1、第 七 章 力 法7-2 超靜定次數的確定7-3 力法的基本概念7-4 力法的典型方程7-6 對稱性的利用 7-7 超靜定結構的位移計算 7-8 最后內力圖的校核7-9 溫度變化時超靜定結構的計算7-10 支座位移時超靜定結構的計算7-11 用彈性中心法計算無鉸拱7-12 兩鉸拱及系桿拱7-5 力法的計算步驟和示例7-1 概述7-13 超靜定結構的特性 超靜定結構超靜定結構：具有多余約束的結構。具有多余約束的結構。幾何特征：幾何特征：具有具有多余約束多余約束的幾何不變體系。的幾何不變體系。 靜力特征靜力特征：反力和內力反力和內力不能不能僅由平衡條件全部解出。僅由平衡條件全部解出。 一、超靜定結

2、構的一、超靜定結構的靜力特征靜力特征和和幾何特征幾何特征7-1 概述7-1 概述圖圖a所示梁僅由平衡條件無法確定豎向反力。所示梁僅由平衡條件無法確定豎向反力。其幾何構造特征是具有一個多余聯系。其幾何構造特征是具有一個多余聯系。多余未知力多余未知力：多余聯系中產生的力。如圖：多余聯系中產生的力。如圖b中的中的X1?？蓪⑷我回Q向支座鏈桿作為多余聯系?？蓪⑷我回Q向支座鏈桿作為多余聯系。 圖圖a所示桁架僅由平衡條件無所示桁架僅由平衡條件無法確定桿件內力。其幾何構造特征法確定桿件內力。其幾何構造特征是具有兩個多余聯系。是具有兩個多余聯系?？蓪筛睏U作為多余聯系如圖可將兩根斜桿作為多余聯系如圖b。q l

3、28ABCBq l64q l32 2 2q l64 2AABCAB0 . 5 l0 . 5 llqq思考：思考：多余約束是多余約束是多余多余的嗎？的嗎？從幾何角度與結構的受力特性和使用要求兩方面討論。從幾何角度與結構的受力特性和使用要求兩方面討論。 超靜定結構的超靜定結構的優(yōu)點優(yōu)點為為: 1. 內力分布均勻內力分布均勻 2. 抵抗破壞的能力強抵抗破壞的能力強7-1 概述二、超靜定結構的二、超靜定結構的類型類型超靜定梁超靜定梁超靜定剛架超靜定剛架超靜定拱超靜定拱兩鉸拱兩鉸拱 無鉸拱無鉸拱7-1 概述超靜定桁架超靜定桁架超靜定組合結構超靜定組合結構7-1 概述遵循遵循同時考慮同時考慮“變形、本構、

4、平衡變形、本構、平衡”分析超靜定問分析超靜定問題的思想題的思想，可有不同的出發(fā)點：，可有不同的出發(fā)點： 以力作為基本未知量，在自動滿足平衡條件的基礎以力作為基本未知量，在自動滿足平衡條件的基礎上進行分析，這時主要應解決變形協調問題上進行分析，這時主要應解決變形協調問題，這種分，這種分析方法稱為析方法稱為力法力法。三、超靜定結構三、超靜定結構求解方法求解方法概述概述1. 力法力法-以多余約束力作為基本未知量以多余約束力作為基本未知量基本未知量：基本未知量：當它確定后，其它力學量即可完全當它確定后，其它力學量即可完全 確定。確定。-關鍵量關鍵量 7-1 概述 以位移作為基本未知量，在自動滿足變形協

5、調條以位移作為基本未知量，在自動滿足變形協調條件的基礎上來分析，當然這時主要需解決平衡問題，件的基礎上來分析，當然這時主要需解決平衡問題，這種分析方法稱為這種分析方法稱為位移法位移法。 如果一個問題中如果一個問題中既有既有力力的未知量，也有的未知量，也有位移位移的未的未知量，力的部分考慮位移協調，位移的部分考慮力知量，力的部分考慮位移協調，位移的部分考慮力的平衡的平衡，這樣一種分析方案稱為這樣一種分析方案稱為混合法混合法。2. 位移法位移法-以結點位移作為基本未知量以結點位移作為基本未知量3. 混合法混合法-以結點位移和多余約束力作為以結點位移和多余約束力作為 基本未知量基本未知量7-1 概述

6、4. 力矩分配法力矩分配法-近似計算方法近似計算方法 位移法位移法的變體，便于手算，不用解方程。的變體，便于手算，不用解方程。5. 結構矩陣分析法結構矩陣分析法-有限元法有限元法.以上各種方法共同的以上各種方法共同的基本思想基本思想: 4. 消除差別后，改造后的問題的解即為原問題的解。消除差別后，改造后的問題的解即為原問題的解。 3. 找出改造后的問題與原問題的差別；找出改造后的問題與原問題的差別； 2. 將其化成會求解的問題；將其化成會求解的問題； 1. 找出未知問題不能求解的原因；找出未知問題不能求解的原因；適用于電算適用于電算 矩陣位移法矩陣力法7-1 概述7-1 概述求解超靜定結構的條

7、件求解超靜定結構的條件（1）平衡條件：）平衡條件： 受力狀態(tài)滿足平衡方程受力狀態(tài)滿足平衡方程（2）幾何條件：）幾何條件： 結構的變形和位移符合支結構的變形和位移符合支 承約束條件和各部件之間承約束條件和各部件之間 的變形連續(xù)條件的變形連續(xù)條件（3）物理條件：）物理條件： 變形或位移與力之間的物變形或位移與力之間的物 理關系理關系超靜定次數：超靜定次數：多余約束（聯系）或基本未知力的個數。多余約束（聯系）或基本未知力的個數。一、概念一、概念 二、確定方法二、確定方法 1 1）由）由計算自由度計算自由度 確定確定WWn2 2）去）去約束約束法法 1)35243()23(rhmWn將多余約束去掉，使

8、原結構轉化為將多余約束去掉，使原結構轉化為靜定結構靜定結構。 ？從靜力分析看：從靜力分析看：超靜定次數超靜定次數 = 多余未知力的數目多余未知力的數目從幾何構造看：從幾何構造看：超靜定次數超靜定次數 = 多余聯系的數目多余聯系的數目7-2 超靜定次數的確定（1）去掉或切斷一根鏈桿，）去掉或切斷一根鏈桿， 相當于去掉一個聯系。相當于去掉一個聯系。7-2 超靜定次數的確定（2）拆開一個單鉸，相當于）拆開一個單鉸，相當于 去掉兩個聯系。去掉兩個聯系。（3）切開一個剛結點，或去掉）切開一個剛結點，或去掉 一個固定端，相當于去掉一個固定端，相當于去掉 三個聯系。三個聯系。（4）剛結改為單鉸聯結，相當）剛

9、結改為單鉸聯結，相當 于去掉一個聯系。于去掉一個聯系。（5）固定端改為滑動支座，）固定端改為滑動支座， 相當于去掉一個聯系。相當于去掉一個聯系。7-2 超靜定次數的確定（6）固定端改為可動鉸支座）固定端改為可動鉸支座， 相當于去掉兩個聯系。相當于去掉兩個聯系。（7）滑動支座改為可動鉸支座，）滑動支座改為可動鉸支座， 相當于去掉一個聯系。相當于去掉一個聯系。7-2 超靜定次數的確定圖圖a所示結構，在拆開單鉸、切斷鏈桿、切開剛結處后所示結構，在拆開單鉸、切斷鏈桿、切開剛結處后，得到圖，得到圖b所示靜定結構所示靜定結構6次超靜定次超靜定同一超靜定結構，可以用不同方式去掉多余聯系，如同一超靜定結構，可

10、以用不同方式去掉多余聯系，如圖圖c、d所示靜定結構所示靜定結構3 3）框格法）框格法一個封閉無鉸框格一個封閉無鉸框格 3n1553nm 個封閉個封閉無鉸框格無鉸框格7-2 超靜定次數的確定若有鉸若有鉸 單鉸數，則單鉸數，則 hmn 3h6953n7-2 超靜定次數的確定21次次超超靜靜定定7-2 超靜定次數的確定16次次超超靜靜定定9次次超超靜靜定定1. 力法基本思路力法基本思路待解的未知問題待解的未知問題 原（一次超靜定）結構原（一次超靜定）結構1)1)、去掉多余約束代之以多余未知力，將原結構轉化一個、去掉多余約束代之以多余未知力，將原結構轉化一個在荷載和未知力共同作用下的靜定結構在荷載和未

11、知力共同作用下的靜定結構( (基本體系基本體系) )?；倔w系基本體系?1X關鍵：力法基本未知量力法基本未知量去掉余約束代之以多余未去掉余約束代之以多余未知力，得到基本體系。知力，得到基本體系。7-3 力法的基本概念2)2)、沿多余未知力方向建立、沿多余未知力方向建立位移協調方程位移協調方程，解方，解方程就可以求出多余未知力程就可以求出多余未知力X1 。原結構的原結構的B是剛性支座是剛性支座, , 該點的豎向位移是零。該點的豎向位移是零。即原結構在的即原結構在的X1位移為：位移為： 位移協調條件：位移協調條件：基本結構在原有荷載基本結構在原有荷載 q 和多余和多余力力X1共同作用下，在去掉多余

12、聯系處的位移應與原共同作用下，在去掉多余聯系處的位移應與原結構相應的位移相等。結構相應的位移相等。變形條件變形條件01 7-3 力法的基本概念超靜定結構計算超靜定結構計算基本結構靜定結構計算靜定結構計算 AB基本結構基本結構（懸臂梁）（懸臂梁） 對靜定結構進行內力、位移計算，已經很掌握。對靜定結構進行內力、位移計算，已經很掌握。 7-3 力法的基本概念 在荷載作用下在荷載作用下B 點產生向下的位移為點產生向下的位移為1P, 未知力未知力的作用將使的作用將使B點產生的向上的位移為點產生的向上的位移為 11 11 。 要使體系的受力情況與原結構一樣要使體系的受力情況與原結構一樣, , 則必須則必須

13、B 的的位移也與原結構一樣，要求：位移也與原結構一樣，要求：位移協調條位移協調條件件1= =11 1 + +1P=0=0 (a) 1P 基本結構由荷載引起的豎向位移基本結構由荷載引起的豎向位移 11 1 基本結構由未知力引起的豎向位移基本結構由未知力引起的豎向位移7-3 力法的基本概念力法基本方程力法基本方程可寫為可寫為7-3 力法的基本概念11表示表示X1=1時，時，B點沿點沿X1方向的位移，方向的位移，11= 11X1。 11 + 1P=00P1111 X 繪出基本結構在繪出基本結構在X1=1、荷載、荷載q作用下的彎矩圖，如圖作用下的彎矩圖，如圖a、b。自乘自乘3111131)3221(1

14、lEIlllEIEIAyxEIMMCd 位移系數位移系數ii 廣義荷載位移廣義荷載位移Pi 將將1111、1P 1P 入力法典型方程，解得入力法典型方程，解得: : qlX8311P11 3)3)、將求出的多余未知力作用于基本結構，用疊加、將求出的多余未知力作用于基本結構，用疊加法即可求出超靜定結構的內力。法即可求出超靜定結構的內力。A2ql8BPMMXM11由：圖MEIqlllqlEIEIAyxEIMMC8)432131(1d42P1P1 7-3 力法的基本概念 2. 幾個概念幾個概念 力法的基本未知數力法的基本未知數: :超靜定結構多余約束的未知超靜定結構多余約束的未知約束力約束力, ,

15、即超靜定次數。即超靜定次數。 力法的基本結構力法的基本結構: :把原超靜定結構的多余約束去掉把原超靜定結構的多余約束去掉, , 所得到的靜定結構就稱為原結構的基本結構。所得到的靜定結構就稱為原結構的基本結構。 力法的基本體系力法的基本體系: :在基本結構上加上外荷載及多在基本結構上加上外荷載及多余約束力，就得到了基本體系。余約束力，就得到了基本體系。 力法的基本方程力法的基本方程: :根據原結構已知變形條件建立的力根據原結構已知變形條件建立的力法方程。對于線性變形體系，應用疊加原理將變形條件法方程。對于線性變形體系，應用疊加原理將變形條件寫成顯含多余未知力的展開式，稱為力法的基本方程。寫成顯含

16、多余未知力的展開式，稱為力法的基本方程。7-3 力法的基本概念 選取基本體系的原則：選取基本體系的原則：基本體系必須是幾何不變基本體系必須是幾何不變的。通常取靜定的基本體系。在特殊情況下也可以取的。通常取靜定的基本體系。在特殊情況下也可以取超靜定的基本體系。超靜定的基本體系。思考：思考：力法的基本體系是否唯一？力法的基本體系是否唯一？答：答：不唯一。解除不同的多余約束可得不同的基本體不唯一。解除不同的多余約束可得不同的基本體系。系。7-3 力法的基本概念7-3 力法的基本概念7-3 力法的基本概念圖圖a是三次超靜定結構，去掉固定支座是三次超靜定結構，去掉固定支座A，得如圖得如圖b所示的基本結構

17、。所示的基本結構。7-4 力法的典型方程位移條件：位移條件：A處不能有任何位移。處不能有任何位移。 1= 0， 2=0， 3=0111321XXX、和和F分別作用于基本結構時分別作用于基本結構時A點沿點沿X1方向的位移分別為方向的位移分別為1P131211、A點沿點沿X2方向的位移分別為方向的位移分別為2P232221、A點沿點沿X3方向的位移分別為方向的位移分別為3P333231、位移條件可寫為位移條件可寫為000P33332321313P23232221212XXXXXXXX7-4 力法的典型方程 n次超靜定結構，有次超靜定結構，有n個多余未知力，有個多余未知力，

18、有n個已知位移條個已知位移條件，可建立件，可建立n個方程。當個方程。當n個已知位移條件都為個已知位移條件都為0時，方程為時，方程為000P2211P2211P111212111nnnnininnininiiiiinniiXXXXXXXXXXXX力法典型方程力法典型方程ii主系數，恒大于主系數，恒大于0。ij副系數，副系數，jiijPi自由項自由項柔度系數柔度系數柔度方程柔度方程圖圖a所示剛架為兩次超靜定，去掉鉸支座所示剛架為兩次超靜定，去掉鉸支座B，得基本體系如圖，得基本體系如圖b 7-5 力法的計算步驟和示例基本體系基本體系由由B點的位移條件，建立力法典型方程為點的位移條件，建立力法典型方程

19、為00P2222121P1212111XXXX求系數和自由項求系數和自由項7-5 力法的計算步驟和示例132111632221EIaaaEI1321212265322121EIaaaEIaaEI132121124221EIaaEI131P196565)2221(21EIFaaaFaEI131P216)2221(21EIFaaaFaEI代入典型方程解得代入典型方程解得88311421FXFX，疊加法作彎矩圖疊加法作彎矩圖P22111MXMXMM 在荷載作用下，超靜定結構的內力只與各桿的剛度相對值在荷載作用下，超靜定結構的內力只與各桿的剛度相對值有關，與其剛度絕對值無關。同一材料組成的結構，內力與

20、材有關，與其剛度絕對值無關。同一材料組成的結構，內力與材料性質無關。料性質無關。例例: 用力法計算圖示剛架，并作用力法計算圖示剛架，并作M圖。圖。解：解：) 確定力法基本未知量和基本體系確定力法基本未知量和基本體系基本體系基本體系力法方程：力法方程： 11x1+ 12x2+ 1P=0 21x1+ 22x2+ 2P=0) 作作M1、M2、MP圖圖7-5 力法的計算步驟和示例基本體系基本體系MP1M7-5 力法的計算步驟和示例）計算系數、自由項）計算系數、自由項 11=5l/12EI 22=3l/4EI 12= 21 =0 1P= FPl2/32EI 2P = 0說明說明: :力法計算剛架時，力法

21、方程力法計算剛架時，力法方程中系數和自由項只考慮彎曲變形的中系數和自由項只考慮彎曲變形的影響：影響： ii = l (Mi2 /EI)ds ij = l (Mi Mj /EI)ds iP= l (Mi MP /EI)ds）代入力法方程，求多余力）代入力法方程，求多余力x x1 1、x x2 2 （5l/12EI）x1 + FPl2/32EI =0 x1 = -3FPl/40 ( 3l/4EI )x2= 0 x2= 0）疊加作）疊加作M M圖圖 MAC=x1M1+x2M2+MP= (-3FPl/40)/2= -3FPl/80 (右側受拉）右側受拉）7-5 力法的計算步驟和示例力法的計算步驟力法的

22、計算步驟（1）確定超靜定次數，去掉多余聯系，得到靜定的基本結構，）確定超靜定次數，去掉多余聯系，得到靜定的基本結構， 以多余未知力代替相應多余聯系。以多余未知力代替相應多余聯系。（2）根據多余聯系處的位移條件，建立力法的典型方程。）根據多余聯系處的位移條件，建立力法的典型方程。（3）作基本結構各單位內力圖和荷載內力圖，）作基本結構各單位內力圖和荷載內力圖， 計算系數和自由項。計算系數和自由項。（4）解算典型方程，求出各多余未知力。）解算典型方程，求出各多余未知力。（5）由平衡條件或疊加法求得最后內力。）由平衡條件或疊加法求得最后內力。7-5 力法的計算步驟和示例例例7-1 試分析試分析圖圖a所

23、示兩端固定梁所示兩端固定梁。EI=常數。常數。解：取簡支梁為基本結構，基本體系如圖解：取簡支梁為基本結構，基本體系如圖b所示。所示。 7-5 力法的計算步驟和示例基本體系基本體系典型方程為典型方程為 000P3333232131P2323222121P1313212111XXXXXXXXX各彎矩圖如圖各彎矩圖如圖c、d、e、f 。 000NPN2N1S33FFFFM，因因故故0003P32233113，033EAl03X0333X可得可得 兩端固定的梁在垂直于梁軸線兩端固定的梁在垂直于梁軸線的荷載作用下，不產生水平反力。的荷載作用下，不產生水平反力。典型方程變?yōu)榈湫头匠套優(yōu)?-5 力法的計算步

24、驟和示例00P2222121P1212111XXXX求各系數和自由項（只考慮彎矩影響）求各系數和自由項（只考慮彎矩影響）EIlblFablblllFabEI6)(3)21(1P1EIlalFab6)(P2EIlEIlEIl63321122211，代入典型方程解得代入典型方程解得222221lbFaXlFabX，最后彎矩圖如下圖最后彎矩圖如下圖7-5 力法的計算步驟和示例例例7-2 試用力法計算試用力法計算圖圖a所示超靜定桁架的內力所示超靜定桁架的內力。設各桿。設各桿EA相同。相同。解：這是一次超靜定結構，解：這是一次超靜定結構，切斷上弦桿用切斷上弦桿用X1 代替代替，基本體系如圖，基本體系如圖

25、b所示。所示。 基本體系基本體系位移條件：桿件切口兩側軸向相對位移為位移條件：桿件切口兩側軸向相對位移為0。0P1111 X典型方程為典型方程為各內力圖如圖各內力圖如圖c、d。 FaEAaEA1P11，)223(2231FX7-5 力法的計算步驟和示例NP1N1NFXFF各桿最后內力按疊加法計算如圖。各桿最后內力按疊加法計算如圖。也可也可將上弦桿去掉用將上弦桿去掉用X1代替代替，基本體系如圖，基本體系如圖a所示。所示。 EAaXX21P1111典型方程為典型方程為典型方程的物理意義：基本結構在典型方程的物理意義：基本結構在F和和X1共同作用下，結點共同作用下，結點3、4 所產生的水平相對線位移

26、等于原結構的所產生的水平相對線位移等于原結構的 相對線位移。相對線位移。 注意：系數注意：系數11中不包含中不包含34桿件。桿件。 7-5 力法的計算步驟和示例例例7-3 圖圖a為一加勁梁，橫梁為一加勁梁，橫梁I=110-4m4，鏈桿，鏈桿A=110-3m2， E=常數。試求梁的彎矩圖和各桿的軸力，并討論改變鏈常數。試求梁的彎矩圖和各桿的軸力，并討論改變鏈 桿截面桿截面A時的內力變化。時的內力變化。解：這是一次超靜定組合結構，切斷豎向鏈桿解：這是一次超靜定組合結構，切斷豎向鏈桿 用用X1代替，基本體系如圖代替，基本體系如圖b所示。所示。 基本體系基本體系位移條件：切口處相對軸向位移為位移條件：

27、切口處相對軸向位移為0。 0P1111 X典型方程為典型方程為各內力圖如圖各內力圖如圖c、d。梁只計彎矩影響。梁只計彎矩影響。 7-5 力法的計算步驟和示例EEAlFFEIsMMEEAlFEIsMkN/m10333. 5dm10189. 1d6NP1NP11P-1521N2111由位移計算公式由位移計算公式 解得解得 kN9 .441X最后內力最后內力 NP1N1NP11FXFFMXMM梁的彎矩、各桿軸力如圖梁的彎矩、各桿軸力如圖e。 與沒有鏈桿時比較最大彎矩值減少了與沒有鏈桿時比較最大彎矩值減少了80.7% 7-5 力法的計算步驟和示例EAlFFEIsMMEAlFEIsMNP1NP11P21

28、N2111dd由位移計算公式由位移計算公式 A減小時：減小時：11增大，增大，X1絕對值減小，梁的正彎矩值增大負彎絕對值減小，梁的正彎矩值增大負彎 矩值減小。矩值減小。 A0時：梁的彎矩圖與簡支梁彎矩時：梁的彎矩圖與簡支梁彎矩 圖相同。圖相同。 A增大時：梁的正彎矩值減小負彎矩增大時：梁的正彎矩值減小負彎矩 值增大。值增大。 A時：梁的中點相當于有一剛性支時：梁的中點相當于有一剛性支 座，梁的彎矩圖與兩跨連續(xù)座，梁的彎矩圖與兩跨連續(xù) 梁的彎矩圖相同。如圖梁的彎矩圖相同。如圖f。 7-5 力法的計算步驟和示例例例7-4 圖圖a所示為裝配式鋼筋混凝土單跨單層廠房排架結構的計所示為裝配式鋼筋混凝土單

29、跨單層廠房排架結構的計 算簡圖，其中左、右柱為階梯形變截面桿件，橫梁為算簡圖，其中左、右柱為階梯形變截面桿件，橫梁為 EA=的二力桿。試用力法求其彎矩圖。豎桿的二力桿。試用力法求其彎矩圖。豎桿E為常數。為常數。解：排架為一次超靜定結構，切斷二力桿解：排架為一次超靜定結構，切斷二力桿 用用X1代替，基本體系如圖代替，基本體系如圖b所示。所示。 基本體系基本體系0P1111 X典型方程為典型方程為各內力圖如圖各內力圖如圖c、d。7-5 力法的計算步驟和示例計算系數和自由項。計算系數和自由項。EIl275311EIql216741P解得解得qlX4071彎矩圖如圖彎矩圖如圖e。 疊加法作彎矩圖疊加法

30、作彎矩圖P11MXMM7-6 對稱性的利用對稱的意義對稱的意義：（：（1）結構的幾何形狀和支承情況對稱）結構的幾何形狀和支承情況對稱 （2）各桿的剛度（）各桿的剛度（EI、EA等）也對稱等）也對稱 圖圖a為一對稱結構，有一個對稱軸。為一對稱結構，有一個對稱軸。將對稱軸穿過的截面切開，得到一個對稱的將對稱軸穿過的截面切開，得到一個對稱的基本結構如圖基本結構如圖b。正對稱的力：對稱軸兩側的力大小相等，沿正對稱的力：對稱軸兩側的力大小相等，沿 對稱軸對折后作用點和作用線對稱軸對折后作用點和作用線 重合且指向相同。重合且指向相同。反對稱的力：對稱軸兩側的力大小相等，沿反對稱的力：對稱軸兩側的力大小相等

31、，沿 對稱軸對折后作用點和作用線對稱軸對折后作用點和作用線 重合且指向相反。重合且指向相反。X1、X2是正對稱的，是正對稱的，X3是反對稱的。是反對稱的。1、選取對稱的基本結構、選取對稱的基本結構7-6 對稱性的利用繪出基本結構各單位彎矩圖如圖繪出基本結構各單位彎矩圖如圖a、b、c。 圖圖a、b是正對稱的，圖是正對稱的，圖c是反對稱的。是反對稱的。 可得可得 00，32323131典型方程簡化為典型方程簡化為 000P3333P2222121P1212111XXXXX只包含正對稱的只包含正對稱的X1、X2 只包含反對稱的只包含反對稱的X37-6 對稱性的利用當結構作用正對稱荷載時，如圖當結構作

32、用正對稱荷載時，如圖a。 MP圖是正對稱的，如圖圖是正對稱的，如圖b。 0P303X 只存在正對稱的只存在正對稱的X1、X2，最后，最后彎矩圖是正對稱的，形狀如圖彎矩圖是正對稱的，形狀如圖c。 注意：剪力圖是反對稱的。注意：剪力圖是反對稱的。 7-6 對稱性的利用當結構作用反對稱荷載時，如圖當結構作用反對稱荷載時，如圖a。 MP圖是反對稱的，如圖圖是反對稱的，如圖b。 002PP1，0021XX， 只存在反對稱的只存在反對稱的X3，最后彎矩，最后彎矩圖是反對稱的，形狀如圖圖是反對稱的，形狀如圖c。 注意：剪力圖是正對稱的。注意：剪力圖是正對稱的。 7-6 對稱性的利用對稱結構在正對稱荷載作用下

33、：對稱結構在正對稱荷載作用下：彎矩圖和軸力圖是正對稱的，彎矩圖和軸力圖是正對稱的， 剪力圖是反對稱的；剪力圖是反對稱的； 反力與位移是正對稱的。反力與位移是正對稱的。 對稱結構在反對稱荷載作用下：對稱結構在反對稱荷載作用下：彎矩圖和軸力圖是反對稱的，彎矩圖和軸力圖是反對稱的，剪力圖是正對稱的；剪力圖是正對稱的；反力與位移是反對稱的。反力與位移是反對稱的。 7-6 對稱性的利用例例7-5 試分析試分析圖圖a所示剛架。設所示剛架。設EI=常數。常數。解：荷載是反對稱的，只有反對稱的多余未知力，解：荷載是反對稱的，只有反對稱的多余未知力， 取對稱的基本體系如圖取對稱的基本體系如圖b?；颈倔w體系系

34、作各彎矩圖如圖作各彎矩圖如圖c、d。7-6 對稱性的利用由圖乘法由圖乘法311m1442m3m6m32m)2m3m321(EImkN18002mkN80m3m321mkN30m6m3(1PEI代入典型方程代入典型方程kN5 .121X疊加法作彎矩圖疊加法作彎矩圖P11MXMM2、未知力分組及荷載分組、未知力分組及荷載分組7-6 對稱性的利用圖圖a所示對稱剛架作用非對稱荷載。所示對稱剛架作用非對稱荷載?；倔w系如圖基本體系如圖b?；倔w系基本體系為利用對稱性，將未知力進行分組。為利用對稱性，將未知力進行分組。212211YYXYYX，或或22212211XXYXXY，Y1為一對正對稱的未知力組。

35、為一對正對稱的未知力組。Y2為一對反對稱的未知力組。為一對反對稱的未知力組。7-6 對稱性的利用將求解未知力將求解未知力X1、X2的問題轉變?yōu)榍蠼鈨蓪ξ粗M的問題轉變?yōu)榍蠼鈨蓪ξ粗MY1、Y2。如圖。如圖a。作作Y1=1、 Y2=1的彎矩圖，如圖的彎矩圖，如圖b、c。圖圖b為正對稱的、圖為正對稱的、圖c為反對稱的。為反對稱的。02112典型方程簡化為典型方程簡化為 00P2222P1111YY Y1、 Y2為廣義力，典型方程的物理意義也為廣義力，典型方程的物理意義也轉變?yōu)橄鄳膹V義位移條件。轉變?yōu)橄鄳膹V義位移條件。第一式代表第一式代表A、B兩點同方向的豎向位移之和為兩點同方向的豎向位移之

36、和為0。第二式代表第二式代表A、B兩點反方向的豎向位移之和為兩點反方向的豎向位移之和為0。7-6 對稱性的利用 對稱結構作用一般非對稱荷載時，可以將荷載分解為正、對稱結構作用一般非對稱荷載時，可以將荷載分解為正、反對稱兩組，如下圖。反對稱兩組，如下圖。正對稱荷載作用只有正對稱的多余未知力，正對稱荷載作用只有正對稱的多余未知力，反對稱荷載作用只有反對稱的多余未知力，反對稱荷載作用只有反對稱的多余未知力，兩者疊加即為原結構的解。兩者疊加即為原結構的解。3、取一半結構計算（利用對稱性）、取一半結構計算（利用對稱性）7-6 對稱性的利用（1）奇數跨對稱結構）奇數跨對稱結構 作用正對稱荷載如圖作用正對稱

37、荷載如圖a，C截面只有豎向位移，有彎矩和截面只有豎向位移，有彎矩和剪力，截取一半剛架如圖剪力，截取一半剛架如圖b。 作用反對稱荷載如圖作用反對稱荷載如圖c，C截截面不能有豎向位移，只有剪力，面不能有豎向位移，只有剪力，截取一半剛架如圖截取一半剛架如圖d。7-6 對稱性的利用（2）偶數跨對稱結構）偶數跨對稱結構 作用正對稱荷載如圖作用正對稱荷載如圖a，C結點不能有任何位移，截取一結點不能有任何位移，截取一半剛架如圖半剛架如圖b。 作用反對稱荷載如圖作用反對稱荷載如圖c，將，將中間柱視為兩根剛度為中間柱視為兩根剛度為I/2的豎桿的豎桿組成，在頂點與梁剛結。如圖組成，在頂點與梁剛結。如圖e。 由于荷

38、載是反對稱的，兩柱由于荷載是反對稱的，兩柱中間的橫梁中間的橫梁C處只有剪力。如圖處只有剪力。如圖f。 剪力剪力FSC對結構的內力和變形對結構的內力和變形無影響。簡化的一半剛架如圖無影響。簡化的一半剛架如圖d。7-6 對稱性的利用解：結構是一個三次超靜定結構，有兩個對稱軸。解：結構是一個三次超靜定結構，有兩個對稱軸。 可取可取1/4結構分析，計算簡圖如圖結構分析，計算簡圖如圖b。基本體系如圖基本體系如圖c。取極坐標系，取極坐標系，單位彎矩和荷載彎矩分別為：單位彎矩和荷載彎矩分別為：sin21P1FRMM例例7-6 試計算試計算圖圖a所示圓環(huán)的內力。所示圓環(huán)的內力。EI=常數。常數。7-6 對稱性

39、的利用各彎矩圖如圖各彎矩圖如圖a、b。 位移計算時略去軸力、剪力及曲位移計算時略去軸力、剪力及曲率影響，只計彎矩一項。則：率影響，只計彎矩一項。則：EIREIsM2d2111EIFREIsMM2d2PP1可得可得FRX11P117-7 超靜定結構的位移計算結構的實際狀態(tài)及彎矩圖如圖結構的實際狀態(tài)及彎矩圖如圖a。試求試求CB桿中點桿中點K的豎向位移的豎向位移Ky。虛設力狀態(tài)及彎矩圖如圖虛設力狀態(tài)及彎矩圖如圖b。 為作出圖為作出圖b，需要解算一個，需要解算一個2次超靜定結構。次超靜定結構。比較麻煩！比較麻煩！7-7 超靜定結構的位移計算由力法計算超靜定結構可知：由力法計算超靜定結構可知： 在荷載及

40、多余未知力共同作用下，基本結構的在荷載及多余未知力共同作用下，基本結構的受力和位受力和位移移與原結構與原結構完全一致完全一致。求超靜定結構的位移可以用求求超靜定結構的位移可以用求基本結構基本結構的的位移位移代替。虛擬狀態(tài)如圖代替。虛擬狀態(tài)如圖c、d。由圖由圖c)(1408313EIFaKy由圖由圖d)(1408313EIFaKy7-7 超靜定結構的位移計算 計算超靜定結構位移步驟計算超靜定結構位移步驟（1）計算超靜定結構，求出實際狀態(tài)的內力。）計算超靜定結構，求出實際狀態(tài)的內力。（2）任選一種基本結構，虛擬力狀態(tài)。）任選一種基本結構，虛擬力狀態(tài)。（3）計算所求位移。）計算所求位移。7-8 最后

41、內力圖的校核平衡條件校核平衡條件校核彎矩圖校核彎矩圖校核：如圖如圖a，取，取E點為隔離體，如圖點為隔離體，如圖b。應滿足應滿足 0EM即即0EFEBEDMMM剪力圖和軸力圖校核剪力圖和軸力圖校核：可取可取結點、桿件結點、桿件或或結構的一部分結構的一部分為隔為隔離體，考察是否滿足：離體，考察是否滿足：和和 0 xF 0yF7-8 最后內力圖的校核位移條件校核位移條件校核 圖圖a為剛架的最后彎矩圖。檢為剛架的最后彎矩圖。檢查查A處的水平位移是否為處的水平位移是否為0，虛擬，虛擬力狀態(tài)并作彎矩圖如圖力狀態(tài)并作彎矩圖如圖b。利用圖利用圖a與圖與圖b圖乘，得圖乘，得01滿足位移條件滿足位移條件7-8 最

42、后內力圖的校核 對于具有封閉無鉸框格的剛架對于具有封閉無鉸框格的剛架如圖如圖a，取圖，取圖b所示的虛擬力狀態(tài)，所示的虛擬力狀態(tài)，檢查檢查K截面相對轉角是否為截面相對轉角是否為0。0ddEIsMEIsMMKK 上式表明，在任一封閉無鉸的上式表明，在任一封閉無鉸的框格上，彎矩圖的面積除以相應剛框格上，彎矩圖的面積除以相應剛度的代數和等于度的代數和等于0。7-9 溫度變化時超靜定結構的計算 圖圖a所示靜定梁，當溫度改變時，所示靜定梁，當溫度改變時，梁可以自由地變形不受任何阻礙。梁可以自由地變形不受任何阻礙。 圖圖b所示超靜定梁，當溫所示超靜定梁，當溫度改變時，梁的變形受到兩端度改變時，梁的變形受到兩

43、端支座的限制，因而產生支座反支座的限制，因而產生支座反力及內力。力及內力。圖圖c所示剛架，溫度改變如圖。取圖所示剛架，溫度改變如圖。取圖d所示基本體系。所示基本體系。 基本結構在外因和多基本結構在外因和多余未知力共同作用下，去余未知力共同作用下，去掉多余聯系處的位移與原掉多余聯系處的位移與原結構的位移相符。結構的位移相符。7-9 溫度變化時超靜定結構的計算 式中系數的計算與以前相同，與外因無關。自由項為基本結構由于溫式中系數的計算與以前相同，與外因無關。自由項為基本結構由于溫度變化引起的位移，計算式為度變化引起的位移，計算式為 典型方程為典型方程為00033332321312323222121

44、1313212111tttXXXXXXXXXsMhttlFiiitdN最后彎矩為最后彎矩為 332211XMXMXMM對于剛架位移計算公式為對于剛架位移計算公式為 sMhttlFEIsMMEIsMMKKKKtKKdddN對多余未知力對多余未知力Xi方向的位移校核式為方向的位移校核式為 0ditiiEIsMM7-9 溫度變化時超靜定結構的計算例例7-7 圖圖a所示剛架外側溫度升高所示剛架外側溫度升高25，內側溫度升高，內側溫度升高35 ，試，試 繪制其彎矩圖并計算橫梁中點的豎向位移。繪制其彎矩圖并計算橫梁中點的豎向位移。EI=常數，截常數，截 面對稱于形心軸，高度面對稱于形心軸，高度h=l/10

45、，材料的線膨脹系數為，材料的線膨脹系數為。 解：這是一次超靜定剛架，基本體系如圖解：這是一次超靜定剛架，基本體系如圖b。 典型方程為典型方程為 01111tX虛擬力狀態(tài)及內力圖如圖虛擬力狀態(tài)及內力圖如圖c EIlEIsM35d32111lsMhttlFt230d11N17-9 溫度變化時超靜定結構的計算解典型方程得解典型方程得21111138lEIXt溫度變化時，超靜定結構的內力與各桿剛度的絕對值有關。溫度變化時，超靜定結構的內力與各桿剛度的絕對值有關。 求橫梁中點豎向位移虛擬力狀態(tài)及內力圖如圖求橫梁中點豎向位移虛擬力狀態(tài)及內力圖如圖b。)(75.34ddNlsMhttlFEIsMMKKKK最

46、后彎矩為最后彎矩為 11XMM 彎矩圖如圖彎矩圖如圖a。7-10 支座位移時超靜定結構的計算 圖圖a所示靜定梁，當支座所示靜定梁，當支座B發(fā)生豎向位移時不會受到任何阻發(fā)生豎向位移時不會受到任何阻礙。結構只隨之發(fā)生剛體位移，不產生彈性變形和內力。礙。結構只隨之發(fā)生剛體位移，不產生彈性變形和內力。 圖圖b所示超靜定梁，當支座所示超靜定梁，當支座B發(fā)生豎向位移時將受到發(fā)生豎向位移時將受到AC梁的梁的牽制，使各支座產生反力，梁產生內力。牽制，使各支座產生反力，梁產生內力。7-10 支座位移時超靜定結構的計算 圖圖a所示剛架，當支座所示剛架，當支座B由于某種由于某種原因發(fā)生圖示位移?；倔w系如圖原因發(fā)生

47、圖示位移?；倔w系如圖b。典型方程為典型方程為aXXXXXXXXX3333232131232322212113132121110 系數的計算同前。自由項代表基系數的計算同前。自由項代表基本結構由于支座移動引起的位移，計本結構由于支座移動引起的位移，計算式為算式為cFiiR7-10 支座位移時超靜定結構的計算多余未知力分別等于多余未知力分別等于1時的彎矩圖如圖時的彎矩圖如圖c、d、e。0，)1(，)1(321lbbllbbl最后彎矩為最后彎矩為 332211XMXMXMMcFEIsMMKKKRd位移計算為位移計算為 0dRcFEIsMMiiiXi方向位移條件校核式為方向位移條件校核式為 或為已知

48、值或為已知值 7-10 支座位移時超靜定結構的計算例例7-8 圖圖a所示兩端固定的等截面梁所示兩端固定的等截面梁A段發(fā)生了轉角，試分析其段發(fā)生了轉角，試分析其 內力。內力。 解：取基本體系如圖解：取基本體系如圖b。因因X3=0，典型方程為，典型方程為022221211212111XXXX多余未知力分別等于多余未知力分別等于1時的彎矩圖如圖時的彎矩圖如圖c、d。EIlEIl6，3212122110，021可得可得lEIXlEIX2，4217-10 支座位移時超靜定結構的計算最后彎矩為最后彎矩為 2211XMXMM如圖如圖e校核：檢查校核：檢查B支座轉角是否為支座轉角是否為0。虛擬力狀態(tài)及彎矩圖如

49、圖。虛擬力狀態(tài)及彎矩圖如圖f。0)1 ()24(21)1 (1d1R1lEIlEIlEIcFEIsMMB位移計算為位移計算為 7-10 支座位移時超靜定結構的計算例例7-9 圖圖a所示連續(xù)梁所示連續(xù)梁EI=常數，常數，B處為彈性支座，彈簧剛度處為彈性支座，彈簧剛度 k=10EI/l3。試作其彎矩圖并求。試作其彎矩圖并求D點的豎向位移。點的豎向位移。 解解：（：（1）取基本體系一如圖）取基本體系一如圖b。典型方程為典型方程為 kXX1P1111相應彎矩圖如圖相應彎矩圖如圖c、d。EIqlEIl425，641P311可得可得)(32251qlX最后彎矩為最后彎矩為 P11MXMM如圖如圖e7-10

50、 支座位移時超靜定結構的計算（2）取基本體系二如圖）取基本體系二如圖f。典型方程為典型方程為 0P1111 X相應彎矩圖如圖相應彎矩圖如圖g、h。EIlcFEIsM1516d1R2111EIqlcFEIsMM607d3P1RP1P1可得可得64721qlX 彎矩圖同彎矩圖同e（3）求）求D點豎向位移，虛擬狀態(tài)彎矩圖如圖點豎向位移，虛擬狀態(tài)彎矩圖如圖i。)(3072181d4REIqlcFEIsMMDDy7-11 用彈性中心法計算無鉸拱常用超靜定拱型式常用超靜定拱型式超靜定拱超靜定拱：彎矩分布比較均勻，夠造簡單，工程中應用較多。彎矩分布比較均勻，夠造簡單，工程中應用較多。無鉸拱無鉸拱兩鉸拱兩鉸拱

51、7-11 用彈性中心法計算無鉸拱計算超靜定拱：需事先確定計算超靜定拱：需事先確定拱軸線方程拱軸線方程和和截面變化截面變化規(guī)律。規(guī)律。常用的拱軸線形式：常用的拱軸線形式：懸鏈線，拋物線，圓弧，多心圓懸鏈線，拋物線，圓弧，多心圓等。等。超靜拱合理拱軸線：超靜拱合理拱軸線：忽略軸向變形影響忽略軸向變形影響時，與相應時，與相應三鉸拱相同三鉸拱相同?？紤]軸向變形考慮軸向變形時：超靜定拱產生彎矩，但數值不大，可進行修時：超靜定拱產生彎矩，但數值不大，可進行修 改調整。改調整。超靜定拱拱截面：變截面，等截面。超靜定拱拱截面：變截面，等截面。無鉸拱截面：拱址處彎矩大，截面常設計成由拱頂向拱址逐漸無鉸拱截面：拱

52、址處彎矩大，截面常設計成由拱頂向拱址逐漸 增大的形式。增大的形式。拱橋設計中的經驗公式拱橋設計中的經驗公式cos)1 (1 1lxnIIC（7-8）IC：拱頂截面二次矩，：拱頂截面二次矩，n ：拱厚變化系數。：拱厚變化系數。KKCIIncosIK：拱址處截面二次矩，：拱址處截面二次矩， ：拱址處拱軸切線傾角。：拱址處拱軸切線傾角。Kn 愈小，拱厚變化愈激烈。愈小，拱厚變化愈激烈。n的范圍：的范圍：0.251。n =1時時KCIIcos截面面積截面面積A近似為近似為KCAAcos當拱高當拱高fl/8時可近似為時可近似為CAA常數常數7-11 用彈性中心法計算無鉸拱7-11 用彈性中心法計算無鉸拱

53、 圖圖a所示無鉸拱是三次超靜定結構。所示無鉸拱是三次超靜定結構。利用對稱性取基本體系如圖利用對稱性取基本體系如圖b。00，322331130211202112如何做？如何做？ 將圖將圖a所示無鉸拱沿拱頂截面切開，所示無鉸拱沿拱頂截面切開，再切口糧邊沿對稱軸方向引出兩個剛度無再切口糧邊沿對稱軸方向引出兩個剛度無窮大的剛臂，如圖窮大的剛臂，如圖c。 剛臂本身是不變形的，保證切口兩剛臂本身是不變形的，保證切口兩邊截面無任何相對位移，此結構與原無鉸邊截面無任何相對位移，此結構與原無鉸拱的變形一致，可以代替原無鉸拱。拱的變形一致，可以代替原無鉸拱。7-11 用彈性中心法計算無鉸拱 取基本體系如圖取基本體

54、系如圖d，這是兩個帶剛臂，這是兩個帶剛臂的懸臂曲梁。的懸臂曲梁。 利用對稱性，適當選擇剛臂的長度，利用對稱性，適當選擇剛臂的長度，可以使典型方程中全部可以使典型方程中全部系數都為系數都為0。符符號號規(guī)規(guī)定定坐標原點：剛臂端點坐標原點：剛臂端點O；坐標方向：坐標方向：x軸向右為正，軸向右為正，y軸向下為正；軸向下為正；彎彎 矩：拱內側受拉為正；矩：拱內側受拉為正；剪剪 力：繞隔離體順時針方向為正；力：繞隔離體順時針方向為正；軸軸 力：壓力為正。力：壓力為正。7-11 用彈性中心法計算無鉸拱多余未知力分別為多余未知力分別為1作用時，如圖作用時，如圖a、b、c。sincoscossin0013N3S

55、32N2S21N1S1FFxMFFyMFFM，00，32233113EIsyEIsyEIsyyEIsyEIsMMGAsFFkEAsFFEIsMMSSddd)(d00dddd11212S1S2N1N2121127-11 用彈性中心法計算無鉸拱0dd12112EIsyEIsyS令令沿拱軸線作寬度為沿拱軸線作寬度為1/EI的圖形（如圖）。的圖形（如圖）。 ds/EI代表圖中的微面積，代表圖中的微面積，ys即為這個圖形面積的形心坐標。圖形的面積即為這個圖形面積的形心坐標。圖形的面積與與EI有關有關稱為彈性面積圖，其形心稱為稱為彈性面積圖，其形心稱為彈性形心彈性形心。彈性中心法：彈性中心法：把剛臂端點引

56、到彈性中心上，將把剛臂端點引到彈性中心上，將X2、X3置于主軸置于主軸 方向上，使全部系數都等于方向上，使全部系數都等于0?？傻脛偙坶L度可得剛臂長度yS為為EIsEIsyySdd17-11 用彈性中心法計算無鉸拱典型方程簡化為三個獨立方程典型方程簡化為三個獨立方程 000P3333P2222P1111XXX 由于拱的曲率對計算結果影響很小，可用直桿計算公式求系數和自由由于拱的曲率對計算結果影響很小，可用直桿計算公式求系數和自由項，多數情況可忽略軸向變形和剪切變形的影響。如下表項，多數情況可忽略軸向變形和剪切變形的影響。如下表fhc22332P ， 3Pfl/5hcl/10M，FN， FSM，FSHcl/10MM計算系數和自由項時需考慮影響的內力計算系數和自由項時需考慮影響的內力7-11 用彈性中心法計算無鉸拱拱頂截面高度拱頂截面高度hcl/10，fl/5時，時，22中的軸力影響項可略去。中的軸力影響項可略