1、球類運(yùn)動(dòng)中的理論力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)分析工院九系 范永祥 PB10009017 林奇標(biāo)PB10009001目的：球類運(yùn)動(dòng)是生活中常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)，然而這些運(yùn)動(dòng)中也蘊(yùn)藏了很多科學(xué)知識(shí)，本論文旨在運(yùn)用理論力學(xué)和流體力學(xué)以及空氣動(dòng)力學(xué)的知識(shí)分析排球飄球、足球香蕉球和乒乓球上旋下旋球的運(yùn)動(dòng)原理，利用抽象數(shù)學(xué)理論計(jì)算的方法，計(jì)算球的受力，進(jìn)而結(jié)合空氣動(dòng)力學(xué)的知識(shí)，分析球類的運(yùn)動(dòng)。關(guān)鍵字：飄球、香蕉球、上旋下旋球，卡門渦街，伯努利方程。引言：排球飄球：排球運(yùn)動(dòng)發(fā)球的一種。發(fā)球時(shí)身體正面對(duì)網(wǎng)站立，上手擊球，用力突然，并充分利用轉(zhuǎn)體、收腹、揮臂的力量，使球在不旋轉(zhuǎn)的情況下飛行，產(chǎn)生不規(guī)則的飄晃。具有較強(qiáng)的攻擊性。對(duì)運(yùn)動(dòng)

2、員的力量素質(zhì)及發(fā)飄球時(shí)由于擊球的作用力通過(guò)球體重心，使球不旋轉(zhuǎn)并帶有飄晃的飛行，使對(duì)方難以判斷，容易產(chǎn)生錯(cuò)覺(jué)，造成接發(fā)球困難。發(fā)這種球，面對(duì)球網(wǎng)；便于觀察對(duì)方，容易控制落點(diǎn)，準(zhǔn)確性較大，成功率較高，攻擊性強(qiáng)。正面上手飄球是目前排球比賽中最常用的一種發(fā)球方法。 乒乓球上旋下旋球：乒乓球是我國(guó)的國(guó)球，當(dāng)乒乓球本身帶著上旋飛行時(shí)，同時(shí)帶著球體周圍的空氣一起旋轉(zhuǎn)，但是由于球體上沿周圍空氣旋轉(zhuǎn)方向和對(duì)面空氣方向相反，因而受到阻力，導(dǎo)致其流速降低。而球體下沿的氣流與迎面空氣阻力方向相同，因而流速加快。最后的結(jié)果是，本來(lái)球體上下沿的壓力相等，現(xiàn)在變成上沿的增大，而下沿的減小。這樣由于球體受力不均衡，總的合力

3、方向是向下，給擊球者的感覺(jué)就是上旋球的下落速度加快。因此，在相同的條件下，上旋球的飛行弧線比不轉(zhuǎn)球的飛行弧線要低、要短。 如果是下旋球，其受力情況跟上旋球恰好相反，球體上沿的空氣流速快，壓強(qiáng)小，下沿的空氣流速慢，壓強(qiáng)大，所以氣流給球體一個(gè)浮舉力。這樣，在其他條件相同的情況下，下旋球比不轉(zhuǎn)或上旋球的弧線要高，要長(zhǎng)。足球香蕉球：又稱“弧線球”，足球運(yùn)動(dòng)技術(shù)名詞。指足球踢出后，球在空中向前并作弧線運(yùn)行的踢球技術(shù)。弧線球常用于攻方在對(duì)方禁區(qū)附近獲得直接任意球時(shí)，利用其弧線運(yùn)行狀態(tài)，避開(kāi)人墻直接射門得分。當(dāng)足球在空中飛行時(shí)，并且不斷地在旋轉(zhuǎn)，由于空氣具有一定的粘滯性，因此當(dāng)球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，空氣就與球面發(fā)生摩擦

4、，旋轉(zhuǎn)著的球就帶動(dòng)周圍的空氣層一起轉(zhuǎn)動(dòng)，從而形成足球在空中向前并作弧線飛行。由于球呈弧線形運(yùn)行，與香蕉形狀相似，故又俗稱“香蕉球”。 模型：我們先將排球（乒乓球、足球）抽象成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，并且假設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)以初始速率v0、仰角拋出，若空氣阻力與速率的平方成正比，為方便起見(jiàn)，我們假設(shè)比例系數(shù)為mk,m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，則有： mx=-mkv2xv=-mkvx=-mkvsx x=-ksxmy=-mkv2yv-mg=-mksy-mgy=-ksy-g其中x軸沿水平方向，y軸沿豎直向上。所以小球質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程可以寫成：x=-ksxy=-ksy-g進(jìn)一步y(tǒng)=dydt=ddtdydxdxdt= xdydx+x2d

5、2ydx2xdydx+x2d2ydx2=-ksy-g 將x=-ksx及y=dydxx帶入上式，得xd2ydx2=-g再將x=dxxx=12dxdx 及s=dsdxx代入x=-ksx，得12dx2dx=-kx2dsdxdx2x2=-2kds用初始條件t=0是s=0，x=v0cos，對(duì)上式積分，可得x2=v0cos2e-2ks將式（2）代入式（1），即得d2ydx2=-ge2ksv0cos2所以，小球質(zhì)點(diǎn)的微分方程可以寫成d2ydx2=-ge2ksv0cos2這里的s是自拋射點(diǎn)沿軌道經(jīng)過(guò)的路程。可見(jiàn)，質(zhì)點(diǎn)受到的空氣阻力越大，則d2ydx2越大。若我們忽略空氣阻力，則k=0，積分上述軌道微分方程，可

6、得：d2ydx2=-gv0cos2兩邊對(duì)x積分，dydx=-gv0cos2x+c1初始條件：x=0是，dydx=tan，定出c1=tan，dydx=-gvocosx+tany=-gv0cosx2+xtan+c2初始條件：x=0時(shí)，y=0，定出c2=0，y=-g2v0cos2x2+xtan=-g2v0cos2x2-2v02cos2tanx=-g2v0cos2x-v02sincos2+12v02gsin2 是標(biāo)準(zhǔn)拋物線方程。討論：以上是利用目前我們力學(xué)課堂上所講的知識(shí)進(jìn)行的計(jì)算，僅僅是將小球抽象成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。然而，僅僅依靠這些計(jì)算是不能夠解決的，論文中所涉及到的球類運(yùn)動(dòng)都是利用球的表面與空氣摩擦的阻

7、力進(jìn)而改變了“應(yīng)有”的運(yùn)動(dòng)軌跡給對(duì)方以錯(cuò)覺(jué)，進(jìn)而達(dá)到出奇制勝的效果。進(jìn)一步分析：排球飄球：在擊球的一閃那讓擊球力通過(guò)球心，這樣球就不會(huì)旋轉(zhuǎn)，根據(jù)流體力學(xué)原理，球在空中飛行時(shí)會(huì)在球的尾部產(chǎn)生卡門渦街（Karman Vortex Street），流體繞過(guò)非流線形物體時(shí)，物體尾流左右兩側(cè)產(chǎn)生的成對(duì)的、交替排列的、旋轉(zhuǎn)方向相反的反對(duì)稱渦旋?？ㄩT渦街是粘性不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)所研究的一種現(xiàn)象。流體繞流高大煙囪、高層建筑、電線、油管道和換熱器的管束時(shí)都會(huì)產(chǎn)生卡門渦街。排球在空氣中運(yùn)動(dòng)過(guò)程中也會(huì)出現(xiàn)。1911年，德國(guó)科學(xué)家T.von卡門從空氣動(dòng)力學(xué)的觀點(diǎn)找到了這種渦旋穩(wěn)定性的理論根據(jù)。對(duì)圓柱繞流，渦街的每個(gè)單

8、渦的頻率f與繞流速v成正比 卡門渦街，與圓柱體直徑d成反比。由于受到旋渦不規(guī)則作用，排球就會(huì)飄起來(lái)，有時(shí)候左右飄，有時(shí)候上下飄。乒乓球上旋下旋球：當(dāng)乒乓球本身帶著上旋飛行時(shí)，同時(shí)帶著球體周圍的空氣一起旋轉(zhuǎn)，但是由于球體上沿周圍空氣旋轉(zhuǎn)方向和對(duì)面空氣方向相反，因而受到阻力，導(dǎo)致其流速降低。而球體下沿的氣流與迎面空氣阻力方向相同，因而流速加快。由伯努利方程（Bernoullis equation）p+gh+12v2=c其中上式中p、v分別為流體的壓強(qiáng)、密度和速度；h為鉛垂高度；g為重力加速度；c為常量。對(duì)于氣體，可忽略重力，方程簡(jiǎn)化為：p+12v2Const(p0)顯然 ，流動(dòng)中速度增大，壓強(qiáng)就減

9、?。凰俣葴p小， 壓強(qiáng)就增大，最后的結(jié)果是，本來(lái)球體上下沿的壓力相等，現(xiàn)在變成上沿的增大，而下沿的減小。這樣由于球體受力不均衡，總的合力方向是向下，給擊球者的感覺(jué)就是上旋球的下落速度加快。乒乓球上旋球受力圖如果是下旋球，其受力情況跟上旋球恰好相反，球體上沿的空氣流速快，壓強(qiáng)小，下沿的空氣流速慢，壓強(qiáng)大，所以氣流給球體一個(gè)浮舉力。這樣，在其他條件相同的情況下，下旋球比不轉(zhuǎn)或上旋球的弧線要高，要長(zhǎng)。足球香蕉球：罰“香蕉球”的時(shí)候，運(yùn)動(dòng)員并不是拔腳踢中足球的中心，而是稍稍偏向一側(cè)，同時(shí)用腳背摩擦足球，使球在空氣中前進(jìn)的同時(shí)還不斷地旋轉(zhuǎn)這時(shí)，一方面空氣迎著球向后流動(dòng)，另一方面，由于空氣與球之間的摩擦，球周圍的空