1、g哈密爾頓算子,讀作deli? -?-I?拉普拉斯算子:gradu u22uu22xy三類偏微分方程波動方程：魯二"琴弦的振動i桿，膜：液體，氣悻等的振動i電磁場的振苗拉普杭斯歷程：v，o空間的靜電場分布：描磁場分布；桎定溫度場分布*蜘與&方程：熱傳那中的溫度分布;流體的曠散、粘性液體的流動兩種特殊函數(shù)貝褰爾/*”4療+（，-忖“二。g物讓德。-凸W + <«+!）/-6 B 四種方法：分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法定解問題：初始條件.邊界條件.其他波動方程的初始條u |t o(x)(x)波動方程的邊界條件：=0= 0x-a工一口彈性支承端：在x=

2、a端受到彈性系數(shù)為k的彈簧的支承。定解問題的分類和檢驗：(1)初始 問題：只有初始條件，沒有邊界條 件的定解問題；(2)邊值問題：沒有初始條件，只 有邊界條件的定解問題；(3)混合問題：既有初始條件，也 有邊界條件的定解問題。? 解的存在性：定解問題是 否有解；? 解的唯一性：是否只有一 解；? 解的穩(wěn)定性：定解條件有 微小變動時，解是否有相B.熱府皆方稗的邊界條件(”給定溫度在辿畀1：的值可尸/ S 給蟲區(qū)域v的辿界 第 先邊界塞什(2)融弊狀態(tài).巴。哥二類邊界條件 一裔，口)熱交換狀態(tài)牛蝕冷卻定律；單位時間內(nèi)從物體簫過邊界匕單佗面租彼 到周圍介旗的.蟆量跟物體H血和外面的溫差成正比電優(yōu)(

3、iJMk 7 ¥心山 加人交換系被;即釧同介加的強度*aw吐 l =三第三類邊界條件應(yīng)的微小變動。分離變量法：基本思想：首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。把偏微分方程化為常微分一有界弦的門由振尚1求兩端固定的岐自由振動的規(guī)律春心期則/0)=加上£： = 4叫m 。v0父，A令 卅(茶 *(耳)丁的帝入方曜二附加,但=口討匕“例*1分 ,邊A1x) + AA(jf>=0帶入邊界條件a丁"卜。,¥(nri口x(o)®ofc x(n = o尹"薩；HC/

4、t ».說,“ '七Ctff tl。11仃,m=#1=3*1.CT/ r>e * Y E) + EH 磔-0,r. +小門門Q Ek 7 4 = 、(w= L2.工)巾.了3二 F 一AJr|- if fin-t (n - 1,1,*- MO ” . rtJT& , . Iflff .&式JEj J g (工 Ml jj 毋51力7. (FJ I j-Zj,?,。外隔”.人 月/”1. ra.嗑i(f _fhui f)sin(k = L 2,3," )siff * ix. .= A d) = i. ,1'U*= >)4HE劇有】f

5、iHM-含燈持足常歙并盤分方程在定條件卜的求豺同盟荷卜什|有：，仁使井棒.有非軍解的需數(shù)設(shè)-l (Hfr幣翕:和特征伯樸I對應(yīng)埼平零耕知情就河誑：L 廠打工C0 內(nèi).，)一</"4抄正X+E=0A=B=QT=fl+&i： rfi上- n v(*)-#* 芭，：=3 ,口x n。=步為事嘿數(shù)13 2f/M + Hf jffjl .»ixij;(n = 1.3,1 )其工=如疝7T (n=1.2J,-")方程來處理，使問題簡單化。適用范圍：波動問題、熱傳導(dǎo)問題、穩(wěn)定場問題等分離變量法步驟：一有界弦的自由振動二有限長桿上的熱傳導(dǎo)三拉普拉斯方程的定解問題事

6、明挑 £> 立. f“(V)=Uj"4.凡r>0必工二做時電9®匚0 i A, £ J df,他禹麥仙 闌內(nèi)m耳丫/") T+以:if) 廣切:丁 ="卓替初S和特衽函費4 “1”？芯闔屏sis早#求男 T 曲班r-rfiosf + D：«i /工,Is a -6 G1a , 打初 r,.門皿 ,“落味jfi配 u1",七/ 士工A Ju 二£ r + Dtl 期n -jHiu x jh'I (Haitsr卞 f JjF -1Gl13 J確W范敵 f = -f-& L, =-

7、W-Tgm-jcdrf %i,加皿；分離變量流程圖"打油刑況M卜-附=m-/*必=。r+/fjr=o丁=江城的聯(lián)蚓k莊手I：=MM式卦一丁，"1r_一、ftL 吊=mmt_« = £ P力離變就修可班求解鳳;有芹次邊界雜件的用衣假就分方和常用本征方程齊次邊界條件X” X 0X(0) X(l) 02-,k/l,k1,2LXk sin kxX'' X 0X'' X 0X'' X 0X(0)X'(l)0X'(0)X(l) 02, (k1)/l,k 0,1,22, (k ；)/l,k 0,1,2Xk

8、 sin kxK cos kXX '(0) X'(l) 0k /l,kXk cos kX0,1,2L非齊次方程的求解思路用分解原理得出對應(yīng)的齊次問題。解出齊次問題。求出任意非齊次特解。疊加成非齊次解。/firJ衣甘 j.三丁一4 t-tt + F【xJL 沙 祗一 吁用_“。/）二口.t > II加其口抑-卅-F了 -rri'r；RI?！?下jr t =魚tV=U. 0<t<LM X-1 f LR宜i三2 MMii -a«d2 j.五II齊次邊界條件的處現(xiàn) rV"“ t r u h-r =浦一r - / (A. ), ZV flv

9、.鈍底h，)-知()<1*4時上*加二卡jO*'L0'S =十仃上。&h！tV力g+匕Ip）SJi：（41明仲卜產(chǎn)丁。卜*：*p；Rlp）"電+獷廠口-%卜?！辈?t .足祀1f silt 時. ,O UH B3L k加 iff *rr 掌"/7沒：卜仃.卜_小小+切心配電" =取"=叼門"殖0/"+即卜irgr -h,- wjr) n1 (xj *i + wL fr)如也門-此口上貝仃卜g(此fOH+”g,0)5rr=帆#k 0 JF< I W (JTtF)="式"jG

10、63;4&g6-v. dT.押 tr AMTT *-r + /U.O + cr -;白. ck'th' vf仙。jr。蛇工。卜鵬城>=取x)-JFfjjOO,=W；t)ir-=r =-+ f <1I M 占，,唧用aH 7|,門黑網(wǎng)（1）-4-呵劉J和憶知無關(guān) cjrtr t /aj u. H'fQ)=%,IF(/) - i.應(yīng)用分離變特法求解定解同胞的舊騷行波法：1.基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。這一思想與常微分方程的解法是一樣的。2.關(guān)鍵步驟：通過變量變換，將波動方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。3.適用范圍：無界

11、域內(nèi)波動方程，等1,、，、u (x at)(x at)21 x at2a x at()d一維波動方程的達朗貝爾公式尸廿仁匚0】M* «Jfx,0)= tfjf.TK- -：-爐彳Hh出工(T + WJ +短fhh,u)- y,Lr + y;( v) - ghi+期，A嘲義工)，必金i/f(x)-/2 U) *CT."l+«.ex a cfJJ =C£Li - /； f 汗 + ti!)-八 * a - as)I 片 FTC j1 ,EffM )呵jf * af)+ 2nL四金 ) * a8工川一 £婀(拜J一N =:叫工徐川卜儀工.源)卜;JW

12、。鼠百一維波功方程的達朗做爾公式解的性質(zhì)：1.只有初始位移時，u(x,t)(x at) (xat)(x at)代表以速度a沿x軸正向傳播的波。(x at)u(x,t)x at代表以速度 假使初a沿x軸負向傳播的波。2.只有初始速度時:始速度在區(qū)間上是常數(shù)u(x,t)，、1，、1(x at) 1(x at)u(x，t) 2 (x at)(xat)2aat2a x atat Od恒等于 0()d2.對定解條件做相應(yīng)的積分變3積分變換法求解問題的步驟1. ?對方程的兩邊做積分變換將偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?,對解的變換式換，導(dǎo)出新方程的定解條件 3.對常微分方程，求原定解條件下解的變換式 相應(yīng)的逆變

13、換，得到原定解問題的解二積分變換法1 w制變推值若八6在(3+00)的任點一個區(qū)間內(nèi)耨足技里丸菜 條用且|八公|的存隹，喇H：/叱匚加“r卜在*”的間斷點處，睥立叫積分收欣2代氏變樵法拉普拉斯變換的定義門內(nèi)=i河圮-訥/o)-1 ”產(chǎn)爐印拉普世斯變換的性麗微分性/加I"卬六"'/lOH/t ':廣叫*網(wǎng)傅立葉二怏的定國£rfra"j必偏域分為程公 常微分方程艮度咂用21dH當(dāng)模性口 U打法又刖帶怔線法拉普拉斯方程的格林函數(shù)法:拉普拉斯方程邊值問題的提法:2報普拉斯方程的格林雨I色由第二格公式”網(wǎng)，TL哈雨況廿廿J- -L-V 4r g明均

14、為珊曲函敏，心£一廠JI王KlV-ftK%)T當(dāng)4w婚叫 一塌 11 (it 加.工訥Ar 11出典和函敷的和分表近式1 加I為相和Mi數(shù)，且謫=1 14 * F -伙用11 FT1(1(*"產(chǎn)* JC*TF、小V口內(nèi)W+，總與£W:4才公fCH丫為調(diào)和函繳.。滿足！ -11叫r:, r：uw.心*】=口"/ 1 1fT-t)r.'r4 汽FL格林函數(shù)便依敕于國城，和邊界條件無關(guān)，對于某些特殊區(qū)域，格林函數(shù)可以用初等方怯求Uh不忡：廠一?！?ASu |1第一邊值問題（狄氏問題）uf 2第二邊值問題（牛曼問題）3內(nèi)問題與外問題4調(diào)和函數(shù):具有二階偏

15、導(dǎo)數(shù)并且滿足拉普拉斯方程的連續(xù)函數(shù)2v -(u v)dV u dSVS n-格林公式及其結(jié)論v u vdVV(u2u)dV(u v)dSS n n1調(diào)和函數(shù)的積分表達式1.拉普拉斯方程的基本解u(M 0)111 u4-S(u-(r)dS(x ln1 rxo)2 (y yo)2 (z zo)2ln_1(x Xo)2(yyo)2三維二維和函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任一點的值可以通過積分表達式用這個函數(shù)在區(qū)域 邊界上的值和邊界上的法向?qū)?shù)來表示。v(u2u)dV(u vu )dSS n n2牛曼內(nèi)問題有解的必要條件取。平-dS 0S n均值公式女/us k 0uM)14 a2kaudS4拉普拉定，牛曼問題的解除了

16、相差程解的唯一性問題；狄氏問題的解唯 常數(shù)外也是唯一確定的。純點源產(chǎn)生的場（不計初始條件和邊界條三格林函數(shù)作以點處點電背電量品，點電荷密度噲曲1即 gq 處點電位fVXif）- -Jtr）%“，.-Mt點電持電盤曾點電朝密度MkrJ件的影響G（M，M0）自由空間的格林函數(shù)G（M,Mo） 4rMMo此耳0部-rj門- F：3r rg(解帆)fgM)M)f嗎0 4 rMM0JI/ jRc|5(r-rj |i針或冷-P：即外喇十再" v-uf.w j-門處 譏此-j-l-5也?。?ti 4*3u|u(M)0對泊松問題2一，、u(M) F (M),u(M )G(M,Mo)F(Mo)dVou|

17、f(M)u(M)(Mo)(Mou|1GTMF.OM"dVo4 rMM01 F(M0)dM04M rMu(M) F M ,內(nèi) 0典M必(Mo)dSo3f(Mo)dSo nu(M )0,f (M )u(M)對拉普拉斯問題區(qū)域的格林函數(shù)和狄氏問題的解電象法求格林函數(shù)在區(qū)域外找出區(qū)域內(nèi)一點關(guān)于邊界的象點，在這兩個點放置適當(dāng)?shù)碾姾桑?這兩個電荷產(chǎn)生的電位在曲面邊界上相互抵消。這兩個電荷在區(qū)域中形成的電位就是所要求的格林函數(shù)。半空間的格林函數(shù)111格林函數(shù)的性質(zhì):1、馴做)而，菰k麻汴M= M0 一點外處處滿足拉普拉斯方程。M趨于M0時,2、在邊界上3、在區(qū)域內(nèi)，下面的不等式成立格林函數(shù)0 G(

18、M,M0)4、在區(qū)域內(nèi)，格林函數(shù)具有對稱性G(M1,M2) G(M2,M1)四分之一空間的格林函數(shù)11111G(M ,Mo)4 rMM 0MM1 rMM 2MM37二宗呈近悔 x2y xyx2 n2 y 0, xHn1”)率甌y陟1 n)(2)21Hn (x) ：x expj(x -“力仇觸散成善時IETH當(dāng)為正投敢時Hjll） l>'二貝塞爾方程的求解H階貝奈東方程同E盤實數(shù)或凝敷A2y"+ xyr + （a,: -n'=0幅設(shè)A10|£令：丁 二 ?國.十町工十三一寸一一口產(chǎn)、+“）上£ kLTHr+& T）+dm一叫|一0 -1

19、H 斗,巾*1 尸-rr' -2 鼻 Z，鼻#尸一） 口.4/ 31- 0 7（r= H卜+ 1丫一"二k=Qfr+AV 廣卜，+?。?。C ±n C-n ffj =od） = tfj - a,. . = 0一% g* iCd-Fit）心電"工包圖行面第一加塞爾函數(shù)當(dāng)"為止整數(shù)時r（jH-rtt + J）-（h + rn）!小心4心廠 以rwU門4押】N2 ）時ir?它以Ji 2 j，-1I小片第一曼地案除函敦I制不為虻敷時+ 14第景方程的通郵仃和上.?。┘w性無關(guān)1 - 4。力* R7 1工）4 -cixm-f fj - -ck以工卜坐且吧幺色 硼修二類貝奈爾函電（華曼語鞋， *血”開y1出卜+加丁力2制為格熱時.貝麻爾方腳的修制*也1上“心"網(wǎng)=上