1、高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)主講人主講人 宋從芝宋從芝河北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院河北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法例題例題6.5 6.5 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程根本思緒根本思緒: : 求解常系數(shù)線性齊次微分方程求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程之根求特征方程之根轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化二階常系數(shù)齊次線性方程定義：二階常系數(shù)齊次線性方程定義：規(guī)范方式為規(guī)范方式為:0 qyypy這里這里 p, q p, q 都是常數(shù)都是常數(shù). .一一. 二階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程法特征方程法0 qyypy特點(diǎn)特點(diǎn): :未知函

2、數(shù)與其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合等于未知函數(shù)與其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合等于0 0即函數(shù)和其各階導(dǎo)數(shù)只相差常數(shù)因子即函數(shù)和其各階導(dǎo)數(shù)只相差常數(shù)因子0 qyypy,rxey 設(shè)設(shè)將其代入上述方程將其代入上述方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有20rprq特征方程特征方程特征根特征根,2422,1qppr 猜測猜測有特解有特解rxey 有兩個不相等的實(shí)根有兩個不相等的實(shí)根特征根為特征根為12,.r r兩個線性無關(guān)的特解兩個線性無關(guān)的特解,11xrey ,22xrey 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為1212;r xr xyC eC e )0( 有兩個不相等的實(shí)根有兩個不相等的實(shí)根特征根

3、為特征根為12.rrr兩個線性無關(guān)的特解兩個線性無關(guān)的特解1,rxye 2,rxyxe 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為)0( 12();rxyCC x e 有一對共軛復(fù)根有一對共軛復(fù)根特征根為特征根為1,ri2,ri ()1,ixye ()2,ixye 重新組合重新組合)(21211yyy ,cos xex 2121()2yyyi ,sin xex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為12(cossin).xyeCxCx )0( 兩個線性無關(guān)的特解兩個線性無關(guān)的特解特征方程法特征方程法方法步驟方法步驟:寫出特征方程寫出特征方程02 qprr求出特征根求出特征根21,rr按特征根的三種不同

4、情況依下表寫出齊通解按特征根的三種不同情況依下表寫出齊通解12()rr 實(shí)實(shí)1212r xr xyc ec e 12rrr 12()rxycc x e 1,2ri 12( cossin)xy ecx cx 0 qyypy例例1 1 求通解求通解230yyy 解解特征方程為特征方程為0322 rr特征根為特征根為3, 121 rr通解為通解為312xxyc ec e 二二. . 例題例題例例2 2440.yyy 求求方方程程的的通通解解解解特征方程為特征方程為2440 ,rr 解得解得122 ,rr 故所求通解為故所求通解為.)(221xexCCy 例例3 3250.yyy 求求方方程程的的通通解解解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得1 212 ,ri ，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 小結(jié)小結(jié) 作業(yè)作業(yè) 習(xí)題習(xí)題6.5 1 (1)(4) 3(3)6.5 1 (1)(4) 3(3)0(,)yp yq yp q 為為常常數(shù)數(shù),02qrpr特征方程特征方程: :21,:rr特征根 特征根特征根通解通解