1、專題3.2 數 列題組一、數列的求和與通項 1-1、(2022·江蘇南京市高淳高級中學高三10月月考)已知是公差不為零的等差數列，且，成等比數列（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和【解析】（1）由題意，即，聯立解得，所以數列的通項公式為；（2）由（1）得，所以1-2、(2022·蘇州期初考試-)(本小題滿分10分-)已知數列an的前n項和為Sn，且Sn2an2(nN*)(1)求an的通項公式；(2)設，若，求Tn【解析】(1)由已知Sn2an2(nN*)，當n2時，(nN*)得：， 2分故1，設cn，則cncn11(n2)，又n1時，a1S12a142，得a12

2、，則c1， 4分故數列cn是以1為首項，1為公差的等差數列， cn1(n1)×1n，ann×2n 5分(2)法一：由，得bn，則Tn1×()12×()23×()3n×()n， 所以Tn1×()22×()3n×()，由錯位相減法得Tn()2()3()nn×()，7分得Tn1()n×()n，Tnn×()n2(2n)×()n 10分-法二：因為，所以，則Tn 10分-1-3、(2022·武漢部分學校9月起點質量檢測)(10分-)設數列an的前n項和為Sn，滿足S

3、n1nan(nN*)(1)求數列an的通項公式；(2)設數列|的前n項和為Tn，求T2n的表達式【解析】(1)當n1時，a11a1，所以a1當n2時，Sn1nan，Sn11(n1)an1兩式相減得：，即(n2)ana1×××××××××××××又a1也滿足上式， 5分(2)令bn(2n1)2n2n(2n1)4n則，bn為等差數列10分-1-4、(2022·湖北省新高考聯考協(xié)作體高三起點考試-)已知數列為等差數列，且公差不為0，是與的等比中項(1)求數列的通

4、項公式，(2)記，求數列的前項之和【解析】：(1)設數列的公差為，由已知得：即，又(2)1-5、【2022·廣東省深圳市第七高級中學10月月考】已知等比數列中，且是和的等差中項.等差數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.【解析】（1）設數列的公比為，數列的公差為，由題意可得：，即，聯立，可得，則數列的通項公式為；由題意可得：，即，則數列的通項公式為.（2），則1-6、(2022·江蘇如皋中學高三10月月考)已知數列滿足：，且.（1）求數列的通項公式；（2）已知數列滿足：，定義使為整數叫做“幸福數”，求區(qū)間內所有“幸福數”的和.【解析】（1），當時，得，的

5、奇數項與偶數項各自成等差數列，且公差均為2，(為奇數)(為偶數)（2）設，令，區(qū)間內的“幸福數”為，所有“幸福數”的和為.題組二、數列的奇偶性問題-試卷2-1、（2021·廣東珠海·高三月考）已知數列為等差數列，且，數列滿足（1）求數列的通項公式；（2）求【詳解】（1）因為數列是等差數列，（2），數列的下標為偶數的項為以為首項，為末項，項數為的等差數列；下標為奇數的項為以4為首項，公比為64的等比數列，項數為n；2-2、【2022·廣東省深圳市福田中學10月月考】已知等差數列an前n項和為Sn，.（1）求數列an的通項公式及前n項和Sn；（2）設，求bn前n項和T

6、n.【解析】（1）由得.又因為，所以，則，解得；故，.（2）.當為偶數時：.當為奇數時：.綜上得.題組三、等差數列與等比數列的證明或判斷3-1、(2022·泰州中學期初考試-)(12分)已知數列滿足:，N*且.（1）求證: 數列為等差數列；（2）求數列的通項公式；（3）設，求數列的前項和.【解析】（1）證明：又數列是以首項為，公差為的等差數列（2）由（1）得，（3）解：3-2、(2022·江蘇泰州中學高三10月月考)數列中，設（1）求證：數列是等比數列；（2）求數列的前項和；（3）若，為數列的前項和，求不超過的最大的整數【解析】（1）將兩邊都加，得，而，即有，又，則，所以數

7、列是首項為，公比為的等比數列；（2）由（1）知，則，因此，所以；（3）由（2）知，于是得，則，因此，所以不超過的最大的整數是2021題組四、數列中的證明4-1、【2022·廣東省深圳市外國語學校第一次月考10月】已知等差數列的前項和為，且，（1）求；（2）設數列的前項和為，求證：【解析】【分析】（1）由已知條件列出方程組即可得出答案；（2）結合（1）中的通項公式，利用裂項相消法求出數列和，然后利用放縮法即可得出答案.【詳解】（1）設公差為，由題，解得，所以（2）由（1），則有則所以4-2、【2022·廣東省普通高中10月階段性質量檢測】已知數列，滿足，的前項和為，前項積為.

8、（1）證明：是定值；（2）試比較與的大小.【解析】【分析】（1）將已知遞推關系式化為，由此可求得，代入整理可得結論；（2）由（1）可得，根據數列單調遞增和可確定結果.【詳解】（1）證明：由得：，則，.（2）由（1）知：，單調遞增.又，當時，當時，；當時，.題組五、數列中的含參問題-試卷5-1、(2022·湖南省長郡中學開學考試-)在數列an為等差數列，且a3+a718；數列an為等比數列，且a2a664，a2a30；Sn1an1（n2）這三個條件中任選一個，補充到下面的問題-試卷中，并加以解答已知數列an的前n項和為Sn，a11，_（1）求數列an的通項公式；（2）是否存在正整數k8

9、，9，10，使Sk512，若存在，求出相應的正整數k的值；若不存在，請說明理由注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分【解答】解：選擇條件（1）因為數列an為等差數列，且a3+a718，a11，可得2a1+8d18，即2+8d18，解得d2，則an1+2（n1）2n1；（2）由（1）可得Snn（1+2n1）n2，當n8時，Sn64512，當n9時，Sn81512，當n10時，Sn100512，所以不存在正整數k8，9，10，使得Sk512選擇條件（1）數列an為等比數列，設公比為q，且a2a664，a2a30，a11，可得a1qa1q564，a12q30，解得q2（2舍去），則ana1q

10、n1（2）n1；（2）Sn1（2）n，當n8時，Sn0512，當n9時，Sn271512，當n10時，Sn0512，所以不存在正整數k8，9，10，使得Sk512選擇條件（1）Sn1an1（n2），可得S1a21a11，即a22，當n3時，Sn2an11，又Sn1an1，兩式相減可得an1Sn1Sn2an1an1+1，化為an2an1，即an從第二項起為公比為2的等比數列，可得an22n22n1，對n1也成立，故an2n1，nN*；（2）由（1）有Sn2n1，當n8時，Sn281255512，當n9時，Sn291511512，當n10時，Sn21011023512，所以存在正整數k8，9，10，使得Sk5125-2、（2021·廣東羅湖·深圳第三高中高三月考）已知：數列滿足（1）求； （2）求滿足的最大的正整數n的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據遞推公式求出，再根據，即可得到的奇數項是以為首項，為公比的等比數列，偶數項是以為首項，為公比的等