1、復數(shù)【知識梳理】一、復數(shù)的基本概念1、虛數(shù)單位的性質i叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：i可與實數(shù)進行四則運算；i21;這樣方程 X21 就有解了，解為xi或xi2、復數(shù)的概念(1)定義：形如abi(a,bCR)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，a叫做，b叫做。全體復數(shù)所成的集合C叫做復數(shù)集。復數(shù)通常用字母 z 表示，即zabi(a,bCR)對于復數(shù)的定義要注意以下幾點：zabi(a,bCR)被稱為復數(shù)的代數(shù)形式，其中bi表示b與虛數(shù)單位i相乘復數(shù)的實部和虛部都是實數(shù)，否則不是代數(shù)形式(2)分類：滿足條件(a,b為實數(shù))復數(shù)的分類a+bi為實數(shù)?b=0a+bi為虛數(shù)?bw0a+bi為純虛數(shù)?a=0日bw0

2、例題：當實數(shù) m 為何值時，復數(shù)(m5m6)(m23m)i 是實數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)?二、復數(shù)相等也就是說，兩個復數(shù)相等，充要條件是他們的實部和虛部分別相等注意：只有兩個復數(shù)全是實數(shù)，才可以比較大小，否則無法比較大小例題：已知(xy3)(x4)i0 求x,y的值三、共腕復數(shù)abi與cdi共腕 ac,bd(a,b,c,dR)zabi的共腕復數(shù)記作zabi,且zza2b2四、復數(shù)的幾何意義1、復平面的概念建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x 軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。顯然，實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。精心整理2、復數(shù)的幾何意義復數(shù)zabi與復平面內的點 Z(a,b

3、)及平面向量 OZ(a,b)(a,bR)是一一對應關系(復數(shù)的實質是有序實數(shù)對，有序實數(shù)對既可以表示一個點，也可以表示一個平面向量)相等的向量表示同一個復數(shù)例題：(1)當實數(shù) m 為何值時，復平面內表示復數(shù) z(m28m15)(m25m14)i 的點位于第三象限；位于直線yx上(2)復平面內 AB(2,6),已知CDAB,求CD對應的復數(shù)3、復數(shù)的模:向量OZ的模叫做復數(shù)zabi的模,記作用或|abi,表示點(a,b)到原點的距離,即zabi|Va2b2,|z|z若 z1abi,z2cdi,則,z2|表示(a,b)到(c,d)的距離，即 3z2|J(ac)2(bd)1例題：已知z2i,求|z1

4、i|的值二DA，：/五、復數(shù)的運算(1)運算法則：設z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,dCR1z1.abicdi(ac)(bd)i2z1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i乙(abi)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i22z2(cdi)(cdi)(cdi)cd(2)幾何意義：復數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數(shù)加減法的幾何意義，即=+,=六、常用結論(1)i,i21,i3i,i41求 in,只需將 n 除以4看余數(shù)是幾就是i的幾次例題：i675(2)(1i)22i,(1i)22ii)3【思考辨析

5、】判斷下面結論是否正確(請在括號中打或x”)(1)方程x2+x+1=0沒有解.()頁腳內容(2)復數(shù)z=a+bi(a,bCR)中，虛部為bi.()(3)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大小.()(4)原點是實軸與虛軸的交點.()(5)復數(shù)的模實質上就是復平面內復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模.()【考點自測】1 .(2015安彳款)設i是虛數(shù)單位,則復數(shù)(1i)(1+2i)等于()A.3+3iB.1+3iC.3+iD.-1+i2 .(2015課標全國I)已知復數(shù)z滿足(z1)i=1+i,則z等于()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i3.在復平面內，復數(shù)6+5

6、i,2+3i對應的點分別為A,B.若C為線段AB的中點，則點C對應的復數(shù)是()A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i4.已知a,bCR,i是虛數(shù)單位.若a+i=2bi,則(a+bi)2等于()A.3-4iB.3+4iC.4-3iD.4+3i5.已知(1+2i)=4+3i,貝Uz=.【題型分析】題型一復數(shù)的概念例1(1)設i是虛數(shù)單位若復數(shù)z=a(aR)是純虛數(shù)，則a的值為()A.-3B.-1C.1D.3(2)已知aCR,復數(shù)z=2+ai,z2=12i,若為純虛數(shù)，則復數(shù)的虛部為()A.1B.iC.D.0若z=(m2+m+1)+(m2+m4)i(mCR),z2=32i,則“m=1”是“z

7、=z2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件引中探究1.對本例(1)中的復數(shù)z,若|z|=,求a的值.2.在本例(2)中，若為實數(shù)，則a=.思維升華解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項（1）復數(shù)的分類及對應點的位置都可以轉化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程（不等式）組即可.（2）解題時一定要先看復數(shù)是否為a+bi（a,bCR）的形式，以確定實部和虛部.（1）若復數(shù)z=（x2-1）+（x-1）i為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為（）A.-1B.0C.1D.-1或1（2014浙7T）已知i是虛數(shù)單位，ajbCR,則“

8、a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件題型二復數(shù)的運算命題點1復數(shù)的乘法運算例2（1）（2015湖北）i為虛數(shù)單位，i607的共腕復數(shù)為（）IA.iB.-iC.1D.-1（2015北京）復數(shù)i（2i）等于（）A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i命題點2復數(shù)的除法運算例3（1）（2015湖南）已知=1+i（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z等于（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i（2）（）6+=.命題點3復數(shù)的運算與復數(shù)概念的綜合問題例4（1）（2015天津）i是虛數(shù)單位，若復數(shù)（12i）（a+i

9、）是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為.頁腳內容(2014江蘇)已知復數(shù)z=(5+2i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的實部為.命題點4復數(shù)的綜合運算例5(1)(2014安彳t)設i是虛數(shù)單位，表示復數(shù)z的共腕復數(shù)若z=1+i,則+i等于()A.-2B.-2iC.2D.2i(2)若復數(shù)z滿足(34i)z=|4+3i|,則z的虛部為()A.-4B.-C.4D.思維升華復數(shù)代數(shù)形式運算問題的常見類型及解題策略復數(shù)的乘法.復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可.(2)復數(shù)的除法.除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共腕復數(shù)，解題中要注意把i的幕寫成最簡

10、形式.復數(shù)的運算與復數(shù)概念的綜合題，先利用復數(shù)的運算法則化簡，一般化為a+bi(a,bCR)的形式，再結合相關定義解答.(4)復數(shù)的運算與復數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復數(shù)的運算法則化簡，一般化為a+bi(a,bCR)的形式，再結合復數(shù)的幾何意義解答.(5)復數(shù)的綜合運算.分別運用復數(shù)的乘法、除法法則進行運算，要注意運算順序，要先算乘除，后算加減，有括號要先算括號里面的.（2015山東）若復數(shù)z滿足=i,其中i為虛數(shù)單位,則z等于（）A.1iB.1+iC.-1-iD.-1+i2016(3)+2016=題型三復數(shù)的幾何意義例6（1）（2014重慶）實部為一2,虛部為1的復數(shù)所對應的點位于復平面的（

11、）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2）4ABC的三個頂點對應的復數(shù)分別為z1,z2,z3,若復數(shù)z滿足|zz1|=|zz2|=Zz3|,則z對應的點為ABCI（）A.內心B.垂心C.重心D.外心思維升華因為復平面內的點、向量及向量對應的復數(shù)是一一對應的，要求某個向量對應的復數(shù)時，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結論即可(1)如圖， 在復平面內， 點A表示復數(shù)z,則圖中表示z的共腕復數(shù)的點是()A.AB.BC.CD.D(2)已知z是復數(shù)，z+2i、均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復數(shù)(z+ai)2在復平面內對應的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍.【思想與方法】解

12、決復數(shù)問題的實數(shù)化思想典例已知x,y為共腕復數(shù)，且(x+y)23xyi=46i,求x,y.思維點撥(1)x,y為共腕復數(shù)，可用復數(shù)的基本形式表示出來；利用復數(shù)相等，將復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題.溫馨提醒(1)復數(shù)問題要把握一點，即復數(shù)問題實數(shù)化，這是解決復數(shù)問題最基本的思想方法.本題求解的關鍵是先把x、y用復數(shù)的基本形式表示出來，再用待定系數(shù)法求解.這是常用的數(shù)學方法.(3)本題易錯原因為想不到利用待定系數(shù)法，或不能將復數(shù)問題轉化為實數(shù)方程求解【方法與技巧】1.復數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實數(shù)化的過程.2.復數(shù)z=a+bi(a,bCR)是由它的實部和虛部唯

13、一確定的， 兩個復數(shù)相等的充要條件是復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題的主要方法.對于一個復數(shù)z=a+bi(a,bCR),既要從整體的角度去認識它，把復數(shù)看成一個整體，又要從實部、虛部的角度分解成兩部分去認識3.在復數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應向量的三角形法則，其方向是應注意的問題，平移往往和加法、減法相結合精心整理【失誤與防范】1.判定復數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義.2.兩個虛數(shù)不能比較大小.3.注意復數(shù)的虛部是指在a+bi（a,bCR）中的實數(shù)b,即虛部是一個實數(shù).【鞏固練習】1 .（2015福建）若（1+i）+（23i）=a+bi（a,bCR,i是虛數(shù)單位），則a

14、,b的值分別等于（）A.3,-2B.3,2C.3,-3D.1,42.設z=+i,則|z|等于（）A.B.C.D.23 .（2015課標全國II）若a為實數(shù)，且（2+ai）（a2i）=4i,則a等于（）A.-1B.0C.1D.24.若i為虛數(shù)單位，圖中復平面內點Z表示復數(shù)z,則表示復數(shù)的點是（）A.EB.FC.GD.H5 .（2014江西）是z的共腕復數(shù)，若z+j=2,（z）i=2（i為虛數(shù)單位），則z等于（）A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i6 .（2015江蘇）設復數(shù)z滿足z2=3+4i（i是虛數(shù)單位），則z的模為.7.若=a+bi（a,b為實數(shù)，i為虛數(shù)單位），則a+b=.8.復

15、數(shù)（3+i）m（2+i）對應的點在第三象限內，則實數(shù)m的取值范圍是.9.計算：（1）;（2）;（3）+;（4）.10.復數(shù)ZI=+（10a2）i,z2=+（2a5）i,若1+22是實數(shù)，求實數(shù)a的值.【能力提升】11.復數(shù)z1，z2滿足z1=m+（4m2）i,z2=2cos0+（狂3singi（m,入0R）,并且z1=z2,則入的取值范圍是（）A.-1,1B.C.D.12.設f（n）=n+n（nCN）,則集合f（n）中兀素的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.無數(shù)個13.已知復數(shù)z=x+yi,且|z2|=,則的最大值為.14.設aCR,若復數(shù)z=+在復平面內對應的點在直線x+v=0上，則a的值為.15.若1+i是關于x的實系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個復數(shù)根，則b=,c=.頁腳內容【鞏固練習參考答案】1A.2.B.3,B.4,D.5.D.6.7.3.8.m.9.解(1)=13i.=+i.(3) +=+=+=1.(4) =i.10.解1+Z2=+(a210)i+(2a-5)i=+(a2-10)+(2a-5)i=+(a2+2a15)i.-1+z2是實數(shù)，；a2+2a15=0,解得a=5或a=3.又(a+5)(a1)w0,aw5且aw1,故a=3.11.解析由復數(shù)相等的充要條件可得化簡得4-4coS28=狂3sin9,由此可得甘一4coS29-3sin升4=4(1sin2。一3sin