1、第二學(xué)期期末高數(shù)（下）考試試卷及答案1一、填空題（每空3分，共15分）0t221. 設(shè)Fx2eldt，則Fx2xexx12. 曲面zsinxcosy在點(diǎn)一，一，一處442的切平面方程是xy2z10.3. 交換累次積分的次序：dxx,ydy14. 設(shè)閉區(qū)域D是由分段光滑的曲線L圍成,則:QP使得格林公式：dxdy?PdxQdydxyl成立的充分條件是：Px,y和Qx,y在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)其中L是D的取正向曲線；5.級(jí)數(shù)n13nn的收斂域是3,3單項(xiàng)選擇題（每小題3分,共15分）xy1. 當(dāng)x0,y0時(shí)，函數(shù)的極限是D3x4y21A.等于0;B.等于一；31C.等于一；D.不存在42. 函數(shù)

2、zfx,y在點(diǎn)x0,y0處具有偏導(dǎo)數(shù)fxx0,y0，fyx0,y0是函數(shù)在該點(diǎn)可微分的CA.充分必要條件；B.充分但非必要條件；C.必要但非充分條件；D.既非充分又非必要條件.3.設(shè)zexcosyxsiny，則dzx1BB.y0a.e；B.edxdy；c.e1dxdy;d.xedxdy4.若級(jí)數(shù)anx1在x1處收斂，n1則此級(jí)數(shù);在x2處AA.絕對(duì)收斂；條件收斂；C.發(fā)散；D.收斂性不確定.5.微分方程y6y9ye3x的特解y應(yīng)設(shè)為Da.ae3xB.3xaxbec.xax3xbeD.x2axbe3x三.（8分）設(shè)平面通過點(diǎn)3,1,而且通過,求該平面方程.1解：QA3,1,2,B4,3,0uuu

3、AB1,4,2平行該平面該平面的法向量n5,2,11,4,28,9,22所求的平面方程為:8x322即：8x9y22z59四.（8分）設(shè)zfxy,ey,其中fu,v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，2試求和xxy解：令uxy，vey五.（8分）計(jì)算對(duì)弧長的曲線積分e'22xydsReR20eRRdt其中L是圓周x2y2R2與直線x0,y0解：LL1L2L3其中：L1:x22yR2x0,y0L2:x00yRL3:y00xR在第一象限所圍區(qū)域的邊界22而exydsLi卡22故：exydsLRRRe2e2六、（8分）計(jì)算對(duì)面積的曲面積分Z2X3ydS'其中為平面一_2341在第一卦限中的部分0x2

4、解：QDxy:0y33x223-x40dx02361dy461,七.（8分）將函數(shù)fX,展開成x的幕級(jí)數(shù).x24x3解:Qfx111111121x3x21x61x3而12111nxn,1,11x2n01110nx,3,361xn03n3fxn01n1213-nxJ1,1八.（8分）求微分方程：5x43xy2y3dx3x2y3xy2y2dy0的通解.也PQ2解:Q6xy3y,yx原方程為：通解為：x513y322xyy3xC32246n九.幕級(jí)數(shù)：yx1xxxx2!4!6!2n!1. 試寫出yxyx的和函數(shù)；（4分）2.利用第1問的結(jié)果求幕級(jí)數(shù)x2n的和函數(shù).（8分）2n!解：1、yxx3x5x

5、2n13!5!2n于是yxx2x32!3!2、令：Sx2n2n由1知：Sxex且滿足：S通解：SexexdxCe1ex21得:；故：Sx2十.設(shè)函數(shù)ft在0,上連續(xù),且滿足條件其中t是由曲線ty2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面zt（參數(shù)t0）所圍成的空間區(qū)域1、將二重積分tx2y2dv寫成累次積分的形式（3分）2、試求函數(shù)ft的表達(dá)式.（7分）解：1、旋轉(zhuǎn)曲面方程為：ztx2y2X22ztxy，得：x2y2t在xoy面的投影區(qū)域?yàn)?Dxy:x2y212、由1得:記：A0則：ft1t12tAt2解得：15A44故:115fttN1t222兩邊乘以:第二學(xué)期期末高數(shù)（下）考試試卷及答案21t2再在

6、0,1上積分得:填空題（每空3分，共15分）2zy1.曲線，繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的x0旋轉(zhuǎn)曲面的方程是zx2y212.曲線z在點(diǎn)】，2,1處2的法平面方程是2x8y16z103.設(shè)z,其中fu具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),2z2x14.4.級(jí)數(shù)n滿足不等式5.級(jí)數(shù)n1nx1的收斂域是2nn1,3四、單項(xiàng)選擇題（每小題3分,共15分）1.設(shè)a與b為非零向量,則arra.a/b的充要條件；b.ab的充要條件；c.ab的充要條件；d.ab的必要但非充分條件2.平面3x3y60的位置是Ba.垂直于z軸；b.平行于z軸；c.平行于xoy面；d.通過z軸.3.設(shè)函數(shù)fx,y0當(dāng)Xy0時(shí)1當(dāng)xy0時(shí)則下列說法正確的是c

7、A.limfx,y存在且fx,y在點(diǎn)0,0處的x0y0兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)也存在B.limfx,y存在但fx,y在點(diǎn)0,0處的x0y0兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在c.limfx,y不存在但fx,y在點(diǎn)0,0處的x0y0兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在；d.limfx,y不存在且fx,y在點(diǎn)0,0處的x0yo兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)也不存在；4.曲線L為圓周x3cost0y3sintA.2c.6y232n13n；5.設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)ds等于AD.B.9n1132n12n1Unn1收斂，則必有a.limnUn1;b.limn1;c.limuncn0;D.limun0.n三.（8分）在平面1上求一直線,使得它與直線1垂直相交1解：方法1：直線y1的方向向量為

8、1,0,0z1它與平面xyz1的交點(diǎn)為1,1,1所求直線通過這一點(diǎn)，所求直線的方向向量為:故所求的直線方程為:y1方法2：直線的方向向量為1,0,0z1它與平面xyz1的交點(diǎn)為1,1,1所求直線通過這一點(diǎn),過交點(diǎn)1,1,1且與直線y1垂直的平面方程為:z1即：x1xyz1故所求的直線方程為：x1yz0或:四.（8分）設(shè)zz（x,y）是由方程z33xzy0所確定的隱函數(shù),2z解：設(shè)Fx,y,zz32xzy，則:Fx2z,Fy1,Fz3z22x,當(dāng)x0,y1時(shí)z1,2z3z22x3z22x)2z(6z24x(3z22x)3五.（8分）計(jì)算曲線積分1xe2ydxL其中L為從O0,0經(jīng)xx2e2yyd

9、yy24的上半圓到A2,2的一弧段解：由2xe2y知與路經(jīng)無關(guān)3取B2,0，作新路經(jīng)OBA折線,于是1Lxe2ydxx2e2yydy六、（8分）利用高斯公式計(jì)算曲面積分xz2dydzx2ydzdxy2zdxdy,其中為球面：x2y2z2a2的上半部分的上側(cè).解:作0:z0取下側(cè).貝Uxz2dydzx2ydzdxy2zdxdy而bz2x2y2dva50故:xz2dydzx2ydzdxy2zdxdy1七. （8分）將函數(shù)fxx24x展開成x1的幕級(jí)數(shù)111解:Qfx11而：412LJ4n2八. （8分）求微分方程：yy解：r210.r11,r21n1x彳n1x3x12n024xex的通解.1.Q1

10、是特征方程的單根，所以設(shè)yxAxBex.代入原方程得：A1,B1.y*xx1ex.故原方程的通解為：yC1exC2exx2xex.九.（12分）求由曲面z、x2y2和z6x2y2所圍成立體的體積6x2y2zx2y2解:Q:o2Dxyxy02十.（10分）設(shè)yfx是第一象限內(nèi)連接點(diǎn)A0,1，B1,0的一段連續(xù)曲線，Mx,y為該曲線上任意點(diǎn)，點(diǎn)C為M在x軸上的投影，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。若梯形OCMA的面積與曲邊三角形CBM的面積之和為1。試建立fx所滿足的微分方程，并求fx63的表達(dá)式。1解：梯形OCMA的面積為：一x12為邊的平行四邊形的面積等于、449曲邊三角形CBM的面積為:tdtx3dt根據(jù)題意

11、得：X12兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得:即:x2x2Cx1故：f丄dxex由:得：C2，故:第二學(xué)期高數(shù)（下）期末考試試卷及答案3填空題（每空3分，共15分）i.已知向量arb,4,則以a,b2.曲面zsinxcosy在點(diǎn)一，一，處442的切平面方程是xy2z10222y3.交換積分次序dxfx,ydydyfx,ydx0x0014.對(duì)于級(jí)數(shù)（a>0）,當(dāng)a滿足條件a1時(shí)收斂.nia5.函數(shù)y展開成x的幕級(jí)數(shù)2x（A）充要條件（B）充分但非必要條件n2x2x1n02二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分,共15分）1.平面x2z0的位置是（A）（A）通過y軸（B）通過x軸（O垂直于y軸（D）平行于xoz平面2函數(shù)

12、zfx,y在點(diǎn)x0,y0處具有偏導(dǎo)數(shù)fxx0,y0,fyx0,y0,是函數(shù)在該點(diǎn)可（C）(C)必要但非充分條件(D)既非充分又非必要條件3設(shè)zexcosyxsiny(A)e(B)(C)e1(dxdy)4.若級(jí)數(shù)anx1n在xn1則此級(jí)數(shù)在x2處(A)斂散性不確定，則dz|x1(B)y0e(dxdy)(D)ex(dxdy)1處收斂，D)(B)發(fā)散(C)條件收斂(D)絕對(duì)收斂5.微分方程yxyx的通解是(D)!x2(A)ye2-x2(B)y(C)yCe2(D)yCe2-x2三、(本題滿分8分)設(shè)平面通過點(diǎn)3,1,2，而且通過直線心2z，求該平面方程.521解：由于平面通過點(diǎn)A3,1,2及直線上的點(diǎn)

13、B4,3,0,因而向量AB1,4,2平行于該平面該平面的法向量為：n(5,2,1)(1,4,2)(8,9,22)則平面方程為:8(x4)9(y3)22(z0)0.或：8(x3)9(y1)22(z2)0.即：8x9y22z590.四、（本題滿分8分）xy,xy，其中fu,v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),試求fiyf2,五、（本題滿分8分）計(jì)算三重積分yzdxdydz,其中x,y,z0x1,1y1,1z212dyzdziii解:zdxdydzdxo六、（本題滿分8分）計(jì)算對(duì)弧長的曲線積分Lexyds，其中L是圓周x2y2R2在第一象限的部分.解法2Lexyds解法二：Le22xydseRdseRg_（L的弧

14、長）LReR2解法三：令xRcos，yRsin，0，2七、（本題滿分9分）計(jì)算曲面積分qxdydzzdzdx3dxdy，其中是柱面x2y21與平面z0和z1所圍成的邊界曲面外側(cè).解：Px,Q乙R3,由高斯公式：qxdydzzdzdx3dxdy八、（本題滿分9分）求幕級(jí)數(shù)nxn1的收斂域及和函數(shù).n1解：收斂半徑：Rlim出1nan1易判斷當(dāng)x1時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散于是收斂域?yàn)?,1九、（本題滿分9分）求微分方程y4yex的通解.解:特征方程為：r240特征根為：r2,r24y0的通解為：丫C1e2xC2e2x設(shè)原方程的一個(gè)特解為：yAex,1x原方程的一個(gè)特解為：ye3故原方程的一個(gè)通解為：y丫yC

15、1e2xC2e2x-ex3十、（本題滿分11分）設(shè)L是上半平面y0內(nèi)的有向分段光滑曲線,其起點(diǎn)為1,2，終點(diǎn)為2,3,212X記I|xydxxydyLyy1 證明曲線積分I與路徑L無關(guān)；2 .求I的值.證明1：因?yàn)樯习肫矫鍳是單連通域，在G內(nèi)：212XPx,yxy,Qx,yxy二yy有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且：Pc1Qc1PQ2xy,2xy,yyxyyx所以曲線積分I與路徑L無關(guān)。解2：設(shè)A1,2,B2,3,C2,2，由于曲線積分I與路徑L無關(guān)，故可取折線路徑：ACB。東北大學(xué)高等數(shù)學(xué)（下）期末考試試卷2007.7.選擇題（4分6=24分）1、設(shè)a,b,c為非零向量，則（ab）c=(A)a(bc)(B)

16、(ba)c(C)c(ab)(D)c(ba).f(x,y)在(Xo,y°)處2.函數(shù)zf（x,y）在點(diǎn)（x0,y0）可微分的充分條件是3. 設(shè)D:x123 .二次積分odxeydy的值是y22x，f(x,y)在D上連續(xù).f(x,y)d=D(A)2sindf(rcos,rsin00)rdr(B)22cosdf(rcos00',rsin)rdr(C)2cos2df(rcos,rsin02)rdr(D)2sin2df(rcos0'2,rsin)rdr4若級(jí)數(shù)Un與Vn都發(fā)散，則必有n1n1(A)(UnVn)發(fā)散(B)(UnVn）發(fā)散n1n1(C)（u：V；）收斂n1(D)(U

17、nn1Vn）收斂、填空題（4分6=24分）1.直線-與平面xy2z60的交點(diǎn)是132 .用鋼板做體積為8m0x的有蓋長方體水箱.最少用料S=2.4. 設(shè)為球面x2y2z2a2(a0)，貝Uo(xy)2dS=L5. 小山高度為z5x22y2.在(-,1,-)處登山，最陡方向是.246.設(shè)f(x)為周期為2的周期函數(shù)，它在,)的表達(dá)式為1,x0f(x)c，x,0x若f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x)，則s()s()=_2三. (10分)求過點(diǎn)(1,2,3)垂直于直線-而與平面7x8y9z1004 56的平行的直線方程.1四. (10分)將函數(shù)f(x)一展開成(x?1)的幕級(jí)數(shù).并給出收斂域。x

18、4x3五. (10分)計(jì)算三重積分(x2y2x)dv?其中？是由拋物面x?y?2z及平面z?5所圍成的空間閉區(qū)域？六. (10分)設(shè)L是由直線x2y2上從A(2,0)到B(0,1)一段及圓弧x1y2上從B(0,1)再到C(1,0)的有向曲線，計(jì)算L(x22y)dx(3xyey)dy七. (10分)計(jì)算曲面積分，x'dydzy3dzdxz'dxdy,其中為球面x2y2z22az(a0)八. (10分)設(shè)uf(x2y2,z),f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而zz(x,y)由方程得t1ez確定，求高等數(shù)學(xué)參考答案2007.7一選擇題(本題共4小題，每小題4分，共計(jì)16分)1、【解】應(yīng)選擇Db

19、c(ba)=c(ab)=(ab)(c)=(ab)c2. 【解】應(yīng)選擇Aofx(x,y),fy(x,y)在點(diǎn)Po(xo,y°)連續(xù)zf(x,y)在點(diǎn)Po(x°,yo)處可微分3o【解】應(yīng)選擇CO在極坐標(biāo)下2cosf(x,y)d=2df(rcos,rsin)rdrD204o【解】應(yīng)選擇Bo二、填空題(本題共6小題，每小題4分，共計(jì)24分)1. 【解】應(yīng)填(1,1,3)直線化為參數(shù)式代入平面方程(12t)(2t)2(3t)60代入?yún)?shù)方程得X1,y1,z3故交點(diǎn)為(1,1,3)2. 【解】應(yīng)填24m2設(shè)水箱的長為xm?寬為ym?則其高應(yīng)為m?此水箱所用材料的面積為xy8888小S

20、2(xyyx)2(xy)(x0,y0)?xyxyxy82)0?得x?2?y?2?y8令Sx2(y2)0?Sy2(xx即當(dāng)水箱的長為2m寬為2m高為走“時(shí)?水箱所用的材料最省?最少用料為S(2,2)2(222222)24m23 .解11dxe0x1dy=°ey2dyydx=00yedy=*e111=;(1-)02e4.【解】應(yīng)填8a4?322(xy)dS=(x2xy)dS=2x2dS于是s()(4分)sS1n方程為=2(x2y2z2)dS=?a2'dS=833a45.解gradz(6.解由于xs(2)=應(yīng)填3i4j?31,3)處登山，最陡方向是432,1)(2xi4yj)1應(yīng)填-？2三.解x22y2在(|,1)的梯度方向.(孑1)=3i4j是f(x)間斷