1、現(xiàn)代數(shù)字信號處理/確定性最小二乘濾波器第三章第三章 確定性最小二乘濾波器確定性最小二乘濾波器本章的教學(xué)內(nèi)容本章的教學(xué)內(nèi)容 正則方程正則方程 濾波器的漸近性濾波器的漸近性 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器 白化濾波器白化濾波器前前 言言一一、LP、HP、BP、BS 濾波器設(shè)計濾波器設(shè)計(本科本科)設(shè)計特點(diǎn)：在頻域上給出容限圖，期望能逼近理想設(shè)計特點(diǎn)：在頻域上給出容限圖，期望能逼近理想濾波器。濾波器設(shè)計與輸入濾波器。濾波器設(shè)計與輸入輸出信號的統(tǒng)計特性關(guān)輸出信號的統(tǒng)計特性關(guān)系不密切。系不密切。以低通濾波器為例前前 言言二二、最佳濾波器的概念最佳濾波器的概念期望輸出期望輸出實際輸出實際輸出 設(shè)計特點(diǎn)：

2、在時域上，我們希望實際輸出盡量逼近設(shè)計特點(diǎn)：在時域上，我們希望實際輸出盡量逼近期望輸出。與輸入和輸出信號的波形特性密切相關(guān)。期望輸出。與輸入和輸出信號的波形特性密切相關(guān)。 輸入和輸出既可是隨機(jī)信號，也可是確定信號。輸入和輸出既可是隨機(jī)信號，也可是確定信號。 逼近準(zhǔn)則：最小均方誤差、最小二乘逼近準(zhǔn)則：最小均方誤差、最小二乘h(k)g(k)y(k)f (k)以信道均衡為例?前前 言言確定性最小二乘濾波器確定性最小二乘濾波器2( )min ( )( )( )h kkf kg kh k直接對樣本數(shù)據(jù)g(k)進(jìn)行處理,無須知道g(k)的統(tǒng)計特性,只對該樣本現(xiàn)實最佳統(tǒng)計性最小二乘濾波器統(tǒng)計性最小二乘濾波器

3、(又稱為最小均方誤差濾波器又稱為最小均方誤差濾波器)2( )min ( )( )( ) h kEf kg kh k需要知道g(k)的二階統(tǒng)計特性,對具有該二階統(tǒng)計特性的隨機(jī)信號的所有樣本現(xiàn)實,從平均意義上最佳第4章第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程一一、確定性最佳濾波的引出確定性最佳濾波的引出y = g* h = f)()()(zHzGzF)()()(zGzFzH將輸入信號的起點(diǎn)時刻定義為將輸入信號的起點(diǎn)時刻定義為k=0=0時刻，假設(shè)輸入因果時刻，假設(shè)輸入因果信號信號g(k)為單位脈沖信號為單位脈沖信號u( (k) )通過因果通過因果/ /穩(wěn)定線性系統(tǒng)穩(wěn)定線性系統(tǒng)G( (z) )后產(chǎn)生的因果穩(wěn)定序

4、列后產(chǎn)生的因果穩(wěn)定序列; ; 序列序列g(shù)(k)的的Z變換為變換為G( (z) )1( )( )( )F zh kZG z問題的解決似乎很容易,真有這么簡單嗎?第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程在因果、穩(wěn)定的要求下，在因果、穩(wěn)定的要求下，H(z)無法物理實現(xiàn)的原因：無法物理實現(xiàn)的原因： ()y = g* hff最優(yōu)準(zhǔn)則：最小二乘最優(yōu)準(zhǔn)則：最小二乘 1. 1. 的零點(diǎn)不一定在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)不一定在單位圓內(nèi), , 如果如果g(g(k) )不是最小相位不是最小相位序列序列, ,即即 不是最小相位的，那么不是最小相位的，那么 就不是穩(wěn)定的；就不是穩(wěn)定的；2. 2. 對應(yīng)的可能是一個因果穩(wěn)定的對應(yīng)的可能是一個

5、因果穩(wěn)定的IIR濾波器，濾波器，而所設(shè)計的而所設(shè)計的 要求是一個有限階的要求是一個有限階的FIR濾濾 波器。波器。3. 3. 如果如果 不是因果的，則不是因果的，則 不是因果的不是因果的)(zG1/( )G z)(/ )(zGzF)(zH( )F z)(/ )(zGzF物理可實現(xiàn)的解決方案：設(shè)計因果、穩(wěn)定或物理可實現(xiàn)的解決方案：設(shè)計因果、穩(wěn)定或FIRFIR的的)(zH)(zG最佳線性濾波第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程二二、正則方程正則方程22( )lf k f( )0,0 ()h kkor kne = f - y = f - g* h誤差序列誤差序列222( )( )( )( )kVf kg

6、kh khf - yf - g h21( )()()()2jjjVF eG eH edh22( )lg k g因果輸入序列因果輸入序列期望輸出期望輸出(不一定因果不一定因果)n階階FIR濾波器濾波器( (不限定不限定) )表示平方可積(和)序列帕斯瓦爾定理誤差總能量第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程最小二乘準(zhǔn)則最小二乘準(zhǔn)則 (LS : Least-Square) min( )Vhh220nkkmV hf ky kf kh m g km( )( )( )( )() ()20( )2( )( ) ()nkmkfkh mf k g km00( ) ( )() ()nnlmkh m h lg km g k

7、l要求h(m)因果、FIR積分的乘積變成二維積分，采用兩個積分變量第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程22( ) |kfkf與與h無關(guān)的常數(shù)項無關(guān)的常數(shù)項 ： 期望輸出信號的能量期望輸出信號的能量 線性項線性項h( (m) )的系數(shù)的系數(shù) ：輸入與輸出的互相關(guān)函數(shù)輸入與輸出的互相關(guān)函數(shù) 0( )( ) ()( ) ()( ) ()kkkq mf k g kmg k f kmg k f km1()()2jjjmF eG eed0nm輸入序列是因果的卷積定義？( )()f mgm() (g k mgm k 第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程二次項二次項h( (m) )h( (l) )的系數(shù)：的系數(shù)： 輸入信

8、號自相關(guān)輸入信號自相關(guān) ( , )() ()kr m lg km g kl00( ) ()( ) ()kkg k g kmlg k g klm 2()1()2jj m lG eed()()r mlr lm積分變量置換kmk積分變量置換klk 0nm0nl 參見前面求和表達(dá)式( ) ()g mgml第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程(0)(1)( )Thhh nh(0)(1)( )Tqqq nq(0)(1)( )(1)(1)( )(1)(0)rrr nrRrr nrrToeplitz矩矩陣陣 (n+1)(n+1)維的輸入自相關(guān)矩陣，第i行第j列元素值為r(|i-j|)n+1維濾波矢量令n+1維輸入輸

9、出互相關(guān)矢量0( )( ) ()kq mg k f km0( )( ) (|)kr mg k g kmn階濾波器第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程2TTV(h)q h+ h Rh20( )2( )( ) ()nkmkfkh mf k g kmV(h)00( ) ( )() ()nnlmkh m h lg km g kl( )q m()r ml上式用矢量、矩陣形式表示為上式用矢量、矩陣形式表示為練習(xí):反過來驗證第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程2 TTV(h)q h+ h Rhmin( )0Vhh標(biāo)量V對矢量h求偏導(dǎo)零矢量2 0 q+ 2Rh當(dāng)R為對稱矩陣時1 = hR q下面介紹另外一種相對復(fù)雜的推導(dǎo)

10、方法(展開法)第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程( )00,( )Vlnh lh0( )( ) ()()00nkmf kh m g km g klln 0(|) ( )( )0nmr lm h mq lln 估計誤差序列與估計誤差序列與輸入序列輸入序列(l=0)及及其平移序列正交其平移序列正交2 ( ) ()00ke k g klln 2220nkkkme kf ky kf kh m g km( )( )( )( )( ) ()V(h)參見r()、q()的定義及性質(zhì)第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程(0)(1)( )(0)(0)(1)(1)( )(1)(0)( )( )rrr nhqrrr nrrh

11、nq nRhq1Rhq0( )( ) ()kr mg k g km0( )( ) ()kq mg k f km最小二乘濾波器的正則方程(n+1)(n+1)維的輸入自相關(guān)矩陣，第i行第j列元素值為r(|i-j|)第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程三、誤差分析三、誤差分析R hq( )2TTVRhq hhhmin( )2TTVhq hh qTTRq hhh200( ) ( )() ()( )nnlmkkh m h lg km g klyk222( )( )( )0kkke kfkyk 即：期望輸出能量一定大于即：期望輸出能量一定大于最小二乘濾波器最小二乘濾波器實際輸實際輸出能量。類似于勾股定理出能量。

12、類似于勾股定理參見第參見第1章中的正交投影定理章中的正交投影定理誤差能量等于期望輸出信號能量-實際輸出信號能量練習(xí):根據(jù)定義以及可分離的二維求和性質(zhì)第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程相對誤差能量：相對誤差能量：2( )( )( )kV hV hfk2minmin22( )( )11( )( )TkkkykV hq hfkfk 10minmin0期望輸出期望輸出 f 與實際輸出與實際輸出 y 完全一致完全一致1min期望輸出期望輸出 f與實際輸出與實際輸出 y完全不一致完全不一致輸入與期望輸出完全不相關(guān)。輸入與期望輸出完全不相關(guān)。 第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程00 ,0hqy0g1gfyfeff輸

13、入序列長度為2情況下的舉例，大于2時，引入超平面子空間概念期望輸出與輸入不相關(guān)期望輸出與輸入完全相關(guān)為輸入的線性組合，必在輸入信號構(gòu)成的子空間內(nèi)yf 窄帶干擾信號y(k)有長的相關(guān)長度，自相關(guān)在范圍上有較大的值；干擾數(shù)目、頻率等參數(shù)未知。例：窄帶干擾例：窄帶干擾(NBI)消除消除( )( )( )( )x ks ky kv k( )0sr llD0,lMMDs(k)、y(k)和v(k)相互之間不相關(guān)；熱噪聲v(k)是白色的；有用信號s(k)是寬帶的，因此有短的相關(guān)長度，即 第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程超寬帶雷達(dá)(探地、救災(zāi))信號處理,如何根據(jù)觀測信號x(k)得到回波信號s(k)的最佳估計,或

14、如何消除干擾y(k)例如各種窄帶的通信信號由于由于y(k)和和x(k)是相關(guān)的，可以通過是相關(guān)的，可以通過x(k)用最佳線性估用最佳線性估計方法得到一個對計方法得到一個對NBI的估計：的估計： *yx h( )( )y ky k如果如果 則則( )( )( )( )x ky ks kv k第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程線性預(yù)測器可以利用最小二乘濾波器來實現(xiàn)。濾波線性預(yù)測器可以利用最小二乘濾波器來實現(xiàn)。濾波器期望輸出為器期望輸出為y(k)，輸入為，輸入為x(k) Rhq問題：只有觀測數(shù)據(jù)問題：只有觀測數(shù)據(jù) x(k) ，y(k)不可得不可得。序列的卷積如何計算互相關(guān)?可計算自相關(guān)?思路：最佳濾波器

15、的設(shè)計需要的是期望輸出與輸入思路：最佳濾波器的設(shè)計需要的是期望輸出與輸入 之間之間 的互相關(guān)函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)q(m)|m=0,1,n,而不是而不是 期望輸出期望輸出 f(k);進(jìn)一步的問題是進(jìn)一步的問題是: 依然無法計算依然無法計算 y(k)與與x(k)的的 互相關(guān)，能否通過互相關(guān)，能否通過x(k)的自相關(guān)來計算的自相關(guān)來計算y(k)與與x(k) 的互相關(guān)呢？的互相關(guān)呢？思考：思考：x(k)由由s(k)、y(k)、v(k)三部分組成，三部分組成， s(k)的相關(guān)長的相關(guān)長 度小于度小于D， y(k)的相關(guān)長度大于的相關(guān)長度大于D， v(k) 相關(guān)長度相關(guān)長度 為零，則為零，則x(k)中的中的s

16、(k) 與與x(k-D)中的中的 s(k-D)、 y(k-D)、v(k-D)三部分都不相關(guān)三部分都不相關(guān);同理同理, x(k)中的中的v(k) 也與也與x(k-D)不相關(guān)不相關(guān),則則 x(k)與與x(k-D) 的自相關(guān)就是期的自相關(guān)就是期 望輸出望輸出y(k)與輸入與輸入 x(k-D)的互相關(guān)的互相關(guān)第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程思路：以思路：以x(k-D)作為輸入，以作為輸入，以y(k)作為期望輸出與以作為期望輸出與以x(k)作作為期望輸出是等價的為期望輸出是等價的由于互相關(guān)函數(shù)的等價性由于互相關(guān)函數(shù)的等價性第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程1100( )( ) ()( ) ()kkq mx k

17、 y kmx k x km1( )()()()()x kx kDs kDy kDv kD( )y nZ-D最優(yōu)線性濾波+-x(k)e(k)性質(zhì):x1(k)第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程0() ()( ) ()()k Dkxx kD x kmx k x kDmr Dmy(k)未知情況下依然可以通過x(k) 估計y(k)與輸入序列x1(k)的互相關(guān)函數(shù)11100( )( )() () () ( ) ()( )xkk Dxkrmx k x kmx kD x kDmx k x kmr m第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程10( )( ) () (0,1,., )N D mkq mx k x kDmmn設(shè)設(shè)

18、x(k)的實際長度范圍為的實際長度范圍為x(k)|k=0,1,N-1，濾波器的，濾波器的長度范圍為長度范圍為h(k)|k=0,1,n (nN-D)；計算；計算10( )( ) () (0,1,., )N D mkr mx k x kmmn構(gòu)造如下矢量與矩陣(0)(1)( )Thhh nh(0)(1)( )Tqqq nq有限數(shù)據(jù)長度時，兩個求和式中的k的變化范圍應(yīng)該一致。第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程則有：(0)(1)( )(1)(1)( )(1)(0)rrr nrRrr nrr1R qhmax(0,)( )( ) () (0,1,.,1)kmk ny kx m h kmkN( )( ) (0,

19、1,.,1)x ky kkN去除窄帶干擾后的信號為(|)ijRr ij第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程(2)/(2)/1( ) (08)frtnsttnstg ttnsee 2.3,0.4,2,2rfstns tnsfGHz( )( /)(1) / (0,1,2,.,15)sss kg kfg kfk141( )sin()iiiiy kAk5 (96)( )( )96,97,.,111( )( )( )96,111s ky kv kkx ky kv kk( ) (0, 0.1)v kWGN舉例(0,1,2,.,199)k 采樣間隔1/fs=0.5ns第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程第一節(jié)第一節(jié) 正

20、則方程正則方程14個干擾頻率課程上機(jī)實驗4：確定性最小二乘濾波器的實現(xiàn)上述舉例中，其他參數(shù)不變，干擾信號參數(shù)設(shè)置為 A1=A2=A14=2; 1=2= 14=0 1=0.06,2=0.10,3=0.18,4=0.21 5=0.30,6=0.48,7=0.52,8=0.57 9=0.61,10=0.64,11=0.67,12=0.70 13=0.78,14=0.94采用Matlab語言編程(1) 參照實驗3的方法產(chǎn)生均值為0，根方差為0.1的正態(tài)白噪聲第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程 ( )|1,2,.,200v kk 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)從實驗3的100000變成200(2) 按設(shè)定的參數(shù)產(chǎn)生干擾信號數(shù)據(jù)第

21、一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程141( )sin(1) (1,2,.,200)iiiiy kAkk針對Matlab的數(shù)組下標(biāo)只能從1開始的調(diào)整(3) k0=96，產(chǎn)生信號數(shù)據(jù)2.30.5(1) 2/0.42.30.5(1) 2/21( ) (1,2,.,15,16)kkg kkee( )( )(1) (2,3,.,15,16)s kg kg kk(1)(1)sg第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程5 (96)97,98,.,112( )01,2,.,96;113,114,.,200s kks kk畫出 以及 的波形圖(4) 畫出含有噪聲以及干擾的合成信號x(k)的波形圖( )( )( )( ) (1,

22、2,.,200)x ks ky kv kk( )s k( )( )s kv k(5) 給定參數(shù)D=16，n=12,N=200；求FIR線性最小二乘濾波器 h(k)|k=1,2,n+1數(shù)組下標(biāo)從1開始,對應(yīng)實際的h(0)到h(n)第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程11( )( ) (1) (1,2,.,1)N D mkq mx k x kDmmn11( )( ) (1) (1,2,.,1)N D mkr mx k x kmmn(1)(2)(1)Tqqq nq(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)(1)rrr nrRrr nrr( , )(| 1)R i jr ij第一節(jié)第一節(jié) 正則方程正則方程(

23、6) 利用線性最小二乘濾波器對觀測數(shù)據(jù)x(k)進(jìn)行濾波處理，得到窄帶干擾信號序列的估計值序列(7) 利用濾波器的輸出數(shù)據(jù)序列對觀測信號中的干擾信號進(jìn)行對消處理；畫出對消后信號 的波形圖；觀察其與 的相似性及差異性max(1,)( )( ) (1) (1,2,.,200)kmk ny kx m h kmk( )( )( ) (1,2,.,200)s kx ky kk( )s k( )( )s kv k1(1)(2)(1)Thhh nR qh利用Matlab的矩陣運(yùn)算函數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 最小二乘濾波器的漸近性最小二乘濾波器的漸近性22( )lf k f( )0,0h kk22( )lg k g輸入序

24、列，因果，不一輸入序列，因果，不一定最小相位定最小相位期望輸出序列，不一定因果期望輸出序列，不一定因果因果因果IIR濾波器濾波器(n)下面討論最小二乘濾波器的階n足夠大或趨于的情況220nkkme kf kh m g km( )( )( ) ()V(h)問題：n時，V(h)可以下降到多少？是否可下降到0？期望輸出實際輸出y(k)第二節(jié)第二節(jié) 最小二乘濾波器的漸近性最小二乘濾波器的漸近性一、最優(yōu)因果一、最優(yōu)因果IIR LS 濾波器的求解問題濾波器的求解問題1min0( )( )()G zGzzz01z min( )Gz最小相位最小相位假設(shè)輸入信號g(k)是因果、穩(wěn)定的但非最小相位的，G(z)存在

25、一個單位圓外的零點(diǎn)1/z0110min0101( )( )()1z zG zGz zzz z作等值變換矩陣求解?不行Rhq問題轉(zhuǎn)化: 序列所對應(yīng)的全通函數(shù)序列的概念第二節(jié)第二節(jié) 濾波器的漸近性濾波器的漸近性10min0( )( ) (1)G zGzz z最小相位最小相位1010()( )1zzD zz z全通函數(shù)全通函數(shù)1*10min00*10( )(1)( )( )1zzGzz zG z D zz z練習(xí)3.1：令z=ej,z0=|z0|ej利用復(fù)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)證明|()| 1jD e0( )( )( )G zG z D z對于G(z)有多個單位圓外零點(diǎn)的情況，采用同樣方法可以得到最小相位全通函

26、數(shù)穩(wěn)定因果G(z)本身為最小相位的，則D(z)=1第二節(jié)第二節(jié) 濾波器的漸近性濾波器的漸近性1110()( )1IiiizzD zz z全通函數(shù)全通函數(shù)|()| 1jD e|0,1,.,1iziIG(z)的所有單位圓外的零點(diǎn)的所有單位圓外的零點(diǎn)1( )( )d kZTD z設(shè)設(shè)0, ( )0kd k全通函數(shù)對應(yīng)的全通函數(shù)對應(yīng)的序列為因果的序列為因果的輸入序列輸入序列 g(k) 已知的情況下已知的情況下, d(k) 也是已知的也是已知的2201( )|()|12jkdkD ed序列總能量序列總能量分子分母的階相同 第二節(jié)第二節(jié) 濾波器的漸近性濾波器的漸近性000( )( )1( )( )( )(

27、 ) ( )( )F zF zH zHzG zG z D zG z000001( )( )( )( )( )( )( ) ( )( ) * * G z H zGz D zHzD z HzF zGzg hdhf01( )G z0( )Hz( )H zgfd0h0( )( )( )F zHzD z現(xiàn)實情況下，要求現(xiàn)實情況下，要求理想情況下相當(dāng)于以d(k)為輸入,f(k)為期望輸出,求最優(yōu)的h0( )G z( )D z( )F z第二節(jié)第二節(jié) 濾波器的漸近性濾波器的漸近性22( )()minVfV00hfg hdhhdR 0dhq0(|)( ) (|)dkrmld k d kml2|1()()2jj

28、 m lD eedml0dhq00( )( ) ()() ( )0kk mh md k f kmd km f kmRd、h0、qd為無窮階的即即RI有有的解h0滿足根據(jù)功率譜定義、全通函數(shù)的性質(zhì)、單位脈沖函數(shù)定義即即 Rd的第m行第l列元素值第二節(jié)第二節(jié) 濾波器的漸近性濾波器的漸近性22min0( )( )( )TTkmVfkqmd0dddhq hq q20( )() ( )() ( )kmk ml mfkd km f kd lm f l 2000( )( ) ( )() ()kklmfkf k f ld km d lm二、誤差分析二、誤差分析根據(jù)第一節(jié)(三)2000( )( ) ()( )

29、()kmklfkf k d kmf l d lm 定義i1G zz 試設(shè)計一個n階的FIR濾波器，滿足 ( )1/( )H zG z解：解： ) 1()(kkkg2( )( ) ()1010kr mg k g kmmmothers (0)10( )00gmq mm實數(shù)實數(shù)( )( )( )g kh kk( )( )1G z H z 第三節(jié)第三節(jié) 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器22(0)110(1)0( )001hhh n 2(1) (0)(1)1hh2(1)(1) ( )0h nh n對于此特殊情況,不一定要通過矩陣求逆解方程組第0個方程2(1)(1) ( )(1)0h kh kh k第k(

30、0kn)個方程第n個方程第三節(jié)第三節(jié) 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器2(1)(1) ( )(1)0h kh kh k12( )kkh kcc通解通解0kn12(1)0zz差分方程有兩個根1z21/z根據(jù)信號與系統(tǒng)理論，差分方程的解通式考慮到( )0 0 or h kkkn所有方程滿足第三節(jié)第三節(jié) 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器解出系數(shù)解出系數(shù)c1、c2 1(1)3(1)0( )0nknknnknh kothers min( )1(0) (0)1(0)Vghh h1(1)313(1)3(1)1nnnnnnnn 練習(xí)3.2：將上式代入方程組中的第0,n個方程求得：(1)13(1)nnnc (1

31、)23(1)nnnc第三節(jié)第三節(jié) 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器漸近性：漸近性：123lim ( )0nkknnh kk 21121111lim( )1( )nH zzzG z112111111/1lim( ) ( )( )11 (1/ )nzzH z G zD zzu z min21lim( )1 lim (0) (0)1nnVgh h全通函數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器min, lim ( )1nV h min1, lim( )0nV h11111111111111( )1()(1)11u zzG zzzzu zz 11( )( )(1)kkd ku ku k 1(0)

32、d 22211101nkV hdkd minlim( )( )( )也可利用漸近性進(jìn)行誤差能量求解：也可利用漸近性進(jìn)行誤差能量求解：根據(jù)Z變換性質(zhì)110( )(1)G zz 1111( )1zD zz例例221( )4G zz解：解： (1) L = 12第三節(jié)第三節(jié) 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器試設(shè)計一個10階的FIR濾波器，使得 ( )LF zz(1) L = 12； (2) L = 0 009( )110mq mm1.06250( )0.2520mr mmotherwise 1( )( )(2)4g kkk( )(12)f kk練習(xí)3.3練習(xí)3.3續(xù)g(k)非最小相位序列10階濾波器

33、,只須計算0至10的q(m),雖然q(12)=1/4第三節(jié)第三節(jié) 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器4322 9.155 10 ,0, 3.891 10 ,0, 1.562 10 ,0, 6.25 10 ,0,-0.25,0,-1.0h 12280( ) ( )( )5.588 10kV hy kf k(2) L = 0ygh-2.28910-4,0,-5.72210-5,0,-1.43110-5,0, -3.57610-6,0,-8.94110-7,0,-2.23610-7,0,11/ 40( )01,2,10mq mm練習(xí)3.3續(xù)解正則方程組練習(xí)3.3續(xù)：計算兩個有限長度序列的卷積k=12時

34、 最大誤差很小( )y k( )(12)y kk( )( )f kk差分方程及邊界條件由于h(10)作了近似,不按-qTh=1-q(10)h(10)計算第三節(jié)第三節(jié) 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器ygh1/16,0,-0.234,0,-0.0586,0,-0.0146,0,-0.00366, 0,-0.00092,0,-0.00023 1220( ) ( )( )0.9373kV hy kg kh 1/4,0,6.2510-2,0,-1.56210-2,0, 3.90410-3, 0,9.72410-4,0,2.28810-4y(k)與(k)之間的誤差很大兩種情況的比較1( )( )(2)4

35、g kkk輸入期望輸出( )(12)f kk群時延為正，用因果濾波器實現(xiàn)時，誤差較小練習(xí)3.3續(xù)由于h(0)作了近似,不按1-g(0)h(0)計算第三節(jié)第三節(jié) 最小二乘逆濾波器最小二乘逆濾波器例例3 輸入輸入:14 . 011)(zzG期望輸出期望輸出:14 . 01)(zzF求四階求四階( ) ( )0,04optHzh kkor k解：解：-2( )( )1-0.16( ) ( )optF zH zzHzG zmin( )0Vh1( )( )(2)4g kkk輸入期望輸出( )( )f kk群時延為負(fù)，且輸入序列為非最小相位的，用因果濾波器響應(yīng)在輸入之后無法實現(xiàn)相位的補(bǔ)償，誤差較大顯然，輸

36、入為最小相位的，輸出為因果的；n足夠大時，存在精確的解第四節(jié)第四節(jié) 確定性白化濾波器確定性白化濾波器生成模型生成模型白化模型白化模型一、白化濾波器引出一、白化濾波器引出若對若對A(z)= /G(z)無任何限制，平穩(wěn)信號通過該系統(tǒng)無任何限制，平穩(wěn)信號通過該系統(tǒng)后一定能得到完全白化后一定能得到完全白化；若要求若要求A(z)為因果、穩(wěn)定為因果、穩(wěn)定IIR系統(tǒng)，則系統(tǒng)，則G(z)必須為最必須為最小相位才能得到完全白化；小相位才能得到完全白化；若要求若要求A(z)為為n階階FIR系統(tǒng)，此時系統(tǒng)，此時 A(z)是是 /G(z)的的n階最小二乘逼近階最小二乘逼近, 不一定能完全白化。不一定能完全白化。G(z

37、)(n)nx不考慮物理可實現(xiàn)性A(z)nx(n)二、二、 =1, A(z)為為逆濾波器逆濾波器H(z)2( ) |minVhg h(0)(1)( )(0)(0)(1)(1)0(1)( )(1)(0)( )0rrr nhgrhrr nrrh n1( )( )H zG z第四節(jié)第四節(jié) 確定性白化濾波器確定性白化濾波器min( )1(0) (0)Vgh h正則方程正則方程三、白化濾波器三、白化濾波器 與逆濾波器本質(zhì)上一致與逆濾波器本質(zhì)上一致第四節(jié)第四節(jié) 確定性白化濾波器確定性白化濾波器用歸一化的n階因果濾波器a (k)a(0)=1(k=0,1,n)對信號進(jìn)行濾波處理，期望輸出為(k) (未知,白化,

38、但1)2min22022202222( )|( )*| (0) (0)( ) 2(0) (0) (0)( ) 2(0) |2(0) |*|kkVkgagy kagyy kgyggaaa逆濾波器的=1,但h(0)不一定為12|minag則( )minVa2( ) |minVaag(0)1a220( )*( ) ()nkmVa m g km aag( )0 1,2,( )Vlna la00( ) () ()( )() ()0nnkmmka m g km g kla mg km g kl 第四節(jié)第四節(jié) 確定性白化濾波器確定性白化濾波器(|)r ml正二次型,具有最小值點(diǎn)0( ) (|)0 1,2,(0)1nma m r mllna第四節(jié)第四節(jié) 確定性白化濾波器確定性白化濾波器(0)(1)(1)(1)(1)(1)(2)(2)(1)(1)(1)(0)( )( )rrr narrarrr nrra nr n1( ) (|)(|)( ) 1,2,nma m r mlrlr lln 根據(jù)上述方程組可以求得a(1),a(2),a(n)第四節(jié)第四節(jié) 確定性白化濾波器確定性白化濾波器00000( )( )() ()( )( )