1、中考數(shù)學(xué)綜合題專題復(fù)習(xí)【幾何中的動點問題】專題解析【真題精講】【例1】如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,AD3,DC5,BC10,梯形的高為4.動點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運(yùn)動；動點N同時從C點出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時間為t（秒）.（1）當(dāng)MNIIAB時，求t的值；（2）試探究：t為何值時，4MNC為等腰三角形.【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個動點，很多同學(xué)看到可能就會無從下手。但是解決動點問題，首先就是要找誰在動，誰沒在動，通過分析動態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解。對于大多數(shù)題目來說，都

2、有一個由動轉(zhuǎn)靜的瞬間，就本題而言，M,N是在動，意味著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動態(tài)的條件密切相關(guān)的條件DC,BC長度都是給定的，而且動態(tài)條件之間也是有關(guān)系的。所以當(dāng)題中設(shè)定MN/AB時，就變成了一個靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結(jié)果?！窘馕觥拷猓海?）由題意知，當(dāng)M、N運(yùn)動到t秒時，如圖，過D作DE/AB交BC于E點，則四邊形ABED是平行四邊形.AB/DE,AB/MN.DEIIMN.（根據(jù)第一講我們說梯形內(nèi)輔助線的常用做法，成功將MN放在三角形內(nèi)，將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成平行時候的靜態(tài)問題）MCNC.（這個比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動態(tài)聯(lián)系起來的關(guān)鍵）E

3、CCD 叮i,解得t50.103517【思路分析2】第二問失分也是最嚴(yán)重的，很多同學(xué)看到等腰三角形，理所當(dāng)然以為是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN兩種情況。在中考中如果在動態(tài)問題當(dāng)中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個都不能少。具體分類以后，就成為了較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解【解析】（2）分三種情況討論：當(dāng)MNNC時， 如圖作NFBC交BC于F,則有MC2FC即. （利用等腰三角形底邊高也是底邊中線的性質(zhì)）1/15一cosC一,53t 102t2,5BMFC當(dāng)MNMC時，如圖，過M作MHCD于H則CN2CH,3 t2102t-.5.,60,t

4、.17當(dāng)MCCN時，則102tt.10t3綜上所述，當(dāng)t型、60或10時，4MNC為等腰三角形.8173【例2】在ABC中，/ACB=45o點D(與點B、C不重合)為射線BC上一動點，連接AD以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF(1)如果AB=AC如圖，且點D在線段BC上運(yùn)動.試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(2)如果ABAC,如圖，且點D在線段BC上運(yùn)動.(1)中結(jié)論是否成立，為什么？(3)若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點巳設(shè)AC=4J2,BC3,CD=X,求線段CP的長.(用含X的式子表示)2/15sinCDFCD解得t25.83/15【

5、思路分析1】本題和上題有所不同，上一題會給出一個條件使得動點靜止，而本題并未給出那個“靜止點”，所以需要我們?nèi)シ治鲇蒁運(yùn)動產(chǎn)生的變化圖形當(dāng)中，什么條件是不動的。由題我們發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動的，于是利用角度的互余關(guān)系進(jìn)行傳遞，就可以得解?！窘馕觥浚?1)結(jié)論：CF與BD位置關(guān)系是垂直；證明如下：AB=AC,/ACB=45o,，/ABC=45o由正方形ADEF得AD=AF,/DAF4BAC=90o/DABhFAG1DABFAC,/ACF=ZABD/BCFWACB+/ACF=900.即CFBD.【思路分析2這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構(gòu)筑一個特殊的條

6、件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解。(2) CFBD.(1)中結(jié)論成立.理由是：過點A作AGLAC交BC于點GAC=AG可證：GA陰ACAF，/ACF4AGD=45o/BCF=/ACB吆ACF=90o.【思路分析3這一問有點棘手，即CFBDD在BC之間運(yùn)動和它在BC延長線上運(yùn)動時的位置是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是似三角形的比例關(guān)系即可求出CP.(3)過點A作AQLBC交CB的延長線于點Q點D在線段BC上運(yùn)動時，./BCA=45o可求出AQ=CQ=4，DQ=4-x,4+X還是4-Xo分類討論之后利用相易證AQDDCP.dCD,D

7、QAQCP2一xCPx.4點D在線段BC延長線上運(yùn)動時，過A作AGAC交CB延長線于點CPCDAQDDCPCPCD,DQAQG,則AGDACF.CFBD,里x,?2xCPx.4【例3】已知如圖，在梯形ABCD中,AD/BC,AD2,BC4,點M是AD的中點,圖MBC是等邊三角形.(1)求證：梯形ABCD是等腰梯形；(2)動點P、Q分別在線段BC和MC上運(yùn)動，且/MPQ60保持不變.設(shè)PCx,MQy,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)中，當(dāng)y取最小值時，判斷APQC的形狀，并說明理由.【思路分析1】本題有一點綜合題的意味，但是對二次函數(shù)要求不算太高，重點還是在考察幾何方面。第一問純靜態(tài)問題，自

8、不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和例1一樣是雙動點問題，所以就需要研究在P,Q運(yùn)動過程中什么東西是不變的。題目給定/MPQ=60,這個度數(shù)的意義在哪里？其實就是將靜態(tài)的那個等邊三角形與動態(tài)條件聯(lián)系了起來.因為最終求兩條線段的關(guān)系，所以我們很自然想到要通過相似三角形找比例關(guān)系怎么證相似三角形呢？當(dāng)然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】(1)證明：ZXMBC是等邊三角形MBMC,/MBC/MCB60M是AD中點AMMDAD/BC/AMB/MBC60,/DMC/MCB60AAMBADMCABDC，梯形ABCD是等腰梯形.(2)解：在等邊zMBC中，MBMC/MPQ60/BMP/BPM

9、/BPM/QPC摩)/BMP/QPCBMPszCQP,PCCQBMBPBC4,/MBC/MCB60,120(這個角度傳遞非常重要，大家要仔細(xì)揣PCx,MQyBP4x,QC4y4/15ly1x2x44(設(shè)元以后得出比例關(guān)系，輕松化成二次函數(shù)的樣子)【思路分析2】第三問的條件又回歸了當(dāng)動點靜止時的問題。由第二問所得的二次函數(shù)，很輕易就可以求出當(dāng)X取對稱軸的值時Y有最小值。接下來就變成了“給定PC=2,求APQC形狀”的問題了。由已知的BC=4,自然看出P是中點，于是問題輕松求解。(3)解：zPQC為直角三角形12yx234，當(dāng)y取最小值時，xPC2.P是BC的中點，MPBC,而/MPQ60,/CP

10、Q30,/PQC90以上三類題目都是動點問題，這一類問題的關(guān)鍵就在于當(dāng)動點移動中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相等，某角固定時，將動態(tài)問題化為靜態(tài)問題去求解。如果沒有特殊條件，那么就需要研究在動點移動中哪些條件是保持不變的。當(dāng)動的不是點，而是一些具體的圖形時，思路是不是一樣呢？接下來我們看另外兩道題.【例4】已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EFBD交BC于F,連接DF,G為DF中點，連接EG,CG.(1)直接寫出線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系；(2)將圖1中BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45,如圖2所示，取DF中點G,連接EG,CG,.你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明.

11、(3)將圖1中BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？(不要求證明)5/15【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題。從旋轉(zhuǎn)45。到旋轉(zhuǎn)任意角度，要求考生討論其中的不動關(guān)系。第一問自不必說，兩個共斜邊的直角三角形的斜邊中線自然相等。第二問將BEF旋轉(zhuǎn)45之后，很多考生就想不到思路了。事實上，本題的核心條件就是G是中點，中點往往意味著一大票的全等關(guān)系，如何構(gòu)建一對我們想要的全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所在。連接AG之后，拋開其他條件，單看G點所在的四邊形ADFE我們會發(fā)現(xiàn)這是一個梯形， 于是根據(jù)我們在第一講專題中所討論的方法， 自然想

12、到過G點做AD,EF的垂線。于是兩個全等的三角形出現(xiàn)了。(1)CGEG(2)(1)中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即CGEG.證明：連接AG,過G點作MNAD于M,與EF的延長線交于N點.在DAG與DCG中，ADCD,ADGCDG,DGDG,DAGDCG.AGCG.在DMG與FNG中，DGMFGN,FGDG,MDGNFG,DMG色FNG.MGNG在矩形AENM中，AMEN在RtAMG與RtENG中，AMEN,MGNG,AMGENG.AGEG.EGCG【思路分析2】第三問純粹送分，不要求證明的話幾乎所有人都會答出仍然成立。但是我們不應(yīng)該止步于此。將這道題放在動態(tài)問題專題中也是出于此原因，如果BEF任意旋轉(zhuǎn)，

13、哪些量在變化，哪些量不變呢？如果題目要求證明，應(yīng)該如何思考。建議有余力的同學(xué)自己研究一下，筆者在這里提供一個思路供參考：在BEF的旋轉(zhuǎn)過程中，始終不變的依然是G點是FD的中點。 可以延長一倍EG到H,從而構(gòu)造一個和EFG全等的三角形， 利用BE=EF這一條件將全等過渡。要想辦法證明三角形ECH是一個等腰直角三角形，就需要證明三角形EBC和三角形CGHir等，利用角度變換關(guān)系就可以得證了。(3) (1)中的結(jié)論仍然成立.EM圖26/15【思路分析】動態(tài)問題未必只有點的平移，圖形的旋轉(zhuǎn)，翻折（就是軸對稱）也是一大熱點。這一題是朝陽卷的壓軸題，第一問給出比例為1,第二問比例為2,第三問比例任意，所以

14、也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進(jìn)式題目。同學(xué)們需要仔細(xì)把握翻折過程中哪些條件發(fā)生了變化，哪些條件沒有發(fā)生變化。一般說來，翻折中，角，邊都是不變的，所以軸對稱圖形也意味著大量全等或者相似關(guān)系，所以要利用這些來獲得線段之間的比例關(guān)系。尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，E在BC上和E在延長線上都是可能的，所以需要大家分類討論，不要遺漏。（1）CF=6cm;（延長之后一眼看出，EAZY（2）如圖1,當(dāng)點E在BC上時，延長AB交DC于點MAB/CF,AB&FCE)BEABCEFC生=2,CF=3.CEAB/CF,BAE=ZF.7/15【例5】已知正方形ABCD勺邊長為6cm,點E是射線B

15、C上的一個動點，連接AE交射線DC于點F,將ABE沿直線AE翻折，點B落在點B處.（1）當(dāng)生=1時，CF=cmCE,BE（2）當(dāng)一=2時，求sin/DAB的值；CE（3）當(dāng)匹=x時（點C與點E不重合），請寫出ABE翻折后與正方形ABC必共部CE分的面積y與x的關(guān)系式，（只要寫出結(jié)論，不要解題過程）.A圖3圖1又/BAEWBAE,/BAE=ZF.，MA=MF設(shè)MA=MF=k貝UMC=k-3,DM=9-k.在RtAADM,由勾股定理得:DM=5.（設(shè)元求解是這類題型中比較重要的方2DM5.sin/DAB=;AM13如圖2,當(dāng)點E在BC延長線上時，延長AD交BE于點N,同可得NA=NE設(shè)NA=NE=

16、m貝UBN=12-m.在RtABN中，由勾股定理，得m2=(12-m)2+62,解得m=AN=15.BzN=9.22sin/DAB=空_3.AN518x(3)當(dāng)點E在BC上時，y=；x1（所求ABE的面積即為ABE的面積，再由相似表示出邊長）當(dāng)點E在BC延長線上時，y=18x18x【總結(jié)】通過以上五道例題，我們研究了動態(tài)幾何問題當(dāng)中點動，線動，乃至整體圖形動這么幾種可能的方式。動態(tài)幾何問題往往作為壓軸題來出，所以難度不言而喻，但是希望考生拿到題以后不要慌張，因為無論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn)，始終把握的都是在變化過程中那些不變的量。只要條分縷析，一個個將條件抽出來，將大問題化成若干個小問題去解決，就

17、很輕松了.為更好的幫助考生，筆者總結(jié)這種問題的一般思路如下：第一、仔細(xì)讀題，分析給定條件中那些量是運(yùn)動的，哪些量是不動的。針對運(yùn)動的量，要分析它是如何運(yùn)動的，運(yùn)動過程是否需要分段考慮，分類討論。針對不動的量，要分析它們和動量之間可能有什么關(guān)系，如何建立這種關(guān)系。第二、畫出圖形，進(jìn)行分析，尤其在于找準(zhǔn)運(yùn)動過程中靜止的那一瞬間題目間各個變量的關(guān)系。如果沒有靜止?fàn)顟B(tài)，通過比例，相等等關(guān)系建立變量間的函數(shù)關(guān)系來研究。第三、做題過程中時刻注意分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn)，很多同學(xué)丟分就丟在沒有討論，只是想當(dāng)然看出了題目所給的那一種圖示方式，沒有想到另外的方式，如本講例5當(dāng)中的比例關(guān)系意味著

18、兩種不一樣的狀況，是否能想到就成了關(guān)鍵。k2 2=(9-k)2 2+6：解得k=MA=1313. .2法）8/15【發(fā)散思考】【思考1】已知：如圖（1）,射線AM射線BN,AB是它們的公垂線，點D、C分別在AM、BN上運(yùn)動（點D與點A不重合、點C與點B不重合），E是AB邊上的動點（點E與A、B不重合），在運(yùn)動過程中始終保持DEEC,且ADDEABa.（1）求證：ADEsBEC;（2）如圖（2）,當(dāng)點E為AB邊的中點時，求證：ADBCCD;（3）設(shè)AEm,請?zhí)骄浚築EC的周長是否與m值有關(guān)？若有關(guān)，請用含有m的代數(shù)式表示BEC的周長；若無關(guān)，請說明理由.【思路分析】本題動點較多，并且是以和的形式

19、給出長度。思考較為不易，但是圖中有多個直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的線段、角關(guān)系去分析。第三問計算周長，要將周長的三條線段分別轉(zhuǎn)化在一類關(guān)系當(dāng)中，看是否為定值，如果是關(guān)于M的函數(shù)，那么就是有關(guān)，如果是一個定值，那么就無關(guān)，于是就可以得出結(jié)論了。【思考2】4ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個動點，BP=BA若0V/PBR180,且/PBCF分線上的一點D滿足DB=DA（1）當(dāng)BP與BA重合時（如圖1）,/BPD=;（2）當(dāng)BP在/ABCW內(nèi)部時（如圖2）,求/BPD勺度數(shù)；（3）當(dāng)BP在/ABCW外部時，請你直接寫出/BPD勺度數(shù)，并畫出相應(yīng)的圖形.【思路分析】本題中，和動點P相關(guān)

20、的動量有/PBC以及D點的位置，但是不動的量就是BD是平分線并且DB=DA從這幾條出發(fā)，可以利用角度相等來找出相似、全等三角形。事實上，P點的軌跡就是以B為圓心，BA為半徑的一個圓，那D點是什么呢？留給大家思考下9/15A A第25題（2）第25題（1）C3【思考3如圖：已知，四邊形ABCC,AD/BC,DCXBC；已知AB=5,BC=6cosB=-.5點O為BC邊上的一個動點，連結(jié)OD以O(shè)為圓心，BO為半徑的。0 分別交邊AB于點巳交線段OW點M交射線BC于點N,連結(jié)MN(1)當(dāng)BO=AD寸，求BP的長；(2)點O運(yùn)動的過程中，是否存在BP=MN勺情況？若存在，請求出當(dāng)BO為多長時BP=MN

21、若不存在，請說明理由；(3)在點O運(yùn)動的過程中，以點C為圓心，CN為半徑作。C,請直接寫出當(dāng) GK 存在時，O0與。C的位置關(guān)系，以及相應(yīng)的 OC 半徑CN的取值范圍?！舅悸贩治觥?這道題和其他題目不同點在于本題牽扯到了有關(guān)圓的動點問題。 在和圓有關(guān)的問題當(dāng)中，時刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等這一個隱藏的靜態(tài)條件。本題第一問比較簡單，等腰梯形中的計算問題。第二問則需要用設(shè)元的方法表示出M港口BP,從而討論他們的數(shù)量關(guān)系。第三問的猜想一定要記得分類分情況討論。【思考4】在YABCD中，過點C作CHCD交AD點E,將線段EC繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段EF(如圖1)(1)在圖1中畫圖探究：當(dāng)P為

22、射線CD上任意一點(P1不與C重合)時， 連結(jié)ER繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段EC.判斷直線FG與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；當(dāng)P2為線段DC的延長線上任意一點時，連結(jié)EP2,將線段EP2繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段EC.判斷直線CC2與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.(2)若AD=6,tanB=4 4,AE=1,在的條件下，設(shè)CR=x,SVF1FC1=y,求y與x之間的函3數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.(備用【思路分析】本題是去年中考原題，雖不是壓軸，但動點動線一起考出來，難倒了不少同學(xué)。事實上就在于如何把握這個旋轉(zhuǎn)90。的條件。旋轉(zhuǎn)90。自然就是垂直關(guān)系，于是又出

23、現(xiàn)了一堆直角三角形，于是證角，證線就手到擒來了。第二問一樣是利用平行關(guān)系建立函數(shù)式，但是實際過程中很多同學(xué)依然忘記分類討論的思想，漏掉了很多種情況，失分非?？上?。建議大家仔細(xì)研究這道中考原題，按照上面總結(jié)的一般思路去拆分條件，步步為營的去解答?！舅伎碱}解析】【思考1解析】(1)證明：DEEC,又AB90,BECEDA.(2)證明：如圖，過點E作EF/BC,交CD于點F,1,E是AB的中點，容易證明EF-(ADBC).21_在RtDEC中，DFCF,EFCD.21 ,_1(ADBC)CD.2 2ADBCCD.(3)解：AED的周長AEADDEam,BEam.設(shè)ADx,則DEax.2a由(1)知A

24、DEsBEC,11/15DECAEDADEs90.AEDBEC90EDA90.BEC.A90，.二DE2AE2AD2.即a22axx2ADMADMCNCN第25題22am2aamam2a2aBEC的周長ADE的周長2a.amBEC的周長與m值無關(guān).【思考2答案】解：(1)/BPD=30；(2)如圖8,連結(jié)CD解一：二點D在/PBC勺平分線上，/1=/2.ABC等邊三角形，BA=BC=ACZACB=60.BP=BABP=BC.BD=BD:.APBIDCBD/BPD=3.3.DB=DABC=ACCD=CD:.ABCIDACD1_34-ACB30.2/BPD=30.解二：ABC等邊三角形，BA=BC=AC.DB=DACM直平分AB.1-341ACB30.2.BP=BABP=BC點D在/PBC勺平分線上，APBDACB次于BD所在直線對稱./BPD=3./BPD=30.(3)/BPD=30或150.圖形見圖9、圖10.ADE的周長BEC的周長ADBE【思考3解析】31解：（1）過點A作AHBC,在RtABE中，由AB=5,cosB=，得BE=3.5.CDLBGAD/BC,BC=6,.AD=EC=BCBE=3BH3COSB,BH=3BO518BP=(2)不存在BP=MN勺情況-假設(shè)BP=MN立,BP和MN為。0 的