1、信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)作業(yè)講解（一）作業(yè)講解（一） 雷霞雷霞通信抗干擾技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室通信抗干擾技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室2022-4-2622022-4-262小結(jié)小結(jié)(1/5)4假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)1雙擇檢測(cè)及其最佳準(zhǔn)則雙擇檢測(cè)及其最佳準(zhǔn)則2M元信號(hào)檢測(cè)及其最佳準(zhǔn)則元信號(hào)檢測(cè)及其最佳準(zhǔn)則36小結(jié)小結(jié)(2/5) 基本問(wèn)題基本問(wèn)題對(duì)對(duì) 的的 個(gè)觀測(cè)樣本個(gè)觀測(cè)樣本 ，向量，向量 統(tǒng)一的檢測(cè)原則：統(tǒng)一的檢測(cè)原則：似然比檢測(cè)似然比檢測(cè) 統(tǒng)一的檢測(cè)器結(jié)構(gòu)統(tǒng)一的檢測(cè)器結(jié)構(gòu)2022-4-263 0011:Hx tstn tHx ts tn t12,Nx xx x tN12,TNx xxx 10100DDpHpHxxx似

2、然比似然比門限門限小結(jié)小結(jié)(3/5) 不同的準(zhǔn)則，所需要的先驗(yàn)信息和確定門限不同的準(zhǔn)則，所需要的先驗(yàn)信息和確定門限 的方法的方法不同。不同。1. Bayes準(zhǔn)則：準(zhǔn)則：2. 最小錯(cuò)誤概率和最大后驗(yàn)概率（最小錯(cuò)誤概率和最大后驗(yàn)概率（MAP）準(zhǔn)則）準(zhǔn)則2022-4-264001000010111P HCCP HCC 先驗(yàn)信息：先驗(yàn)信息：先驗(yàn)概率先驗(yàn)概率P(Hi)代價(jià)因子代價(jià)因子Ci,j似然函數(shù)似然函數(shù)001P HP H 先驗(yàn)信息：先驗(yàn)信息：似然函數(shù)似然函數(shù)先驗(yàn)概率先驗(yàn)概率P(Hi)C0,0=C1,1=0 C0,1=C0,1=1(最小錯(cuò)誤概率最小錯(cuò)誤概率)C0,1=C0,1(MAP)小結(jié)小結(jié)(4/5

3、)3. 最大似然（最大似然（ML）準(zhǔn)則）準(zhǔn)則在在MAP準(zhǔn)則中，準(zhǔn)則中， ，則，則4. 極大極?。O大極小（minmax）準(zhǔn)則）準(zhǔn)則在在Bayes風(fēng)險(xiǎn)（最小風(fēng)險(xiǎn)）中，改變風(fēng)險(xiǎn)（最小風(fēng)險(xiǎn)）中，改變P(Hi)，找出最大的，找出最大的風(fēng)險(xiǎn)（極大）風(fēng)險(xiǎn)（極大）2022-4-265011()2P HP H01 10100101C P D HC P D H0 x分界01000pHpH xx先驗(yàn)信息：先驗(yàn)信息：似然函數(shù)似然函數(shù)代價(jià)因子代價(jià)因子Ci,jC0,0=C1,1=0小結(jié)小結(jié)(5/5) 紐曼紐曼-皮爾遜（皮爾遜（N-P）準(zhǔn)則）準(zhǔn)則虛警概率虛警概率 已知，已知，2022-4-26610fPP D H00fP

4、pH dxxx0 x分界01000pHpH xx先驗(yàn)信息：先驗(yàn)信息：似然函數(shù)似然函數(shù)C0,0=C1,1=0 71.11.1 設(shè)噪聲均方差為設(shè)噪聲均方差為 代價(jià)為代價(jià)為 信號(hào)存在的先驗(yàn)概率信號(hào)存在的先驗(yàn)概率P=0.2.試確定貝葉斯意義下最佳門限試確定貝葉斯意義下最佳門限 ，并計(jì)，并計(jì)算出相應(yīng)的平均風(fēng)險(xiǎn)。算出相應(yīng)的平均風(fēng)險(xiǎn)。解解（1）確定貝葉斯意義下最佳門限確定貝葉斯意義下最佳門限 ： 對(duì)于兩種假設(shè)下的條件概率密度函數(shù)為對(duì)于兩種假設(shè)下的條件概率密度函數(shù)為 則似然比則似然比 由貝葉斯準(zhǔn)則得由貝葉斯準(zhǔn)則得 2222(1)220111( |); ( |)22xxp x Hep x He221120( |

5、)( )( |)xp x Hxep x H01000010111(1)()8()fmpcp Hccp Hccp c 211212200001( )8ln8.8182xHHxexHH 021:,(0,):1,HxnnNHxn 22,1fmcc8（2）計(jì)算相應(yīng)的平均風(fēng)險(xiǎn)：）計(jì)算相應(yīng)的平均風(fēng)險(xiǎn)：平均風(fēng)險(xiǎn)公式：平均風(fēng)險(xiǎn)公式：計(jì)算相應(yīng)的虛警概率：計(jì)算相應(yīng)的虛警概率： 漏報(bào)概率：漏報(bào)概率：帶入平均風(fēng)險(xiǎn)公式可得所求帶入平均風(fēng)險(xiǎn)公式可得所求 1001011010()(1)()RP rQrP cP D HPcP D H100()( |)(4.41)P D Hp x Hdxerfc011()( |)(3.91)P

6、 D Hp x H dx(4.41)(1 0.2) 20.2 10.23.91)Rerfc 查表查表91.3只用一次觀測(cè)只用一次觀測(cè)x來(lái)對(duì)下面兩個(gè)假設(shè)做選擇，來(lái)對(duì)下面兩個(gè)假設(shè)做選擇，H0：樣本：樣本x為零均為零均值、方差為值、方差為 的高斯變量，的高斯變量，H1：樣本：樣本x為零均值、方差為零均值、方差 的的高斯變量，且高斯變量，且（1）根據(jù)觀測(cè)結(jié)果）根據(jù)觀測(cè)結(jié)果x，確定判決區(qū)域，確定判決區(qū)域D0和和D1（2）畫(huà)出似然比接收機(jī)框圖。）畫(huà)出似然比接收機(jī)框圖。 H1為真而選擇為真而選擇H0的概率如何？的概率如何？解解（a）（根據(jù)觀測(cè)結(jié)果）（根據(jù)觀測(cè)結(jié)果x，確定判決區(qū)域和，確定判決區(qū)域和D0和和D1

7、 ） 由題可知由題可知兩種假設(shè)下的條件概率密度函數(shù)兩種假設(shè)下的條件概率密度函數(shù)：則相應(yīng)的似然比為則相應(yīng)的似然比為將上式兩邊取自然對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)后可得：將上式兩邊取自然對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)后可得： 可得判決區(qū)域?yàn)椋嚎傻门袥Q區(qū)域?yàn)椋?021221022220122010111( |); ( |)22xxp x Hep x He212201011()201001( |)( )( |)HxHp x Hxep x H1222220101102210002ln,()HxH 01:;:;DDorxxx 10（b）畫(huà)出）畫(huà)出似然比接收框圖似然比接收框圖如下：如下：題中所述即求漏報(bào)概率題中所述即求漏報(bào)概率022101121111

8、()( |)1 2 ()()2 () 1DxP D Hp x H dxedx111.41.4設(shè)計(jì)一個(gè)似然比校驗(yàn)，對(duì)下面兩個(gè)假設(shè)做選擇設(shè)計(jì)一個(gè)似然比校驗(yàn)，對(duì)下面兩個(gè)假設(shè)做選擇（1 1）假定）假定 ，確定判決區(qū)域，確定判決區(qū)域DD0 0和和DD1 1（2 2）應(yīng)用紐曼）應(yīng)用紐曼- -皮爾遜準(zhǔn)則，并設(shè)皮爾遜準(zhǔn)則，并設(shè) ，則判決區(qū)域如何？，則判決區(qū)域如何？解解（1）由似然比定義和題設(shè)可知）由似然比定義和題設(shè)可知：題目所給概率密度函數(shù)參數(shù)未確定，分別討論題目所給概率密度函數(shù)參數(shù)未確定，分別討論：(a)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，此時(shí)時(shí)，此時(shí)判決區(qū)域：判決區(qū)域： D0： , D1 ：(b)由由 的偶函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)?shù)呐己瘮?shù)性質(zhì)

9、，當(dāng) 時(shí)（時(shí)（此種情況不成立此種情況不成立）判決區(qū)域：判決區(qū)域： 221221100,(| 1)1:( ), :( )0,()2xxHp xeHp xelse01 10()P D H10100( |)( )1( |)HHp x Hxp x H 111(0)22p1max0( )( ),(| 1)p xpxx| 1x 1( )p x111(1)( 1)2pp10( )( )p xp x01: ,:DD| 1x 12（c）兩函數(shù)有交疊部分，即）兩函數(shù)有交疊部分，即 時(shí)，可知臨界點(diǎn)時(shí)，可知臨界點(diǎn) （ 選取使選取使判決區(qū)域：判決區(qū)域：（2）由紐曼）由紐曼-皮爾遜準(zhǔn)則，應(yīng)滿足虛警概率的約束條件，即皮爾遜

10、準(zhǔn)則，應(yīng)滿足虛警概率的約束條件，即由于由于(a)(b)兩種情況判決區(qū)域與門限選取無(wú)關(guān)，則針對(duì)第三種情況兩種情況判決區(qū)域與門限選取無(wú)關(guān)，則針對(duì)第三種情況可知可知 ，則此時(shí)的判決區(qū)域應(yīng)為：，則此時(shí)的判決區(qū)域應(yīng)為：1111(0)21(1)( 1)2ppp222ln2x (0,1)01:| 1,:| 1|DxDxor x1100()( |)DP D Hp x Hdx1100001120()( |)( |)( |),(| 1)( |)0,()P D Hp x Hdxp x H dxp x Hdxxp x Helse01:| 1:| 1|DxDxor x131.7根據(jù)一次觀測(cè)，用極大極小化檢驗(yàn)對(duì)下面兩個(gè)假

11、設(shè)做判斷根據(jù)一次觀測(cè)，用極大極小化檢驗(yàn)對(duì)下面兩個(gè)假設(shè)做判斷H1：x(t)=1+n(t), H2: x(t)=n(t)設(shè)設(shè)n(t)為零均值和功率為零均值和功率 的高斯過(guò)程，且的高斯過(guò)程，且c00=c11=0,c10=c01=1。求。求（1）判決門限）判決門限（2）與）與 相應(yīng)的各假設(shè)先驗(yàn)概率。相應(yīng)的各假設(shè)先驗(yàn)概率。解：解：(a)判決門限判決門限 ： 由題設(shè)可得相應(yīng)假設(shè)的似然函數(shù)由題設(shè)可得相應(yīng)假設(shè)的似然函數(shù) 則相應(yīng)的似然比為則相應(yīng)的似然比為 由極大極小化檢驗(yàn)準(zhǔn)則：兩類錯(cuò)誤的平均代價(jià)相等由極大極小化檢驗(yàn)準(zhǔn)則：兩類錯(cuò)誤的平均代價(jià)相等 代入題設(shè)條件，即代入題設(shè)條件，即 （虛警概率（虛警概率=漏報(bào)概率）漏

12、報(bào)概率） 則有則有 由例題由例題2結(jié)論結(jié)論 并代入假設(shè)對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)可得：并代入假設(shè)對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)可得： 由正態(tài)分布函數(shù)性質(zhì)可得：由正態(tài)分布函數(shù)性質(zhì)可得： 得到判決門限為得到判決門限為22222(1)221011( |), ( |)22xxp x Hep x He221120( |)( )( |)xp x Hxep x H10100101()()cP D HcP D H1001()()P D HP D H1001( |)( |)DDp x Hdxp x H dx22(1)221122xxedxedx11()()()0.52022年4月14（b）求）求 相應(yīng)的各假設(shè)的先驗(yàn)概率：相應(yīng)的各假設(shè)的先驗(yàn)

13、概率：將（將（a）中所得到判決門限代入判決式得到）中所得到判決門限代入判決式得到又又 且且 （假設(shè)的（假設(shè)的完備性）完備性）得到假設(shè)的先驗(yàn)概率為得到假設(shè)的先驗(yàn)概率為22120( )e 01000010111()()p Hccp Hcc 10()()1p Hp H011()()2p Hp H01 151.9設(shè)兩種假設(shè)為：設(shè)兩種假設(shè)為： H1：x(t)=2+n(t), H2: x(t)=n(t)，其中，其中n(t)為零均值、方差為零均值、方差為為2的高斯白噪聲。根據(jù)的高斯白噪聲。根據(jù)M個(gè)獨(dú)立樣本個(gè)獨(dú)立樣本xi(i=1,2,M)應(yīng)用紐曼應(yīng)用紐曼-皮爾遜準(zhǔn)則進(jìn)皮爾遜準(zhǔn)則進(jìn)行檢驗(yàn)，令行檢驗(yàn)，令P(D1|

14、H0)=0.05,試求：試求：(1)最佳判決門限最佳判決門限(2)相應(yīng)的檢測(cè)概率相應(yīng)的檢測(cè)概率P(D1|H1).解：解：（a）求最佳判決門限）求最佳判決門限由題設(shè)可寫出單個(gè)樣本所對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)為：由題設(shè)可寫出單個(gè)樣本所對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)為：由于樣本相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布，則可得此時(shí)依據(jù)由于樣本相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布，則可得此時(shí)依據(jù)M個(gè)獨(dú)立樣本所得樣本的個(gè)獨(dú)立樣本所得樣本的似然函數(shù)為：似然函數(shù)為：則判決準(zhǔn)則為則判決準(zhǔn)則為將上式兩邊取對(duì)數(shù)進(jìn)行整理后，得：將上式兩邊取對(duì)數(shù)進(jìn)行整理后，得：將將 作為判決統(tǒng)計(jì)量與門限進(jìn)行對(duì)比作為判決統(tǒng)計(jì)量與門限進(jìn)行對(duì)比2222(2)220111(|); (|)22iixxiip xHep xHe11(1)11001(|)( |)( )( |)(|)MiiMixiMjjp xHp x Hxep x Hp xH1001( )exp(1)HMiiHxx100111ln1HMiiHxMM 11MxiimxM16由于高斯分布函數(shù)的線性組合仍為正態(tài)分布，則我們可以得到由于高斯分布函數(shù)的線性組合仍為正態(tài)分布，則我們可以得到 在兩在兩種假設(shè)下的似然函數(shù)：種假設(shè)下的似然函數(shù)：由題設(shè)由題設(shè) 和