1、第6講數(shù)的整除性(二)這一講主要講能被11整除的數(shù)的特征。一個數(shù)從右邊數(shù)起，第1,3,5,位稱為奇數(shù)位，第2,4,6,位稱為偶數(shù)位。也就是說，個位、百位、萬位,是奇數(shù)位，十位、千位、十萬位,是偶數(shù)位。例如9位數(shù)768325419中，奇數(shù)位與偶數(shù)位如下圖所示：偶數(shù)位IIII76S325419IIIII奇數(shù)位能被11整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差(大數(shù)減小數(shù))如果能被11整除，那么這個數(shù)就能被11整除。例1判斷七位數(shù)1839673能否被11整除。分析與解：奇數(shù)位上的數(shù)字之和為1+3+6+3=13,偶數(shù)位上的數(shù)字之和為8+9+7=24,因為24-13=11能被11

2、整除，所以1839673能被11整除。根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，也能求出一個數(shù)除以11的余數(shù)。一個數(shù)除以11的余數(shù)，與它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和所得的差除以11的余數(shù)相同。如果奇數(shù)位上的數(shù)字之和小于偶數(shù)位上的數(shù)字之和，那么應在奇數(shù)位上的數(shù)字之和上再增加11的整數(shù)倍，使其大于偶數(shù)位上的數(shù)字之和。例2求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：(1)41873;(2)296738185。分析與解：(1)(4+8+3)(1+7)+11=7+11=0,7,所以41873除以11的余數(shù)是7。(2)奇數(shù)位之和為2+6+3+1+5=17,偶數(shù)位之和為9+7+8+8=32。因為17V32,所以應給17增加1

3、1的整數(shù)倍，使其大于32。(17+11X2)-32=7,所以296738185除以11的余數(shù)是7。需要說明的是，當奇數(shù)位數(shù)字之和遠遠小于偶數(shù)位數(shù)字之和時，為了計算方便,也可以用偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)字之和，再除以11,所得余數(shù)與11的差即為所求。如上題（2）中，（32-17）+11=1,4,所求余數(shù)是11-4=7。除以11的余數(shù)。分析與解：奇數(shù)位是101個1,偶數(shù)位是100個9。(9X100-1x101)+11=799+11=72,7,11-7=4,所求余數(shù)是4。例3還有其它簡捷解法，例如每個“19”奇偶數(shù)位上的數(shù)字相差9-1=8,1919191/整個13奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和

4、相差8x99=8X9X11,能被11整除。所以例3相當于求最后三位數(shù)191除以11的余數(shù)。例4用3,3,7,7四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的四位數(shù)？解：只要奇數(shù)位和偶數(shù)位上各有一個3和一個7即可。有3377,3773,7337,7733。例5用19九個數(shù)碼組成能被11整除的沒有重復數(shù)字的最大九位數(shù)。分析與解：最大的沒有重復數(shù)字的九位數(shù)是987654321,由（9+7+5+3+1）-（8+6+4+2）=5知，987654321不能被11整除。為了保證這個數(shù)盡可能大，我們盡量調(diào)整低位數(shù)字，只要使奇數(shù)位的數(shù)字和增加3（偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少3）,奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和的差就變?yōu)?+3

5、X2=11,這個數(shù)就能被11整除。調(diào)整“4321”，只要4調(diào)到奇數(shù)位，1調(diào)到偶數(shù)位，奇數(shù)位就比原來增大3,就可達到目的。此時，4,3在奇數(shù)位，2,1在偶數(shù)位，后四位最大是2413。所求數(shù)為987652413。A2875B例6六位數(shù)能被99整除，求A和B分析與解：由99=9X11,且9與11互質(zhì)，所以六位數(shù)既能被9整除又能被11整除。因為六位數(shù)能被9整除，所以A+2+8+7+5+B=22+A+B應能被9整除，由此推知A+B=5或14。又因為六位數(shù)能被11整除，所以(A+8+5)(2+7+B)=A-B+4應能被11整除，即A-B+4=0或A-B+4=11。化簡得B-A=4或A-B=7。因為A+B與A-B同奇同偶，所以有A+B=5JB+4=l%A-B=7；H-A=40在(1)中，AW5與A>7不能同時滿足，所以無解。在(2)中，上、下兩式相加，得(B+A)+(B-A)=14+4,2B=18,B=9。將B=9代入A+B=14,得A=5。所以，A=5,B=9。練習61 .為使五位數(shù)6口295能被11整除，口內(nèi)應當填幾？2 .用1,2,3,4四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)?3 .求能被11整除的最大的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)。4 .求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：(1)2485;(2)63582;(3)98765