1、二、交錯級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法 三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂 第二節(jié)第二節(jié)一、正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第十一章 一、正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法假設(shè),0nu1nnu定理定理 1. 正項級數(shù)正項級數(shù)1nnu收斂部分和序列nS),2, 1(n有界 .則稱為正項級數(shù) . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理2 (比較審斂法比較審斂法)設(shè),1nnu1nnv且存在,ZN對一切,Nn 有(1) 若強級數(shù)1nnv則弱級數(shù)1nnu(2) 若弱級數(shù)1nnu則強級數(shù)1nnv則

2、有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .nnvku 是兩個正項級數(shù), (常數(shù) k 0 ),機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1. 討論討論 p 級數(shù)級數(shù)pppn131211(常數(shù) p 0)的斂散性. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 調(diào)和級數(shù)與 p 級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在,ZN對一切,Nn,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 證明級數(shù)1) 1(1nnn發(fā)散 .例例2.2.機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理3. (比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式),1nnu1nnv,limlvunnn

3、則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當 l = 0 ,1收斂時且nnv;1也收斂nnu(3) 當 l = ,1發(fā)散時且nnv.1也發(fā)散nnu設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1) 當 0 l 時,機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 的斂散性. nnn1lim例例3. 判別級數(shù)判別級數(shù)11sinnn的斂散性 .解解: nlim sin1nn11根據(jù)比較審斂法的極限形式知.1sin1發(fā)散nn例例4. 判別級數(shù)判別級數(shù)1211lnnn解解:nlim221limnnn1根據(jù)比較審斂法的極限形式知.11ln12收斂nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理4 .

4、 比值審斂法比值審斂法 ( Dalembert 判別法判別法)設(shè) nu為正項級數(shù), 且,lim1nnnuu那么(1) 當1(2) 當1時, 級數(shù)收斂 ;或時, 級數(shù)發(fā)散 .k)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. 討論級數(shù)討論級數(shù))0(11xxnnn的斂散性 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 時 , 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .1例如 , p 級數(shù) :11pnnpnnnnu1)(1n說明說明 :,1pnnu 但, 1p級數(shù)收斂 ;, 1p級數(shù)發(fā)散 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 對任意給定的正數(shù) ,limnnnu定理定理5. 根值審斂法根值審斂法 ( Cauchy判別法判別法

5、)設(shè) 1nnu為正項級,limnnnu那么;,1) 1(級數(shù)收斂時當 .,1)2(級數(shù)發(fā)散時當 證明提示證明提示: ,ZN存在nnu有時當,Nn 即nnnu)()(分別利用上述不等式的左,右部分, 可推出結(jié)論正確., )1(1111數(shù), 且機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例6. 證明級數(shù)證明級數(shù)11nnn收斂于S ,似代替和 S 時所產(chǎn)生的誤差 . 并估計以部分和 Sn 近 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二二 、交錯級數(shù)及其審斂法、交錯級數(shù)及其審斂法 則各項符號正負相間的級數(shù)nnuuuu1321) 1(稱為交錯級數(shù) .定理定理6 . ( Leibnitz 判別法判別法 ) 若交錯級

6、數(shù)滿足條件:則級數(shù); ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收斂 , 且其和 ,1uS 其余項滿足.1nnur,2, 1,0nun設(shè)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 收斂收斂nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判別法判別下列級數(shù)的斂散性:nnn10) 1(104103102101)31432收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn發(fā)散收斂收斂 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂 定義定義: 對任意項級數(shù)對任意項級數(shù),1nnu假設(shè)若原級數(shù)收斂, 但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散, 則稱原級111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收斂 ,1nnu數(shù)1nnu為條件收斂 .均為絕對收斂.例如例如 ：絕對收斂 ；則稱原級數(shù)條件收斂 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理7. 絕對收斂的級數(shù)一定收