1、例:圖示重物重為Q=30kN,由繩索AB、AC懸掛，求AB、AC的約束反力。Q600600CBAQ300300解：取力系的匯交點A為研究對象 作受力圖A.QTB TC 按一定比例尺作出已知力Q的大小和方向 根據(jù)匯交力系平衡的幾何條件,該三個力所構(gòu)成的力三角形必自行封閉,故可在力Q的始端和末端畫出TB和TC TB TC 按同樣的比例即可量得TB和TC的大小。例:圖示重物重為Q=30kN,由繩索AB、AC懸掛，求AB、AC的約束反力。1).取研究對象 -力系的匯交點AA.QTC 3).建立坐標系yx4).列出對應的平衡方程00YXTB 600CBAQ300030sin60sin00CBTT5).解

2、方程解：2）作受力圖030cos60cos00QTTCB例：一工件上需鉆三個孔，鉆頭力偶矩分別為m1=100kNm，m2=200kNm， m3=300kNm。求夾具對工件的約束反力。Lm1 m3 m2 BALm1 m3 m2 ABNA NB 解：研究工件，受力如右圖所示。主動力系為一力偶系，根據(jù)力偶的性質(zhì)，反力也必為一反力偶，由力偶系的平衡方程 m =0 有 m1+ m2+ m3-N 解得LmmmNA321TNB G平面一般力系的平衡方程:000omYX例:求A、B兩處的約束反力及繩子的拉力解:.取研究對象小車.做受力圖.建立適當?shù)淖鴺溯S. 判斷力系類型，列出對應的平衡方程.解方程NA xy0

3、sinGT0cos GNNBA0aNbNABCGBATCabh平面一般力系例：圖示簡支梁，求A、B兩處的約束反力。ABllq1q2解：研究AB，受力如圖：q1ABq2NBYAXA建坐標如圖yx000omYXXA=0YA+ NB - =021lqlq2A0)2(3221221lllqllqlNBq1Oxxdxqxl下面討論分布載荷合力Q的大?。簒lqqx1xdxlqdxqQx1 0l2131lq= 分布載荷的面積分布載荷合力Q的作用位置：利用合力矩定理，設合力Q的作用點到原點的距離為C，向O點取矩有：cQdxxlqxdxqQcx21 llq32c 2Q1而l0 21lq作用在分布載荷的形心圖形的

4、幾何中心MA BMqA例1:圖示連續(xù)梁,求A、B、C三處的約束反力。MlqCBAl解：先以BC為研究對象，做受力圖列平衡方程000mYXXB=0YB+NC-ql=0NCl-ql2/2=0000mYXXA-XB=0YA-YB=0MA+M-YBl=0聯(lián)立求解即可。BCNC YB XB BAXB YB XA YA 再研究AB：（或整體ABC）請同學們研究整體ABC,與上述結(jié)果比較.例2 ：圖示構(gòu)架，P=1kN，AE=BE=CE=DE=1m，求A處的反力及BC的內(nèi)力。ABCDEP解：先整體求A處反力：XAYAMA110PMPYXAAA拆開CD：XE YE PCDESCBPSCB2000AmYX0EM例

5、3 ：圖示結(jié)構(gòu)受水平力P作用，ACB與ED兩桿在C點用銷釘連接，ED與BD兩桿在D點絞接并放在光滑斜面上，各桿自重不計，AB水平，ED鉛直，BDAD。AC=1.6m、 BC=0.9m、 EC=CD=1.2m、 AD=2m。求A、D兩處的反力及桿BD的內(nèi)力。EDCBAP解：先研究整體：YAXANDPXXPNMP.YMADAAB36.1044.104800 再拆開ACB：YAXASBDYCXCACB)力(06.10拉PSMBDC 討論：拆開時若不研究ACB，而研究ECD，則受力如下：PYCXCNDSBDECD此時，ND與SBD共線，是不是SBD就直接等于ND呢？EDCBAPYAXAND當A點反力如

6、下圖所示時則：，XA= 0.08 kN YA =0.12 kN 練習題1. 圖示構(gòu)架，桿和滑輪的自重不計，物塊F重30kN，R=20cm，r=10cm，求A、C兩點的約束反力。A40cmFEDCB40cm30cmrR解: 先研究整體:XA YA XC YC TD F 60 08040 008040 0ACACCAXXFXmFXmCDEXC YC XE YE 再拆開CED:(kN)40Y , 70 2 0203040 0CCDDCCEYFTTYXmABCaaMq2a練習題2. 梁如圖所示，求A、B、C三處的反力。解:先拆開BC:XB YB 2N 0 00 002 02qaYqaNYYXXqaaN

7、mBCCBBCBMqaMqaqaNYXXMqaMaNmAACAACA2A2 , 23Y 02Y 00 0022 0再整體:BCNC XA YA MANC 練習題3.梁AB、BC及曲桿CD自重不計，P=20kN，M=10kNm，q=10kN/m，a=0.5m。求固定端A及鉸鏈D處的約束反力。Aa2aCBqMPD2aa練習題4. 平面構(gòu)架由兩個直角曲桿和一直桿鉸接而成，不計各桿自重，今在D點施加一水平力P，求欲使系統(tǒng)平衡時力偶矩M 的大小及此時支座A處的反力。1mCBADEP1m1m1mMm3m3練習題5. 平面構(gòu)架受力如圖，不計自重，P=10kN，M=60kNm，q=20kN/m，a=4m。求固

8、定端A及鉸鏈C處的約束反力。aCBAqMPDaa平面桁架的計算方法一. 節(jié)點法：各節(jié)點均構(gòu)成一平面匯交力系,從只有兩個未知力的從只有兩個未知力的節(jié)點開始節(jié)點開始,逐個討論各節(jié)點,聯(lián)立求解.QPabcAB例:平面桁架受力如圖,求各桿內(nèi)力.abHGEFDC解:所有節(jié)點均超過兩個未知力,所以,先研究整體,求出外反力:YA NB 000mYXXA-P=0YA+NB -Q =0NB(2a+2b)-Q(a+b)-Pc=0由此解出三個外反力XA AS1 B再從只有兩個未知力且受力個數(shù)較少的節(jié)點開始-B點:NB 8QPabcABabHGEFDCYA XA NB 6543211312111097S2 畫受力圖時

9、注意:各節(jié)點處的已知力不能畫錯,未知未知力力必須背離該節(jié)點,設為拉力拉力,若算出來為負號,則意為壓力.列出平面匯交力系的平衡方程00YX-S2cos-S1=0S2sin+NB=0下來再依次研究G、H、F、E、D、C各點即可。二. 截面法：有時只需求出部分桿件的內(nèi)力,可假想的將桁架從某一截面截開,利用平面一般力系的平衡方程求解.所截截面的未知力不所截截面的未知力不能超過三個。能超過三個。8QPabcABabHGEFDCYA XA NB 6543211312111097例:求圖示8、9、10三桿的內(nèi)力。解：一般情況下，應先求出整體的外反力，此處反力已求得。 再從只有三個未知力的截面處截開，此處即8

10、、9、10三桿處。 棄去一部分，保留另一部分，這里保留左半部：作受力圖s8 8PaADCYA XA 131211109s9 s10 000mYXA同學們做零桿：若某節(jié)點只受三個力，且兩力共線，則第三力必為零。s3s2s1正交桿：列平衡方程：練習題1 ：圖示桁架，水平、鉛直各桿長均相等，求6、7、8三桿的內(nèi)力并說明是拉力還是壓力。1234510118976P000S6S7解：先找出零桿,)壓力拉力(2(76PSPS練習題2 ：圖示桁架，ABC為等邊三角形，E、F為兩腰中點，求CD桿的內(nèi)力。APFEDCB解：先找出零桿ED，mm0BM0沿m-m截面截開，研究右側(cè)，受力如圖PSCD23SCD概念題：

11、圖示物快重G，一力P作用在摩擦角m之外，已知=300，m=200，G=P，問物塊能否保持平衡？為什么？PGm答：能，因為主動力P、G的合力作用線落在摩擦角之內(nèi)概念題： 長方形均質(zhì)塊尺寸如圖，放在斜面上，當增加到m ( ) 時處于臨界狀態(tài)，求此時靜滑動摩擦系數(shù) f 及 b/a 的范圍。541 tgmba解:5454mmtgabtgf練習題：圖示結(jié)構(gòu)在力偶 M=pl 的作用下處于臨界狀態(tài)，求C處靜滑動摩擦系數(shù) f 及 A處的反力。桿自重不計。pRRCA32ABC600600M= plBC= lRARC解：BC為二力桿3330otgf練習題： 無重桿AB擱在不計自重的圓柱體上，求不論P多大都不能使圓

12、柱被擠出的各接觸面的摩擦角，表成與的關系。NF解：只要2sin2cosNF則不會被擠出。 : tgtg :222sin2cos即即NNfPA練習題：兩根同重等長的均質(zhì)桿在B點絞接，C點靠在墻上，f=0.5，求平衡時的角=?解:研究整體， 分析受力:ABCPNFXAYAP02cos222sin20lPlNMA 再研究BC， 分析受力:02cos2cos22sin 0FllPlNMB128421. 或 ctgNfF- : 解得練習題：一扇形搖椅底腿半徑為r，頂角600，重Q=100N，重心在C點，OC=r/2，在O點加水平力P并逐漸增加，問搖椅是先滑動還是先翻倒？就f=0.2和0.3兩種情況考慮；

13、若先滑動，OC與鉛直成何角度？若先翻倒，此時F=？600ABOCPQ600ABOCPQNF解：依題意畫圖，D20sin2Pr000Nf臨界時 FrQ MN QYF PXmDf =0.2時:62352sin. 解得: 此種情況下，先滑動.f =0.3時:30sin2Pr000Nf臨界時 FrQ MN QYF PXmD87.366 . 0sin 解得: 當=300時，搖椅處于將翻未翻的臨界狀態(tài)；圖示結(jié)構(gòu)不可能超過300，所以此種情況下，先翻倒。此時：2530sin2FrQF P Pr練習題：圖示折梯，兩角的fA=0.2， fB=0.6，AC中間D點作用力P=500N，不計梯重，問能否平衡？若能，

14、FA、 FB各為多少？ABCDP BC為二力桿，受力如圖，由平衡方程：NANBFAFB解：先整體：12503750BAB NY NMNC17.723125BF17.7275 :maxBBBBFfNF而能平衡， FA= FB=72.17N。練習題：圖示楔塊夾角，各接觸面間的摩擦角均為，欲使楔塊不滑出，=？楔塊自重不計。NFRm900-解：考察一個側(cè)面，受力如圖：作輔助線，而楔塊不會滑出時即當, 9000cos Rm2)90(. 2 時不會滑出即有90290222222)()()()()()(zyxzoyoxommmFmFmFmM二.簡化結(jié)果討論,合力矩定理(略)7.空間一般力系的平衡方程及其應用

15、000000zyxmmmZYX例:重為G的均質(zhì)正方形板置于水平面內(nèi),求球鉸鏈O和蝶鉸鏈A處的反力及繩的拉力.AzyxoB300AzyxoB300T 解:研究板,分析受力GZA XA XO YO ZO 000000zyxmmmZYXXO -Tsin300cos450+XA=0YO-Tsin300sin450=0ZO-G+Tcos300+ZA=0b-Gb/2+Tcos300b+ZAb=0Gb/2-Tcos300b=0XA=0S空間一般力系平衡方程的其他形式 前面我們討論了空間一般力系平衡方程的基本形式,也即三矩式。除了基本形式以外,空間一般力系平衡方程也有其他形式：四矩式、五矩式、六矩式。 三矩式

16、是必要充分條件，而其他形式是必要不充分條件，要使其充分必須附加一定的條件，而我們所遇到的題目都是平衡的，所以只需必要條件即可。不必考慮附加條件。 即：解題時，可以對任意直線取矩。但應向盡可能多的力的平行和相交的直線取矩，以減少方程中未知量的數(shù)目。例：水平均質(zhì)正方形板重P，用六根直桿支撐如圖，求各桿內(nèi)力。ABCD12 3456解：研究板，作受力圖PSSSSSms1=0 S6=0ms3=0 S4=0ms5=0 S2=0mAC=0 S3=0mAB=0 S5= -P/2Z=0 S5= S1= -P/2例:已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352, Pz=1400N 求

17、：平衡時(勻速轉(zhuǎn)動)力Q=？和軸承A , B的約束反力？ 解：選輪軸為研究對象； 受力分析如圖)N(746,020cos10050;0)N(352,0;0QQPmPYPYYzyyAyA由：例：水平軸AB上分別固結(jié)半徑為100cm和10cm的兩圓輪，并在切線方向受力P和Q，已知P=10kN，求平衡時Q=？；A、B兩軸處的反力分別為多少？zxy10cm10cm80cmQPABXAZAXBZB解：受力如圖：10,90,9, 1,100BABAZZXXQ例：圖示機構(gòu)，在踏板C上作用一鉛直力P=1000N，與作用在曲桿上的水平力T相平衡，求軸承A、B兩處的反力。xyz450 TPOEDCBA8m8m6m

18、4m3mXBYBZBXAZA解：機構(gòu)受力如圖：PTPZPYPXPZPXBBBAA22 ,81 ,2 ,5 . 0 ,87 ,5 . 1例: 已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN; 求T2=？, T3=？N2 =？)kN(546, 045sin15sin, 011TQTY由C點：解：分別研究C點和B點作受力圖)kN( 230 , )kN( 419 53 sin ,54434 cos0 sin sin60cos , 0045cos cos45cos cos60sin , 0045cos cos45cos cos , 023222321232132NTTTTTNZTTTYTTX由B點：

19、例:曲桿ABCD, ABC=BCD=900, AB=a, BC=b,CD=c, m2, m3 求：支座反力及m1=?此題課堂練習此題課堂練習： 力偶不出現(xiàn)在投影式中； 力偶在力矩方程中出現(xiàn)，是把力偶當成矢量后，再在坐標軸上投影； 力爭一個方程求解一個未知量； 了解空間支座反力畫法。解：0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00 , 012333221DDxADDAADDAAADzAADyDYcbZmmamZZZZZamYYYYYamYaYmmamZaZmmXX32321)()(macmabamcambcYbZmDD例:已知：AB桿, AD,CB為繩索, A、C

20、在同一垂線上，AB重80N，A、B光滑接觸，ABC=BCE=600, 且AD水平，AC 鉛直。求平衡時，TA，TB及支座A、B的反力。 解：思路：要合理選取投影軸和矩：思路：要合理選取投影軸和矩軸，使一個方程解出一個未知量。軸，使一個方程解出一個未知量。0N8 , 0PNZB由02160cos, 0 CEPACTmBDDN)( 1 .23806333260ctg260cos60ctg2160cos PPTACPACTBBCEAC 60cos60ctg又)N( 5 .1121806360cos060cos , 0BABATTTTX)N( 20238063060sin , 0ABANTNY例: 已

21、知：Z 形截面，尺寸如圖。求：該截面的重心位置。解：(1)組合法: 將該截面分割為三部分， 取Oxy直角坐標系，如圖。2111cm0 . 3,cm5 . 4,cm5 . 1Ayx2222cm0 . 4,cm0 . 3,cm5 . 0Ayx2333cm0 . 3,cm5 . 0,cm5 . 1Ayxcm2 . 03435 . 135 . 04)5 . 1(3AxAxiiCcm7 . 23435 . 0334)5 . 4(3AyAyiiC解 ：(2)負面積法: Z 形截面可視為由面積為S1的大矩形和面積分別為S2及S3的小矩形三部分組成， S2及S3是應去掉的部分，面積為負值。2111cm30cm

22、,5 . 2, 0Syx2222cm12cm,0 . 2cm,5 . 1Syx2333cm8cm,0 . 3cm,0 . 2Syxcm2 . 0)8()12(302)8()5 . 1()12(030SxSxiiCcm7 . 2)8()12(303)8(2)12(5 . 230SySyiiC 在直線運動中, v、a 都是代數(shù)量，當v、a 同號時，點作加速運動，否則反之。 建立點的運動方程是描述點運動幾何性質(zhì)的關鍵。若a為常量,則有:axvvattvxxatvv2212022000例:曲柄連桿機構(gòu)如圖,求滑塊B的運動規(guī)律、速度及加速度。oBArlt 解： 分析要求點的軌跡若為直線運動，則建立直線軸

23、x，取一固定點作為原點，將要求點置于坐標軸上任意位置（不要放在特殊位置），標出動點在坐標軸上的位置坐標x，純粹用幾何方法找出x的長度，并表成時間t 的函數(shù)，即為運動方程。xx x = rcost+ lcos而 tlrsinsin2)sin(1costlrltrxv、a 同學們自己求。2.點的曲線運動一. 矢徑法:(用于理論推導)MrOr rM r = = r (t)運動方程：矢端所描出的曲線即為M點的軌跡.平均速度:速度:rvrva 22dtddtd加速度：trvrrvdtd例：半徑為r的圓輪放在粗糙的水平面上，輪心A以勻速v0前進，求輪緣上任一點的運動規(guī)律。v0 AOM解：在輪緣上任取一點M

24、（不能是特殊點）；xy 找一固定點O建立直角坐標，標出M點的位置坐標；DBC 純粹用幾何方法找出該坐標的長度，最終表為時間t的函數(shù)-即為運動方程。x=OC=OB-CBy=MC=AB-AD=vot-rsin=r-rcosrMBrtvsin0rtvrtv00sinrtvrr0cos速度、加速度請同學們做。例1: 點作平面曲線運動,速度為v,其加速度a與曲率圓所截的弦MA=l,求證此時 rvaan2cos解:依題意畫圖,CAMlravlva22rl 2cos例2: 點作平面曲線運動,其速度v在某一固定方向的投影為常量C, 求證其加速度 ,為曲線在M點處的曲率半徑. MvnyxCva3Cvvxcos解

25、:依題意畫圖,0 xayaaarvaan2cosvCcos兩式相除即得結(jié)果.概念題 ： 點M做直線運動，其運動方程曲線為x-t曲線，問速度曲線v-t有幾處明顯錯誤? x(t)tt1 v(t)tOOt2 t3 以后為直線答:t=0 ， v0 t=t1 ， v=0 t=t2 ， v=0 t1t t2 ， v 0 tt3 ，v=CMv v 沿切線判斷正誤: 點M的運動方程為x =A sint , A、為常數(shù)，則M點的軌跡必為正弦曲線。 左圖中動點M作加速運動，右圖中動點M作減速運動.a a 沿法線.v v 沿切線a a M 下列三圖中，點沿已知曲線運動，圖上標注的 v v、a a 是否可能? v v

26、沿切線a a v v a a v v a a 切線切線概念題 ： 1)點做何種運動，出現(xiàn)下列情況之一： 2）點M沿螺線以勻速v自外向里運動，問該點運動的加速度是越來越大？還是越來越?。?勻速直線運動勻速直線運動.vM勻速曲線運動勻速曲線運動直線運動直線運動 a 0 an 0 a 0概念題 ： 1)圖示點沿曲線(不是直線)運動，已知 a a 為常矢量。問點作下列何種運動？ 勻變速運動。非勻變速運動。 勻速運動。 2）判斷正誤 點作直線運動時，必有 點作勻速曲線（不是直線）運動，則 （a） a a =0 （b） =常矢量 （c） =常量 （d） v v =常矢量aaaa an n a a svva

27、2202例：點沿拋物線 y2=4px 運動，沿y方向的速度為常量C，求vx及加速度 a 。解：軌跡方程兩邊對 t 求導，pCxCpxpCxxpCvaavaCpxCppxpyCvxpyyxxyyx22202442422 例：點沿半徑為R的圓周作勻加速運動，v0=0，全加速度 a 與切線的夾角為，以表示點所走過的弧 s 所對的圓心角，求證： tg=2as解：根據(jù)題意畫圖：Rvaan2sinaacos兩式相除：Ravtg2sav v2202 而Rs 又 tg=2例：點沿半徑為R的圓弧運動，v在直徑AB方向的投影u是常數(shù)，求點M的vM及aM與的關系。ABvM解：uvvxsinsinuv ruva32s

28、incos 222sinrurvan3222sinruaaanx例：圖示卷楊機構(gòu)，繩OB以勻速下拉，求套在固定桿上的套筒A的速度與加速度，表成 x 的函數(shù)。AOBlxvB解：A作直線運動，222lABx兩端對時間求導：0)(22BvABxx22)(lxxvxvABxBB?x 同學們自己求。概念題1)轉(zhuǎn)動剛體的角加速度為正時，則剛體 （1）越轉(zhuǎn)越快 （2）越轉(zhuǎn)越慢 （3）不一定2）兩齒輪嚙合時： 接觸點的速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定 接觸點的切向加速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定3）平動剛體上點的軌跡不可能為空間曲線4）某瞬時平動剛體上各點的速度大小相等而方向可以不同

29、練習題：圖示連續(xù)印刷過程，紙厚為b，以勻速v水平輸送，試以紙卷的半徑表示紙卷的角加速度。vbr解：ddrrvdtdddrrvdtdrrvrv222 )減小r(2增大時而bddr 322rbv 練習題：一飛輪繞固定軸O轉(zhuǎn)動，其輪緣上任一點的全加速度在某段運動過程中與輪半徑的夾角恒為600，當運動開始時，其轉(zhuǎn)角0=0， 初角速度為 0，求飛輪的轉(zhuǎn)動方程及角速度與轉(zhuǎn)角的關系。aO解：ra60sina2n60cosara兩式相除：260tg2323dtd23dddtd23dddd3030dd30e2 .點的速度合成定理AMBM1M/ABrae/11/MMMMMMtMMtMMtMMttt/1010/0l

30、imlimlim 動點在某瞬時的絕對速度等于它在該瞬時的牽連速度與相對速度的矢量和。r例1:凸輪半徑為R,沿水平面以勻速v0向右運動,求=600時桿AB的速度.ABv0R解:r re ea av vv vv v003360vvctgveaABv0R.正確地選取并明確地指出指出動點和動系：動點和動系不能在同一剛體上；在某一物體上，動點相對該物體的位置應是不變的點；動點的相對運動軌跡要清晰可辨；常取兩物體的接觸點、滑塊、套筒、小環(huán)、小球等為動點。對動點進行速度分析并圖示,列出速度合成定理,常用幾何法求速度幾何法求速度。動點: A(AB上)動系: 凸輪.分析三種運動:絕對運動: 直線運動;相對運動:

31、 曲線運動;牽連運動: 平動vavevrr re ea av vv vv vvavevr0erv2vv360sin0ABCODM解：動點M，動系OD桿vevavr23cosOCOMve232coseavv23sinarvvt =1s 時，=30023633108 OM例2：OD桿繞O轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動方程為：radt6sin3小環(huán)M套在OD桿和固定桿AB上，設OC=54cm，求 t =1s 時小環(huán)M的絕對速度與相對速度。r re ea av vv vv vvrvave例3 ：桿OA長l，在推桿BCD以勻速u 的推動下繞O轉(zhuǎn)動，求當OC=x時，桿端A的速度，表為x的函數(shù)。buxDCBOA解：動點B，動系

32、OA。vevavrsinaevvubxb22OBveOA22bxveubxb22ubxlbvA22例4 ：OA桿繞O轉(zhuǎn)動，=t / 6 （rad），小環(huán)M套在OA桿和半徑為 r = 6cm 的固定大圓環(huán)上，求當t=2秒時，小環(huán)M 的va、 ve、 vr 。MOA解：動點M，動系OA，牽連為轉(zhuǎn)動，vavrve3sin2rvectgvver2cosravvr re ea av vv vv v例:凸輪半徑為R,沿水平面向右運動,當=600時凸輪的速度為u,加速度為a,求此時桿AB的加速度.ABuRa解:解題思路與求速度同, 求加速度時一般應先求速度.在上例中,速度已經(jīng)求出,為003360vvctgv

33、ea0erv32vv060sin動點: A (AB上)動系: 凸輪列出加速度合成公式:r rn ne en na an nr re ea aa aa aa aa aa aa ar rn nr re ea aa aa aa aa aa aa a a ae e arn ar ?將上式向不要求的未知量的垂線方向投影nreaacosasinaRva2rnr若要求ar則可將加速度矢量式向另一軸投影.注意!矢量等式投影時,兩端各自投影,等號照搬。r rn ne en na an nr re ea aa aa aa aa aa aa a例:凸輪半徑為R,沿水平面向右運動,當=600時凸輪的速度為u,加速度為

34、a,桿OA長l,此時與鉛直線的夾角為300,求此時桿OA的角加速度OA.解.動點: A (AO上)動系: 凸輪a ae e ar AuRaO絕對運動: 圓弧運動;相對運動: 圓弧運動;牽連運動: 平動v va a v ve e v vr r arn aan aa 將上式向不要求的未知量的垂線方向投影r re ea avvvr rn ne ea an nr ra aa aa aa aa aa a?練習題：圖示傾角為=30o的尖劈以勻速u=200mm/s沿水平面向右運動，使桿OB繞定軸轉(zhuǎn)動，BOBOmmr,3200求時當,OBurvavrve30cos2eravvv解：速度分析如圖31rvaBOa

35、aaraan牽連為平動，加速度分析如圖2733030sin30cos2tgaanaa練習題：半徑為R的固定半圓環(huán)和可以水平移動的豎直桿AB用小環(huán)M套在一起，位于同一平面內(nèi)。已知AB向右的速度為常數(shù)u，求圖示位置時，小環(huán)M的絕對加速度的大小和方向。450ABMu解：速度分析如圖vavrveuva2牽連為平動，加速度分析如圖aaaraanRuRvaana222RuaRuaaanaa22222練習題：桿OA長40cm，以勻角速=0.5rad /s 繞O轉(zhuǎn)動，求當=300時，曲桿BC的速度和加速度。解：動點A(OA上)，動系BC。CBOAvavrvecosaevv coslscm /3 .17牽連為平

36、動，reaaaarenaaaaaaaraesinaeaa 22/530sinscml練習題：十字型套筒K套在固定桿AB和鉛直桿CD上，曲柄OC=32cm并以=t /4 的規(guī)律繞O轉(zhuǎn)動，求當t=秒時套筒K的加速度。OKDCBA解：動點套筒K，動系CD，牽連為平動。aeaaarconst, t4144時,當t2OCaanee)/( 22scmcoseaaa )/(22scmCBAODv ve e 例:彎成直角的曲桿OAB以常角速繞O轉(zhuǎn)動,設OA=r,求=300時CD桿的速度和加速度.解: 動點:C(CD上), 動系:OAB絕對運動: 鉛直線運動;相對運動: 斜直線運動;牽連運動: 轉(zhuǎn)動r re e

37、a av va a v vr r tg30cos30rtg30OCtg30vear32k kr rn ne en na an na aa aa aa aa aa aa ar re ea aaraaa ae e a ak k ?knaa0cos30acos30ae2ar3910a注意!不要掉了ak例:彎成直角的曲桿OBC繞O轉(zhuǎn)動，小環(huán)M同時套在曲桿和固定桿OA上，已知，OB=10cm，曲桿的角速度= 0.5 rad / s，求當=600 時小環(huán)M 的速度和加速度。ABMOC解：動點小環(huán)M，動系曲桿，牽連運動為轉(zhuǎn)動。vavrve10OMve31060 tgvvea2030sin/ervvaraa動

38、系轉(zhuǎn)動時:k kr re ea aa aa aa aa aak將上式向圖示軸投影：kneaaaa60cos60cos)/(352scmaaaek kr rn ne en na an na aa aa aa aa aa aa ar re ea a?2 . 平面圖形上各點的速度A AV V 平面圖形上任一點的速度等于隨任選基點的平動速度與繞該基點的轉(zhuǎn)動速度的矢量和.BAABv vv vv v1.基點法ABA AV VB BA AV VvB其中:ABBAABv其方向垂直于AB例:曲柄連桿機構(gòu)如圖所示,OA=r，以勻角速繞O轉(zhuǎn)動，AB=l，求當=300時滑塊B的速度。 基點法既可以求剛體上任一點的速度

39、,也可以求剛體作平面運動的角速度.r re ea av vv vv vOAB其中AB為剛體平面運動的角速度。的大小、方向已知。Av v解：解題思路 將系統(tǒng)置于待求瞬時的位置，而不要放在一般位置；分析各構(gòu)件的運動類型及整個機構(gòu)運動的傳遞過程，從運動為已知的構(gòu)件開始，分析關鍵連接點的速度、加速度，并標注在圖上；重點研究作平面運動的構(gòu)件，逐步從已知過渡到未知。OABv vA A v vB B v vBA BA v vA A BAABv vv vv vr vAcosvcosvAB)cos( BA2B2A2BAv2vvvvABvBABA 這里，AB作平面運動，A點的速度已知。例：四連桿機構(gòu)如圖，AB=B

40、C=CD=l，AB的角速度為0 ，求當1= 2 =60o時，CD桿的角速度D 。vBvCABCD012OABDRr例:機構(gòu)如圖所示,OA=r，以勻角速繞O轉(zhuǎn)動，AB=l，求當=600、OAB=900時輪緣上最高點D的速度。輪半徑為R，在地面上作純滾動。解:v vA A v vB B CBCrv30cosvABC為輪B的瞬心,有:AB作平面運動,用速度投影定理求VB:BCBRvv vD D BBCDv2R2vr334請思考:當=900時vD=?例：半徑為R的圓輪沿直線軌道作純滾動，已知某瞬時輪心的速度為v0，加速度為a0，求輪子上與軌道的接觸點C的加速度。v v0 0 a a0 0 C解：輪心O

41、的加速度已知，則以O為基點求aCOCOCOnOCa aa aa aa aC CO Oa anCOa大小方向？Rva20nCOCORaCO,輪心O點作直線運動，有：RdtdRdtd(R)dtdvao0Ra00COaRaCOxy將加速度矢量式投影：0a0aa0Ocx20ncocyRaa2cycRaaa0=RaA=R2aBn =R2aB=2R練習題:半徑為R的圓輪，在直線軌道上只滾不滑，設該瞬時、已知，求此時輪心O的加速度a0，與地面的接觸點A的加速度aA，輪緣上最高點B處的加速度aBn ，aB。OBAC練習題:桿長AB=l，圖示位置時，vA、aA已知，求此時的AB 、AB、 vB、aB 。ABvA

42、aA450解：AB的瞬心位于P點，該瞬時：PvBaBABBAlvv45sinaBAaBAnBAnBAABaaaanBAABaaa45cos45sin將上式向BA方向投影：將上式向BP方向投影：45sin45cos0BAnBAAaaa練習題:桿AB=l， OA= r， = 300 ，圖示位置時，OAAB，此時的 =0 、= 0 ，求 vB、aB 。300AOB解：AB的瞬心位于P點，該瞬時：P030cosrvvABaBAaAnaBaBAnBAnBAABaaaa230cosBAnBABBAaa將上式向BA方向投影：033032lr rvABB lraB932202概念題: (1)平面運動通常可以分

43、解為_動和_動， _動與基點的選擇無關? _動與基點的選擇有關? (2).如圖已知作平面運動的剛體上A點的速度vA，則B點的速度可能為圖中的哪一種_?vAAB300450 平平轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)概念題: (1)平面圖形某瞬時的角速度，角加速度，速度瞬心為C， 則 1). v vA A= v= vB B+ + _ 2). a aA A= a= aB B+ + _ 3). vA=AC_ 4). vB=_ 5). AB2=_ 6). AB=_ v vABAB a aABABCBnBAaBAa300300600300BA(2)平面圖形上A點的速度為vA，則B點速度可能為圖中的哪一種?_概念題:下列平面圖形中，那些速

44、度分布是不可能的?用“、”表示AvA vB vA vB BABvB vA vB vAvBABvA vA vA AABBvB vB vA vB v0=RvA=0概念題: 半徑為R的圓輪，在直線軌道上只滾不滑，設該瞬時已知，則輪心O的速度v0= ？與地面的接觸點A的速度vA= ？C點速度的大小及方向如何？OACRVC2概念題: （1）判正誤 ： 已知某瞬時平面圖形作瞬時平動，則下列表達式是否正確？0;0;0;0;BAABBAnBAABBAaaaavvRvA20（2）圖示圓輪邊緣B點絞接桿AB，A端放在水平地面上，輪與地面只滾不滑，此瞬時A端速度為vA，B點位于輪上最高點，則此時圓輪的角速度0= ？

45、桿的角速度AB= ？ABOvA概念題:找出下列作平面運動的剛體的瞬心位置。概念題:找出下列作平面運動的剛體的瞬心位置。概念題:找出下列作平面運動的剛體的瞬心位置。只滾不滑練習題:機構(gòu)在圖示瞬時， 求該瞬時滑塊C的絕對速度vc，滑塊B相對于O2D的相對速度vr，O1A的角速度1，AB的角速度AB。 ，的角速度為，2221221DOOODODOAOO1O2ABrlCD2解：該瞬時，AB瞬時平動。0 0 vAB21r2rllvC練習題:圖示機構(gòu)， OA= 2a， 在圖示位置時，OB=BA，OAAC，求此時套筒D相對于BC桿的速度。600ABODC解：分別求出套筒D和桿BC的速度，之差即為相對速度。v

46、AvDavvAD230cosvevavra vvvveBCae 而30cos/avBCD15.1練習題:圖示機構(gòu)中，C作純滾動，曲柄O1A以勻角速繞軸O1轉(zhuǎn)動，且O1A=O2B=l，BC=2l，輪半徑R=l/4，求圖示位置時輪的角速度C 。此時，O1O2B=900。CBAO2 O1 300300解：綜合題，先考慮合成運動，動點A，動系O2Bvevavrlvalvvae2160cos lvveB2lvvBCBC,瞬時平動RvCC4vBvC練習題:圖示機構(gòu)，已知 vA =0.2m/s， AB=0.4m，求當AC=BC、=300時CD桿的速度。ABCDvA解：屬綜合題，先研究平面運動PP為BCA桿的

47、瞬心所以AB上C點的速度如圖：vCvC= vA由速度投影定理有：再以套筒上C為動點，AB為動系，速度分布如圖：vrvavereavvv向圖示軸線投影：60cos30coseavvsmmva/33200練習題:圖示機構(gòu)，已知 AC=l1，BC=l2，求當ACBC時C點的速度和兩桿的角速度，此時vA 、vB已知。BCAvBvA解：分別取兩個基點A、B研究C點：CAACBBCAACCBBCvvv v:即vvvvvvyx將上式向x、y軸投影：CAACBBvvyvvx0:0: vCAvCB即vB與vCB 、 vA與vCA分別大小相等，方向相反。 vc= 0 即C點同時為AC桿和BC桿的瞬心。21lvlv

48、BBCAAC 練習題:曲柄OA以勻角速0 繞O轉(zhuǎn)動，OA=r，AB=2r，磙子半徑r，只滾不滑，求OA水平時磙子的角速度和角加速度。OBA0解：AB作平面運動，vAvBA、B兩點速度投影：260cos30cos0rvvAB30B 加速度分析：nAanBAaBAaBaBAnBAABaaaa向虛線方向投影：nBAABaaa30cos30cos323230cos2020rraaanBAABBA202077. 1)3341 (rraB2077. 1B練習題:曲柄OA以勻角速0 繞O轉(zhuǎn)動，OA=r，AB=2r，磙子半徑r，只滾不滑，求OA鉛直時磙子的角速度和角加速度。OBA0解：AB瞬時平動，vA0rv

49、vAB0rvBB 加速度分析：nAa0nBAaBAaBaBAnBAABaaaa向虛線方向投影：60cos30cosnABaa202132raB0BAvB由于AB瞬時平動，所以有:2031B練習題:半徑為 r =30cm 的圓輪在水平軌道上只滾不滑地運動，輪緣上鉸接一長為 AB=120cm 的桿，當OA在鉛直位置時，輪心O的速度 v0=20cm/s，加速度 a0=10cm/s2，求此時點B的速度和加速度。OBA解：依題意有：aOvOvAvBAB 瞬時平動，02vvvABscm/40加速度分析：BAnBAAnABaaaaa由于aBA大小未知，故向其垂線（虛線）方向投影：30sin30cos30co

50、snAABaaa0BA由于AB瞬時平動，所以有:nAa0nBAaBAaBaAarvaaanAA2002 , 2/3 .123334020scmaB 例1: 礦井中的罐籠內(nèi)裝有質(zhì)量為m的物體，現(xiàn)以勻加速a提升罐籠， 求物體m受到的約束反力。am解：動力學的解體思路與靜力學的類似，只是 把列靜力平衡方程換為列運動微分方程。.取研究對象： 物體m . 畫受力圖： mgN. 建坐標:0 x. 列運動微分方程:Xxm mgNma N= mg+ma其中:mg為靜反力，ma為動反力.屬于已知運動求力之情形. 解方程:例2: 炮彈以初速v0發(fā)射，不計阻力，求炮彈在重力作用下的運動.v v0 0 解: 研究(任

51、意位置時而不能是特殊位置時的)炮彈，作受力圖，mgyoxYymXxm = 0= -mg屬第二類問題，力是常量.直接積分:21cgtycx= v0cos= - gt + v0sin40230)sin(21)cos(ctvgtyctvx即為炮彈的運動方程消去時間即為軌跡方程進而可以討論最高射程，最遠距離等.例3: 質(zhì)量為m的機車在水平面內(nèi)沿曲線軌道由靜止開始運動，牽引 力F=1.2t（kN），常值阻力R=2kN，求機車的運動規(guī)律。O（+）S解： 受力分析，牽引力 F=1.2t（kN） 常值阻力R；重力和地面支反力均沿鉛直方向，不予畫出；軌道在水平面上沿曲率半徑有一支反力。FRNnnn2NFsmRF

52、Fsm 從第一式出發(fā)，dt) 2t 2 . 1 (smds0t35dt)2t2 . 1 (smdt0不從0開始,在t=0時,F=1.2t=0,t增F隨之增,直到FR=2kN之前,機車靜止,已用去時間t=2/1.2=5/3秒,此后機車開始運動,才可用動力學方程.35t2t6 .0sm23)35t (m2 .0s即為機車的運動方程.(其他類型的例題見教材)例: 錘重Q=300N，從高度H=1.5m處自由落到鍛件上，鍛件發(fā)生變形，歷 時=0.01s， 求錘對鍛件的平均壓力.H解:研究錘，分析受力:QN * 錘由高 H 處自由落下所需時間:gH2t y建投影軸，列動量定理:y1y2ysmvmv,)(,

53、*y21NtQ s ,0vt0v)(而時間后經(jīng)過kN9 .16) 1( tQN*例：電機的外殼固定在水平基礎上，定子重P，轉(zhuǎn)子重p，偏心距e， 以勻角速繞O1轉(zhuǎn)動，求基礎的支座反力。O1Ppe解：已知運動求力 研究電機整體所構(gòu)成的質(zhì)點系，主動力已有，畫約束反力，R RY YR RX XM建坐標軸，yoxt質(zhì)心坐標為： iiiCmxm xiiiCmymyppPtcose0PppPtsine0Ppp-xcPtcose2 pp-ycPtsine2 YyMXxMCC 代入質(zhì)心運動定理，即可.列動力學方程:ppp-pPpp-pPPRPtsinegRPtcosegY2X2gtsinePRgtcoseR2Y

54、2Xp-pp基礎的支座反力為：靜反力動反力例：靜止的小船上，一人欲上岸，由船尾走向船頭，設人重P，另兩人和船共重Q，船長l，岸邊無外力且不計水的阻力，求船的位移。解：研究人、船組成的質(zhì)點系，分析受力：PQl 所有外力均沿鉛直方向，水平方向合外力投影為零。由于系統(tǒng)原處于靜止，根據(jù)質(zhì)心運動守恒定理，則系統(tǒng)的質(zhì)心在水平方向保持不動。dyoxs設 人前行 l 時船后移距離為s則移動前QP)d2(Q)d(Px1Cll則移動后QP) sd2(Q)ds (Px2Cl2C1CxxQPPsl 若在運動過程中，作用在質(zhì)點系上的合力對某固定軸的矩恒為0，則該質(zhì)點系對該軸的動量矩守恒。質(zhì)點系動量矩定理的投影式為：zz

55、dtdMHm1 m2 OR解： 研究系統(tǒng)，分析受力：m1gm2gYOXOv1v2分析運動：zzdtdMHgRmgRmdt)RvmRvm( d212211gmmmma21211例：半徑為R的滑輪上繞一不可伸長的繩子，繩子兩端分別掛有質(zhì)量為m1和m2的兩重物，設m1m2 ，求m1運動的加速度。滑輪及繩子的質(zhì)量不計。例：均質(zhì)圓輪質(zhì)量為m，半徑為R，求對質(zhì)心軸C的轉(zhuǎn)動慣量。CRdrdr解：取單位厚度的圓輪研究，取一面積微元dmdrrddmdmrJM2C203R0Cdrdr J2CmR21J對輪緣上任一點，有：2CZMdJJ222ZmR23mRmR21J解：取一微元dxdxmdmldmrJM2C2l2l

56、ldxxm J2C2Cm121Jl對桿端，有：2CZMdJJ222Zm31)(mm121Jl2ll例：均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長為l，求對質(zhì)心軸C的轉(zhuǎn)動慣量。CdxxOxz例：半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪繞質(zhì)心軸z以勻角速0轉(zhuǎn)動。今欲制動，閘瓦壓力Q、摩擦系數(shù)f，求制動所需時間。Q0O解：研究輪子，分析受力：FmgYOXO列出動力學方程：zZJM RQfJO dtJRQfdtoOo0fQRJt0O問：制動過程中，輪子轉(zhuǎn)過了多少圈？ 例：如圖所示，兩均質(zhì)圓輪半徑分別為rA和rB ，重為PA和PB ，鼓輪B上作用主動力偶矩M，A輪與斜面間無相對滑動，求B輪從靜止開始轉(zhuǎn)過角時的角速度B及支座B處的反力。BA

57、MPAPB解：、分析所給系統(tǒng)的構(gòu)成及各部分作何種運動，一般應拆開分別研究。 、先研究B，作受力圖： YBXBT作定軸轉(zhuǎn)動，列動力學方程：BMBBJBrTM（1）B .再研究A，作受力圖： NTFA作平面運動，列動力學方程：CMCCCJYyMXxM sinPTFagPAAAAAAFrJ（2）（3）xy再列補充方程 一般為運動學關系：AAAarBBAArr（4）（5）以上5個未知量均可求解。從中解出B為常量，則有：B202B2欲求支座反力，則需對輪B列質(zhì)心運動定理：YyMXxMCC sinTPcosTBBBBBY0gPX0gP（6）（7）BMPBYBXBTxy 2、三個質(zhì)點的質(zhì)量同為m，同時自點A

58、以相同的速度v0沿不同的方向拋出，問該三點落到水平面時的速度的大小和方向是否相同？答：JZ=Pr ，兩系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量不同，所以角加速度不同。概念題. 1、兩質(zhì)量同為m的均質(zhì)輪，一作用一力P，一掛一重物重P，問兩輪的角加速度是否相同？是多少？PPPOO答：vx= v0cos ， vy= v0sin-gt，由于v0方向不同，所以速度不同。練習題1：用兩根長度同為l的細繩將重為P的物塊掛起如圖，現(xiàn)突然剪斷BC，求剪斷前、后瞬時繩AB的拉力之比。PABC600 :30cos0P T F maaABnnn初瞬時解：剪斷前：平衡 P T AB30cos2剪斷后剪斷前、后瞬時繩AB的拉力之比：32 TAB練

59、習題2: 均質(zhì)桿AB長l，B端放在光滑的水平面上，桿在圖示位置沿鉛直面自由倒下，求A點的軌跡方程。0 ABC解:受力如圖:mgN水平方向無外力，質(zhì)心在水平方向運動守恒如圖建立坐標：使y軸過質(zhì)心Cyx（xA，yA）點A在坐標軸上的位置為:00sincos2lylxAA 消去0 即為點A的軌跡方程：2224lyxAA 練習題3：兩均質(zhì)桿AB=BD=l，質(zhì)量均為m，現(xiàn)突然撤去支座D，求該瞬時A端的反力。ABD解：研究BD，定軸轉(zhuǎn)動YBlgMJBB23 4 0mgYXBB再研究AB：靜平衡， 43450mgl mmgYXAAABDCmgXBFma FmaCnnC 2 2 2lalaCnC初瞬時，=0，

60、gaaCnC43 0 BBYmggm X43 0YAXAMA練習題4：均質(zhì)圓柱體半徑為r，重為Q，放在粗糙的水平面上，設質(zhì)心速度v0 ，具有初角速度0 ，且r0 v0 ，圓柱與地面間的摩擦系數(shù)為fk ， 問 （1）經(jīng)過多少時間，圓柱體才能只滾不滑地向前運動？ 并求該瞬時圓柱體中心的速度， （2）到達只滾不滑狀態(tài)時圓柱體中心移動了多少距離？v00C解:受力如圖:QNF 用平面運動微分方程:FrJQNFxgQCC0 只滾不滑時，rvC代入后積分上式有:ttxvvCC00 只滾不滑前，kNfF xy3230000rvvgfrvtk 聯(lián)立以上各式有S = ? 同學們自己做.練習題:均質(zhì)桿AB長l，B端