1、吉 林 大 學(xué)教 師 教 案課程名稱： 水力學(xué)基礎(chǔ) 年 級：地下水科學(xué)與工程、工程地質(zhì)、土木工程專業(yè)學(xué) 院： 環(huán)境與資源 教 研 室： 地下水科學(xué)與工程 任課教師： 鮑新華 任課學(xué)期： 吉林大學(xué)教務(wù)處制授課計劃周次授 課 內(nèi) 容123456789101112131415161718192021注：授 課 時 間周節(jié) 一二三四五六日1班級教室2班級教室3班級教室4班級教室5班級教室6班級教室7班級教室8班級教室晚班級教室注：因節(jié)假日占用或?qū)嶒灠才诺?，時間可能有局部調(diào)整。第一章 緒論課程內(nèi)容說明：學(xué)時：多學(xué)時（120左右）、中學(xué)時（80左右）、少學(xué)時（50左右）。我們：32學(xué)時內(nèi)容：靜水力學(xué)、動水

2、力學(xué)相關(guān)基本概念，水流三大方程：連續(xù)性方程、能量方程和動量方程及其簡單應(yīng)用，水流二種基本型態(tài)及其圓管中水流特征和簡單計算。完成3個簡單實驗：靜水力學(xué)特性實驗、能量方程實驗、水流型態(tài)實驗?zāi)康模菏撬牡刭|(zhì)環(huán)境地質(zhì)專業(yè)后續(xù)課程地下水動力學(xué)的基礎(chǔ)，也是工程地質(zhì)和土木工程需了解的專業(yè)基礎(chǔ)課。學(xué)習(xí)建議：由于地下水和地表水的不可分割性和從將來工作的適應(yīng)性考慮，建議需要的同學(xué)自己增加部分自學(xué)內(nèi)容。幾點(diǎn)要求：適當(dāng)作好筆記（特別是補(bǔ)充部分）；作業(yè)及時完成（量要大些），盡量多做些習(xí)題，書后有習(xí)題結(jié)果；不遲到，盡量不缺課。成績考核：平時作業(yè)：15分考勤：5分，抽查缺1次扣2分，扣完為止，病假有醫(yī)生診斷可以，事假無效。

3、實驗及報告：10分考試：70分學(xué)習(xí)參考書:1、 水力學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)，禹華謙，西南交通大學(xué)出版社，1999年2、 水力學(xué)，柯葵等，同濟(jì)大學(xué)出版社，2000年；3、 水力學(xué)，趙振興，何建京編著，清華大學(xué)出版社，2005年4、 水力學(xué)（上冊），第三版，吳持恭主編，高等教育出版社，20003年；5、 水力學(xué)，李大美等，武漢大學(xué)出版社，2004年；6、 水力學(xué)，莫乃榕，華中科技大學(xué)出版社，2003年；7、 水力學(xué)，郭維東等（高等學(xué)校精品規(guī)劃教材），中國水利水電出版社，2005年；8、 水力學(xué)理論與習(xí)題集，紀(jì)立智，上海交通大學(xué)出版社，1987年；9、 莫乃榕等，流體力學(xué)/水力學(xué)題解，華中科技大學(xué)出版社，200

4、2年；10、 水力學(xué)難題分析，楊凌真，高等教育出版社1987。網(wǎng)上參考資源:清華大學(xué)、河海大學(xué)等各類ppt以及教案等。第一章 緒論§1-1水力學(xué)的研究內(nèi)容水力學(xué)：用實驗和分析的方法，研究液體機(jī)械運(yùn)動（平衡和運(yùn)動）規(guī)律及其實際應(yīng)用的一門科學(xué)。水力學(xué)與流體力學(xué)區(qū)別：水力學(xué)流體力學(xué)研究對象液體，整體為對象液體，質(zhì)點(diǎn)為對象研究方法實驗為主，輔助分析嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法聯(lián)系滲透、補(bǔ)充（特別是工程流體力學(xué)已經(jīng)與水力學(xué)很接近了）用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法，對復(fù)雜的水流狀態(tài)，只能解決比較簡單和有規(guī)律的問題，而水力學(xué)采用實驗和近似的方法，對工程實踐來說，卻具有廣泛的工程效果。固體、液體、氣體：固體可以抵抗拉力、壓力、

5、剪力材料力學(xué)、彈性力學(xué)等液體和氣體液體和氣體都是流體，最大的特點(diǎn)是易于流動，不能承受拉力和剪力，但液體在重力作用下具有自由表面，常壓下幾乎不可壓縮。液體是一種具有流動性(易變形的)、不易被壓縮的、均勻各向同性的連續(xù)介質(zhì)。水力學(xué)應(yīng)用：水利中河流水力計算、堤壩修建，公路鐵路中道橋水力計算，地下排水工程，市政給排水工程等中，流量、流速、壓力、水頭損失等都要涉及。§1-2液體的主要物理性質(zhì)1、 密度和容重與固體一樣，液體有質(zhì)量和密度，分別用容重和密度來表示。=量剛為ML-3國際單位為kg/m3如處于地球引力場中，=g量剛為ML2T2國際單位為N/m3換算 1kgf(千克力)=9.8N=9.8

6、kg·m/s2計算中，一般g=9.80m/s2水和其它常見液體的密度和容重見書表1-1和1-2工程計算中采用數(shù)據(jù)純凈水1個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，4時密度最大 =1000kg /m3容重=9.8kN/m3容重概念工程上仍采用，但一般新教科書上已不再引用。2、 粘滯性粘滯性：液體質(zhì)點(diǎn)抵抗相對運(yùn)動的性質(zhì)。粘滯性是液體內(nèi)摩擦力存在的表現(xiàn)，是液體運(yùn)動中能量產(chǎn)生損失的根本原因。牛頓平行板實驗：平行板面積為A，拉力為T，勻速U移動uu+duydyhUy當(dāng)h或U不大時候，實驗表明板間沿y方向流速的分布為線性關(guān)系u=y上板的拉力T具有T或=式中比例系數(shù)叫動力粘滯系數(shù)寫成微分的形式則為：=或T=A牛頓內(nèi)摩擦定律

7、另外，液體的粘滯性還可以用運(yùn)動粘滯系數(shù)來表示，=/中含有力的單位，是一個動力學(xué)要素，稱動力粘滯系數(shù)。中含有速度的單位，是一個運(yùn)動學(xué)要素，稱運(yùn)動粘滯系數(shù)。量剛單位ML1T1Pa.s(帕.秒)1 Pa=1N/m2L2T1m2/s經(jīng)驗公式（Poiseuille伯肅葉）=公式中單位為cm2/s，t為水溫3、 壓縮性液體受壓體積變小，撤除壓力體積恢復(fù)的性質(zhì)就是液體的壓縮性。體積壓縮系數(shù)= （V/V）/P單位m2/N也可以用倒數(shù)K（體積彈性系數(shù)）來表示。10時，K2×109 帕（N/m2），一個工程大氣壓約為105帕，V/V=P/K=1/（2×104）即2萬分之一。由此可見，一般情況下

8、，壓力對體積的影響可以忽略的。在研究水擊現(xiàn)象時需要考慮壓縮的問題。4、 表面張力表面張力是液體表面質(zhì)點(diǎn)互相吸引的力，它產(chǎn)生于液體與氣體，液體與固體接觸的界面上。在表面張力作用下，液體表面好像蒙上了一層均勻張緊的薄膜，這一薄膜力圖使液體縮小成最小的表面形狀（雖然有時候不可能，這取決于液體與固體分子的相互作用和液體的重力），液珠所以成球形，就是因為存在表面張力的緣故。表面張力產(chǎn)生的機(jī)理：分子力相互作用不平衡的結(jié)果。5、 毛細(xì)現(xiàn)象與毛細(xì)管上升高度毛細(xì)現(xiàn)象是發(fā)生與液固氣三相界面的特殊現(xiàn)象。把一細(xì)玻璃管插入水中，剛插入的時候，固液分子引力（附著力）使水形成一向上凹的彎曲面，向上的合力牽引液面向上移動，同

9、時表面張力使液面向上跟進(jìn)，這樣移動則帶來液柱的上升。上升的液柱越高，這部分液柱向下的重力引力越大，最終達(dá)到平衡。上升高度（Jurin經(jīng)驗公式），20時h=15/rr為毛細(xì)管半徑，h為上升高度，r與h單位均為mm毛細(xì)現(xiàn)象在水工環(huán)問題中，有時候是必須考慮的。上面的公式對砂類土估算效果與實際觀察較吻合。對于汞，由于液體密度大，汞質(zhì)點(diǎn)內(nèi)聚力大，毛細(xì)上升高度表現(xiàn)為負(fù)值。6、 熱膨脹性注意是溫度引起的變化。不要以為壓縮與膨脹是相反的過程！7、 流動性與粘滯性對應(yīng)的。§1-3連續(xù)介質(zhì)和理想液體的概念1、 連續(xù)介質(zhì)模型從液體微觀結(jié)構(gòu)和運(yùn)動看，時間和看見空間上，充滿著不均勻性、離散性和隨機(jī)性，而宏觀上

10、表現(xiàn)出平均統(tǒng)計狀態(tài)，表現(xiàn)出均勻、連續(xù)、確定。微觀與宏觀表現(xiàn)是液體運(yùn)動的二個重要側(cè)面。微觀上不均勻性、離散性、隨機(jī)性宏觀上均勻性、連續(xù)性、確定性連續(xù)介質(zhì)模型：水力學(xué)中，將研究液體質(zhì)點(diǎn)看成充滿所占空間毫無空隙的連續(xù)體，描述液體運(yùn)動物理量（質(zhì)量、速度、壓力等）看成是時間和空間的連續(xù)函數(shù)，這樣可以用連續(xù)函數(shù)的分析方法來研究，而這種方法對解決一般工程實際問題是有足夠的精度的。連續(xù)介質(zhì)假設(shè)是水力學(xué)中的一個基本假設(shè)。是瑞士學(xué)者歐拉（L.Euler）1753年提出來的。（連續(xù)介質(zhì)假設(shè)和理想液體假定是水力學(xué)的二個基本假定）在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，1cm3水有3.3×1022個水分子，相鄰分子間距離約3×

11、;10-8cm2、 理想液體理想液體：為研究方便，忽略液體某些性質(zhì)的假想的液體就是理想液體。如粘滯性、壓縮性、表面張力等，在這些性質(zhì)中，主要指粘滯性，忽略了粘滯性的液體。或為零。“理想液體”是為了簡化對液體運(yùn)動的研究而引進(jìn)的一種假設(shè)。這樣，先按理想液體分析研究液體的運(yùn)動，從理論上求得其運(yùn)動規(guī)律，借以揭示實際液體運(yùn)動的規(guī)律和趨勢。再根據(jù)實際液體的具體情況考慮粘滯性等的影響，對理想液體的運(yùn)動規(guī)律進(jìn)行修正，就可以得到實際液體的運(yùn)動規(guī)律。需要注意的是，理想液體是一種實際上并不存在的假想的液體，引進(jìn)理想液體僅是水力學(xué)研究的一種簡化方法。§1-4作用在液體上的力1、 表面力作用于液體表面（或液體

12、內(nèi)部為了分析人為劃定的面），分切應(yīng)力和法應(yīng)力。靜止或理想液體只有法應(yīng)力。粘滯力、壓力、表面張力都是表面力。2、 質(zhì)量力作用于液體質(zhì)點(diǎn)上，與質(zhì)量成正比的力。包括重力、慣性力等。對均質(zhì)液體F=fmF總質(zhì)量力f單位質(zhì)量力（直角坐標(biāo)系下常分別用X、Y、Z表示）加速度量剛M質(zhì)量§1-5水力學(xué)的研究方法水力學(xué)研究方法：理論分析、數(shù)值計算、模型實驗方法水力學(xué)發(fā)展：從18世紀(jì)中葉歐洲爆發(fā)工業(yè)革命后，形成了研究流體運(yùn)動的學(xué)科，并且分為流體力學(xué)與實驗水力學(xué)二個分支。流體力學(xué)在古典力學(xué)基礎(chǔ)上，運(yùn)用嚴(yán)密的數(shù)理分析方法建立理想流動液體運(yùn)動微分方程（1755年）和粘滯性流體運(yùn)動微分方程（1843），為研究流體運(yùn)

13、動奠定了理論基礎(chǔ)。1883年紊流理論的發(fā)展和1904年邊界層理論的提出，給流體力學(xué)力學(xué)增添了活力。然而，流體運(yùn)動現(xiàn)象，單從理論分析上往往不能求得解答，以至影響了流體力學(xué)的發(fā)展和應(yīng)用。實驗水力學(xué)完全從工程需要出發(fā)，通過對大量河渠及水工實驗觀測資料的分析與整理，直接求得水力要素間的定量經(jīng)驗公式，其中最著名的有1775年提出的明渠均勻流的謝才公式，以及各種形式的堰流和孔流公式等，這些經(jīng)驗公式為水力工程實踐提供了可靠的依據(jù)。而量剛分析和相似理論的建立，大大提高了實驗水力學(xué)的理論和實踐水平。由于現(xiàn)代流體力學(xué)的研究越來越深入到實際工程問題中去，越來越多地運(yùn)用實驗研究的方法；而現(xiàn)代實驗水力學(xué)也廣泛地應(yīng)用流體

14、力學(xué)的數(shù)理分析方法，使得二門學(xué)科的差距逐漸縮小。隨著現(xiàn)代光、電量測技術(shù)和計算機(jī)的應(yīng)用，呈現(xiàn)出二門學(xué)科緊密結(jié)合的必然趨勢?？梢詳嘌裕@趨勢為水力學(xué)的發(fā)展開拓了廣闊的前景。水力學(xué)的發(fā)展歷史，表明了數(shù)理分析和實驗相結(jié)合的發(fā)展趨勢。要注意二種方法的均衡發(fā)展，不可偏廢。 量綱和單位書后附錄1有國際單位和工程單位對照表量綱用來表示物理量的性質(zhì)和種類，單位是度量物理量的基準(zhǔn)量，兩者有著十分密切的關(guān)系。量綱是單位的抽象和概括，單位是量綱的具體表示。量綱分為基本量綱和導(dǎo)出量綱，單位也分為基本單位和導(dǎo)出單位?；玖慷际仟?dú)立的，不能相互組合導(dǎo)出其它基本量，而導(dǎo)出量都可以用基本量的組合來表示。如：水力學(xué)中，質(zhì)量M、長

15、度L、時間T構(gòu)成一組基本量綱，這三個物理量的基本單位千克（kg）、米(m)、秒(s)組成的單位制稱為國際單位制。其余物理量和相應(yīng)單位稱為導(dǎo)出量和導(dǎo)出單位，如速度、能量等。SI基本單位* 量 單位 名 稱 符 號 名 稱 符 號 長 度 L 質(zhì) 量 M 時 間 T 電 流 I  熱力學(xué)溫度 物質(zhì)的量 N 發(fā)光強(qiáng)度 J 米 m 千克(公斤)* kg 秒 s 安培* A 開爾文 K 摩爾 mol 坎德拉 cd 另SI中還有二個輔助單位：角度（單位rad）和弧度(單位sr)。常用的SI導(dǎo)出單位 量 單位 名 稱 符號 名 稱 符號 定義式 頻 率 能 量 E 力 F 壓 強(qiáng) p 功 率 P

16、電 量 Q 電位;電壓;電動勢 U 電 阻 R 電 導(dǎo) G 電 容 C 磁 通 量 電 感 L磁通量密度(磁感應(yīng)強(qiáng)度) B 赫茲 Hz s-1 焦耳 J kg·m2·s-2 牛頓 N kg·m·s-2=J·m-1 帕斯卡Pa kg·m-1·s-2=N·m-2 瓦特 W kg·m2·s-3=J·s-1 庫侖 C ·s 伏特 V kg·m2·s-3·A-1=J·A-1·s-1 歐姆 kg·m2·s-3·

17、;A-2=V·A-1 西門子S kg-1·m-2·s3·A2=-1 法拉 F A2·S4·kg-1·m-2=A·s·V-1 韋伯 Wb kg·m2·s-2·A-1= V·s 亨利 H kg·m2·s-2·A-2=V·A-1·s 特斯拉T kg·s-2·A-1=V·s 長期以來，我國工程界一直采用工程單位制。它是以力、長度、時間為基本量，量剛符號為F、L、T，相應(yīng)單位為公斤力、米、秒，單位

18、符號是kgf、m、s。其余為導(dǎo)出。第二章 水靜力學(xué)第二章 靜水力學(xué)§2-1靜水壓強(qiáng)及其特性靜止液體質(zhì)點(diǎn)沒有相對運(yùn)動，不表現(xiàn)粘滯性。水靜力學(xué)主要研究靜水壓強(qiáng)和壓力在空間分布規(guī)律，借此解決一些實際工程問題。1、 靜水壓強(qiáng)定義點(diǎn)靜水壓強(qiáng)定義：p=單位：國際單位制中，N/（帕）或kN/工程單位制中，kgf/或kN/1kgf/= 9.8N/2、 靜水壓強(qiáng)特性靜水壓強(qiáng)方向垂直指向作用面某點(diǎn)靜水壓強(qiáng)大小與方向無關(guān)對于特性，可用反證法證明（垂向、內(nèi)法線方向）對于特性，書上有證明，證明如下：證明：平衡液體內(nèi)部取微分四面體（三面平行坐標(biāo)方向，一面為斜面，坐標(biāo)方向任意）設(shè)作用于四個面上的壓強(qiáng)分別為px、p

19、y、pz、pn（xyz彼此垂直，但z方向任意）則，四個面上作用的總壓力為：Px=dydzpxPy=dxdzpyPz=dxdypzPn=dspn（ds為微分斜面面積）四面體受質(zhì)量力作用，體積dV=dxdydz ，設(shè)X、Y、Z分別為液體單位質(zhì)量力在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的分量，則質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸上的分量為：Fx=XdVFy=YdVFz=ZdV以x方向為例，力的平衡方程為：Px-Pncos(n,x)+Fx=0帶入為dydzpx- dspn cos(n,x)+ dxdydz X=0式中ds cos(n,x)= dzdy上式為dydzpx- dzdy pn + dxdydz X=0二邊除以dzdy ，有：px-

20、pn + dxX=0當(dāng)dx、dy、dz趨于零時，dxX0，因此px- pn=0，即px= pn同理有py=pnpz=pn第二個特性表明：靜止液體內(nèi)部任意一點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)僅是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。 p=p(x,y,z)§2-2液體的平衡微分方程式及其積分1、 液體平衡的微分方程如圖：圍繞中心O點(diǎn)取正交微分六面體dxdydz，O點(diǎn)壓強(qiáng)為p，p=p（x，y，z）先看x方向，設(shè)M、N是x方向二作用面的中心點(diǎn)上，則PM=p PN=p+圍繞M、N中心點(diǎn)取一平行x方向更小的微分柱體，其與二側(cè)面交點(diǎn)面積為dA，則dA二微分面上受的壓力為（原推導(dǎo)僅考慮x方向壓強(qiáng)變化，而y、z方向不變似乎不妥）PMdAPN

21、dAX方向的單位質(zhì)量力為X，則微分柱體總質(zhì)量力為XdxdA按力平衡原理PMdAPNdA+XdxdA=0除以dxdA后有液體平衡微分方程=X ，類似有=Y=Z上式是1775年由歐拉推出的，也稱歐拉平衡微分方程。物理意義是：靜水壓強(qiáng)沿某一方向的變化率與該方向單位體積上質(zhì)量力相等。2、 液體平衡微分方程的積分對2-4式依次分別乘以dx、dy、dz，并把它們加起來，有+=（Xdx+Ydy+Zdz）即dp=（Xdx+Ydy+Zdz）液體平衡方程綜合式p=（Xdx+Ydy+Zdz）液體平衡方程積分式，該式在公式推導(dǎo)中使用較多。由于液體的密度可以看成常數(shù)，液體平衡方程綜合式右側(cè)括號內(nèi)也應(yīng)該是一個勢函數(shù)W（x

22、，y，z）的全微分，即dW=Xdx+Ydy+Zdz而數(shù)學(xué)上dW=+力的勢函數(shù)對比有X=Y=Z=滿足上式的力函數(shù)W（x，y，z）稱為力的勢函數(shù)，具有這樣勢函數(shù)的質(zhì)量力稱為有勢力。有勢力做的功與路徑無關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。例如重力、慣性力都是有勢力。3、 等壓面等壓面是均質(zhì)連通液體中，壓強(qiáng)各點(diǎn)相等的點(diǎn)構(gòu)成的面。等壓面性質(zhì)：等壓面是等勢面dp=dW=0dw=0W為常數(shù)等壓面與質(zhì)量力正交dp=（Xdx+Ydy+Zdz）=0Xdx+Ydy+Zdz=0式中dx、dy、dz可以看成是液體質(zhì)點(diǎn)的等壓面上任意移動微小距離ds在相應(yīng)坐標(biāo)上的投影。X、Y、Z則為單位分量。該式表明液體質(zhì)點(diǎn)沿等壓面移動微小距離ds時

23、候的微功為零，這只能是等壓面處處與質(zhì)量力正交的情況。如重力作用下的液體，等壓面處處與重力垂直。實際上，滿足Xdx+Ydy+Zdz=0，意味著·=0，這在數(shù)學(xué)上是二矢量的點(diǎn)積，滿足這條件的二矢量是互相垂直的二矢量。§2-3重力作用下靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律1、 水靜力學(xué)基本方程實際應(yīng)用中，作用于平衡液體上的質(zhì)量力常常只有重力，此時就是所謂的靜止液體。此時， X=0Y=0Z=-g對積分式進(jìn)行積分，有p=（Xdx+Ydy+Zdz）p=-gdzp=-z+C或p+z=c(靜水力學(xué)基本方程)或p/+z=c或p1/+z1=p2/+z2性質(zhì)： 質(zhì)量力只有重力作用下液體平衡時的等壓面是水平面； 壓

24、強(qiáng)與深度成正比（坐標(biāo)方向向上）p=p0+h(靜水力學(xué)基本方程常用公式*)(設(shè)p1=p0，有z=0，則p=p0z=p0h（h=z h坐標(biāo)方向與z相反)靜水力學(xué)常用公式表明： 靜止液體中，靜水壓強(qiáng)隨深度線性增加； 任一點(diǎn)壓強(qiáng)由自由液面壓強(qiáng)p0和單位面積垂直液柱重量h二部分組成。一般，當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)p0取當(dāng)?shù)卮髿鈮簆a。標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)：北緯45°海平面上、氣溫為0時的大氣壓為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。即我們熟悉的760mm汞柱對底面的壓強(qiáng)。1p標(biāo)準(zhǔn)(atm)=760mmHg柱=HghHg=(g) HghHg =1.01325×105Pa=1.01325bar(巴)=10.33mH2O柱。1p工程=

25、h=gh=103×9.80×10=9.8×104Pa =1kgf/cm2=735mmHg柱=10mH2O柱1p標(biāo)準(zhǔn)=1.033p工程2、 絕對壓強(qiáng)、相對壓強(qiáng)、真空值壓強(qiáng)根據(jù)起量點(diǎn)不同，分為絕對壓強(qiáng)、相對壓強(qiáng)。絕對壓強(qiáng)是以絕對真空狀態(tài)為起量點(diǎn)的壓強(qiáng)，用p表示。相對壓強(qiáng)是以當(dāng)?shù)卮髿鈮海üこ檀髿鈮簽榱?，因為表測量結(jié)果為零）為起量點(diǎn)的壓強(qiáng)，用p表示。 p=ppa當(dāng)相對壓強(qiáng)為負(fù)值時，其絕對值稱為真空度pvpv= pap我們把表針指示的壓力稱表壓、附加壓、相對壓力。而實際上此時艙內(nèi)的壓強(qiáng)應(yīng)該是1個大氣壓力加上附加壓（表壓），稱絕對壓力。例題2-1，p13例題2-2，p14真空

26、值直接取負(fù)就可以了。3、 靜水壓強(qiáng)圖示靜水壓強(qiáng)是根據(jù)靜水力學(xué)基本方程p=p0+h繪出作用面壓強(qiáng)分布情況的圖示。對工程有用的是相對壓強(qiáng)的繪制。繪制見圖2-7（絕對壓強(qiáng)與相對壓強(qiáng)），圖2-8（相對壓強(qiáng)）。4、 測壓管高度、測壓管水頭、真空度壓強(qiáng)除了可以用單位面積上的壓力表示外，還可以用液柱高度表示。這在工程上很方便。測壓管高度測量：圖2-9hA=pA/測壓管水頭：Hp=hA+z從能量角度看，hA稱為單位壓力勢能， z稱為單位重力勢能， Hp稱為單位勢能。真空（高）度：圖2-10，也可以用液柱高度表示。理論上的最大真空度為10mH2O.例題2-12-3自己看。5、 壓強(qiáng)的測量液體的壓強(qiáng)是工程上非常普

27、遍的要求，如水泵、風(fēng)機(jī)、壓縮機(jī)等都裝有壓力表和真空表。常用的有彈簧金屬式、電測式（壓力引起金屬片變形導(dǎo)致電阻變形）、液位式（如書上U型水銀壓差計）等三類。壓力表給出的讀數(shù)為相對壓強(qiáng)。6、 壓強(qiáng)的三種度量方法 單位面積上的應(yīng)力：國際單位制：Pa（帕）、kPa（千帕）、MPa（兆帕）工程單位制：kgf/cm2（公斤/厘米2）、t/m2（噸/米2）CGS制（厘米克秒制）：達(dá)因/厘米2（微巴bar）、毫巴（mbar）、巴（bar）大氣壓（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓、工程大氣壓）液柱高度（汞或水等）§2-4幾種質(zhì)量力同時作用下的液體相對平衡相對平衡：液體質(zhì)點(diǎn)之間及液體與器皿之間無相對運(yùn)動。方便的研究方法是達(dá)蘭

28、貝爾原理，即把坐標(biāo)取在運(yùn)動器皿上，液體相對坐標(biāo)是靜止的。這樣便可以作為靜止問題來研究。這樣處理問題時候，質(zhì)量力除重力外，還有慣性力。而慣性力計算方法是：先求出某質(zhì)點(diǎn)相對地球的加速度，將其反號乘以該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量即是。1、 直線等加速器皿中液體的相對平衡一盛滿液體的敞口水車以等加速度a向前行駛，如圖建立坐標(biāo)，根據(jù)達(dá)蘭貝爾原理，此時單位質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸上的分量為：X=aY=0Z=g將數(shù)值代入液體平衡微分方程綜合式，有dp=（Xdx+Ydy+Zdz）dp=（a dx g dz）積分有p=（a x+gz）+C當(dāng)x=0,z=0時，p=p0，代入得C=p0p= p0（a x+gz）p= p0（x+z）任一點(diǎn)壓

29、強(qiáng)分布規(guī)律可以推出（見書）：p= p0（x+z）= p0+h該式子表明液體的壓強(qiáng)服從靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律，但注意測壓管水頭不服從。(從p= p0-（x+z）式中略加變形就可得出:p/z+x=c 當(dāng)x固定時，p/z才是常數(shù)）例題2-4：按公式2-21直接代入可以求出pB=arctan（）=結(jié)果2、 等角速旋轉(zhuǎn)器皿中液體的相對平衡推導(dǎo)假設(shè)：等角速度旋轉(zhuǎn)，相對平衡，坐標(biāo)系建立如圖重力：X1=0Y1=0Z1=g慣性力：單位質(zhì)量慣性離心力為2r,則X2=2xY2=2yZ2=0疊加有X=X1+X2Y=Y1+Y2Z=Z1+Z2推導(dǎo)與前面類似（代入液體平衡微分方程綜合式），有p= p0+（z） 壓強(qiáng)分布規(guī)律（或p

30、/+z=c+）等壓面方程：z=C旋轉(zhuǎn)拋物面自由液面方程：z0=仍然滿足：p=p0+h靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律（仍是測壓管水頭不服從）該節(jié)主要掌握下面三點(diǎn)就可以了：直線等加速器皿中液體的相對平衡等角速旋轉(zhuǎn)器皿中液體的相對平衡1壓強(qiáng)服從靜水力學(xué)基本方程壓強(qiáng)服從靜水力學(xué)基本方程2等壓面為與液面平行的斜面等壓面為繞中心軸的一簇旋轉(zhuǎn)拋物面3測壓管水頭在x固定時才是等值的測壓管水頭在r固定時才是等值的§2-5作用在平面上的靜水總壓力解析法（公式推導(dǎo)法）1、 總壓力大小與方向一斜面與水平面交角為的坐標(biāo)平面xoy，在坐標(biāo)平面上取微小面積dA，深度為h（如上圖），則A上總壓力為P=(2-27)P= sinyc

31、A= hcA=pcA(2-28)式中是受壓面A對ox軸的靜力矩，大小為ycA，yc為形心。式2-28式表明，任意方位任意平面形狀上靜水總壓力P大小等于受壓面積A與形心處壓強(qiáng)pc（可理解為整個作用面的平均壓強(qiáng)）乘積。方向垂直指向作用面。2、 總壓力作用點(diǎn)總壓力作用點(diǎn)D的確定可以使用理論力學(xué)中的合力矩定理（合力對任一軸的力矩等于各分力對該軸力矩的代數(shù)和），即P·yD=式中Jx=為受壓面積A對ox軸的慣性力矩。則yD=根據(jù)慣性力矩平移動定理，c軸平行于x軸，c軸過形心或質(zhì)心，有Jx=Jc+Ayc2(yc為二軸間的距離)，則（Jc為受壓面通過其形心并與x軸平行的慣性矩）yD=yc+從上式子可

32、以看出，yDyc，即D點(diǎn)一般在C點(diǎn)下方。當(dāng)水平放置時，二點(diǎn)重合。注意：yD與yc是點(diǎn)到水面的斜距，與位置有關(guān)系。Jc與A是幾何量，僅與形狀大小有關(guān)，與位置無關(guān)系。例題2-5，例題2-6見書圖解法（矩形平面做圖法）考慮垂直放置的矩形擋水板，由于靜水壓強(qiáng)沿水深成正比分布。壓強(qiáng)分布成三角棱柱體分布，平均壓強(qiáng)就是受壓面形心的點(diǎn)的壓強(qiáng)hc，單位寬度總壓力等于hch，而hc=h這樣單位寬度總壓力P=h2，這正好是壓強(qiáng)分布三角形的面積。這樣作用在寬度b上總壓力為Pb（壓強(qiáng)分布體體積）。P=h2b。作用點(diǎn)D則是過壓強(qiáng)分布體形心（即壓強(qiáng)三角形形心）且垂直指向作用面的。即距離水面h處。圖解法步驟：繪制壁面（相對）

33、靜水壓強(qiáng)分布圖；計算靜水壓強(qiáng)分布圖分布體體體積，體積大小即是總壓力數(shù)值；沿壓強(qiáng)分布圖體積形心點(diǎn)（注意別與作用面幾何形狀混擾）畫一垂直指向受壓平面的作用線，該線與壁面的交點(diǎn)就是總壓力作用點(diǎn)。§2-6作用在曲面上的靜水總壓力1、 總壓力大小本節(jié)主要討論二向曲面（柱面）靜水壓力問題。圖2-17為一母線垂直于紙面（平行于Oy軸）的二向曲面，母線長（柱面長）為b，曲面一側(cè)受靜水壓力作用。由于曲面方向的變化，而壓強(qiáng)始終垂直于作用面。這樣不同位置壓強(qiáng)方向也是變化的，為此，對微分面積上壓強(qiáng)dP作dPx、dPz二方向分解。dPx=dPcosdPz=dPsin則Px=Pz=由于dP=pdA=hdAdAs

34、in=(dA)xdAcos=(dA)z代入有Px=理論力學(xué)有=hcAz這樣Px=hcAz式中Az為曲面在垂直面yoz上的投影hc為投影面的形心在水面下的深度。由此可見，作用在曲面AB上的靜水總壓力的水平分力Px恰等于作用于該曲面的垂直投影面上的靜水總壓力。類似有Pz=式中h(dA)x微小平面EF所托液體體積為曲面AB所托液體體積，用V表示，稱為壓力體。Pz=V由此可見，作用在曲面上的靜水總壓力的垂直分力Pz等于其壓力體的液體重。至于Pz的方向是向下還是向上，決定液體及壓力體與受壓曲面間的相互位置。圖2-17中，液體和壓力體位于曲面同側(cè)時，Pz大小等于壓力體的液重，此時壓力體成為實壓力體。當(dāng)液體

35、及壓力體各在曲面一側(cè)時（圖2-18），則Pz向上，Pz的大小等于壓力體的液重，這個想象的壓力體稱為虛壓力體。壓力體組成：1) 受壓面本身；2) 液面或者延長線；3) 通過液面或其延長線所做的鉛直平面。壓力體的幾種情況：實壓力體：液體和壓力體位于曲面同側(cè)時，Pz大小等于壓力體的液重，此時壓力體成為實壓力體。虛壓力體：當(dāng)液體及壓力體各在曲面一側(cè)時，則Pz向上，Pz的大小等于壓力體的液重，這個想象的壓力體稱為虛壓力體?；旌蠅毫w：混合壓力體垂直方向壓力大小是代數(shù)和。對復(fù)雜形狀的壓力體，可以在曲面與鉛直面相切處將曲面分成幾段，分別繪制各自的壓力體并合成。壓力體的畫法：可按書或者虛（實）橫線表示虛壓力體

36、，豎實線表示實壓力體，網(wǎng)格交叉部分表示抵消部分。有了Px、Pz，就可以求出總壓力的大小和方向，則P=tg-1為P與水平線間的岬角。2、 總壓力作用點(diǎn)要確定作用在曲面上靜水總壓力作用點(diǎn)的位置，首先應(yīng)定出其水平分力Pz和垂直分力Px的作用線。Px的作用線通過曲面的垂直投影面的作用點(diǎn)，其方法在上節(jié)中已經(jīng)介紹。Pz作用線必然通過壓力體的重心。然后將此二力的合力P的作用線與曲面相交，此交點(diǎn)就是作用點(diǎn)。例題2-7，例題2-8§2-7浮力及物體的沉浮由于Pz具有把物體推向表面的能力，也稱為浮力。其作用點(diǎn)稱為浮心。對均質(zhì)物體，浮心與排開液體體積的形心重合。物體重量G與浮力Pz關(guān)系：GPz物體下沉GP

37、z位于液體中任意位置GPz部分浮起，沉沒部分排開液重等于物體重量，如船就是典型的浮體。第三章 水動力學(xué)基礎(chǔ)第三章 水動力學(xué)基礎(chǔ)本章介紹液體三大基本方程：連續(xù)性方程、能量方程和動量方程。液體運(yùn)動要素：表征液體運(yùn)動特征的物理量，比如流速、壓強(qiáng)、加速度等。研究液體運(yùn)動規(guī)律，就是要確定液體運(yùn)動要素的時間空間變化規(guī)律。理想液體：忽略粘滯性、可壓縮性、毛細(xì)現(xiàn)象的液體。（復(fù)習(xí)）§3-1描述液體運(yùn)動的兩種方法1、 拉格郎日法（ J. L. Lagrange）考慮單個液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律，與固體力學(xué)中研究質(zhì)點(diǎn)（系）運(yùn)動規(guī)律類似。采用拉格郎日法時，運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)是起始坐標(biāo)（a，b，c）和時間變量t的函數(shù)

38、，即：x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)z=z(a，b，c，t)變量a、b、c、t均稱為拉格郎日變量。顯然，不同的質(zhì)點(diǎn)，起始坐標(biāo)（a，b，c）是不同的。由于液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動非常復(fù)雜，除極少數(shù)情況（如研究波浪運(yùn)動）外，一般不采用這一方法。2、 歐拉法( L. Euler)歐拉法研究流場中空間固定點(diǎn)液體運(yùn)動情況，不涉及液體質(zhì)點(diǎn)來去問題。然后通過綜合各點(diǎn)運(yùn)動及其變化規(guī)律得出液體流場整個變化規(guī)律。歐拉法中，液體運(yùn)動要素是空間坐標(biāo)x、y、z和時間t的函數(shù)（x、y、z、t稱為歐拉變量）。就流速場而言，采用歐拉法可描述為：ux=ux(x，y，z，t)uy=uy(x，y，z，t)uz=uz(x，y，

39、z，t)而壓強(qiáng)場p則可以表示為p=p(x，y，z，t)考慮一維運(yùn)動u=u(s,t)(s為沿運(yùn)動方向坐標(biāo)點(diǎn))則過s點(diǎn)的切向加速度as為：as=+=+同樣，對于三個坐標(biāo)的情況，則有ax=+（+）ay=+（+）az=+（+）(3-4)中的、表示通過某固定點(diǎn)的液體的速度隨時間的變化率，是由液體非恒定（穩(wěn)定）性造成的，稱為當(dāng)?shù)丶铀俣?。等式右?cè)括號中的是因地點(diǎn)變化引起的加速度，稱為遷移加速度。例題：水箱中水的流出考慮A點(diǎn)恒定（穩(wěn)定）時，當(dāng)?shù)丶铀俣葹榱?，遷移加速度為正。非恒定（穩(wěn)定）時，當(dāng)?shù)丶铀俣葹樨?fù)、遷移加速度為正?？梢哉归_討論。§3-2歐拉法的若干基本概念1、 流線、跡線流線是某一瞬時流場中沿

40、流動方向相鄰水流質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動趨勢的切線連線。同一時刻不同質(zhì)點(diǎn)。流線示意圖跡線示意圖思考題：長水槽中二側(cè)交替抬起時候內(nèi)水的運(yùn)動如何？流線簇、流線譜（一般采用的是某個方向剖面形態(tài)）、流面：過任意線段上做出的流線的集合。跡線是同一質(zhì)點(diǎn)不同時刻運(yùn)動軌跡的連線。跡線是拉格郎日法中用到的。不同時刻同一質(zhì)點(diǎn)恒定流時，二者重合。流線特征： 流線一般是光滑不相交的曲線（比如邊界的直角轉(zhuǎn)彎處是正交的） 流線充滿整個流場，構(gòu)成某一時刻流線譜； 恒定流時，流線的形狀位置流譜不隨時間變化，流線與跡線重合。 對不可壓縮液體，流線簇的疏密程度反映了該時刻流場中各點(diǎn)流速的大?。芴幋螅?。流線跟電力線很類似。2、 流管、元流、總

41、流、過水?dāng)嗝嬖鳎阂步形⑿×魇．?dāng)流面中的線段采用的是封閉的線段時，流面包圍的部分就是元流，外包圍面就是流管。元流的極限就是流線?？偭鳎涸鞯挠邢藜象w，如管流、明渠水流，一般指的就是實際水流。過水?dāng)嗝妫号c元流或總流所有流線正交的橫截面。可以是任意形狀。（注意河里隨意拉個剖面不一定是過水?dāng)嗝妫。┻^水?dāng)嗝媸疽鈭D3、 流量、斷面平均流速流量：單位時間內(nèi)通過某過水?dāng)嗝娴囊后w體積，用Q表示。單位m3/s等。元流流量 dQ=udw，總流流量Q=斷面平均流速：假想流速在過水?dāng)嗝嫔暇鶆蚍植记闆r下的流速。V=4、 恒定流、非恒定流恒定流：運(yùn)動要素不隨時間變化的水流。（當(dāng)?shù)丶铀俣葹?）。非恒定流：運(yùn)動要素隨時間

42、變化的水流。（當(dāng)?shù)丶铀俣炔粸?）。5、 均勻流、非均勻流均勻流：流線是彼此平行的直線的水流。（遷移加速度為0，過水?dāng)嗝鏋槠矫妫魉俜植佳亓鞒滩蛔儯?。如長直管中的水流。6、 非均勻漸變流和急變流非均勻流：流線不彼此平行，可分為漸變流和急變流二類。漸變流：流線接近彼此平行直線的水流。二個條件：各流線間夾角小，流線曲率半徑很大。漸變流性質(zhì)：過水?dāng)嗝娼茷槠矫?；過水?dāng)嗝嫔?，動水壓?qiáng)近似按靜水壓強(qiáng)規(guī)律分布。（證明見書，此略）對急變流，動水壓強(qiáng)無上述規(guī)律。對凹凸壁面的情況，可見下圖。實線為動水壓強(qiáng)分布規(guī)律，虛線為靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律。分析：左圖：慣性力的作用導(dǎo)致壓強(qiáng)的減小。自然界的實際水流絕大多數(shù)是非均勻流，

43、把非均勻流區(qū)分為漸變流和急變流是為了簡化對非均勻流漸變流的討論。7、 一元流、二元流、三元流根據(jù)坐標(biāo)系種類和放置方向來確定。先有前者才可以定后者。§3-3恒定總流的連續(xù)性方程恒定總流連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒在水力學(xué)中的應(yīng)用。從總流中任取一段，其進(jìn)口、出口過水?dāng)嗝鏋閣1、w2。然后取任一束元流，進(jìn)口、出口過水?dāng)嗝?、流速分別為dw1、u1、dw2、u2，考慮到： 在恒定流條件下，員流的形狀與位置不隨時間改變； 不可能有液體經(jīng)元流側(cè)面流進(jìn)和流出； 液體為連續(xù)介質(zhì)，元流內(nèi)部不存在空隙。根據(jù)質(zhì)量守恒，單位時間內(nèi)流進(jìn)dw1的質(zhì)量等于流出dw2的質(zhì)量，即1u1w1=2u2w2=常數(shù)對不可壓縮液體，密度

44、1=2=常數(shù)，則有u1dw1=u2dw2=dQ=常數(shù)恒定元流的連續(xù)性方程上式為恒定元流的連續(xù)性方程。它表明對于不可壓縮液體，元流的流速與過水?dāng)嗝婷娣e成反比，因而流線密集的地方（過水?dāng)嗝嫘。┝魉俅?，反之則相反。對總流，有Q=引入斷面平均流速后，有v1w1=v2w2=Q=常數(shù)恒定元流的連續(xù)性方程注意的是恒定總流的連續(xù)性方程是以斷面平均流速v代替了點(diǎn)的實際流速u。同時應(yīng)注意推導(dǎo)的條件（恒定流、沿程無流量進(jìn)出，連續(xù)無空隙）。由于恒定總流的連續(xù)性方程不涉及任何力的問題，所以，他無論對理想液體還是實際液體都是適用的。有流量進(jìn)出時，恒定總流的連續(xù)性方程需要修改Q1Q2=Q3例題3-1、例題3-2§

45、3-4恒定總流的能量方程1、 恒定元流的能量方程理想液體恒定元流的能量方程應(yīng)用牛頓第二定律推導(dǎo)方程：在流場中，沿流線取一長度為ds、過水?dāng)嗝鏋閐w的微小元流段，如圖。作用在流線方向的外力有：進(jìn)口斷面的壓力為pdw、出口斷面的壓力（p+dp）dw，作用在元流段的重力在流線方向的分力為dGcos。對于理想液體，沿元流段表面的側(cè)向切應(yīng)力等于零。在流線方向應(yīng)用牛頓第二定律，有pdw-(p+dp)dw-dGcon=dM·其中，dM=dv=dwds為質(zhì)量，dG=dwds為元流段液體重量，cos=u或ds=udt , udu=d()代入有dz+=0對不可壓縮液體，=常數(shù)，故上式可以寫成d（z+=0

46、或者 z+=常數(shù)或者沿同一流線任意二點(diǎn)，有z1+= z2+理想液體恒定元流的能量方程從功能原理也可推導(dǎo)上述方程：在恒定流場中，沿流線取一段元流。并截取其中的1-1 與2-2之間的流束段為研究對象。過水?dāng)嗝?-1 與2-2面積為dA1、dA2，斷面中心距離基準(zhǔn)面高度為z1、z2，動水壓強(qiáng)為p1、p2，斷面流速為u1、u2。經(jīng)過dt時間，流速段由1-1 與2-2移動到1-1 與2-2?，F(xiàn)在討論流束段的機(jī)械能變化。1、流束段表面做功流束段側(cè)面和二端有壓強(qiáng)，但側(cè)面壓強(qiáng)（力）于運(yùn)動方向垂直，不做功。只有二端壓強(qiáng)（力）做功。壓力做功：Fp1w- Fp 2w=p1dA1dl1p2dA2dl2= p1dA1u

47、1dtp2dA2 u2dt由連續(xù)性方程dQ= u1dA1= u2dA2 所以Fp 1w- Fp 2w=（p1-p2）dQ dt2、動能的增量由于流動是恒定的，斷面1-1至 2-2之間的流動參數(shù)不變。因此，動能的增量僅為2-2至2-2的動能減去1-1至1-1間動能的增量。動能為mv2= dV u2= dQdt u2因此，增量為(u22 u12) dQdt3、位能的增量位能為mgz=dVgz=dQdtgz所以位能增量為：g（z2z1）dQdt由功能原理（系統(tǒng)的機(jī)械能的增量等于一切外力和一切非保守內(nèi)力所做功的代數(shù)和這就是功能原理）可以知道，外力所做的功等于系統(tǒng)動能和位能的增量：（p1-p2）dQ d

48、t=(u22 u12) dQdtg（z2z1）dQdt整理有：（兩邊乘以）有z1+= z2+理想液體恒定元流的能量方程理想液體恒定元流的能量方程是1738年由瑞士物理學(xué)家伯努利首次導(dǎo)出的，也稱為伯努利方程。這是水力學(xué)中三大方程之一。物理意義：z：單位重量液體相對某基準(zhǔn)面所具有的單位位能（重力勢能）；：單位重量液體所具有的單位壓能（壓強(qiáng)勢能）；z+：單位重量液體所具有的單位勢能；：單位重量液體相對某基準(zhǔn)面所具有的單位動能；z+：單位重量液體所具有的單位機(jī)械能（動能+勢能）；幾何意義：z：單位液體相對某基準(zhǔn)面的位置高度，也稱為位置水頭；：測壓管高度、壓力水頭；z+：測壓管水頭；：流速水頭；z+：總

49、水頭；實際液體恒定元流的能量方程實際液體由于具有粘滯性，在流動過程中內(nèi)摩擦力做功要消耗一部分機(jī)械能，從而使能量轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮艿饶芰啃问较牡?，因而機(jī)械能沿流程要減小，。設(shè)hw為元流從斷面1到斷面2的機(jī)械能損失（稱為元流的水頭損失），則有z1+= z2+ hw實際液體恒定元流的能量方程測壓管水頭線和總水頭線總水頭線坡度J及測壓管坡度JpJ=-Jp=-討論：理想液體，J=0，總水頭線是水平線。實際液體，hw>0,J>0?？偹^線下降。而Jp可能大于或小于或或等于零（“水往低處流”是不嚴(yán)格的！），取決于水頭損失與動勢能轉(zhuǎn)化。對均勻流，流速沿程不變，J=Jp，二水頭線平行。例題3-3畢托管原理

50、2、 恒定總流的能量方程恒定總流的能量方程推導(dǎo)對元流能量方程各項同時乘以dQ，得到單位時間內(nèi)通過元流二過水?dāng)嗝娴娜恳后w的能量關(guān)系式（z1+）dQ=（z2+）dQ+ hw dQ由于 dQ=u1dw1=u2dw2，整個過水?dāng)嗝嫔戏e分，有（z1+）u1dw1=（z2+）u2dw2+ hw dQ或者：（z1+）u1dw1+dw1=（z2+）u2dw2+dw2+ hw dQ上述三種類型的積分，分別介紹如下：（z+）udw它是單位時間內(nèi)通過總流過水?dāng)嗝娴囊后w勢能的總和。在均勻流或漸變流過水?dāng)嗝嫔?，各點(diǎn)z+為或近似為常數(shù)。因此，若將過水?dāng)嗝嫒≡诰鶆蛄骰驖u變流斷面上，則積分可簡單積出（z+）udw=（z+）udw=（z+）Qdw這是單位時間內(nèi)通過總流過水?dāng)嗝娴囊后w動能的總和。由于流速在過水?dāng)嗝嫔戏植家话汶y以確定，工程實踐上為計算方便，常用斷面平均流速v來表示實際動能：dw=w= Q式中稱為動能修正系數(shù)，取決于斷面平均流速的分布情況。一般數(shù)值為=1.051.10，但有時候可達(dá)2或更大。工程計算中常取1。hw dQ它是單位時間內(nèi)總流1-1過水?dāng)嗝媾c2-2過水?dāng)嗝娴臋C(jī)械能損失，同樣可用平均能量損失hw來表示：hw dQ=hwQ將以上三項帶入，同時注意到