1、作與已知三角形有公共邊的全等三角形湖北省襄陽市樊城區(qū)牛首鎮(zhèn)竹條一中谷興武張勤在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)，我們會(huì)遇到這樣的問題：已知ABC,AB=BC=AC,作與ABC只有一條公共邊，且與4ABC全等的三角形，這樣的三角形有幾個(gè)？經(jīng)筆者了解，這個(gè)問題對(duì)于學(xué)生有一定的難度，因?yàn)閷W(xué)生還沒有學(xué)習(xí)到系統(tǒng)的深入的軸對(duì)稱知識(shí)，僅僅只能對(duì)簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形產(chǎn)生膚淺的感性上的認(rèn)識(shí).而且有些教師，也覺得這個(gè)問題難，不能清楚的給學(xué)生講述.所以，筆者認(rèn)為有必要在此研究一下一、探究結(jié)論如圖1,AABC,先以AC為公共邊，作與4ABC全等的三角形，經(jīng)筆者研究發(fā)現(xiàn)可以分為兩類：另外兩邊AB和BC不相等或者相等兩種情況.1 .以A

2、C為公共邊且AEBC時(shí)（如圖1）,作與4ABC全等的三角形首先，作出線段AC的垂直平分線（如圖1、2中的虛線）,再作出ABC關(guān)于AC的垂直平分線的軸對(duì)稱圖形ABiC,顯然ABiCAABC.再將4ABC和ABiC沿直線AC為對(duì)稱軸翻折180度，得到AB2c和AB3c（如圖2）,顯然AB2C04ABC,AB3CAABiCAABC.圖1圖2結(jié)論：以三角形的一邊為公共邊且另外兩邊不相等時(shí)（如圖2）,作與該三角形全等的三角形能作出3個(gè)新的（與原三角形區(qū)別）.其中有2個(gè)與原三角形成軸對(duì)稱，另一個(gè)與原三角形不成軸對(duì)稱（圖2的陰影部分）.2 .以AC為公共邊且AB=BC時(shí)（如圖3）,作與AABC全等的三角形把

3、AABC沿直線AC為對(duì)稱軸翻折1800,得到ABiC（如圖3）,顯然ABiCAABC.結(jié)論：以三角形的一邊為公共邊且另外兩邊相等時(shí)（如圖3）,只能作出1個(gè)新的三角形與原三角形全等，且與原三角形成軸對(duì)稱.通過上面的研究，可得三種情形：情形1當(dāng)三角形三邊互不相等時(shí)，作與該三角形有一條公共邊，且與該三角形全等的新三角形（與原三角形區(qū)別）能作9個(gè).其中有6個(gè)與原三角形成軸對(duì)稱，3個(gè)與原三角形不成軸對(duì)稱（圖4的陰影部分）.情形2當(dāng)三角形為只有兩邊相等的等腰三角形時(shí)，作與該等腰三角形有一條公共邊，且與該等腰三角形全等的新三角形能作7個(gè).因?yàn)橐缘走厼楣策厱r(shí)，由于另外兩邊是兩腰（相等），所以比情形1少了2個(gè)

4、.并且7個(gè)新三角形中有5個(gè)與原三角形成軸對(duì)稱，2個(gè)與原三角形不成軸對(duì)稱（圖5的陰影部分）.ffi5情形3當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí)，作與該等邊三角形有一條公共邊，且與該等邊三角形全等的新三角形只能作3個(gè)，都與原三角形成軸對(duì)稱.圖略.對(duì)于以上情形1、2的結(jié)論，有教師和學(xué)生提出了質(zhì)疑：會(huì)不會(huì)有三角形重合的現(xiàn)象？造成有的三角形被重復(fù)計(jì)算了呢？筆者可以肯定地回答：不會(huì).因?yàn)閺那懊娴膱D1、圖2我們可以看出：在以已知三角形某條邊為公共邊作已知三角形的全等三角形時(shí)，是分別以這條公共邊的垂直平分線和過這條邊所在直線為對(duì)稱軸作的，又因三角形的三邊所在直線和三條邊的垂直平分線不會(huì)重合，所以與原三角形成軸對(duì)稱的新三角形

5、不會(huì)重合.假設(shè)有重合現(xiàn)象，那么對(duì)稱軸也會(huì)重合.顯然假設(shè)不成立.還要考慮與已知三角形成軸對(duì)稱的三角形和與已知三角形不成軸對(duì)稱的三角形之間是否會(huì)發(fā)生重合.假設(shè)它們有重合現(xiàn)象，那么與已知三角形不成軸對(duì)稱的三角形也變得與已知三角形軸對(duì)稱了，顯然是矛盾的.那么與已知三角形不成軸對(duì)稱的三角形之間會(huì)不會(huì)重合呢?因?yàn)榕c已知三角形不成軸對(duì)稱的全等三角形它們分別都與原三角形有一條不同的公共邊，如果它們重合，那么它們至少與原三角形有兩條公共邊了，這與題目不符這些教師和學(xué)生的質(zhì)疑提醒了筆者，雖然上面已經(jīng)說明了沒有三角形重合現(xiàn)象，那么會(huì)不會(huì)有新三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)（與公共邊的兩個(gè)頂點(diǎn)區(qū)別）重合的現(xiàn)象呢？筆者通過進(jìn)一步研究

6、，證實(shí)了自己的想法.發(fā)現(xiàn)與直角三角形全等且有一條公共邊的新三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)有重合現(xiàn)象，且重合于原直角三角形的直角頂點(diǎn)以斜邊的中點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱點(diǎn)處，有3點(diǎn)在此重合為1點(diǎn)；另外還有頂角為1200的等腰三角形在頂角的角平分線（這里筆者理解為射線）的反向延長(zhǎng)線上且距離頂角頂點(diǎn)為該三角形腰長(zhǎng)的位置處，有2點(diǎn)重合為1點(diǎn).由于畫圖方法與前面介紹的相同，所以這兩種第三個(gè)頂點(diǎn)重合的圖形筆者在此省略了，留給讀者驗(yàn)證吧.但是筆者還是要強(qiáng)調(diào)一下：千萬不要把第三個(gè)頂點(diǎn)的重合理解成新三角形會(huì)重合了.所以筆者再次重申：與已知三角形全等且有一條公共邊的新三角形是不會(huì)重合的、應(yīng)用舉例現(xiàn)在，我們可以回答文章開頭的問題了例1

7、已知4ABC中，AB=BC=AC,作與4ABC只有一條公共邊，且與ABC全等的三角形，這樣的三角形有幾個(gè)？有了前面的作圖方法和總結(jié)的3種情形作基礎(chǔ)，回答這個(gè)問題并不難，但是筆者考慮的是如何讓學(xué)生也能突破這個(gè)難點(diǎn).于是讓學(xué)生用較硬的紙，自己動(dòng)手裁剪出符合題意的等腰三角形，然后按照前面介紹的方法在一張白紙上進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，并且用筆畫出原三角形和新三角形的位置，針對(duì)新三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)出如Ai,A2,A3,BnCnC2,C3這樣的字母進(jìn)行區(qū)分.這樣教學(xué)，學(xué)生興趣高，不僅重視了知識(shí)的形成過程，而且符合素質(zhì)教育的課堂模式.最后，由學(xué)生自己總結(jié)出，這樣的三角形共有7個(gè)，以AB為公共邊有3個(gè)，以BC為公共邊有3

8、個(gè)，以AC為公共邊有一個(gè).筆者乘熱打鐵提出問題：為什么以兩腰為公共邊時(shí)分別有3個(gè)，以底邊為公共邊只有1個(gè)？并且讓各小組展開討論，得出結(jié)論：當(dāng)另外兩邊（區(qū)別于公共邊）不相等時(shí)，有3個(gè)；當(dāng)另外兩邊相等時(shí)，只有1個(gè).可是，有的題目往往不會(huì)像例1那樣很單一的檢測(cè)這個(gè)這知識(shí)點(diǎn)，而是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，并且提問的方式也發(fā)生了變化.例2已知RtAABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖6所示，請(qǐng)寫出與RtAABC全等且有條公共邊的所有直角三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)（指寫出坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)）(C5)BKA1)圖6該題目將作與已知三角形有公共邊的全等三角形和直角坐標(biāo)系相結(jié)合，根據(jù)前面總結(jié)的情形1及其推導(dǎo)過程的作圖方法很容易作出

9、與RtAABC全等且有一條公共邊的所有直角三角形共有9個(gè)，但是，筆者在給學(xué)生講述此題時(shí)，為了降低難度，首先讓學(xué)生用他們手中的含300的直角三角板在一張白紙上通過翻折畫出與已知直角三角形ABC（按上圖中RtAABC的頂點(diǎn)字母的標(biāo)注順序標(biāo)記）全等且有一條公共邊的9個(gè)直角三角形，同時(shí)用Ai,A2,A3（以BC邊為公共邊時(shí)，用Ai,A2,A3三個(gè)字母標(biāo)注新三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)，以此類推.），Bi,B2,B3,Ci,C2,C3標(biāo)記這9個(gè)直角三角形第三個(gè)頂點(diǎn)，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)Ai,Bi,C3三個(gè)點(diǎn)重合為1個(gè)點(diǎn)，然后，筆者才讓學(xué)生在圖6的直角坐標(biāo)系中畫出9個(gè)與RtAABC全等且有一條公共邊的所有直角三角形，此時(shí)，學(xué)

10、生畫得較容易.顯然從圖中很直觀地看出這9個(gè)新直角三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)只有7個(gè)，且坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)僅有五個(gè)（坐標(biāo)略）.還有的題目變式的面目全非，而且附加了一些特殊要求，學(xué)生拿到此類題目無法將它與本文前面總結(jié)的三種情形及其推導(dǎo)過程的作圖方法聯(lián)系起來，于是作此類題目盲目性很大，沒有章法.例3如圖7,把一個(gè)等腰三角形紙片沿底邊上的高剪開成為兩個(gè)三角形紙片，現(xiàn)在要用這兩個(gè)三角形紙片拼合成與原等腰三角形不同的三角形或四邊形，并且要求拼合成的圖形是軸對(duì)稱圖形，這樣的圖形有個(gè).圖7筆者總結(jié)出，此類題目不管它們?cè)趺醋兪?，但都有一個(gè)共同點(diǎn)：新三角形與已知三角形全等且有一條公共邊.例豺巴一個(gè)等腰三角形紙片沿底邊上的高剪

11、開成為兩個(gè)直角三角形紙片顯然全等，再把這兩個(gè)全等的三角形拼合成新的圖形必然會(huì)出現(xiàn)公共邊，所以例3是本文闡述的同一類型題目.我們不妨把剪開的兩個(gè)全等的直角三角形，一個(gè)令為已知的RtAABC,另一個(gè)是與已知RtAABC有公共邊且全等的新三角形，從圖中可以看出RtAABC三邊互不相等，所以符合前面總結(jié)的情形i,筆者讓學(xué)生把已知RtAABC和與其全等且有一條公共邊的新三角形快速地畫成了9幅草圖（請(qǐng)讀者自己畫圖），很容易的看出：其中有3幅形如“區(qū)”字，有兩條邊發(fā)生交叉并且有一部分面積重疊，不符合題目“拼合”的要求；還有2幅組成的平行四邊形（因鄰邊不相等或沒有內(nèi)角是900）不是軸對(duì)稱圖形；另外有i幅與原等腰三角形全等；最后剩下3幅符合題意，請(qǐng)讀者驗(yàn)證.通過此法作該題，思路清晰，目標(biāo)明確，不易出現(xiàn)多選或遺漏答案情況.3個(gè)”的答案，但i個(gè)了（請(qǐng)讀者驗(yàn)證）.筆者還想對(duì)上面的結(jié)果提出一點(diǎn)異議：可能出題人的本意是想得到“是經(jīng)筆者研究，如果原等腰三角形是等腰直角三角形，那么答案就是但是，筆者想為出題人辯護(hù)一下：是不是題目中的“如圖”二字起到作用了呢?