1、2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬1第四章第四章 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識1. 測量誤差概述測量誤差概述2. 衡量精度的指標衡量精度的指標3. 誤差傳播定律誤差傳播定律 等精度觀測值等精度觀測值4. 算術(shù)平均值及中誤差算術(shù)平均值及中誤差5. 權(quán)及加權(quán)平均值權(quán)及加權(quán)平均值2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬2目的目的了解誤差產(chǎn)生的了解誤差產(chǎn)生的規(guī)律規(guī)律正確正確處理處理觀測成果觀測成果求取最或然值求取最或然值評定觀測精度評定觀測精度指導(dǎo)指導(dǎo)測量工作測量工作選用合適的觀測方法，以符合精度選用合適的觀測方法，以符合精度要求要求2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬3

2、基本概念基本概念誤差誤差總總是存是存在在不確定性不確定性：客觀事物或現(xiàn)象：客觀事物或現(xiàn)象局限性局限性：科學(xué)技術(shù)水平、人的認知能力：科學(xué)技術(shù)水平、人的認知能力對同一個量的多次對同一個量的多次觀測觀測也會有也會有差異差異測量誤差測量誤差：對一個量值進行：對一個量值進行觀測觀測和和量測量測的過程中的過程中所產(chǎn)生的所產(chǎn)生的誤差誤差本章討論本章討論普通測量普通測量中的測量誤差中的測量誤差觀測觀測：通過一定儀器、工具和方法對某個量值進：通過一定儀器、工具和方法對某個量值進行行量測量測的的過程過程觀測值觀測值：通過：通過觀測觀測所獲得的所獲得的數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬4同精度觀測

3、：同精度觀測：由觀測條件判斷由觀測條件判斷 觀測條件觀測條件：測量工作要素的統(tǒng)稱，包括：測量工作要素的統(tǒng)稱，包括 觀測觀測人員人員：年輕人、老年人：年輕人、老年人 測量測量儀器儀器：DJ2、DJ6 觀測觀測方法方法：單向觀測、往返觀測、多測回觀測：單向觀測、往返觀測、多測回觀測 外界外界條件條件：陰天、晴天：陰天、晴天 同同（等等）精度觀測精度觀測 ：條件相同條件相同的觀測的觀測 不同不同（不等不等）精度觀測：相對立）精度觀測：相對立 水準尺前、后視讀數(shù)、水平度盤讀數(shù)、多測回測角等水準尺前、后視讀數(shù)、水平度盤讀數(shù)、多測回測角等 不同水準路線測某一點高程、不同儀器測同一個水平角不同水準路線測某一

4、點高程、不同儀器測同一個水平角 同同（等等）精度觀測值精度觀測值：同精度觀測所獲取的：同精度觀測所獲取的數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)（觀測值）（觀測值） 不同（不等）精度觀測值：相對立不同（不等）精度觀測值：相對立2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬5直接觀測：直接觀測：由觀測值與未知量的關(guān)系判斷由觀測值與未知量的關(guān)系判斷直接觀測直接觀測：直接直接由觀由觀測測值而值而得得的測量，的測量，相應(yīng)值為相應(yīng)值為直接觀測值直接觀測值水準測量：水準尺水準測量：水準尺讀數(shù)讀數(shù)距離測量：一般鋼尺距離測量：一般鋼尺量距量距間接觀測間接觀測：通過觀測值的：通過觀測值的函數(shù)運算函數(shù)運算而而得得的測量，相應(yīng)值為的測量，相應(yīng)值為間

5、接觀測值間接觀測值水準測量：水準測量：高差高差（高程）（高程）距離測量：距離測量：視距視距測量測量2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬6獨立觀測：獨立觀測：由觀測值之間的關(guān)系判斷由觀測值之間的關(guān)系判斷獨立觀測獨立觀測：各觀測值之間：各觀測值之間沒有沒有任何依存任何依存關(guān)系（關(guān)系（函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系），相應(yīng)值為），相應(yīng)值為獨立觀測獨立觀測值值水平角的水平角的多測回觀測多測回觀測三角形的三角形的兩個內(nèi)角兩個內(nèi)角非獨立觀測非獨立觀測：各觀測值之間存在一定的：各觀測值之間存在一定的幾何或物里幾何或物里條件條件的的約束約束（可以表達為（可以表達為函函數(shù)關(guān)系數(shù)關(guān)系），相應(yīng)值為），相應(yīng)值為非獨立觀測值

6、非獨立觀測值符合水準路線符合水準路線上各水準點的高程上各水準點的高程測回法測回法全圓測角全圓測角2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬7測量誤差測量誤差相關(guān)概念相關(guān)概念 真值真值：被觀測量的：被觀測量的真實值真實值 已知：三角形內(nèi)角和、閉合水準路線等已知：三角形內(nèi)角和、閉合水準路線等 未知：大多數(shù)情況，水平角、高差、距離等未知：大多數(shù)情況，水平角、高差、距離等 真誤差真誤差觀測值真值（注意：閉合差觀測值真值（注意：閉合差=觀測值閉合觀測值閉合值）值） 必要觀測必要觀測（數(shù)）：確定未知量所需要的（數(shù)）：確定未知量所需要的最少觀測數(shù)最少觀測數(shù) 兩點間高差：兩點間高差：2 水平角：水平角：2

7、三角形內(nèi)角：三角形內(nèi)角：2 多余觀測多余觀測（數(shù)）觀測總數(shù)（數(shù)）觀測總數(shù)必要觀測（數(shù)）必要觀測（數(shù)） 多測回多測回 水準尺單雙面讀數(shù)水準尺單雙面讀數(shù) 經(jīng)緯儀盤左、盤右讀數(shù)經(jīng)緯儀盤左、盤右讀數(shù) 反映測量誤差反映測量誤差2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬8測量誤差測量誤差來源來源 測量儀器測量儀器精密度（標稱精度）精密度（標稱精度）裝配、搬運、磕碰、磨損、使用等裝配、搬運、磕碰、磨損、使用等 觀測者觀測者聽覺、視覺等感官聽覺、視覺等感官工作態(tài)度工作態(tài)度技術(shù)水平技術(shù)水平身體狀況身體狀況 外界環(huán)境條件外界環(huán)境條件天氣：風(fēng)、雨、溫度天氣：風(fēng)、雨、溫度大氣折光大氣折光2022年4月29日星期五長

8、沙理工大學(xué) 徐鵬9測量誤差測量誤差不可避免不可避免 但是：可以降低誤差，提高精度但是：可以降低誤差，提高精度 提高觀測提高觀測質(zhì)量，減少或控制測量誤差，保質(zhì)量，減少或控制測量誤差，保證測量精度證測量精度 改進改進數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)處理處理方法，進一步提高精度方法，進一步提高精度 準確度準確度：觀測值：觀測值接近接近或或偏離偏離真值的程真值的程度度 精密度精密度（精度精度）：觀測值）：觀測值密集密集或或離散離散的程度的程度 精確度精確度：精密度與準確度的：精密度與準確度的合稱合稱2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬10測量誤差測量誤差種類種類1.粗差粗差2.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差3.偶然誤差偶然誤差20

9、22年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬111、粗差粗差粗差粗差（錯誤錯誤）：不正確使用儀器、疏忽大意、環(huán)境意：不正確使用儀器、疏忽大意、環(huán)境意外等因素導(dǎo)致觀測值外等因素導(dǎo)致觀測值顯著偏離真值顯著偏離真值的情況的情況 如：讀錯、聽錯（記錯）、算錯等如：讀錯、聽錯（記錯）、算錯等 例：例：2004年雅典奧運會氣步槍比賽，中國選手年雅典奧運會氣步槍比賽，中國選手獲冠軍獲冠軍 誤差最大誤差最大：往往與閉合差容許值有：往往與閉合差容許值有數(shù)量級數(shù)量級上的上的差差別別 容易檢核容易檢核：通過多余觀測的差異值很：通過多余觀測的差異值很容易發(fā)現(xiàn)容易發(fā)現(xiàn) 水準尺的黑、紅面讀數(shù)水準尺的黑、紅面讀數(shù) 盤左、盤右讀

10、數(shù)盤左、盤右讀數(shù) 必須避免必須避免：一經(jīng)發(fā)現(xiàn)就：一經(jīng)發(fā)現(xiàn)就剔除剔除2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬122、系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差準確度問題準確度問題系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差：在相同觀測條件下，某個量值的一系列觀測值：在相同觀測條件下，某個量值的一系列觀測值誤差的大小和正負符號固定不變或按誤差的大小和正負符號固定不變或按一定規(guī)律一定規(guī)律變化變化 來源：往往是來源：往往是儀器儀器、工具工具、環(huán)境環(huán)境等等 如：視準軸誤差、尺長誤差、調(diào)制波頻率誤差等如：視準軸誤差、尺長誤差、調(diào)制波頻率誤差等 累計性累計性：對于需要累計測量的觀測量而言，隨觀測次：對于需要累計測量的觀測量而言，隨觀測次數(shù)的增多而累計數(shù)的增

11、多而累計 尺長尺長改正數(shù)、改正數(shù)、EDM氣象氣象改正數(shù)、水準尺改正數(shù)、水準尺零點零點誤差誤差等等 準確度準確度：表現(xiàn)表現(xiàn)為觀測值對真值的為觀測值對真值的系統(tǒng)偏離系統(tǒng)偏離 水準管非水準管非VV、橫軸誤差、度盤偏心差、槍械準、橫軸誤差、度盤偏心差、槍械準星等星等 應(yīng)該應(yīng)該避免避免或或消除消除、減弱減弱 判斷判斷 檢核：儀器、工具、環(huán)境條件等檢核：儀器、工具、環(huán)境條件等 計算：計算：數(shù)理統(tǒng)計方法數(shù)理統(tǒng)計方法2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬132、系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差對策對策消除或減弱系統(tǒng)誤差的消除或減弱系統(tǒng)誤差的常用方法常用方法1. 儀器檢校法儀器檢校法：通過儀器的檢校使系統(tǒng)誤差降低到最?。?/p>

12、通過儀器的檢校使系統(tǒng)誤差降低到最小限度限度 視準軸檢校視準軸檢校 儀器的精確整平儀器的精確整平2. 對稱觀測法對稱觀測法：對稱觀測、取平均值：對稱觀測、取平均值 水準測量的前、后視距相等水準測量的前、后視距相等 測角的盤左、盤右等測角的盤左、盤右等3. 改正數(shù)法改正數(shù)法：測定系統(tǒng)誤差的大小并加以改正：測定系統(tǒng)誤差的大小并加以改正 尺長改正數(shù)：鋼尺的長度誤差尺長改正數(shù)：鋼尺的長度誤差 氣象改正數(shù)：氣象改正數(shù)：DtPD(nrn) 系統(tǒng)誤差的存在形式隨觀測條件會有變化，應(yīng)視系統(tǒng)誤差的存在形式隨觀測條件會有變化，應(yīng)視具體具體情況情況采用采用合適合適的的方法方法使系統(tǒng)誤差使系統(tǒng)誤差降低到降低到可以可以忽

13、略不計忽略不計的程度的程度2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬143、偶然誤差偶然誤差精度（精密度）問題精度（精密度）問題偶然（隨機）誤差偶然（隨機）誤差：在相同觀測條件下，某個量值的一系：在相同觀測條件下，某個量值的一系列觀測值誤差的大小和正負符號都不固定，列觀測值誤差的大小和正負符號都不固定，沒有一定規(guī)沒有一定規(guī)律律，表現(xiàn)為偶然性或隨機性，表現(xiàn)為偶然性或隨機性分化誤差、讀數(shù)誤差等分化誤差、讀數(shù)誤差等 偶然因素：偶然因素：綜合影響，如度盤分劃、估讀、瞄準等綜合影響，如度盤分劃、估讀、瞄準等 精密度精密度：表現(xiàn)表現(xiàn)為觀測值的密集或為觀測值的密集或離散程度離散程度 統(tǒng)計規(guī)律性統(tǒng)計規(guī)律性：

14、相同條件下、相同未知量的觀測值之偶然：相同條件下、相同未知量的觀測值之偶然誤差誤差 最佳估計值最佳估計值（最或然值最或然值） ：通過：通過數(shù)學(xué)處理數(shù)學(xué)處理求出，求出，盡量盡量地地消除消除偶然誤差的影響偶然誤差的影響平均值平均值平差平差2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬153、偶然誤差偶然誤差本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容求算最佳值求算最佳值：平均值、加權(quán)平均值、平差值：平均值、加權(quán)平均值、平差值評價評價：精度（精密度）：精度（精密度）誤差的誤差的顯著程度顯著程度：粗差系統(tǒng)誤差偶然誤差：粗差系統(tǒng)誤差偶然誤差剔除剔除粗差粗差盡量排除盡量排除系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差盡量減弱盡量減弱偶然誤差偶然誤差數(shù)理統(tǒng)

15、計方法：數(shù)理統(tǒng)計方法：求取求取最或然值、最或然值、評價評價精度精度本章本章的主要內(nèi)容的主要內(nèi)容2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬16測量平差測量平差測量平差測量平差（平差平差）：針對）：針對偶然誤差偶然誤差特點以及各特點以及各觀測值之間的觀測值之間的約束條件約束條件，使觀測值，使觀測值閉合差閉合差為為 0 的的數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法求取未知量真值的求取未知量真值的最或然值最或然值計算計算精度精度，評定觀測值的質(zhì)量，評定觀測值的質(zhì)量優(yōu)劣優(yōu)劣 符號符號：高斯和高斯和2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬17偶然誤差特性偶然誤差特性實例實例相同條件下、相同未知量的觀測值偶然誤差具有相同條件

16、下、相同未知量的觀測值偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律性統(tǒng)計規(guī)律性 扔硬幣扔硬幣：每一次正或反面朝上受：每一次正或反面朝上受多種因素多種因素綜合綜合影響影響 當仍的次數(shù)相當大時，當仍的次數(shù)相當大時，正正、反面反面朝上的朝上的次數(shù)次數(shù)相等相等 射擊射擊：彈孔位置受：彈孔位置受多種因素多種因素綜合影響綜合影響 圍繞靶心圍繞靶心對稱對稱分布分布 越接近越接近靶心靶心，彈孔越，彈孔越多多 射手水平越射手水平越高高，靶心彈孔越密，靶心彈孔越密集（集（精密度精密度/偶偶然誤差然誤差）2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬18平面三角形平面三角形3個內(nèi)角和的真誤差個內(nèi)角和的真誤差i(aibici) 180偶然誤差

17、具有的偶然誤差具有的特性特性:1. 有界性有界性：絕對值有界：絕對值有界2. 單峰性單峰性：小誤差：小誤差機會機會大大3. 對稱性對稱性：絕對值等：絕對值等正負正負機會等機會等4. 補償性補償性：第：第 3 條得，條得，和和接近于接近于0 平均值平均值（算術(shù)平均值）：（算術(shù)平均值）：隨觀測次數(shù)增加而趨近隨觀測次數(shù)增加而趨近 0偶然誤差特性偶然誤差特性及舉例：三角形內(nèi)角和真誤差及舉例：三角形內(nèi)角和真誤差2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬19偶然誤差偶然誤差統(tǒng)計直方圖統(tǒng)計直方圖 橫軸橫軸：誤差軸，計數(shù)間隔：誤差軸，計數(shù)間隔 d0.2 縱軸縱軸：頻率軸，：頻率軸，k/n/0.2 某個誤差值

18、某個誤差值頻率頻率：矩形：矩形面積面積 概率概率 ：某個誤差值的：某個誤差值的頻率頻率 曲線曲線：當：當 n ，d0 正態(tài)分布正態(tài)分布曲線曲線 ：高斯偶然誤差高斯偶然誤差分布曲線分布曲線 偶然誤差偶然誤差概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) f() ：單位誤差間隔上誤差的概率單位誤差間隔上誤差的概率 k/n/ 與偶然誤差與偶然誤差 的關(guān)系的關(guān)系2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬20偶然誤差偶然誤差措施措施 實際實際測量不可能作無限次觀測，可以利用偶然誤差的第測量不可能作無限次觀測，可以利用偶然誤差的第 4 條條特性將觀測值的特性將觀測值的算術(shù)平均值算術(shù)平均值作為未知量真值的估計值作為未知量真值的

19、估計值 提高觀測精度的措施提高觀測精度的措施 提高觀測提高觀測儀器等級儀器等級 進行進行多余觀測多余觀測測量測量平差平差求求最或然值最或然值（最可靠值最可靠值），常指算術(shù)平均值），常指算術(shù)平均值2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬214-2 衡量精度的指標衡量精度的指標一、相關(guān)定義一、相關(guān)定義 準確度準確度：觀測值接近或偏離真值的程度，主要受：觀測值接近或偏離真值的程度，主要受系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的影響的影響 精密度精密度：觀測值密集或離散的程度，主要受：觀測值密集或離散的程度，主要受偶然誤差偶然誤差的影響，可的影響，可評價觀測值的評價觀測值的質(zhì)量質(zhì)量優(yōu)劣優(yōu)劣 統(tǒng)計學(xué)概念統(tǒng)計學(xué)概念：相同觀

20、測條件相同觀測條件，相同未知量的一組觀測值中，相同未知量的一組觀測值中每每一個觀測值一個觀測值的的精度精度都都相等相等 真誤差不同真誤差不同 觀察觀察頻率直方圖頻率直方圖的的“胖瘦胖瘦”，可評價精度大小，可評價精度大小 直觀直觀 麻煩麻煩 沒有定量沒有定量 衡量衡量精度的精度的指標指標：用：用數(shù)值數(shù)值建立一個統(tǒng)一的精度衡量標準建立一個統(tǒng)一的精度衡量標準 精確度精確度（精度精度） ：精密度與準確度的合稱：精密度與準確度的合稱2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬22中誤差中誤差觀測值中誤差觀測值中誤差 相同觀測條件下，某未知量相同觀測條件下，某未知量 n 次觀測值次觀測值l1、l2、ln

21、真誤差真誤差：iLli1.密集密集或離散或離散程度程度：m 越越小小則則精精度越高度越高 2.較較大大的的真誤差真誤差：突出：突出反映反映3.統(tǒng)計學(xué)統(tǒng)計學(xué)概念：即相同條件下，相同未知量的一組觀測值中概念：即相同條件下，相同未知量的一組觀測值中每每一個觀測值的中誤差一個觀測值的中誤差（精度）是相等的（精度）是相等的 真誤差不同真誤差不同2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬23容許誤差容許誤差 對于一定精度觀測，偶然誤差具有對于一定精度觀測，偶然誤差具有上上限值限值（第（第 1 條特性）條特性） 誤差很大誤差很大（不符合要求）：可能有粗差、系統(tǒng)誤差，應(yīng)（不符合要求）：可能有粗差、系統(tǒng)誤差，

22、應(yīng)剔除剔除、查找原因，采取相應(yīng)的、查找原因，采取相應(yīng)的解決解決辦法辦法 容許誤差容許誤差（限差限差）：觀測誤差的）：觀測誤差的界限值界限值 正態(tài)分布正態(tài)分布：概率（曲線與：概率（曲線與X軸所夾面積）軸所夾面積） m 外：外：32% 2m 外：外：5% 3m 外：外：3 偶然誤差限差：偶然誤差限差：容容3|m| 精精要求：要求：容容2|m|m=0.22022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬24相對誤差相對誤差 中誤差的中誤差的局限局限：丈量：丈量 2 段距離段距離1. 100m，m12cm2. 200m，m23cm 相對誤差相對誤差：中誤差中誤差（絕對值）與相應(yīng)（絕對值）與相應(yīng)觀測值觀測值的

23、的比比值，常用分子為值，常用分子為1的分數(shù)表示（的分數(shù)表示（1M） K|m|D1D/|m| K11/5,000，K21/6,6661/6,6002022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬25算術(shù)平均值算術(shù)平均值最可靠最可靠（估計估計）值）值相相同同觀測觀測條件條件下，某未知量下，某未知量 n 次觀測值次觀測值 l1、l2、ln 最可靠值最可靠值（最或然值最或然值） 觀測觀測次數(shù)次數(shù)趨向趨向無限無限多時，算術(shù)平均值多時，算術(shù)平均值趨向真值趨向真值 實際實際的觀測次數(shù)總是的觀測次數(shù)總是有限有限的，算術(shù)平均值的，算術(shù)平均值不等不等于真值于真值 比比任何一個任何一個觀測觀測值都值都更更接接近真值近真

24、值2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬26算術(shù)平均值算術(shù)平均值與觀測值改正數(shù)與觀測值改正數(shù) 真值真值：常常：常常未知未知，真誤差無從求，怎樣求解中誤差？，真誤差無從求，怎樣求解中誤差？ 觀測值改正數(shù)觀測值改正數(shù) vi ：算術(shù)平均值（最或是值）：算術(shù)平均值（最或是值）x 與觀測值與觀測值 li 之差之差 特性特性：v0 比較：前面所學(xué)比較：前面所學(xué)閉合差閉合差、平差改正數(shù)平差改正數(shù) 真值真值已知：即已知：即閉合值閉合值，用于計算閉合差，用于計算閉合差 觀測對象：真值的觀測對象：真值的多多個分個分量量，（每一測站的高差等），（每一測站的高差等） 沒有重復(fù)觀測沒有重復(fù)觀測2022年4月29日

25、星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬27觀測值中誤差觀測值中誤差由觀測值改正數(shù)計算由觀測值改正數(shù)計算2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬28算術(shù)平均值算術(shù)平均值中誤差總結(jié)中誤差總結(jié)2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬29獨立觀測值誤差函數(shù)獨立觀測值誤差函數(shù) 間接觀測間接觀測值值：由觀測值的：由觀測值的函數(shù)運算函數(shù)運算而得而得間接觀測值的間接觀測值的中誤差中誤差：由觀測值中誤差的函數(shù)：由觀測值中誤差的函數(shù)求得求得 誤差傳播定律誤差傳播定律 ：表述觀測值：表述觀測值函數(shù)函數(shù)的的中誤差中誤差與觀測值中誤差與觀測值中誤差之間關(guān)系的定律之間關(guān)系的定律 觀測值函數(shù)觀測值函數(shù)：若未知量：若未知量 Z 是

26、獨立變量是獨立變量 x1、x2、xn 的函的函數(shù)，則有函數(shù)式數(shù)，則有函數(shù)式 ，并且有真誤差，并且有真誤差Z，中誤差，中誤差 mZ獨立變量獨立變量 xi（i1、2、3、n）直接觀測）直接觀測觀測值為觀測值為 li，真誤差，真誤差 i，中誤差，中誤差 mi間接觀測間接觀測真誤差真誤差Z ：由各獨立觀測值的真誤差導(dǎo)致其：由各獨立觀測值的真誤差導(dǎo)致其函函數(shù)值偏離真值數(shù)值偏離真值的誤差的誤差2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬30誤差傳播規(guī)律誤差傳播規(guī)律推導(dǎo)推導(dǎo) 12022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬31誤差傳播規(guī)律誤差傳播規(guī)律推導(dǎo)推導(dǎo) 2i j 相互相互獨立獨立i j 大小、正負符號大

27、小、正負符號變化呈變化呈偶然性偶然性偶然誤差偶然誤差第第 4 特性特性 i j n20K 次函數(shù)等次函數(shù)等式相加式相加等式兩邊同等式兩邊同時除以時除以K2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬32特殊函數(shù)的中誤差特殊函數(shù)的中誤差 倍函數(shù)倍函數(shù) 和差函數(shù)和差函數(shù) 線性函數(shù)線性函數(shù)2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬33應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 1 先確定函數(shù)關(guān)系式先確定函數(shù)關(guān)系式1. 在在1500地形圖地形圖上量得某上量得某 2 點間距離點間距離d234.5 mm，其中誤差，其中誤差 md0.2mm，求該，求該 2 點間的地面水平距離點間的地面水平距離 D 及其中誤差及其中誤差 mD 解：解

28、： D500d5000.2345117.25mmD500md 5000.00020.10m2. 設(shè)對某一個設(shè)對某一個三角形三角形觀測了其中觀測了其中2個角個角、，其測角中誤差分別，其測角中誤差分別為為m3.5，m6.2，試求第，試求第3個角個角的中誤差的中誤差m 解：解：2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬34應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 23. 設(shè)觀測值設(shè)觀測值L1、L2、L3的中誤差均為的中誤差均為 m，xL1+2L2，y5L3L2，求，求x、y、xy、xy的中誤差的中誤差 解：誤差傳播定律只適用于解：誤差傳播定律只適用于獨立變量函數(shù)獨立變量函數(shù)2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬35

29、算術(shù)平均值算術(shù)平均值中誤差：中誤差：Mx算術(shù)平均值算術(shù)平均值真誤差中誤差真誤差中誤差精度改善效果曲線精度改善效果曲線2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬36菲列羅公式菲列羅公式 三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和（abc）觀測值：觀測值：ai、bi、ci m ：角度觀測中誤差：角度觀測中誤差180f（閉合差）（閉合差） 菲列羅公式菲列羅公式2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬37綜合例題綜合例題1、計算步驟、計算步驟1）正確列出觀測值的函數(shù)式）正確列出觀測值的函數(shù)式2）求全微分，用真誤差代微分，列出真誤差關(guān)系式）求全微分，用真誤差代微分，列出真誤差關(guān)系式3）檢查誤差是否獨立）檢查誤差是否

30、獨立4）寫出中誤差關(guān)系式）寫出中誤差關(guān)系式5）代入數(shù)值計算函數(shù)值中誤差。）代入數(shù)值計算函數(shù)值中誤差。2、注意事項：、注意事項：1）系數(shù)）系數(shù)xi是用觀測值代入而算得的常數(shù)是用觀測值代入而算得的常數(shù)2）用數(shù)值計算時，應(yīng)注意各項單位的統(tǒng)一）用數(shù)值計算時，應(yīng)注意各項單位的統(tǒng)一3）誤差獨立）誤差獨立2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬38權(quán)權(quán) 觀測條件相同觀測條件相同，算術(shù)平均值即最或然值，算術(shù)平均值即最或然值 如果如果觀測條件觀測條件不相同不相同，則需，則需加權(quán)平均加權(quán)平均 最或然值：不同精度觀測值賦予不同最或然值：不同精度觀測值賦予不同計算份量計算份量（權(quán)權(quán)） 中誤差越小中誤差越小（精度越

31、高），其觀測值賦予計算（精度越高），其觀測值賦予計算份量越大份量越大 權(quán)權(quán)： ，其中，其中為任意給定常數(shù)為任意給定常數(shù) 單位權(quán)單位權(quán)：權(quán)等于：權(quán)等于 1 單位權(quán)觀測值單位權(quán)觀測值：權(quán)值為：權(quán)值為 1 的觀測值的觀測值 單位權(quán)中誤差單位權(quán)中誤差 ：權(quán)值為：權(quán)值為 1 的觀測值中誤差的觀測值中誤差 當當 P1 時，時，m 2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬39權(quán)的性質(zhì)權(quán)的性質(zhì)與與中誤差中誤差的的平方成反比平方成反比始終始終大于大于0對于對于單一單一的觀測值而言，的觀測值而言，權(quán)沒權(quán)沒有任何有任何意義意義數(shù)值大小隨數(shù)值大小隨而變化，但是權(quán)之間的而變化，但是權(quán)之間的比例關(guān)系比例關(guān)系不變不變是是相對性相對性數(shù)值，反映精度的數(shù)值，反映精度的相對大小相對大小，中誤差，中誤差反映的才是絕對精度反映的才是絕對精度盡管盡管為任意值，但是在同一次測量數(shù)據(jù)處理為任意值，但是在同一次測量數(shù)據(jù)處理過程中，過程中，只能有一個只能有一個值值2022年4月29日星期五長沙理工大學(xué) 徐鵬40水準測量中的權(quán)水準測量中的權(quán)按測站數(shù)計算按測站數(shù)計算單位權(quán)中誤差：單位權(quán)中誤差：c 個測站個測站水準路線的中誤差水準路線的中誤