1、初三數(shù)學(xué)第一學(xué)期一元二次方程的概念及一元二次方程的解法1 .本周教學(xué)內(nèi)容：一元二次方程的概念及一元二次方程的解法2 .本周教學(xué)難點(diǎn)及重點(diǎn)：重點(diǎn)：一元二次方程的解法。難點(diǎn)：配方法解一元二次方程。3 .知識(shí)精講知識(shí)梳理1. 一元二次方程的定義。只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程。注:(1)整式方程：方程兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式。(2)只含一個(gè)未知數(shù)。(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2。2. 一元二次方程的一般形式。2一般形式是：ax+bx+c=0(aw0,a,b,c為常數(shù))其中a、b、c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。注：aw03. 一元二次方程的解如果一個(gè)數(shù)能使一元

2、二次方程左右兩邊的值相等，那么這個(gè)數(shù)就是一元二次方程的解。4. 一元二次方程的解法(1)直接開平方法22形如ax=b(ab>0)，或(mx+n)=a(mw0,a±0)，萬程可以利用平萬根的定乂,rj-用直接開平方法解得其根。其中的解是x=±,的解是x=-n-7a。:am注意因?yàn)檎龜?shù)a的平方根有兩個(gè)，即土，a,所以利用直接開平方法時(shí)要避免丟解。(2)配方法解一元二次方程把方程變?yōu)樽筮吺且粋€(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù)，再利用直接開平方法求解。注意配方的關(guān)鍵是，在二次項(xiàng)系數(shù)為1的條件下，方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方?！镜湫屠}】考查一元二次方程的概念

3、例1.下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的是()2A. axbxc=02B. k2x5k6-0221C. 3x-x042D. 3x21-2-0x分析：要看一個(gè)方程是否為一元二次方程，就要嚴(yán)格按概念來對(duì)照，因此解答的關(guān)鍵是理解一元二次方程的概念，在二次項(xiàng)系數(shù)不等于零上常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。解：A中最高次項(xiàng)為ax2,因無法判定a是否不為零，所以不能確定該方程是否為一元二次方程；B中最高次項(xiàng)為k2x,顯然不是關(guān)于x的一元二次方程；C中方程是一元二次方程；D中分母含有未知數(shù)，所以不是整式方程，從而也一定不是一元二次方程。答案：C點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程的概念，所給方程要想是一元二次方程，必須符合一元二次

4、方程的三個(gè)本質(zhì)特征。例2.方程（m+2）xmi+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A.m=±2B.m=2C.m=-2D.mw±2分析：本題考查一元二次方程的概念，要使方程是一元二次方程，則必須含有二次項(xiàng)，且二次項(xiàng)系數(shù)不能為零。|m|二2解：由題意得，im+2W0m=2答案：B點(diǎn)評(píng)：m滿足的條件有二，即二次項(xiàng)的未知數(shù)指數(shù)是2,系數(shù)不等于零，特別注意條件二的系數(shù)不等于零，此處易忽略。例3.若ax2-5x+3=0是一元二次方程，則不等式3a+6>0的解集是（）A.a-2B.a:二-2一八1C.a>-2且aw0D.a>2分析：由方程是一元二次方程，可得a

5、w0,再解不等式。解：.ax25x+3=0是一元二次方程，aw0又3a+6>0,a>-2,即a>2且aw。答案：C點(diǎn)評(píng)：在不等式的解集中附加第一個(gè)條件。例4.若xm*十2x2-3x-2=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m=。分析：方程是一元二次方程，則其最高次項(xiàng)是二次，它可能是xm書與2x2,也可能只有2x2,所以本題應(yīng)分類討論。解：.方程是一元二次方程，m+1=2w£m+1=m+1=0m=1或m=0或m-1點(diǎn)評(píng)：xm書的指數(shù)是2或1或0,均可保證方程是一元二次方程。2k14k1例5.已知（3k+1）x2+2kx=-3是關(guān)于x的一元二次方程，求不等式之-1的解集：23分

6、析：方程是一元二次方程，限制了k的一個(gè)范圍，求出不等式的解的集合，應(yīng)將此解集與前面k的范圍加以整合。2解：（3k+1）x2+2kx=-3是關(guān)于x的一元二次方程，一一13k+1金0,kw33(k-1),2(4k1)-6,k-14k1，123-5k-1kk-14k11-1.不等式士1的解集是kW且kw°2353一k-14k1一點(diǎn)評(píng)：求不等式之-1的解集時(shí)，不要忽略了23考查一元二次方程的一般形式例6,把方程3x2=J6x+冗-2化成一般形式，并指出其二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。分析：本題考查對(duì)一元二次方程一般形式的認(rèn)識(shí)，任何一個(gè)一元二次方程經(jīng)過變形整理，都可化為一般形式，其二次項(xiàng)系數(shù)

7、、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是對(duì)一般形式而言的。解：移項(xiàng)得，3x2J6x+2冗=0二次項(xiàng)系數(shù)是J3,一次項(xiàng)系數(shù)是-運(yùn),常數(shù)項(xiàng)是2-n點(diǎn)評(píng)：此方程中未知數(shù)是x,兀是一個(gè)常數(shù)，不是未知數(shù)。例7,把方程(x-V5)(x+5)+(2x-1)2=0化為一元二次方程的一般形式是()22A.5x4x4=0B,x-5=0_2_,_2-C.5x-2x1=0D.5x-4x6=0分析：本題考查了一元二次方程一般形式的同時(shí)，還考查了平方差公式和完全平方公式。解：(x-.5)(x.5)(2x-1)2=02_2x-54x-4x1=025x-4x-4=0答案：A點(diǎn)評(píng)：巧妙運(yùn)用公式來簡(jiǎn)化運(yùn)算，注意各項(xiàng)的符號(hào)。例8,已知關(guān)于x的方程

8、mx1m口十(2m+1)x=3是一元二次方程，則m=。分析：方程是一元二次方程，須滿足最高次數(shù)是二次，二次項(xiàng)系數(shù)不為零。解：方程是關(guān)于x的一元二次方程，|m-2|=2.m=4m*0易錯(cuò)點(diǎn)：一元二次方程的一般形式中二次項(xiàng)系數(shù)aw0在解決問題中容易出錯(cuò)，這是極易被忽略的一點(diǎn)?？疾橐辉畏匠痰慕饫?.若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的根，A=b2-4ac,B=(2ax0+b)2,試比較A與B的大小。分析：x0是方程的解，代入方程應(yīng)該能使方程成立，之后利用式子的特征進(jìn)行適當(dāng)變形即可。解：x0是方程ax2+bx+c=0(aw0)的根2ax0bx0c=0B=(2ax0b)2=4a2x：

9、4ax0bb2=4a2x2-4ax0bb24ac-4ac/2.x.2=4a(axobxoc)b_4ac2.=0b-4ac2=b-4ac=A.、一一,一一一.22.,點(diǎn)評(píng)：將B展開后，要用上axo+bxo+c=0,就要對(duì)式子變形，構(gòu)造出axo+bxo+c,同時(shí)顧及到A中的b2-4ac,已有b2,故需添上-4ac,于是利用添項(xiàng)法即可解決問題，這是數(shù)學(xué)中常見的式子變形方法。2例io.如果關(guān)于x的萬程x+px+1=o的一個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身，那么p的值是()A.1B.±1C.2D.±2分析：倒數(shù)恰為本身的數(shù)有1和1兩個(gè)，于是將1和1代入方程可得p的值。解：:倒數(shù)恰是本身的數(shù)是1

10、和一1,一2，1和一1都可以是萬程x+px+1=o的根2.當(dāng)x=1時(shí)，1+p+1=o,，p=22當(dāng)x=1時(shí)，(一1)一p+1=o,p=2答案：D點(diǎn)評(píng)：利用根的定義代入即可得p的值，應(yīng)注意的是其解有二。一元二次方程的解法(一)考查直接開平方法例1.用直接開平方法解下列方程。(1) 2x2-32=o2(2) 4(x-3)2-25=o(3) (x5)(x-5)=251 2(4) c(y3)=1661 2(5(3y-1)2-8=o2分析：所給五個(gè)問題都可經(jīng)適當(dāng)變形化成一個(gè)含未知數(shù)的式子的平方等于一個(gè)正的常數(shù)的形式，于是可用直接開平方法求解。._2一一.一，-2_解：(1)移項(xiàng)得，2x=32,兩邊同除以

11、2得，x=16由平方根的定義得，x=±4,'=4,x2=4。(2)移項(xiàng)得，4(x3)2=25,兩邊同除以4得，(x3)2="，4一一八工5111由平萬根的定義得，x3=±,，x=,x?=2122(3)原方程可化為，x225=25,移項(xiàng)得，_x2=5。_由平方根的定義得，x=±5'2,x1=5.2,x2=-5V2(4)兩邊同乘以6得，(y+3)2=96,由平方根的定義得，y+3=±4，6y1-346,y2-3-46，一一122(5)移項(xiàng)得，2(3y1)=8,兩邊同乘以2得，(3y1)=165由平方根的te義得，3y-1=±

12、;4,.¥=y2=一1。3點(diǎn)評(píng)：根據(jù)式子的特征，將左邊化成完全平方，右邊是正的常數(shù)的形式，再兩邊開平方，從而獲得其解。應(yīng)用時(shí)注意開平方后各系數(shù)符號(hào)的變化。(二)考查配方法解一元二次方程例2.用配方法解下列方程：2(1) 2x-x-3=0，一2.一(2) x-4x4=0，一、一2一一6x-x-2=021,之后配方再開平方得解。(4)y-5y1=0分析：根據(jù)要求，首先將二次項(xiàng)系數(shù)化為2解：(1)2xx3=0212(x2-x)-3=0211、c1c2(xx)-3-一二021682(x-1)4258(xT225164一3d一x1一xx2122(2)x-4x4=0(x-2)2=0x-2=0.x

13、1x2=26(x26(x26(x-力-229414412(x-)212X一x122x1=314449144土Z126x2-x-2=01x)-2=062(4)y5y1=02y-5y=-1(y25-5y=-145221-)=一2425+45,21y=±225,21一yi5-.21y2(三)配方法的應(yīng)用22例3.用配萬法解關(guān)于x的萬程：x+2mxn=0分析：因?yàn)槭顷P(guān)于x的方程，所以x作為未知數(shù)，m、n就認(rèn)為是已知數(shù)。22解：移項(xiàng)得，x+2mx=n2_222配萬得，x2mxm=nm即(x+m)2=n2+m2,x+m=±Vn2+m222.22.x1=-m.nm,.x2=-m-.nm點(diǎn)

14、評(píng)：含未知數(shù)的項(xiàng)移到左邊進(jìn)行配方，常數(shù)項(xiàng)移到另一邊，配方時(shí)兩邊同加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。一Ebr、，、r2八，八4,例4.用配方法證明：5x-6x+10一的值恒大于零。5分析：將原式按x進(jìn)行配方，化成一個(gè)數(shù)的平方與一個(gè)正數(shù)和的形式，即可表明其值為正數(shù)。24264解：5x-6x105(x一一x)1055526949=5(x-x)10-5255532-5(x-)2953232(x-)>0,一5(x-)+9>0554.一即5x-6x+10的值恒大于零。5點(diǎn)評(píng)：因二次項(xiàng)系數(shù)不為1,故應(yīng)首先提取5,將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,之后再配方?！灸M試題】(答題時(shí)間：30分鐘)-、選擇題1.下列方程中，一

15、元二次方程有()個(gè)。4x=3x(x-2)+3x-1=01x2+4x-會(huì)=0x2=033Wx-1=26x(x+5)=6x2A.1B.2C.3D.422.把方程(x-2)(x+2)+(2x-1)=0化為一兀二次萬程的一般形式是()_2.d_2_A.5xf4x-3=0B.x-5=02 2C.5x-2x1=0D.5x-4x6=03 .若方程(a2)x2+*'Ox=3是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是(B.a>0A.aw2C. a>0且aw2D. a為任意實(shí)數(shù)4.已知2是關(guān)于x的一元二次方程a的值為(5A.2B.-23x22a=0的一個(gè)根，則27C.3D.-2二、填空題(x-1)255.把方程()+3x=5化為一元二次方程的一般形式是,它的二次項(xiàng)是22,一次項(xiàng)是,二次項(xiàng)系數(shù)是,一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)是。6 .關(guān)于x的方程(k-1)(k+3)x2+(k-1)x-k+3=0,當(dāng)k時(shí)，它是一元二次方程，當(dāng)k時(shí)，它是一元一次方程。27 .如果關(guān)于x的萬程mx+(m1)x+5=0有一個(gè)解是2,那么m=。8 .某市財(cái)政收入連續(xù)三年以8%的速度遞增，若第一年的財(cái)政收入為a億元，則第三年的財(cái)政收入為。三、用直接開平方法解下列方程。(1) x2+3=28(2)(3) (x-4)2=25四、用配方法解下列方程(1) x2-2x-99=0一2