1、志鴻優(yōu)化之優(yōu)秀教案 2.2 對(duì)數(shù)函數(shù)2.2.1 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析我們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)過(guò)程中,已了解了指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì),它是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),從本節(jié)開(kāi)始我們學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)及其運(yùn)算.使學(xué)生認(rèn)識(shí)引進(jìn)對(duì)數(shù)的必要性,理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì),了解對(duì)數(shù)換底公式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用,能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù),通過(guò)閱讀材料,了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史及其對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用.教材注重從現(xiàn)實(shí)生活的事例中引出對(duì)數(shù)概念,所舉例子比較全面,有利于培養(yǎng)學(xué)生的思想素質(zhì)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和欲望.教學(xué)中要充分發(fā)揮課本的這些材料的作用,并盡可能聯(lián)系一些熟悉的事例,以豐富教學(xué)的情景創(chuàng)設(shè).教師要盡量發(fā)揮電腦繪圖的教學(xué)功能,教

2、材安排了“閱讀與思考”的內(nèi)容,有利于加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的教育,應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研讀.根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn),教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量,使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到信息技術(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用,盡量利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持.三維目標(biāo)1.理解對(duì)數(shù)的概念,了解對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系;理解和掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì);掌握對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系；通過(guò)實(shí)例推導(dǎo)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),準(zhǔn)確地運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算,并掌握化簡(jiǎn)求值的技能;運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合解決問(wèn)題的能力;培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)和科學(xué)分析問(wèn)題的精神和態(tài)度.2.通過(guò)與指數(shù)式的比較,引出對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì)；讓學(xué)生經(jīng)歷并推

3、理出對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì);讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)的知識(shí).3.學(xué)會(huì)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化,從而培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比、分析、歸納能力;通過(guò)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)；在學(xué)習(xí)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生探究的意識(shí)；讓學(xué)生感受對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的重要性,增加學(xué)生的成功感,增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化及對(duì)數(shù)的性質(zhì),對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)與對(duì)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn):對(duì)數(shù)概念的理解,對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)及應(yīng)用.課時(shí)安排3課時(shí)教學(xué)過(guò)程第1課時(shí) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(1)導(dǎo)入新課思路1.1.莊子：一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭.（1）取4次,還有多長(zhǎng)？（2）取多少次,還有0.125尺？2.假設(shè)2002年我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)

4、總值為a億元,如果每年平均增長(zhǎng)8%,那么經(jīng)過(guò)多少年國(guó)民生產(chǎn)總值是2002年的2倍？抽象出：1.()4？()x0.125x=?2.(1+8%)x=2x=?都是已知底數(shù)和冪的值,求指數(shù).你能看得出來(lái)嗎？怎樣求呢？像上面的式子,已知底數(shù)和冪的值,求指數(shù),這就是我們這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)引出對(duì)數(shù)的概念,教師板書(shū)課題:對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(1).思路2.我們前面學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì),同時(shí)也會(huì)利用性質(zhì)解決問(wèn)題,但僅僅有指數(shù)函數(shù)還不夠,為了解決某些實(shí)際問(wèn)題,還要學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù),為此我們先學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)引出對(duì)數(shù)的概念,教師板書(shū)課題:對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(1).推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題(對(duì)于課本P572.1.2的例8)利用計(jì)算機(jī)作

5、出函數(shù)y=13×1.01x的圖象.從圖象上看,哪一年的人口數(shù)要達(dá)到18億、20億、30億?如果不利用圖象該如何解決,說(shuō)出你的見(jiàn)解？即=1.01x,=1.01x,=1.01x,在這幾個(gè)式子中,x分別等于多少？你能否給出一個(gè)一般性的結(jié)論?活動(dòng)：學(xué)生討論并作圖,教師適時(shí)提示、點(diǎn)撥.對(duì)問(wèn)題,回憶計(jì)算機(jī)作函數(shù)圖象的方法,抓住關(guān)鍵點(diǎn).對(duì)問(wèn)題,圖象類(lèi)似于人的照片,從照片上能看出人的特點(diǎn),當(dāng)然從函數(shù)圖象上就能看出函數(shù)的某些點(diǎn)的坐標(biāo).對(duì)問(wèn)題,定義一種新的運(yùn)算.對(duì)問(wèn)題,借助,類(lèi)比到一般的情形.討論結(jié)果：如圖2-2-1-1.圖2-2-1-1在所作的圖象上,取點(diǎn)P,測(cè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),移動(dòng)點(diǎn)P,使其縱坐標(biāo)分別接

6、近18,20,30,觀察這時(shí)的橫坐標(biāo),大約分別為32.72,43.29,84.04,這就是說(shuō),如果保持年增長(zhǎng)率為1個(gè)百分點(diǎn),那么大約經(jīng)過(guò)33年,43年,84年,我國(guó)人口分別約為18億,20億,30億.=1.01x,=1.01x,=1.01x,在這幾個(gè)式子中,要求x分別等于多少,目前我們沒(méi)學(xué)這種運(yùn)算,可以定義一種新運(yùn)算,即若=1.01x,則x稱(chēng)作以1.01為底的的對(duì)數(shù).其他的可類(lèi)似得到,這種運(yùn)算叫做對(duì)數(shù)運(yùn)算.一般性的結(jié)論就是對(duì)數(shù)的定義:一般地,如果a(a>0,a1)的x次冪等于N,就是ax=N,那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)(logarithm),記作x=logaN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N

7、叫做真數(shù).有了對(duì)數(shù)的定義,前面問(wèn)題的x就可表示了:x=log1.01,x=log1.01,x=log1.01.由此得到對(duì)數(shù)和指數(shù)冪之間的關(guān)系:aNb指數(shù)式ab=N底數(shù)冪指數(shù)對(duì)數(shù)式logaN=b對(duì)數(shù)的底數(shù)真數(shù)對(duì)數(shù)例如：42=162=log416;102=1002=log10100;4=2=log42;10-2=0.01-2=log100.01提出問(wèn)題為什么在對(duì)數(shù)定義中規(guī)定a>0,a1?根據(jù)對(duì)數(shù)定義求loga1和logaa(a>0,a1)的值.負(fù)數(shù)與零有沒(méi)有對(duì)數(shù)?=N與logaab=b(a>0,a1)是否成立?討論結(jié)果：這是因?yàn)槿鬭0,則N為某些值時(shí),b不存在,如log（2）;若

8、a=0,N不為0時(shí),b不存在,如log03,N為0時(shí),b可為任意正數(shù),是不唯一的,即log00有無(wú)數(shù)個(gè)值;若a=1,N不為1時(shí),b不存在,如log12,N為1時(shí),b可為任意數(shù),是不唯一的,即log11有無(wú)數(shù)個(gè)值.綜之,就規(guī)定了a0且a1.loga1=0,logaa=1.因?yàn)閷?duì)任意a>0且a1,都有a0=1,所以loga1=0.同樣易知：logaa=1.即1的對(duì)數(shù)等于0,底的對(duì)數(shù)等于1.因?yàn)榈讛?shù)a0且a1,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,對(duì)任意的bR,ab0恒成立,即只有正數(shù)才有對(duì)數(shù),零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù).因?yàn)閍b=N,所以b=logaN,ab=a=N,即a=N.因?yàn)閍b=ab,所以logaab=b.故

9、兩個(gè)式子都成立.(a=N叫對(duì)數(shù)恒等式) 思考我們對(duì)對(duì)數(shù)的概念和一些特殊的式子已經(jīng)有了一定的了解,但還有兩類(lèi)特殊的對(duì)數(shù)對(duì)科學(xué)研究和了解自然起了巨大的作用,你們知道是哪兩類(lèi)嗎?活動(dòng)：同學(xué)們閱讀課本P68的內(nèi)容,教師引導(dǎo),板書(shū).解答：常用對(duì)數(shù)：我們通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù).為了簡(jiǎn)便,N的常用對(duì)數(shù)log10N簡(jiǎn)記作lgN.例如：log105簡(jiǎn)記作lg5;log103.5簡(jiǎn)記作lg3.5.自然對(duì)數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無(wú)理數(shù)e=2.718 28為底的對(duì)數(shù),以e為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù),為了簡(jiǎn)便,N的自然對(duì)數(shù)logeN簡(jiǎn)記作lnN.例如：loge3簡(jiǎn)記作ln3;loge10簡(jiǎn)記作ln10.應(yīng)用示例

10、思路1例1將下列指數(shù)式寫(xiě)成對(duì)數(shù)式,對(duì)數(shù)式寫(xiě)成指數(shù)式：（1）54=625;（2）2-6=;（3）()m=5.73;(4)log16=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.活動(dòng)：學(xué)生閱讀題目,獨(dú)立解題,把自己解題的過(guò)程展示在屏幕上,教師評(píng)價(jià)學(xué)生,強(qiáng)調(diào)注意的問(wèn)題.對(duì)（1）根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系,4在指數(shù)位置上,4是以5為底625的對(duì)數(shù).對(duì)（2）根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系,-6在指數(shù)位置上,-6是以2為底的對(duì)數(shù).對(duì)（3）根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系,m在指數(shù)位置上,m是以為底5.73的對(duì)數(shù).對(duì)(4)根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系,16在真數(shù)位置上,16是的-4次冪.對(duì)(5)根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)

11、式的關(guān)系,0.01在真數(shù)位置上,0.01是10的-2次冪.對(duì)(6)根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系,10在真數(shù)位置上,10是e的2.303次冪.解：（1）log5625=4;（2）log2=-6;（3）log5.73=m;（4）()-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e2.303=10. 思考指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化應(yīng)注意哪些問(wèn)題?活動(dòng)：學(xué)生考慮指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的依據(jù),回想對(duì)數(shù)概念的引出過(guò)程,理清對(duì)數(shù)與指數(shù)冪的關(guān)系,特別是位置的對(duì)照.解答：若是指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式,關(guān)鍵要看清指數(shù)是幾,再寫(xiě)成對(duì)數(shù)式.若是對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式,則要看清真數(shù)是幾,再寫(xiě)成冪的形式.最關(guān)鍵的是搞清N與b在指數(shù)式與對(duì)數(shù)式中的位置,

12、千萬(wàn)不可大意,其中對(duì)數(shù)的定義是指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的依據(jù).變式訓(xùn)練課本P64練習(xí) 1、2.例2求下列各式中x的值:（1）log64x=;（2）logx8=6;（3）lg100=x;（4）-lne2=x.活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立解題,教師同時(shí)展示學(xué)生的作題情況,要求學(xué)生說(shuō)明解答的依據(jù),利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為指數(shù)式求解.解：（1）因?yàn)閘og64x=-,所以x=64=(2)=2-4=.（2）因?yàn)閘ogx8=6,所以x6=8=23=()6.因?yàn)閤>0,因此x=.（3）因?yàn)閘g100=x,所以10x=100=102.因此x=2.（4）因?yàn)?lne2=x,所以lne2=-x,e-x=e2.因此x=-2

13、.點(diǎn)評(píng)：本題要注意方根的運(yùn)算,同時(shí)也可借助對(duì)數(shù)恒等式來(lái)解.變式訓(xùn)練求下列各式中的x：log4x=;logx27=;log5（log10x）=1.解：由log4x=,得x=4=2;由logx27=,得x=27,所以x=27=81;由log5（log10x）=1,得log10x=5,即x=105.點(diǎn)評(píng)：在解決對(duì)數(shù)式的求值問(wèn)題時(shí),若不能一下子看出結(jié)果,根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系,首先將其轉(zhuǎn)化為指數(shù)式,進(jìn)一步根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)算出結(jié)果.思路2例1以下四個(gè)命題中,屬于真命題的是（ ）（1）若log5x=3,則x=15 （2）若log25x=,則x=5 （3）若logx=0,則x= （4）若log5x=3

14、,則x=A.（2）（3） B.（1）（3） C.（2）（4） D.（3）（4）活動(dòng)：學(xué)生觀察,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮對(duì)數(shù)的定義.對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式,根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)算出結(jié)果.對(duì)于（1）因?yàn)閘og5x=3,所以x=53=125,錯(cuò)誤;對(duì)于（2）因?yàn)閘og25x=,所以x=25=5,正確;對(duì)于（3）因?yàn)閘ogx=0,所以x0=,無(wú)解,錯(cuò)誤;對(duì)于（4）因?yàn)閘og5x=3,所以x=5-3=,正確.總之（2）（4）正確.答案：C點(diǎn)評(píng)：對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù).例2對(duì)于a0,a1,下列結(jié)論正確的是（ ）（1）若M=N,則logaM=logaN （2）若logaM=logaN,則M=N （3）若

15、logaM2=logaN2,則M=N （4）若M=N,則logaM2=logaN2A.（1）（3） B.（2）（4） C.（2） D.（1）（2）（4）活動(dòng)：學(xué)生思考,討論,交流,回答,教師及時(shí)評(píng)價(jià).回想對(duì)數(shù)的有關(guān)規(guī)定.對(duì)（1）若M=N,當(dāng)M為0或負(fù)數(shù)時(shí)logaMlogaN,因此錯(cuò)誤;對(duì)（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義,若logaM=logaN,則M=N,正確;對(duì)（3）若logaM2=logaN2,則M=±N,因此錯(cuò)誤;對(duì)（4）若M=N=0時(shí),則logaM2與logaN2都不存在,因此錯(cuò)誤.綜上,（2）正確.答案：C點(diǎn)評(píng)：0和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù),一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè).例3計(jì)算：(1)log927;(

16、2)log81;(3)log(2-3);(4)log625.活動(dòng)：教師引導(dǎo),學(xué)生回憶,教師提問(wèn),學(xué)生回答,積極交流,學(xué)生展示自己的解題過(guò)程,教師及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生.利用對(duì)數(shù)的定義或?qū)?shù)恒等式來(lái)解.求式子的值,首先設(shè)成對(duì)數(shù)式,再轉(zhuǎn)化成指數(shù)式或指數(shù)方程求解.另外利用對(duì)數(shù)恒等式可直接求解,所以有兩種解法.解法一：(1)設(shè)x=log927,則9x=27,32x=33,所以x=;(2)設(shè)x=log81,則()x=81,3=34,所以x=16;(3)令x=log(2-)=log(2+)-1,所以(2+)x=(2+)-1,x=-1;(4)令x=log625,所以()x=625,5x=54,x=3.解法二：(1)l

17、og927=log933=log99=;(2)log81=log()16=16;(3)log(2-)=log(2+)-1=-1;(4)log625=log()3=3.點(diǎn)評(píng)：首先將其轉(zhuǎn)化為指數(shù)式,進(jìn)一步根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)算出結(jié)果,對(duì)數(shù)的定義是轉(zhuǎn)化和對(duì)數(shù)恒等式的依據(jù).變式訓(xùn)練課本P64練習(xí) 3、4.知能訓(xùn)練1.把下列各題的指數(shù)式寫(xiě)成對(duì)數(shù)式:(1)4216;（2）30=1;（3）4x2;（4）2x0.5;(5)54=625;(6)3-2=;(7)()-2=16.解：(1)2log416;(2)0log31;(3)log4;(4)log20.5;(5)4=log5625;(6)-2=log3;(7)

18、-2=log16.2.把下列各題的對(duì)數(shù)式寫(xiě)成指數(shù)式:(1)log527;(2)log87;(3)log43;(4)log7;(5)log216=4;(6)log27=-3;(7)log=6;(8)logx64=-6;(9)log2128=7;(10)log327=a.解：(1)5x27;(2)8x;(3)4x3;(4)7x;(5)24=16;(6)()-3=27;(7)()6=x;(8)x-6=64;(9)27=128;(10)3a=27.3.求下列各式中x的值:(1)log8x=;(2)logx27=;(3)log2（log5x）=1;(4)log3（lgx）=0.解：(1)因?yàn)閘og8x=

19、,所以x=8=(23)=2-2=;(2)因?yàn)閘ogx27=,所以x=27=33,即x=(33)=34=81;(3)因?yàn)閘og2（log5x）=1,所以log5x=2,x=52=25;(4)因?yàn)閘og3（lgx）=0,所以lgx=1,即x=101=10.4.(1)求log84的值;(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.解：(1)設(shè)log84=x,根據(jù)對(duì)數(shù)的定義有8x=4,即23x=22,所以x=,即log84=;(2)因?yàn)閘oga2=m,loga3=n,根據(jù)對(duì)數(shù)的定義有am=2,an=3,所以a2m+n=(am)2·an=(2)2·3=4×3=

20、12.點(diǎn)評(píng)：此題不僅是簡(jiǎn)單的指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化,還涉及到常見(jiàn)的冪的運(yùn)算法則的應(yīng)用.拓展提升請(qǐng)你閱讀課本75頁(yè)的有關(guān)閱讀部分的內(nèi)容,搜集有關(guān)對(duì)數(shù)發(fā)展的材料,以及有關(guān)數(shù)學(xué)家關(guān)于對(duì)數(shù)的材料,通過(guò)網(wǎng)絡(luò)查尋關(guān)于對(duì)數(shù)換底公式的材料,為下一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).課堂小結(jié)(1)對(duì)數(shù)引入的必要性；(2)對(duì)數(shù)的定義；(3)幾種特殊數(shù)的對(duì)數(shù)；(4)負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù)；(5)對(duì)數(shù)恒等式；(6)兩種特殊的對(duì)數(shù).作業(yè)課本P74習(xí)題2.2A組 1、2.【補(bǔ)充作業(yè)】1.將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化,有x的求出x的值.（1）5=;（2）log24=x;（3）3x=;（4）()x=64;（5）lg0.000 1=x;（6）lne5=x.解：（

21、1）5=化為對(duì)數(shù)式是log5=;（2）x=log4化為指數(shù)式是()x=4,即2=22,=2,x=4;（3）3x=化為對(duì)數(shù)式是x=log3,因?yàn)?x=()3=3-3,所以x=-3;（4）()x=64化為對(duì)數(shù)式是x=log64,因?yàn)?)x=64=43,所以x=-3;（5）lg0.0001=x化為指數(shù)式是10x=0.0001,因?yàn)?0x=0.000 1=10-4,所以x=-4;（6）lne5=x化為指數(shù)式是ex=e5,因?yàn)閑x=e5,所以x=5.2.計(jì)算的值.解：設(shè)x=log3,則3x=,(3)x=(),所以x=log.所以3=.3.計(jì)算(a>0,b>0,c>0,N>0).解

22、：=N.設(shè)計(jì)感想本節(jié)課在前面研究了指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的基礎(chǔ)上,為了運(yùn)算的方便,引進(jìn)了對(duì)數(shù)的概念,使學(xué)生感受到對(duì)數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景,它有著豐富的內(nèi)涵,和我們的實(shí)際生活聯(lián)系密切,也是以后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ),鑒于這種情況,安排教學(xué)時(shí),無(wú)論是導(dǎo)入還是概念得出的過(guò)程,都比較詳細(xì),通俗易懂,要反復(fù)練習(xí),要緊緊抓住它與指數(shù)概念之間的聯(lián)系與區(qū)別,結(jié)合指數(shù)式理解對(duì)數(shù)式,強(qiáng)化對(duì)數(shù)是一種運(yùn)算,并注意對(duì)數(shù)運(yùn)算符號(hào)的理解和記憶,多運(yùn)用信息化的教學(xué)手段,順利完成本堂課的任務(wù),為下一節(jié)課作準(zhǔn)備.(設(shè)計(jì)者：路致芳)第2課時(shí) 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(2)導(dǎo)入新課思路1.碳14測(cè)年法.原來(lái)宇宙射線在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14,并與氧結(jié)合成

23、二氧化碳后進(jìn)入所有活組織,先為植物吸收,再為動(dòng)物吸收,只要植物和動(dòng)物生存著,它們就會(huì)不斷地吸收碳14在機(jī)體內(nèi)保持一定的水平.而當(dāng)有機(jī)體死亡后,即會(huì)停止吸收碳14,其組織內(nèi)的碳14便以約5 730年的半衰期開(kāi)始衰變并消失.對(duì)于任何含碳物質(zhì)只要測(cè)定剩下的放射性碳14的含量,便可推斷其年代(半衰期:經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間,變?yōu)樵瓉?lái)的一半).引出本節(jié)課題:指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.思路2.同學(xué)們,我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì),那么整數(shù)指數(shù)冪是否可以推廣呢？答案是肯定的.這就是本節(jié)的主講內(nèi)容,教師板書(shū)本節(jié)課題指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題(1)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是什么

24、？(2)觀察以下式子,并總結(jié)出規(guī)律：a0,=a2=a;=a4=a;=a3=a;=a5=a.(3)利用(2)的規(guī)律,你能表示下列式子嗎？,(x>0,m,nN*,且n>1).(4)你能用方根的意義來(lái)解釋(3)的式子嗎？(5)你能推廣到一般的情形嗎？活動(dòng)：學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪及運(yùn)算性質(zhì),仔細(xì)觀察,特別是每題的開(kāi)始和最后兩步的指數(shù)之間的關(guān)系,教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)方根的意義,用方根的意義加以解釋,指點(diǎn)啟發(fā)學(xué)生類(lèi)比(2)的規(guī)律表示,借鑒(2)(3),我們把具體推廣到一般,對(duì)寫(xiě)正確的同學(xué)及時(shí)表?yè)P(yáng),其他學(xué)生鼓勵(lì)提示.討論結(jié)果：(1)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：an=a·a·a&#

25、183;·a,a0=1(a0);00無(wú)意義;a-n=(a0);am·an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.(2)a2是a10的5次方根；a4是a8的2次方根；a3是a12的4次方根；a5是a10的2次方根.實(shí)質(zhì)上=a,=a,=a,=a結(jié)果的a的指數(shù)是2,4,3,5分別寫(xiě)成了,形式上變了,本質(zhì)沒(méi)變.根據(jù)4個(gè)式子的最后結(jié)果可以總結(jié)：當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí),根式可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式（分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式）.(3)利用(2)的規(guī)律,=5,=7,=a,=x.(4)53的四次方根是5,75的三次方根是7,a7的五次方根是a,xm的

26、n次方根是x.結(jié)果表明方根的結(jié)果和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是相通的.(5)如果a>0,那么am的n次方根可表示為m=a,即a=m(a>0,m,nN*,n>1).綜上所述,我們得到正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,教師板書(shū):規(guī)定:正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a=m(a>0,m,nN*,n>1).提出問(wèn)題負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的?你能得出負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義嗎?你認(rèn)為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義?綜合上述,如何規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義?分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義中,為什么規(guī)定a0,去掉這個(gè)規(guī)定會(huì)產(chǎn)生什么樣的后果?既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)

27、指數(shù)冪呢?活動(dòng)：學(xué)生回想初中學(xué)習(xí)的情形,結(jié)合自己的學(xué)習(xí)體會(huì)回答,根據(jù)零的整數(shù)指數(shù)冪的意義和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義來(lái)類(lèi)比,把正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義融合起來(lái),與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)類(lèi)比可得有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),教師在黑板上板書(shū),學(xué)生合作交流,以具體的實(shí)例說(shuō)明a0的必要性,教師及時(shí)作出評(píng)價(jià).討論結(jié)果：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是:a-n=(a0),nN*.既然負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是這樣規(guī)定的,類(lèi)比正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可得正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義.規(guī)定:正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a=(a>0,m,nN*,n>1).規(guī)定:零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是:零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零,零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

28、沒(méi)有意義.教師板書(shū)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是:正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a=(a>0,m,nN*,n>1),正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a=(a>0,m,nN*,n>1),零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零,零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.若沒(méi)有a0這個(gè)條件會(huì)怎樣呢?如(-1)=3-1=-1,(-1)=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個(gè)式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果,這只說(shuō)明分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時(shí)是無(wú)意義的.因此在把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí),切記要使底數(shù)大于零,如無(wú)a0的條件,比如式子3a2=|a|,同時(shí)負(fù)數(shù)開(kāi)奇次方是有意義的,負(fù)數(shù)開(kāi)奇次方時(shí),應(yīng)把負(fù)號(hào)移到根式的外邊,然后再按規(guī)定化成分?jǐn)?shù)指

29、數(shù)冪,也就是說(shuō),負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在有意義的情況下總表示正數(shù),而不是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上.規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):對(duì)任意的有理數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì):（1）ar·as=ar+s(a>0,r,sQ),（2）(ar)s=ars(a>0,r,sQ),（3）(a·b)r=arbr(a>0,b>0,rQ).我們利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以解決一些問(wèn)題,來(lái)看下面的例題.應(yīng)用示例思路1例1求值:8;25()-5;().活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解題的方法,利用冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算

30、出數(shù)值或化成最簡(jiǎn)根式,根據(jù)題目要求,把底數(shù)寫(xiě)成冪的形式,8寫(xiě)成23,25寫(xiě)成52, 寫(xiě)成2-1,寫(xiě)成()4,利用有理數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以解答,完成后,把自己的答案用投影儀展示出來(lái).解：8=(23)=2=22=4;25=(52)=5=5-1=;()-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;()=()=()-3=.點(diǎn)評(píng)：本例主要考查冪值運(yùn)算,要按規(guī)定來(lái)解.在進(jìn)行冪值運(yùn)算時(shí),要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運(yùn)算,而不是首先轉(zhuǎn)化為熟悉的根式運(yùn)算,如8=4.例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式.a3·a2·(a>0).活動(dòng)：學(xué)生觀察、思考,根據(jù)解題的順序,把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,再

31、由冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)運(yùn)算,根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí),要由里往外依次進(jìn)行,把握好運(yùn)算性質(zhì)和順序,學(xué)生討論交流自己的解題步驟,教師評(píng)價(jià)學(xué)生的解題情況,鼓勵(lì)學(xué)生注意總結(jié).解：a3·=a3·a=a=a;a2·=a2·a=a=a;=(a·a)=(a)=a.點(diǎn)評(píng)：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí),其順序是先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)運(yùn)算.對(duì)于計(jì)算的結(jié)果,不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來(lái)表示,沒(méi)有特別要求,就用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式來(lái)表示,但結(jié)果不能既有分?jǐn)?shù)指數(shù)又有根式,也不能既有分母又有負(fù)指數(shù).例3計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）:（1）(

32、2ab)(-6ab)÷(-3ab);（2）(mn)8.活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征,然后分析,四則運(yùn)算的順序是先算乘方,再算乘除,最后算加減,有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的,整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后,其運(yùn)算順序仍符合我們以前的四則運(yùn)算順序,再解答,把自己的答案用投影儀展示出來(lái),相互交流,其中要注意到（1）小題是單項(xiàng)式的乘除運(yùn)算,可以用單項(xiàng)式的乘除法運(yùn)算順序進(jìn)行,要注意符號(hào),第（2）小題是乘方運(yùn)算,可先按積的乘方計(jì)算,再按冪的乘方進(jìn)行計(jì)算,熟悉后可以簡(jiǎn)化步驟.解：（1）原式=2×(-6)÷(-3)ab=4ab0=4a;（2）(mn)8=(m)8(n

33、)8=mn=m2n-3=.點(diǎn)評(píng)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不表示相同因式的積,而是根式的另一種寫(xiě)法.有了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,就可把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算了.本例主要是指數(shù)冪的運(yùn)算法則的綜合考查和應(yīng)用.變式訓(xùn)練求值:(1)3··(2).解：(1)3··=3·3·3·3=3=32=9；(2)=(=(=.例4計(jì)算下列各式:（1）()÷（2）(a0）.活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征,然后分析,化為同底.利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪計(jì)算,在第（1）小題中,只含有根式,且不是同次根式,比較難計(jì)算,但把根式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪再

34、計(jì)算,這樣就簡(jiǎn)便多了,第（2）小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運(yùn)算法則計(jì)算,最后寫(xiě)出解答.解：（1）原式=(25-125)÷25=(5-5)÷5=5-5=5-5=-5;（2）=a=a=.思路2例1比較,的大小.活動(dòng)：學(xué)生努力思考,積極交流,教師引導(dǎo)學(xué)生解題的思路,由于根指數(shù)不同,應(yīng)化成統(tǒng)一的根指數(shù),才能進(jìn)行比較,又因?yàn)楦笖?shù)最大的是6,所以我們應(yīng)化為六次根式,然后,只看被開(kāi)方數(shù)的大小就可以了.解：因?yàn)?,=,而125123121,所以>>.所以>>.點(diǎn)評(píng)：把根指數(shù)統(tǒng)一是比較幾個(gè)根式大小的常用方法.例2求下列各式的值:(1);(2)2×

35、×.活動(dòng)：學(xué)生觀察以上幾個(gè)式子的特征,既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式,應(yīng)把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運(yùn)算法則計(jì)算,如果根式中根指數(shù)不同,也應(yīng)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,然后分析解答,對(duì)(1)應(yīng)由里往外=,對(duì)(2)化為同底的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,及時(shí)對(duì)學(xué)生活動(dòng)進(jìn)行評(píng)價(jià).解：(1)=34×(3)=(3)=(3)=3=;(2)=2×3×()×(3×22)=2·3=2×3=6.例3計(jì)算下列各式的值:（1）(ab2)-1·(ab-3)(b)7;（2）;(3).活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上三個(gè)式子的特征,然后交流解題的方法,把根式用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫(xiě)出,利用

36、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)去計(jì)算,教師引導(dǎo)學(xué)生,強(qiáng)化解題步驟,對(duì)(1)先進(jìn)行積的乘方,再進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法,對(duì)（2）把分?jǐn)?shù)指數(shù)化為根式,然后通分化簡(jiǎn),對(duì)（3）把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù),進(jìn)行積的乘方,再進(jìn)行同底數(shù)冪的運(yùn)算.解：(1)原式=(ab2)(ab-3)·(b)=ababb=ab=ab0=a;另解：原式=(ab-2ab·b)=(ab)=(a2b0)=a;（2）原式=;（3）原式=（ab）-3÷(b-4a-1)=ab-2÷b-2a=ab-2+2=a-1=.例4已知a0,對(duì)于0r8,rN*,式子()8-r·r能化為關(guān)

37、于a的整數(shù)指數(shù)冪的情形有幾種？活動(dòng)：學(xué)生審題,考慮與本節(jié)知識(shí)的聯(lián)系,教師引導(dǎo)解題思路,把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運(yùn)算法則計(jì)算,即先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,再進(jìn)行冪的乘方,化為關(guān)于a的指數(shù)冪的情形,再討論,及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生的作法.解：()8-r·r=a·a=a=a.16-3r能被4整除才行,因此r=0,4,8時(shí)上式為關(guān)于a的整數(shù)指數(shù)冪.點(diǎn)評(píng)：本題中確定整數(shù)的指數(shù)冪時(shí),可由范圍的從小到大依次驗(yàn)證,決定取舍.利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí),結(jié)果可以化為根式形式或保留分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.例5已知f（x）=exe-x,g（x）=ex+e-x.（1）求f（x）2g（x）2的值；（2）設(shè)f（x

38、）f（y）=4,g（x）g（y）=8,求的值.活動(dòng)：學(xué)生觀察題目的特點(diǎn),說(shuō)出解題的辦法,整體代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果學(xué)生有難度,教師可以提示引導(dǎo),對(duì)（1）為平方差,利用公式因式分解可將代數(shù)式化簡(jiǎn),對(duì)(2)難以發(fā)現(xiàn)已知和未知的關(guān)系,可寫(xiě)出具體算式,予以探求.解：(1)f（x）2g（x）2=f（x）+g（x）·f（x）g（x）=（exe-x+ex+e-x）（exe-xexe-x）=2ex（2e-x）=4e0=4;另解：(1)f（x）2g（x）2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2=e2x-2exe-x+e-2x-e2x-2exe-x-e-2x=-4ex-x=-4e0=

39、-4;(2)f（x）·f（y）=（exe-x）（eye-y）=ex+y+e-(x+y)ex-ye-(x-y)=g（x+y）g（xy）=4,同理可得g（x）g（y）=g（x+y）+g（xy）=8,得方程組解得g（x+y）=6,g（xy）=2.所以=3.點(diǎn)評(píng)：將已知條件變形為關(guān)于所求量g（x+y）與g（xy）的方程組,從而使問(wèn)題得以解決,這種處理問(wèn)題的方法在數(shù)學(xué)上稱(chēng)之為方程法,方程法所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想即方程思想,是數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想.知能訓(xùn)練課本P54練習(xí) 1、2、3.補(bǔ)充練習(xí)教師用實(shí)物投影儀把題目投射到屏幕上讓學(xué)生解答,教師巡視,啟發(fā),對(duì)做得好的同學(xué)給予表?yè)P(yáng)鼓勵(lì).1.(1)下列運(yùn)算中,

40、正確的是( )A.a2·a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2C.(-1)0=0D.(-a2)3=-a6(2)下列各式,（各式的nN,aR）中,有意義的是( )A. B. C. D.(3)等于( )A.a B.a2 C.a3 D.a4(4)把根式2改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為( )A.-2(a-b) B.-2(a-b)C.-2(a-b) D.-2(a-b)(5)化簡(jiǎn)（ab）（-3ab）÷（ab）的結(jié)果是( )A.6a B.-a C.-9a D.9a2.計(jì)算：(1)0.027（）-2+2563-1+（21）0=_.(2)設(shè)5x=4,5y=2,則52x-y=_.3.已知x+y=1

41、2,xy=9且xy,求的值.答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83.解：=.因?yàn)閤+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.又因?yàn)閤y,所以x-y=-2×33=-63.所以原式=.拓展提升1.化簡(jiǎn).活動(dòng)：學(xué)生觀察式子特點(diǎn),考慮x的指數(shù)之間的關(guān)系可以得到解題思路,應(yīng)對(duì)原式進(jìn)行因式分解,根據(jù)本題的特點(diǎn),注意到:x-1=(x)3-13=(x-1)·(x+x+1);x+1=(x)3+13=(x+1)·(x-x+1);x-x=x(x)2-1=x(x-1)(x+1).

42、構(gòu)建解題思路教師適時(shí)啟發(fā)提示.解：=x-1+x-x+1-x-x=-x.點(diǎn)撥:解這類(lèi)題目,要注意運(yùn)用以下公式,(a-b)(a+b)=a-b,(a±b)2=a±2ab+b,(a±b)(aab+b)=a±b.2.已知a+a=3,探究下列各式的值的求法.(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3).解：(1)將a+a=3,兩邊平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7;(2)將a+a-1=7兩邊平方,得a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47;(3)由于a-a=(a)3-(a)3,所以有=a+a-1+1=8.點(diǎn)撥:對(duì)“條件求值”問(wèn)題,一定要弄清已知與未知的

43、聯(lián)系,然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值.課堂小結(jié)活動(dòng)：教師,本節(jié)課同學(xué)們有哪些收獲?請(qǐng)把你的學(xué)習(xí)收獲記錄在你的筆記本上,同學(xué)們之間相互交流.同時(shí)教師用投影儀顯示本堂課的知識(shí)要點(diǎn):(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是:正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a=m(a>0,m,nN*,n>1),正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a=(a>0,m,nN*,n>1),零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零,零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.(2)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).(3)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):對(duì)任意的有理數(shù)r、s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì):ar·as=ar+s(a

44、>0,r,sQ),(ar)s=ars(a>0,r,sQ),(a·b)r=arbr(a>0,b>0,rQ).(4)說(shuō)明兩點(diǎn):分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是一種規(guī)定,我們前面所舉的例子只表明這種規(guī)定的合理性,其中沒(méi)有推出關(guān)系.整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)任意的有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用.因而分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化,也可以利用(an)=am來(lái)計(jì)算.作業(yè)課本P59習(xí)題2.1A組 2、4.設(shè)計(jì)感想本節(jié)課是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義的引出及應(yīng)用,分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充,要讓學(xué)生反復(fù)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,教學(xué)中可以通過(guò)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化來(lái)鞏固加深對(duì)這一概念的理解,用觀察、歸納和類(lèi)比的方法完成

45、,由于是硬性的規(guī)定,沒(méi)有合理的解釋,因此多安排一些練習(xí),強(qiáng)化訓(xùn)練,鞏固知識(shí),要輔助以信息技術(shù)的手段來(lái)完成大容量的課堂教學(xué)任務(wù).(設(shè)計(jì)者：郝云靜)第3課時(shí) 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(3)導(dǎo)入新課思路1.同學(xué)們,既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù),又從整數(shù)推廣到正分?jǐn)?shù)到負(fù)分?jǐn)?shù),這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù),那么它是否也和數(shù)的推廣一樣,到底有沒(méi)有無(wú)理數(shù)指數(shù)冪呢?回顧數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程,自然數(shù)到整數(shù),整數(shù)到分?jǐn)?shù)(有理數(shù)),有理數(shù)到實(shí)數(shù).并且知道,在有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中,增添的數(shù)是實(shí)數(shù).對(duì)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪,也是這樣擴(kuò)充而來(lái).既然如此,我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是:教師板書(shū)本堂課的課題(指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(3)之無(wú)理數(shù)指數(shù)冪.思路

46、2.同學(xué)們,在初中我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識(shí),對(duì)函數(shù)有了一個(gè)初步的了解,到了高中,我們又對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的學(xué)習(xí),有了更深的理解,我們僅僅學(xué)了幾種簡(jiǎn)單的函數(shù),如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等,這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿(mǎn)足我們的需要,隨著科學(xué)的發(fā)展,社會(huì)的進(jìn)步,我們還要學(xué)習(xí)許多函數(shù),其中就有指數(shù)函數(shù),為了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的知識(shí),我們必須學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),為此,我們必須把指數(shù)冪從有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪,因此我們本節(jié)課學(xué)習(xí):指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(3)之無(wú)理數(shù)指數(shù)冪,教師板書(shū)本堂課的課題.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題我們知道=1.414 213 56,那么1.41,1.414,1.41

47、4 2,1.414 21,是的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,是的什么近似值？多媒體顯示以下圖表:同學(xué)們從上面的兩個(gè)表中,能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律?的過(guò)剩近似值55的近似值1.511.180339891.429.829353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.738177525的近似值的不足近似值9.518 269 6941.49.672 669 97

48、31.419.735 171 0391.4149.738 305 1741.414 29.738 461 9071.414 2139.738 508 9281.414 2139.738 516 7651.414 213 59.738 517 7051.414 213 569.738 517 7361.414 213 562你能給上述思想起個(gè)名字嗎?一個(gè)正數(shù)的無(wú)理數(shù)次冪到底是一個(gè)什么性質(zhì)的數(shù)呢?如5,根據(jù)你學(xué)過(guò)的知識(shí),能作出判斷并合理地解釋嗎?借助上面的結(jié)論你能說(shuō)出一般性的結(jié)論嗎?活動(dòng)：教師引導(dǎo),學(xué)生回憶,教師提問(wèn),學(xué)生回答,積極交流,及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生,學(xué)生有困惑時(shí)加以解釋,可用多媒體顯示輔助內(nèi)容:

49、問(wèn)題從近似值的分類(lèi)來(lái)考慮,一方面從大于的方向,另一方面從小于的方向.問(wèn)題對(duì)圖表的觀察一方面從上往下看,再一方面從左向右看,注意其關(guān)聯(lián).問(wèn)題上述方法實(shí)際上是無(wú)限接近,最后是逼近.問(wèn)題對(duì)問(wèn)題給予大膽猜測(cè),從數(shù)軸的觀點(diǎn)加以解釋.問(wèn)題在的基礎(chǔ)上,推廣到一般的情形,即由特殊到一般.討論結(jié)果：1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,這些數(shù)都小于,稱(chēng)的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,這些數(shù)都大于,稱(chēng)的過(guò)剩近似值.第一個(gè)表:從大于的方向逼近時(shí),5就從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,即大于52的方向逼近5.第二個(gè)表:從小

50、于2的方向逼近時(shí),5就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,即小于5的方向逼近5.從另一角度來(lái)看這個(gè)問(wèn)題,在數(shù)軸上近似地表示這些點(diǎn),數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面5從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,即小于5的方向接近5,而另一方面5從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,即大于5的方向接近5,可以說(shuō)從兩個(gè)方向無(wú)限地接近5,即逼近5,所以5是一串有理數(shù)指數(shù)冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,和另一串有理數(shù)指數(shù)冪51.5,51.42,51.415,51.4

51、143,51.41422,按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果,事實(shí)上表示這些數(shù)的點(diǎn)從兩個(gè)方向向表示5的點(diǎn)靠近,但這個(gè)點(diǎn)一定在數(shù)軸上,由此我們可得到的結(jié)論是5一定是一個(gè)實(shí)數(shù),即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<<5<<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.充分表明5是一個(gè)實(shí)數(shù).逼近思想,事實(shí)上里面含有極限的思想,這是以后要學(xué)的知識(shí).根據(jù)我們可以推斷5是一個(gè)實(shí)數(shù),猜測(cè)一個(gè)正數(shù)的無(wú)理數(shù)次冪是一個(gè)實(shí)數(shù).無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義:一般地,無(wú)理數(shù)指數(shù)冪a（a>0,是無(wú)理數(shù)）

52、是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).也就是說(shuō)無(wú)理數(shù)可以作為指數(shù),并且它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù),這樣指數(shù)概念又一次得到推廣,在數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中,我們知道有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù).我們規(guī)定了無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義,知道它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)冪,那么,指數(shù)冪就從有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪.提出問(wèn)題（1）為什么在規(guī)定無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義時(shí),必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)?（2）無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是怎樣的?是否與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則相通呢?（3）你能給出實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則嗎?活動(dòng)：教師組織學(xué)生互助合作,交流探討,引導(dǎo)他們用反例說(shuō)明問(wèn)題,注意類(lèi)比,歸納.對(duì)問(wèn)題（1）回顧我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義時(shí)對(duì)底數(shù)的規(guī)定,舉例說(shuō)明.對(duì)

53、問(wèn)題（2）結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則,既然無(wú)理數(shù)指數(shù)冪a（a>0,是無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),那么無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則應(yīng)當(dāng)與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則類(lèi)似,并且相通.對(duì)問(wèn)題（3）有了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則,實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則自然就得到了.討論結(jié)果：（1）底數(shù)大于零的必要性,若a=-1,那么a是+1還是-1就無(wú)法確定了,這樣就造成混亂,規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后,無(wú)理數(shù)指數(shù)冪a是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),就不會(huì)再造成混亂.（2）因?yàn)闊o(wú)理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),所以能進(jìn)行指數(shù)的運(yùn)算,也能進(jìn)行冪的運(yùn)算,有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),同樣也適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪.類(lèi)比有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以得到無(wú)理數(shù)

54、指數(shù)冪的運(yùn)算法則:ar·as=ar+s(a>0,r,s都是無(wú)理數(shù)).(ar)s=ars(a>0,r,s都是無(wú)理數(shù)).(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r是無(wú)理數(shù)).（3）指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后,指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也就推廣到了實(shí)數(shù)指數(shù)冪.實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):對(duì)任意的實(shí)數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì):ar·as=ar+s(a>0,r,sR).(ar)s=ars(a>0,r,sR).(a·b)r=arbr(a>0,b>0,rR).應(yīng)用示例思路1例1利用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算.（精確到0.001）（1）0.32.1;（2）

55、3.14-3;（3）3.1;（4）.活動(dòng)：教師教會(huì)學(xué)生利用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算,熟悉計(jì)算器的各鍵的功能,正確輸入各類(lèi)數(shù),算出數(shù)值,對(duì)于（1）,可先按底數(shù)0.3,再按鍵,再按冪指數(shù)2.1,最后按,即可求得它的值；對(duì)于（2）,先按底數(shù)3.14,再按鍵,再按負(fù)號(hào)鍵,再按3,最后按即可;對(duì)于(3),先按底數(shù)3.1,再按鍵,再按34,最后按即可;對(duì)于（4）,這種無(wú)理指數(shù)冪,可先按底數(shù)3,其次按鍵,再按鍵,再按3,最后按鍵.有時(shí)也可按或鍵,使用鍵上面的功能去運(yùn)算.學(xué)生可以相互交流,挖掘計(jì)算器的用途.答案：（1）0.32.10.080;（2）3.14-30.032;（3）3.12.336;（4）6.705.點(diǎn)評(píng)：

56、熟練掌握用計(jì)算器計(jì)算冪的值的方法與步驟,感受現(xiàn)代技術(shù)的威力,逐步把自己融入現(xiàn)代信息社會(huì)；用四舍五入法求近似值,若保留小數(shù)點(diǎn)后n位,只需看第（n+1）位能否進(jìn)位即可.例2求值或化簡(jiǎn).(1)(a>0,b>0);(2)()(a>0,b>0);(3).活動(dòng)：學(xué)生觀察,思考,所謂化簡(jiǎn),即若能化為常數(shù)則化為常數(shù),若不能化為常數(shù)則應(yīng)使所化式子達(dá)到最簡(jiǎn),對(duì)既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式的式子,應(yīng)該把根式統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,便于運(yùn)算,教師有針對(duì)性地提示引導(dǎo),對(duì)(1)由里向外把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,要緊扣分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和運(yùn)算性質(zhì),對(duì)(2)既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式,應(yīng)當(dāng)統(tǒng)一起來(lái),化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,對(duì)(3)有多重根號(hào)的式子,應(yīng)先去根號(hào),這里是二次根式,被開(kāi)方數(shù)應(yīng)湊完全平方,這樣,把5,7,6拆成()2+()2,22+()2,22+()2,并對(duì)學(xué)生作及時(shí)的評(píng)價(jià),注意總結(jié)解題的方法和規(guī)律.解：(1)=(ab)=a-2b