征 方 程的 根的單 根非 特 征 根數(shù)10110, ( )(.).mmtmmf tb tb tbtbe則(2)如 果1111 .( ) (4.32)nnnnnndxdxdxL xaaa xftdtdtdt1011, ( ).0.mmmmf tb tb tbtb)如 果則(11 011( )(. .,.)mmtmmf tb tb tbtbe1 011 (. (4.

22、3 ).)3kmmtmmxtB tB tBtBe特 解()0Fk其 中為 特 征 方 程的 根的 重 數(shù) .10111 .(4.32)0,.,.,mmmmmxB tB tBtBBtB0不 是 特 征 根 則 取 k=0,于 是比 較 的 同 次冪 的 系 數(shù)(a)將,得 到 常 數(shù)入B代方 程1111 .( ) (4.32)nnnnnndxdxdxL xaaa xftdtdtdt分兩種情形討論：分兩種情形討論：(-1)()-1-1-0,(0)(0).(0)0(0). .0,0.(4.32)kknnn kn kkFFFFaaaa是重 特 征 根 則,而0 ,也 就 是 說這 時方 程(b)將 為

23、111.( ) (4.35)nnknknnkdxdxdxaaftdtdtdt下面對此加以證明下面對此加以證明.()()()(1)2(2 ), ()(1) (.,2!(40.32)tmtmtmmmmxyexyem meymyyy則 作 變 量 變 換注 意 到將 方 程(2)如 果化 為1 011( )(. .,.)mmtmmf tb tb tbtbe1 011 (. (4.3 ).)3kmmtmmxtB tB tBtBe特 解()0Fk其 中為 特 征 方 程的 根的 重 數(shù) .1111 .( ) (4.32)nnnnnndxdxdxL xaaa xftdtdtdt11110111. (4.3

24、 ).7mmmmnnnnnnd ydydyAAA ydtdtdb tbtbtbt12,.,nAAA其中是實常數(shù).而且特征方程(4.21)的根對應(yīng)于方程(4.37)的特征方程地零根,并且重數(shù)也相同.由此易得(4.33)111( ).0 (4.21)nnnnFaaa例例7 求方程222331.d xdxxtdtdt 的通解例例8 求方程2223.td xdxxedtdt的通解 先求對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解,然后求出非齊次線性微分方程的一個特解. 可求解得其通解為312121 .3,.ttxc ec etc c 其中為任意常數(shù) 先求對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解,然后求出非齊次線性微分方程的一個特

25、解. 可求解得其通解為312121 .4,.tttxc ec etec c其中為任意常數(shù)例例9 求方程323233(5).td xd xdxxetdtdtdt 的通解 先求對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解,然后求出非齊次線性微分方程的一個特解. 可求解得其通解為231231231 ()(20 ),24,.ttxcc tc tet tec cc其中, 為任意常數(shù)作業(yè)vP164 2(7,10), 3(1,3), 4(1)v思考 2(15)(1) 比較系數(shù)法比較系數(shù)法 類型類型II ( )( ) cos) sin,(tftA ttB tt e設(shè),( ),( )A tB tt 其中, 為常數(shù) 而是帶實系數(shù)

26、的 的多項式,其中一個的次數(shù)為m,另一個的次數(shù)不超過m,那么方程(4.32)有形如 ( ) cos( ) si (4.38n) ) ktxtP ttQ tt e,()0(1,0),( ),( )FikkP tQ ttkm的其 中為 特 征 方 程的 根的單 根非 特 征 根而均 為 待 定的 帶 實 系 數(shù) 的 次 數(shù) 不 超 過的 的 多 項 式 ,可 以 通 過 比 較系 數(shù) 的 方 法特 解重 數(shù)來 確 定 .1111 .( ) (4.32)nnnnnndxdxdxL xaaa xftdtdtdt ( )( ) cos( ) sin,tf tA ttB tt e1111 .( ) (4.

27、32)nnnnnndxdxdxL xaaa xftdtdtdt將將f(t)表為指數(shù)形式表為指數(shù)形式() () ( )( )( )( )( )22,ititA tiB tA tiB tftee根據(jù)非齊次線性微分方程的疊加原理(習題4.1第2題)，方程() 1( )( ) ( )2itA tiB tL xfte() 2( )( ) ( )2itA tiB tL xfte與的解之和必為方程(4.32)的解.()()121112( )( ) ( )( )(cos(), )( ) (i)s nkitkitktxt D t et D t etP ttQ tt eftftxL xftxL xft注 意 到易

28、 知 ,若為的 解 ,則必為的 解 .因 此 ,利 用 類 型 I的 結(jié) 果 ,可 知 方 程(4.32)有 解 形 如 ( ) ( )cos( )sin,tf tA ttB tt e1111 .( ) (4.32)nnnnnndxdxdxL xaaa xftdtdtdt( ),( )2 Re( ),( )2 Im ( ).D ttmP tD tQ tD t其 中為 的次 多 項 式 而()() ( )( ) ( ) cos( ) sin(4.32)kitkitktxt D t etD t etP ttQ tt e有 解 形 如例例10 求方程2244c s.od xdxxtdtdt的通解例例

29、11 利用復數(shù)法求方程 先求對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解,然后求出非齊次線性微分方程的一個特解. 可求解得其通解為212121 ()sin2 .8,.txcc t etc c其中為任意常數(shù)2244c s.od xdxxtdtdt的通解(2) 拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法0( ( )stF seft dt由 積 分 ,Mt所定義的確定于復平面(Re s)上的,稱為函數(shù),其中f(t)于t0有定義,且滿足復變數(shù)s的函數(shù)F(s)f(t)的拉普拉斯變不等式|f(t)|Me這里為某兩個正常數(shù).我們稱f(t)為,而F(s)稱為原數(shù)換函像函數(shù).拉普拉斯變換拉普拉斯變換0 ( )( )stF seft dt-0

30、-0( )(4.32),( )( )(1,2,., ) ( )( )( ), ( ) ( )( ).ststx tx tx tknF sL f tef t dtX sL x tex t dt 如果是方程的任意解 則及其各階導數(shù)均是原函數(shù).記1111(1)(1)00012 .( ) (4.32) (0),(0),.,(0),.,( )nnnnnnnnndxdxdxaaa xftdtdtdtxxxxxxaaaft及 初 始 條 件其 中是 常 數(shù) ,而連 續(xù) 且 滿 足 原 函 數(shù) 的 條 件 . 給定微分方程0( )11(1)000 ( )( ), . , ( )( )., nnnnnL x t

31、sX sxL xts X ssxsxx則0 ( )( )stF seft dt11(1)000123(2)100010 ( ). ( ). .( )(, )nnnnnnnnnns X ssxsxxa sX ssxsxxasX ssFxXsa于是,對方程(4.32)兩端施行拉普拉斯變換,并利用線性性質(zhì)得1111(1)(1)000 .( ) (4.32) (0),(0),.,(0).nnnnnnnndxdxdxaaa xftdtdtdtxxxxxx微 分 方 程初 始 條 件 -12110n-23(1)12n11001 (s.)( ) ( )( )(.) (s.).( ),nnnnnnnnna s

32、asaXsa saxa saxxB ssF sF s即對方程(4.32)兩端施行拉普拉斯變換,得1111(1)(1)00012 .( ) (0),(0), (4.3.,(0),.,( )2)nnnnnnnnndxdxdxaaa xftdtdtdtxxxxxxaaaft微 分 方 程初 始 條 件 其 中是 常 數(shù) ,而連 續(xù) 且 滿 足 原 函 數(shù) 的 條 件 .-12110n111n-23(1)1200(.) (s.)(s.)( )( )( ),.( )nnnnnnnnnsa saxa sasaX sa saxxB sF sF s ( )( ),( )( )( ), ( ) ( )( )(

33、)AX sF sF sB sX sxB stA sx t或故 這是的像函數(shù).可直接通過查拉普拉斯變換表或反變換公式計算求得.拉普拉斯變換拉普拉斯變換0 ( )( )stF seft dt例例12 求方程2(0)0.txxdtxde滿足初始條件的解, 對方程兩端施行拉普拉斯變換,得到方程的解的像函數(shù)所滿足的1方程 sX(s)-x(0)-X(s)=s-2解(0)0,111 ( ).(1)(2)21xX sssss注意到得 , te2t查拉普拉斯變換表,得 x(t)=e這就是所要求的解.例例13 求解方程211( )( )0.txxxxxe,的解-(1)-1 2, (0)(0)0,txxxexx 令,將解問題化為231 1( )2( )( ),111 ( ).(1)s X sX sX sseX sse對新方程兩邊作拉普拉斯變換,得 因此2- -121 ( ), 21( )(1),2txex