1、微分方程的簡單總結(jié)姜秋.學(xué)號(hào):PB08207234一、一階線性方程1、定義 方程 （1）稱為一階線性微分方程。特點(diǎn)：關(guān)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是一次的。若，稱（1）為齊次的； 若，稱（1）為非齊次的。如：（1） （2）2、解法當(dāng)時(shí)，方程（1）為可分離變量的微分方程。當(dāng)時(shí)，先求其齊次方程的解再用常數(shù)變易法求其通解。 稱為對(duì)應(yīng)于（1）的齊次微分方程，其解為：利用常數(shù)變易法，用代替，即故得通解 ： 。  二、Bernoulli方程1、定義 稱為貝努里方程。當(dāng)時(shí)，為一階線性微分方程。2、解法 兩邊同除得：令，則有 而 為一階線性微分方程，故。貝努里方程的解題步驟：（1）  兩端同除；（2

2、）   代換 ； （3）       解關(guān)于的線性微分方程；（4）       還原3.       利用變量代換解微分方程例 解方程 解 令 ，則 ，于是解得 ， 即 三二階微分方程（一）：可降階的二階微分方程1：  y''=f(x)兩次積分后就可以得到含兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù)（c1,c2）的微分方程的通解2：解y''=f(x,y'

3、)類方程可通過假設(shè)y'=p得y''=dp/dx,代入到原方程得dp/dx=f(x,p)化為一階微分方程從而可求其通解。3：   y''=f(y,y')令y'=p,y''=p*(dp/dy)化為一階微分方程p*(dp/dy)=f(y,p),之后再按一階微分方程方法求通解。（二）：二階非齊次線性微分方程 形如：y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)二階非齊次線性常系數(shù)微分方程的通解y=y1+y*(y1是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解,y* 是非齊次方程的一個(gè)特解)形如y'&

4、#39;+p(x)y'+q(x)y=0為二階齊次線性常系數(shù)微分方程求二階齊次線性常系數(shù)微分方程的通解的步驟:1)     寫出特征方程r2+pr+q=02)     求出特征根3)     按下表得出微分方程的通解特征方程r2+pr+q=0微分方程y''+py'+qy=0通解兩個(gè)不等的根r1r2y=c1er1x+c2er2x兩個(gè)相等的根r1=r2y=(c1+c2x)er1x一對(duì)共軛復(fù)根r1,2=±iex

5、(c1cosx+c2sinx)二階非齊次線性常系數(shù)微分方程形如y''+py'+qy=f(x)(p,q是常數(shù))1)     先按照上面的方法解出對(duì)應(yīng)的二階齊次線性常系數(shù)微分方程的通解2)     下面設(shè)特解有兩種方法(1)分別對(duì)各種情況進(jìn)行假設(shè)(2)對(duì)各種情況的通用的設(shè)法(1). 1.f(x)=Pm(x)ex即多項(xiàng)式與ex(是常數(shù)) 不是特征根,則設(shè)y*=Qm(x)ex即m等于0 是單重特征根,則設(shè)y*=xQm(x)ex即m等于1 是雙重特征根,則設(shè)y*=x2Qm(x)ex

6、即m等于2    特例:當(dāng)?shù)扔?時(shí),f(x)=Pm(x)ex化為f(x)=Pm(x),設(shè)為m重特征根則特解為y=xmQm(x)，其中Qm(x)與Pm(x)的次數(shù)相同。 當(dāng)Pm(x)為常數(shù)A時(shí),f(x)=Pm(x)ex化為f(x)=Aex,設(shè)特解為y*=Bxmex(k是與特征根相同的個(gè)數(shù),不是特征根m=0,有一個(gè)特征根與相同時(shí)m=1,有兩個(gè)相同時(shí)m=2).A和B都為常數(shù).2.f(x)=ex（Acosx+Bsinx） 設(shè)方程的特解為y*=xm(acosx+bsinx)a,b是待求的常數(shù),m是整數(shù).當(dāng)+i不是特征根r時(shí),m=0,當(dāng)+i是特征根r時(shí),m=1(2):先將等式右邊表示為等價(jià)的形如ex (cosx+sinx)的表達(dá)式，找到對(duì)應(yīng)的,a,b(a,b是cosx和sinx前面表達(dá)式的系數(shù),其中常數(shù)的次數(shù)是零).其次計(jì)算u=+i,m的值是u與1和2的值相等的個(gè)數(shù)，l是a,b中的最大值.再次根據(jù)方程y*=xKex(  Pl(x)cosx+Ql(x)sinx)，3)