1、胡不歸問題【數學故事】從前，有一個小伙子在外地學徒，當他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路。由于思鄉(xiāng)心切，他只考慮了兩點之間線段最短的原理，所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A-B（如圖所示），而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實際情況，當他氣喘吁吁地趕到家時，老人剛剛咽了氣，小伙子失聲痛哭。鄰居勸慰小伙子時告訴說，老人彌留之際不斷念叨著胡不歸?胡不歸？何以歸”。這個古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他應該選擇一條怎樣的路線呢？這就是風靡千百年的胡不歸問題【問題背景】PA+kPB型的最值問題是近幾年中考考查的熱點更是難點。當k值為1時，即可轉化為PA+PBi和

2、最短問題，就可用我們常見的飲馬問題”模型來處理，即可以轉化為軸對稱問題來處理。而當k取任意不為1的正數時，若再以常規(guī)的軸對稱思想來解決問題，則無法進行，因此必須轉換思路。此類問題的處理通常以動點P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。即點P在直線上運動和點P在圓上運動。其中點P在直線上運動的類型稱之為胡不歸”問題；點P在圓周上運動的類型稱之為阿氏圓”問題。本文將分別從這兩類入手與大家共同探究線段最值問題的解決方案。【知識儲備】線段最值問題常用原理：三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；兩點間線段最短；連結直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短;【模型初探】（一）點

3、P在直線上運動I胡不歸”問題如圖1-1-1所示，已知sinZMBN=k,P為角/MBN其中一邊BM上的一個動點，點A在射線BMBN的同側，連接AP,則當PA+kPB的值最小時，P點的位置如何確定？分析：本題的關鍵在于如何確定向PB的大小，過點P作PQLBN垂足為Q,貝UkPB=PBsin/MBN=PQ,本題求PA+kPB的最小值轉化為求PA+PQ勺最小值（如圖1-1-2）,即A、P、Q三點共線時最?。ㄈ鐖D1-1-3）,本題得解。思考：當k值大于1時，PA+kPB線段求和問題該如何轉化呢?提取系數k即可哦！!【模型初探】（二）點P在圓上運動阿氏圓”問題如圖所示2-1-1,的半徑為r,點A、B都在

4、外，P為上的動點,已知r=kOB.連接PAPB,則當PA+kPB的值最小時，P點的位置如何確2-1-2）在線段OBAB-圖2-1-3上截取OC使OC=kr,則可說明ABPO與APCO相似，即kPB=PC本題求PA+kPB的最小值轉化為求PA+PC勺最小值，即A、P、C三點共線時最小（如圖2-1-3）,本題得解。【問題背景】阿氏圓又稱阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點A、B,則所有滿足PA=kPB（k為）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現，故稱阿氏圓”?！灸Ｐ皖惐取?胡不歸”構造某角正弦值等于小于1系數起點構造所需角（k=sin/CAE過終點作所構角邊的垂線 阿氏圓”構造共

5、邊共角型相似ABAC構造線段構造PAB4CAP推出PA2即：半徑的平方=原有線段典型例題一.選擇題（共2小題）1 .如圖，拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點，過B的直線交拋物線于E,且tan/EBA=且，有一只螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE3上的點D處，再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點處覓食，則螞蟻從A到2 .如圖，ABC在直角坐標系中，AB=AC,A（0,272）,C（1,0）,D為射線AO上一點，一動點P從A出發(fā)，運動路徑為ZDX，點P在AD上的運動速度是在CD上的3倍，要使整個運動時間最少，則點D的坐標應為（）y1ABOCA.（0,V2）B.（0,gC

6、.（0,gD.（0,學）二.填空題（共1小題）3.如圖，一條筆直的公路l穿過草原，公路邊有一消防站A,距離公路5小千米的地方有一居民點B,A、B的直線距離是10丹千米.一天,居民點B著火，消防員受命欲前往救火.若消防車在公路上的最快速度是80千米/小時，而在草地上的最快速度是40千米/小時，則消防車在出發(fā)后最快經過小時可到達居民點B.（友情提醒：消防車可從公路的任意位置進入草地行駛.）第6頁（共9頁）評卷人得分三.解答題(共5小題)4 .如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點A(-1,0),B(0,-6)，C(2,0),其對稱軸與x軸交于點D(1)求二次函數的表達式

7、及其頂點坐標；(2)若P為y軸上的一個動點，連接PD,則,PB+PD的最小值為;(3)M(x,t)為拋物線對稱軸上一動點若平面內存在點N,使得以A,B,M,N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有個；5 .如圖，在ACE中，CA=CE,/CAE=30,。經過點C,且圓的直徑AB在線段AE上.(1)試說明CE是。O的切線；(2)若ACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數式表示。O的直徑AB;(3)設點D是線段AC上任意一點(不含端點)，連接OD,當向CD+OD的最小值為6時，求。O的直徑AB的長.第7頁(共9頁)6 .如圖，已知拋物線y=k(x+2)(x-4)(k為常數，且k0)與x軸從左至8右

8、依次交于A,B兩點，與y軸交于點C,經過點B的直線y=-Ex+b與拋物3線的另一交點為D.(1)若點D的橫坐標為-5,求拋物線的函數表達式；(2)若在第一象限內的拋物線上有點P,使得以A,B,P為頂點的三角形與ABC相似，求k的值；(3)在(1)的條件下，設F為線段BD上一點(不含端點)，連接AF,一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動7 .(1)如圖1,已知正方形ABCD的邊長為4,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點，求PD卷PC的最小值和PD-次的最大值；(2)如圖2,已知正方形ABCD的邊長為9,圓B的半徑為6,點P是圓B上的一個動點，那么PD+|pC的最小值為,PD-9c的最大值為.(3)如圖3,已知菱形ABCD的邊長為4,/B=60,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點，那么PD+FC的最小值為,PD-的最大值為.第8頁(共9頁)8 .如圖1,拋物線y=ax2+(a+3)x+3(a*0)與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B,在x軸上有一動點E(m,0)(0m4),過點E作x軸的垂線交直線AB于點N,交拋物線于點P