1、第五章留數(shù)及其應(yīng)用(Residueandapplication)第一講授課題目：§5.1孤立奇點教學(xué)內(nèi)容：孤立奇點的分類、各類奇點的特征、函數(shù)的零點與極點的關(guān)系、函數(shù)的零點與極點的關(guān)系.函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)學(xué)時安排：2學(xué)時教學(xué)目標(biāo)：1、掌握孤立奇點的分類2、理解并掌握各類奇點的特征3、了解函數(shù)的零點與極點的關(guān)系及函數(shù)的零點與極點的關(guān)系教學(xué)重點：孤立奇點的分類教學(xué)難點：各類奇點的特征教學(xué)方式：多媒體與板書相結(jié)合作業(yè)布置：P132133習(xí)題五：1-5板書設(shè)計：一、孤立奇點的分類二、各類奇點的特征三、函數(shù)的零點與極點的關(guān)系參考資料：1、復(fù)變函數(shù)，西交大高等數(shù)學(xué)教研室，高等教育出版社.2、復(fù)

2、變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解，高等教育出版.3、復(fù)變函數(shù)論，（鐘玉泉編，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、復(fù)變函數(shù)與積分變換蘇變萍陳東立編，高等教育出版社，2008年4月.課后記事：1、會判斷函數(shù)的孤立奇點，并能正確分類2、基本掌握各類奇點的特征3、課后要答疑教學(xué)過程：§5.1孤立奇點(Isolatedsingularpoint)一、孤立奇點的分類(Isolatedsingularpointsof)設(shè)函數(shù)f(z)在去掉圓心的圓盤D:0|zzo|R(0R)內(nèi)解析，那么我們稱Z0為f(z)的孤立奇點.在D內(nèi)，f(z)有洛朗展式f(z)n(zZ0)n,n其中f-d、n1uZ

3、0),(n0,1,2,)C是圓|zz°|(0R).n(zz°)n,為f(z)的解析部n0分，n(zZo)",為f(z)的主要部分.1sinz0是,ezn11-的孤立奇點.z1.1sinzz0n1,2,是它的孤立奇點.n一般地，對于上述函數(shù)f(z)，按照它的洛朗展式含負幕的情況(主要部分的情況)，可以把孤立奇點分類如下：定義(Definition)5.1(1)若f(z)在z。的主要部分為零，則稱Z°為f(z)的可去奇點.(2)若f(z)在zo點的主要部分為有限多項.即mm(zZo)(Z(m1)Zo)1zZo則稱Zo為f(z)的m階極點.(3)若f(z)在Z

4、o點的主要部分有無限多項,則稱Zo為f(Z)的本性奇點.二、各類奇點的特征(Thecharacteristicsofvarioustypesofsingularities)我們說z0是f(z)1、可去奇點(Removablesingularity)的可去奇點，或者說f(Z)在Zo有可去奇點.這是因為令f(Zo)0，就得到在整個圓盤|Zz0|R內(nèi)的解析函數(shù)f(Z).定理(Theorem)5.1函數(shù)f(z)在D:0|zzo|R(0R)內(nèi)解析，那么Z0是f(z)的可去奇點的必要與充分條件是：存在著極限，limf(z)o，其中o是一個復(fù)數(shù).Z%證明：(必要性).已知zo是f(z)的可去奇點，在0|z勺

5、|R內(nèi)，f(z)有洛朗展式：f(Z)01(ZZo).n(ZZo)n.因為上式右邊的幕級數(shù)的收斂半徑至少是R,所以它的和函數(shù)在|zz01R內(nèi)解析，于是顯然存在著limf(z)0.zz(充分性)設(shè)在0|zZolR內(nèi)，f(z)的洛朗展式是nf(z)n(ZZo),n其中n-grd,(no,1,2,.)2i(zo)已知limf(z)o，所以存在著兩個正數(shù)M及o(R)，使得ZZo在0|ZZo|o內(nèi)，1 f(Z)|M,那么取，使得oo，我們有2 MInl2-Mfr(no,1,2,.)當(dāng)no時，在上式中令趨近于o，就得到no(n1,2,3,.).于是zo是f(z)的可去奇點.定理(Theorem)5.1設(shè)zo

6、為f(z)的孤立奇點，則zo是f(z)的可去奇點的充分必要條件是：存在著某一個正數(shù)o(R)，使得f(z)在0|zZo|0內(nèi)有界.2. 極點(Pole)設(shè)Zo是f(z)的m階極點.當(dāng)m1時，稱Zo是f(z)的單極點，當(dāng)m1時，稱zo是f(z)的m重極點.Zo是f(z)的m(1)階極點，那么在0|zZo|R內(nèi)，f(z)有洛朗展式:m(zZo)(ZZo)zZo01(ZZo).n(ZZo)n在這里mO.于是在O|ZZo|R內(nèi)f(Z)m(ZZo)(Zm1Zo)1ZZoo1(ZZo)n(ZZo)n1mZZo其中(z)是一個在|zzo|R內(nèi)解析的函數(shù)，并且(zo)o.反之，如果函數(shù)f(z)在O|zZo|R內(nèi)

7、可以表示成為上式右端的形狀，而(z)是一個在|zZo|R內(nèi)解析的函數(shù)，并且(zo)O，那么可以推出Zo是f(z)的m階極點.這樣我們就得到：Zo是f(z)的m階極點充要條件是：£/、1f(z)mz(1)ZZo其中(z)在Zo解析，并且(Zo)O.由此可得如下定理：定理(Theorem)5.2設(shè)函數(shù)f(z)在D:O|zZo|R(OR)內(nèi)解析，那么Zo是f(z)的極點的充分必要條件是：limf(z).zzo推論設(shè)函數(shù)f(z)在D：o|zZolR(OR)內(nèi)解析，那么Zo是f(z)的m階極點的充分必要條件是：lim(zzo)mf(z)m,zZo在這里m是一個正整數(shù)，m是一個不等于0的復(fù)常數(shù).

8、3. 本性奇點(Essentialsingularity)定理(Theorem)5.3設(shè)函數(shù)f(z)在D:0|z昂R(0R)內(nèi)解析，那么z是f(z)的本性奇點的充分必要條件是：不存在有限或無窮極限limf(z).z1例3研究是函數(shù)fze'孤立奇點的類型1解：z0是函數(shù)fze"的孤立奇點.1當(dāng)z沿正實軸趨近于0時，e7趨近于；1當(dāng)z沿負實軸趨近于0時，e;趨近于0；11所以limez不存在，故z0是函數(shù)fzez的本性奇點.z0例4研究是函數(shù)fz匹孤立奇點的類型z解：z0是函數(shù)fz匹的孤立奇點.因為函數(shù)zfz駐在0|z|內(nèi)的洛朗展式為zsinzz3!5!n2n(1)z(2n1)!

9、由于展式中負幕項系數(shù)均為0，故故z0是函數(shù)fzsinz可去奇點.例5求出下列函數(shù)的奇點，并確定它們的類型，對無窮遠點也要加以討論:(1)f(z)sin4rz(2)f(z)(1解(1)(法一)f(z)以z0為奇點先求f(z)在0|z|的洛朗展式:n2n1f呀土當(dāng)13zn1n2n1(1)z(2n1)!由此，f(z)在z0的負幕項部分為零;0為f(z)的可去(法二)sinzlimz06zsinzzcosz1因為lim3lim2z0z3z03z2故z0為f(z)可去的奇點(2)顯然z1是f(z)的二級極點.三、函數(shù)的零點與極點的關(guān)系(Functionrelationshipbetweenthezero

10、andpole)定義(Definition)5.2若f(z)zz0mz，其中(z)在z°解析，且(z°)0，m是一正整數(shù)，則稱z°為f(z)的m階零占八、定理(Theorem)5.4若f(z)在z解析，則z為f(z)的m階零點充分必要條件是fn(Z。)0n0,1,m1,fmZo0證明：(必要性)若zo為f(z)的m階零點，則f(Z)ZZomZ設(shè)(z)在Zo的泰勒展式為(z)01(ZZo).n(ZZo)n其中o(Zo)0，從而f(z)在Zo的泰勒展式為f(z)moZZom11ZZo由此式推知fn(Zo)0n0,1,m1,fmZo(充分性)課后作業(yè)注1:不恒為零的解析

11、函數(shù)的零點是孤立的(Analyticfunctionisnotidenticallyzerozeroisisolated)零點與極點有如下關(guān)系1定理(Theorem)5.5z為f(z)的m階極點，則z是的mfz階零點，反之亦然.1例6函數(shù)fz有什么奇點？如果是極點，指出它們sinz的階.解：sinz0zkk0,1,2,是函數(shù)f(z)的孤立奇點，由于(sinz)0k0,1,2,所以zkk0,1,2,都是sinz的一階零點，也就是1fz一階極點.sinz四、函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)(FunctioninthebehaviorofInfinity)定義(Definition)5.3設(shè)函數(shù)f(z)在無窮遠

12、點的鄰域R|z|內(nèi)解析，則稱無窮遠點為f(z)的孤立奇點.在R|z|內(nèi)，f(z)有洛朗級數(shù)展式：f(z)nznn(2)其中1，按照Rw10或R0，我們得到在0|w|R或R,n0,1,2,.)0|w|內(nèi)解析的函數(shù)(w)f(-)，在0|w|-內(nèi)其洛朗wR級數(shù)展式是：(w)bnwnn再用w1代入，得到在R1z|內(nèi)zf(z)bnznn(3)(3)與(2)對比得nbn,n0,1,2,因此，有(1)在(2)中,如果當(dāng)時n1,2,3,時,0，那么z是f(z)的可去奇點.(2) 在(2)中，如果只有有限個(至少一個)整數(shù)n0,使得n0，那么z是f(z)的極點設(shè)對于正整數(shù)m，m0，而當(dāng)nm時，n0，那么我們稱z

13、是f(z)的m階極點.(3) 在(2)中，如果有無限個整數(shù)n0，使得n0,那么稱z是f(z)的本性奇點注2：我們也稱芒，憶：分別為級數(shù)説，的解n0n1n析部分和主要部分注3:若z為f(z)的可去奇點，也說f(z)在無窮遠點解析.注4：有限點的結(jié)論都可以推廣到無窮遠點的情形，有定理(Theorem)5.6設(shè)函數(shù)f(z)在無窮遠點的鄰域R|z|(R0)內(nèi)解析，則孤立奇點z為f(z)的可去奇點、極點、本性奇點的充分必要條件是存在著有限、無窮極限limf(z)、不存在有限或無窮的極限limf(z).zz1例7求函數(shù)f(z)丄在的去心鄰域內(nèi)的洛朗展式，z(z1)并指出其收級域.解：因f(z)在1|z|內(nèi)

14、解析，故在此領(lǐng)域內(nèi)展為洛朗級數(shù).11111111111z(z1)z1zz11zznnzn0zzn1z1nn2z例8函數(shù)f(z)12z3z24z3是否以z為孤立奇點？若是，屬于哪一類？解：函數(shù)f(z)12z3z24z3在全平面上解析，式子本身就是f(z)在無窮遠點的鄰域|z|內(nèi)的洛朗展式，所以z是函數(shù)f(z)的孤立奇點且為三階極點.例9函數(shù)f(z)-是否以z為孤立奇點？sinz1解：函數(shù)f(z)在全平面上除sinz的零點以外為解sinz1析，但sinz的零點Zkkk0,1,2,，它們都是f(z)sinz的極點，且在擴充復(fù)平面上，序列Zk以z為聚點，因此1z不是函數(shù)f(z)的孤立奇點.sinz&#

15、167;5.2留數(shù)留數(shù)的概念及留數(shù)定理、留數(shù)的求法、函數(shù)在無窮遠點的的留數(shù)1、掌握留數(shù)定理及留數(shù)的求法2、正確理解函數(shù)在無窮遠點的的留數(shù)3、了解留數(shù)的概念留數(shù)定理留數(shù)的求法講授法多媒體與板書相結(jié)合P132133思考題：1，2，3.習(xí)題五：6-8一、留數(shù)定理二、留數(shù)的求法三、函數(shù)在無窮遠點的的留數(shù)1 復(fù)變函數(shù)，西交大高等數(shù)學(xué)教研室，高等教育出版社.2 復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解，高等教育出版社.3 復(fù)變函數(shù)論，（鐘玉泉編，高等教育出版社，第二版）2005.4 復(fù)變函數(shù)與積分變換,蘇變萍陳東立編，高等教育出版社，2008.1、會求留數(shù)2、能理解留數(shù)的概念3、課后要答疑第二講授課題目：&#

16、167;5.2留數(shù)教學(xué)內(nèi)容：留數(shù)的概念及留數(shù)定理、留數(shù)的求法、函數(shù)在無窮遠點的的留數(shù).學(xué)時安排：2學(xué)時教學(xué)目標(biāo)：1、掌握留數(shù)定理及留數(shù)的求法2、正確理解函數(shù)在無窮遠點的的留數(shù)3、了解留數(shù)的概念教學(xué)重點：留數(shù)定理教學(xué)難點：留數(shù)的求法教學(xué)方式：多媒體與板書相結(jié)合作業(yè)布置：P132133思考題：1，2，3.習(xí)題五：6-8板書設(shè)計：一、留數(shù)定理二、留數(shù)的求法三、函數(shù)在無窮遠點的的留數(shù)參考資料：1、復(fù)變函數(shù)，西交大高等數(shù)學(xué)教研室，高等教育出版社.2、復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解，高等教育出版.3、復(fù)變函數(shù)論，（鐘玉泉編，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、復(fù)變函數(shù)與積分變換蘇變萍陳東立編

17、，高等教育出版社，2008年4月.課后記事：1、會求留數(shù)2、能理解留數(shù)的概念3、課后要答疑教學(xué)過程：§5.2留數(shù)(Residue)留數(shù)的概念及留數(shù)定理Theconceptoftheresidueandtheresiduetheorem)設(shè)函數(shù)f(z)在點Z)解析.作圓C:|zz0|r，使f(z)在以它為邊界的閉圓盤上解析，那么根據(jù)柯西定理，積分Cf(z)dz0設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域0|zz0|R內(nèi)解析.選取r，使0rR，并且作圓C:|zzo|r，那么如果f(z)在z°也解析，則f(z)dz0;如果z是f(z)的孤立奇點，則積分f(z)dz就CC不一定等于零；關(guān)于f(z)dz的

18、計算有C定義(Definition)5.4如果z0是f(z)的孤立奇點，函數(shù)f(z)在區(qū)域0|zz01R內(nèi)解析.則稱積分匚f(z)dz為2iCf(z)在孤立奇點z的留數(shù)，記作ReSfz,z0)，這里積分是沿著C按逆時針方向取的.注1:我們定義的留數(shù)Resfz,z。)與圓C的半徑r無關(guān).事實上：在0|zz°|R內(nèi)，f(z)有洛朗展式：f(z)nn(zZ°)，n1當(dāng)n1時，1丄2iCf(z)dz有Cf(z)dz2i1即,ReSfz,Z0)1.(1)這就是說f(z)在孤立奇點z。的留數(shù)等于其洛朗級數(shù)展式中的系數(shù).zz°11解：在0|Z|內(nèi)111f(z)zeZz12!z3

19、!z所以Resf1z,0)1-例1求f(z)zeZ在孤立奇點z0處的留數(shù)2!定理(Theorem)5.7(柯西留數(shù)定理)(Cauchyresiduetheorem)設(shè)f(z)在D內(nèi)除去有孤立奇點z1,z2,.,zn外處處解析，C是D內(nèi)包圍各奇點的一條正向簡單閉曲線，那么nCf(z)dz2iResfz,Zk,k1證明：以D內(nèi)每一個孤立奇點Zkk1,2,n為心，作圓k使以它為邊界的閉圓盤上每一點都在D內(nèi)，并且使任意兩個這樣的閉圓盤彼此無公共點.根據(jù)柯西定理有f(z)dzf(z)dz,k1k1由此得舊Cf(z)dz"ikf(z)dz，nz,Zkf(z)dzResfC2ik1Cf(z)dz2

20、iRe$fz,Zk,k1二、留數(shù)的求法(MethodofCalculatingtheresidue)法則1:設(shè)z0是f(z)的一個一階極點.則Re$fz,Zolim(zz°)f(z)(3)zz0證明：Z0是f(z)的一個一階極點.因此在去掉中心Z0的某一圓盤內(nèi)(zz0)，f(z)1zZ0其中(z)在這個圓盤內(nèi)包括zz0解析，其泰勒級數(shù)展式是:(z)n(ZZ°)n,n01而且0(z。)0.顯然，在f(z)的洛朗級數(shù)中的系數(shù)等zZ0于(Z。)，因此Re$fz,z°Z0limzlim(zz0)f(z)ZZoZz0例2求函數(shù)f(z)rryrr在各孤立奇點處的留數(shù)110解：

21、由于z0,25是f(z)的一階極點，有Resfz,0limzf(z)limz0z0z2z5Resfz,2I段(z2)f(z)5zzm2Hz11Resfz,5lim(z5)f(z)limz5z5zz235法則2:設(shè)f(z)巳可其中P(z)及Q(z)在zZo解析，Q(z)P(z。)0,zo是Q(z)的一階零點，那么zo是f(z)的一階極點,且Resfz,zoPzoQzo(4)證明：利用法則1注意下面式子ReSfz,zolim(zz°)f(z)zzolim(zzzoz)P(z)PzooQ(z)Q(zo)QZo即可得證例3函數(shù)f(z)解：因為函數(shù)有兩個一階極點z由法則2Resfziz1ez2

22、在極點處的留數(shù)f(z)ize1z，且P(z)1ize,Q'(z)2zizi:zizi2e(5)izeResfz,i2zie-zi2Resfz,z°(m1)!zzqm1(zz°)mf(z)m1dz法則3:設(shè)zq是f(z)的一個m階極點.則則有Resf(z),1例4求函數(shù)f(z)ze2z在z0處的留數(shù)解：因z0是f(z)的二階極點，則有公式(5)212dz21ReqfzQ亠limd(z0)flim(21)!zq宀21z0、函數(shù)在無窮遠點的的留數(shù)(FunctionInfinityresidue)定義(Definition)5.5設(shè)z為f(z)的一個孤立奇點,即f(z)在R

23、|z|內(nèi)解析，則稱1f(z)dz,(:zR)為f(z)在點z的留數(shù).記為Resf(z),.這里是指順時針方向.注3：若f(z)在R|z|內(nèi)的洛朗展式為注4:f(z)的有限可去奇點a處，有Resf(z),a0,但是如果點為f(z)的可去奇點(或解析點)，則Resf(z),可以不是零.1例如Res,1z定理(Theorem)5.8如果f(z)在擴充z平面上只有有限個孤立奇點(包括無窮遠點在內(nèi))，設(shè)為a-i,a2,an,，則f(z)在各點的留數(shù)總和為零證明：對于充分大的正數(shù)R,使a!,a2,an全在|z|R內(nèi)，由留數(shù)定理得|Rf(z)dzResfz,akk1卅f(z)dzResf(z),證明：在無窮

24、遠點留數(shù)定義中，令z1e1.并令z一，經(jīng)n故得Resfz,akResf(z),0.k11法則4:Resf(z),Res-yf,0zz過化簡即可得證.例5求函數(shù)f(z)10Z423(z2)z2在它各有限奇點的留數(shù)總和.2k1.i解：函數(shù)的有限奇點是2及zk42e4(k0,123)，共五個.其中2是三階極點，每個Zk是二階極點，顯然，逐個求出在各奇點的留數(shù)，不論用規(guī)則2或展開洛朗級數(shù)，都是十分麻煩的，現(xiàn)在我們利用定理5.8來求:3Resfz,2Resfz,ZkResfz,0k0而Resfz,Resf1g,0zz1cRes2,0z12z412zzljm42z12z412z3所以欲求的留數(shù)之和為1注5

25、:定理5.8為我們提供了計算函數(shù)沿閉曲線積分的又一種方法.如下例解：Resf計算積分10dzCziz1z外，被積函數(shù)的奇點是zResfz,1Resfz,3，其中C為正向圓周3i,1,3，據(jù)定理5.8有Resfz,0,其中由于zdz2iResfz,iDaof4Cz.10iz1z厶31厶2iResfz,3Resf:z,2i10i23i1003.10i§5.3留數(shù)在定積分中的應(yīng)用形如I*§5.4對數(shù)留數(shù)與輻角原理R(sint,cost)dt的積分、形如R(x)dx型積分、形如20R(x)eimxdx的積分.對數(shù)留數(shù)、輻角原理、儒歇(Rouche)定理.2imx1、熟練掌握IR(s

26、int,cost)dt、R(x)dx、R(x)eimxdx的計算方法2、掌握儒歇(Rouche)定理及其應(yīng)用3、正確應(yīng)用輻角原理4、了解對數(shù)留數(shù)2形如IR(sint,cost)dt的積分，輻角原理形如R(x)eimxdx的積分，輻角原理講授法多媒體與板書相結(jié)合P132133思考題：1，2，3.習(xí)題五：6-8一、形如I20R(sint,cost)dt的積分二、形如R(x)dx型積分三、形如R(x)eimxdx的積分四、對數(shù)留數(shù)五、輻角原理六、儒歇(Rouche)定理1 復(fù)變函數(shù)，西交大高等數(shù)學(xué)教研室，高等教育出版社.2 復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解，高等教育出版社.3 復(fù)變函數(shù)論，(鐘玉

27、泉編，高等教育出版社，第二版)2005.4 復(fù)變函數(shù)與積分變換,蘇變萍陳東立編，高等教育出版社，2008.1、不能正確掌握R(x)eimxdx22、會求形如I0R(sint,cost)dt的積分3、能正確運用儒歇(Rouche)定理4、輻角原理掌握不太好5、課后要答疑第三講§5.3留數(shù)在定積分中的應(yīng)用(Residueintheapplicationofdefiniteintegral)在數(shù)學(xué)分析中往往要計算一些定積分或反常積分，而這些積分中的被積函數(shù)的原函數(shù)，不能用初等函數(shù)表示出來；或者可以求出原函數(shù)，但計算也非常繁瑣.在這種情況下把這些定積分的計算問題，轉(zhuǎn)化為計算某些解析函數(shù)在孤立

28、奇點的留數(shù).下面通過例子進行討論.形如IR(sin,cos)d的積分,令zei，則dzieiddzizsin1zz2icos其中Rsin,cos是sin,cos的有理分式，當(dāng)時,z沿單位圓1的正向繞行一周，因此有2R(sin,cos)d42iiz(1)其中常數(shù)計算積分dasin解：令zdzieiddziz由(1)I2dz2)z1z2iaz1于是應(yīng)用留數(shù)定理，只需計算z22iaz1在B內(nèi)極點處的留數(shù)，就可求出.上面的被積函數(shù)有兩個極點：召iaia21及Z2iai.a21.顯然|乙|1,211.因此被積函數(shù)在|z|1內(nèi)2只有一個極點乙，f(z)七廠在極點乙的留數(shù)為Resfz,乙1_2z12iai、

29、a212于是求得2la21a21形如R(x)dx型積分其中Rz器為有理分式函數(shù).定理5.9設(shè)Rz鵲為有理分式,其中P(z)a°zmdzm1am，Co0;Q(z)b°zndzn1bn，bo0R(x)dx2iRes(R(z),zQImzk0(2)例2計算積分0x2dx22(x1)(1)nm2,即Qz比Pz至少咼兩次,Qz在實軸上無零點，R(z)在上半平面Imz0內(nèi)的極點為為互質(zhì)多項式，且合條件:Zk(k1,2,n).2z(z1)解：因為被積分函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以22xdx1x222?dxf(z)0(x21)22(x21)2它一共有兩個二階極點zi，在上半平面只有zi一個極點,

30、由公式ReSfz,z01(mdlim1)!z20m1(zZ°)mf(z)m1dzResfz,i)limzii)2由（2）得x2dxT22(x1)rdx1)212計算積分dx,(x1)解:因為被積分函數(shù)是個偶函數(shù)，所以dx11dxf(z)1o(x21)22(x21)2f(z)(z21)2它一共有兩個二級極點zi，在上半平面只有zi一個極點,由公式ReSfz,zo1(mdlim1)!z帀m1(zz0)mf(z).得m1dzResfz,i)limzi(z由（2）得dx0(x21)212(x2飛dx1)注1：通過上述二例，一般形如R(x)dx,的積分，其中Rx是有理分式，分母在實軸上不為零，

31、并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高2次.都可以用上述方法來計算三、形如R(x)eimxdx的積分.其中Rz器為有理分式函數(shù).定理(Theorem)5.10設(shè)Rz巴可為有理分式函數(shù)Q(z)其中Qz與Pz為互質(zhì)多項式,且滿足條件：(1) Qz的次數(shù)比Pz的次數(shù)高，(2) Qz在實軸上無零點，(3) m0則有R(x)eimxdx2iRes(R(z)eimz,aQ(3)Imak0注2：將上式實，虛部分開，得到形如：cosmxdx和-P(x)sinmxdx的積分.Q(x)Q(x)例4計算積分Icosmx_FFdx解：因為被積函數(shù)為偶函數(shù).所以cosmx,dx1x2cosmx,dx1x2而由(3)imxe2

32、dx2iRes1ximze2,i1zimieme2i比較等式兩端的實，虛部得I同時也可求得：1x2注3:公式（2）與（3）都要求Qz在實軸上無零點,即Rz在實軸上無孤立奇點，若Rz在實軸上有孤立奇點，則f(x)dx2iRes(f(z),zk)Imz<01nResfzx2ki(4)其中Zk是上半平面的奇點,Xk是實軸上的奇點.0例5計算積分sinx,dx0xlImixdxx解：因為被積函數(shù)為偶函數(shù)所以sinx,1sinx,dxdx0x2x駐在上半平面內(nèi)無奇點,Xk是實軸上有奇點由公式Z(4)ixdxx2i01Res2ize-,0zizeilimziz0z比較等式兩端的實，虛部得sinx,d

33、xx所以Isinx,dx2§5.4對數(shù)留數(shù)與輻角原理(Logarithmicresidueandargumentprinciple)一、對數(shù)留數(shù)(Residualoflogarithm)定義(Define)5.6形如丄丄dz的積分稱為fz的2iCf(z)對數(shù)留數(shù)，注1:函數(shù)fz的零點和奇點都可能是鳥的奇點-引理(Lemma(1)設(shè)a是fz的n階零點，貝Ua必為函數(shù)詈的一階極點，并且Res詈a(2)設(shè)b為fz的m階極點.則b必為函數(shù)丄辺的一階極f(z)點，并且Res丄0,bmf(z)定理(Theorem)5.11設(shè)fz在簡單閉曲線C的內(nèi)部除可能有極點外是解析，并在C上解析且不為零，則有

34、丄CrdzN(f,C)P(f,C)2iCf(z)其中Nf,C表示C內(nèi)部零點的總個數(shù)，Pf,C表示C內(nèi)部極點的總個數(shù)，m階零點或極點算m個零點或極點證明；由已知條件，可知fz在C內(nèi)部至多有有限個零點和極點，設(shè)a_(k1,2p)為fz在C內(nèi)部的不同零點，其階為nk；bj(j1,2q)為fz在C內(nèi)部的不同極點，其階為mj由上述引理知f(z)f(z)在C內(nèi)部及C上除去在C內(nèi)部有一級極點ak,(k1,2p)及bj(j1,2q)外均是解析的，故有留數(shù)定理及引理得丄2ipnkk1pk1ReSf(z)f(z),akqReq竺j1f(z)山dzCf(z)q(mj)N(f,C)P(f,C)j1,bj、輻角原理(A

35、ngleprincipleofthespoke)為了說明對數(shù)留數(shù)的幾何意義，我們將對數(shù)留數(shù)寫成1f(z)C2iCf(z)dz=2Cd訓(xùn)f(z)dz#Cdlnf(z)1=石Cdln|f(z)iCdargf(z)函數(shù)Inf(z)是z的單值函數(shù)，當(dāng)z從z。起沿簡單閉曲線C一周回到z0時有Cdlnf(z)lnf(z。)lnf(zo)=0另一方面，當(dāng)z從Z0起沿正方向繞行簡單閉曲線一周回到Z0時,argf(z)的值可能改變.于是dz=i(io)2iCargf(z)2式中cargf(z)表示z沿C正方向繞行一周后argfz的改變量，是2的整倍數(shù).定理(Theorem)5.12(輻角原理)在定理5.11的條件下，fz在閉曲線C的內(nèi)部的零點個數(shù)與極點個數(shù)之差，等于當(dāng)z沿C正方向繞行一周后a