1、璃船SZCREEDUCHTQnI I思考教育輔導(dǎo)講義學(xué)員姓名：學(xué)科教師：房平年級：高二輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)授課日期時間主題合情推理與演繹推理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.1.了解推理的結(jié)構(gòu)及合情推理的定義.2.2.了解歸納推理的定義與特點，掌握歸納推理的一般步驟，能利用歸納推理解決問題.3.3.了解類比推理的定義與特點，掌握類比推理的一般步驟，能利用類比推理解決簡單的問題.4.4.理解演繹推理的含義.5.5.掌握演繹推理的模式，會利用三段論進(jìn)行簡單的推理.教學(xué)內(nèi)容2 2. .1 1合情推理與演繹推理2.2.1.11.1合情推理基礎(chǔ)初探整理1推理與合情推理1.推理的定義根據(jù)一個或幾個已知的事實（或假設(shè)）得出一個這種思維

2、力式叫做推理.2.推理的結(jié)構(gòu)推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實（或假設(shè)），叫做;一部分是由已知推出的判斷，叫做.3.推理的分類推理一般分為推理與推理.4.合情推理前提為真時，結(jié)論為真的推理，叫做合情推理.5.可能第1頁共22頁d1i聘輔I與匚口REEREE口UCZFITUCZFIT口H H1.如圖2-1-1所示，由若干個點組成形如三角形的圖形，每條邊（包括兩個端點）有n（n1,nCN+）個點，每個圖形總的點數(shù)記為an,則a6=an=（n1,nCN+）.o品0GOOOooooooooooooooooooooon=2FI=3FI=4ra=5圖2-1-1整理2歸納推理與類比推理1.歸納推理定義

3、根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做（簡稱）.（2）歸納推理的一般步驟通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題（猜想）.2 .類比推理（1）定義：根據(jù)之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)的推理，叫做（簡稱）.它屬于合情推理.（2）類比推理的一般步驟找出兩類事物之間的相似性或一致性；用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）.1 .判斷（正確的打”一，錯誤的打X”）（1）統(tǒng)計學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體，這種估計屬于類比推理.

4、（）（2）類比推理得到的結(jié)論可以作為定理應(yīng)用.（）（3）歸納推理是由個別到一般的推理.（）2 .平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行，由此類比我們可以得到（）A.空間中平行于同一直線的兩直線平行B.空間中平行于同一平面的兩直線平行第2頁共22頁I I部與匚口REEREE口U U匚RTRT口門C.空間中平行于同一直線的兩平面平行D.空間中平行于同一平面的兩平面平行題型一：數(shù)、式中的歸納推理例(1)已知f(x)=；jx,x0,若fl(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x),0N N,則f2017(X)的表達(dá)1十x式為.(2)觀察下列等式：(1+1)=2X1,(2+1)(242)=22X1X3,

5、(3+1)(3+2)(3+3)=23X1X3X5,照此規(guī)律，第n個等式可為.一，x(3)已知f(x)=-一，設(shè)f1(x)=f(x),fn(x)=fn1(fn1(x)(n1,且nCN+),則f3(x)的表達(dá)式為1x、-12?猜想fn(x)(nCN+)的表達(dá)式為.進(jìn)行數(shù)、式中的歸納推理的一般規(guī)律2.已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法(1)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中項數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律;(2)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征；提煉出等式(或不等式)的綜合特點；(4)運用歸納推理得出一般結(jié)論.2,數(shù)列中的歸納推理在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測數(shù)列的通項公式或前n項

6、和.(1)通過已知條件求出數(shù)列的前幾項或前n項和；(2)根據(jù)數(shù)列中的前幾項或前n項和與對應(yīng)序號之間的關(guān)系求解；(3)運用歸納推理寫出數(shù)列的通項公式或前n項和公式.再練一題第3頁共22頁SZQREEDUCRTSZQREEDUCRT口門2an(1)已知數(shù)列an中，a1=1,an+1=(aCN+),則可歸納猜想an的通項公式為()2十a(chǎn)n題型二：幾個圖形中的歸納推理(1)黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖2-1-2的規(guī)律拼成若干個圖案，則第n個圖案中有黑色地面磚的塊數(shù)是圖2-1-2(2)根據(jù)圖2-1-3中線段的排列規(guī)則，試猜想第8個圖形中線段的條數(shù)為歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略通過一組平面或空間圖形的

7、變化規(guī)律，研究其一般性結(jié)論，通常需形狀問題數(shù)字化，展現(xiàn)數(shù)學(xué)之間的規(guī)律、特征，然后進(jìn)行歸納推理.解答該類問題的一般策略是:第4頁共22頁A.2an=一nB.2ann+1C.D.anE22+122+2已知32)的數(shù)列an為等差數(shù)列.名師EI廣/1把演繹推理寫成“三段論”的一般方法：(1月“三段論”寫推理過程時，關(guān)鍵是明確大、小前提，三段論中大前提提供了一個一般性原理，小前提提供了一種特殊情況，兩個命題結(jié)合起來，揭示一般性原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系.(2/尋找大前提時，要保證推理的正確性，可以尋找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.再練一題1.將下列演繹推理寫成三段論的形式.(1)平行四邊形的對角線互

8、相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分;等腰三角形的兩底角相等，/A,/B是等腰三角形的兩底角，則/A=ZB.題型二：演繹推理的綜合應(yīng)用如圖2-1-12所示，D,E,F分別是BC,CA,AB邊上的點，/BFD=/A,DE/BA,求證：DE=AF.寫出“三段論”形式的演繹推理.第10頁共22頁SZQREEDUCRTSZQREEDUCRT口門圖2-1-12名師,1 .用土段論”證明命題的步驟(1)理清證明命題的一般思路；(2)找出每一個結(jié)論得出的原因；(3)把每個結(jié)論的推出過程用三段論”表示出來.2 .幾何證明問題中，每一步都包含著一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，將一般性原理應(yīng)

9、用于特殊情況，就能得出相應(yīng)結(jié)論.再練一題3.證明：如果梯形的兩腰和一底相等，那么它的對角線必平分另一底上的兩個角.探究共研型利用完全歸納推理證明問題探究1演繹推理的結(jié)論一定正確嗎?【提示】演繹推理的結(jié)論不會超出前提所界定的范圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結(jié)論一定正確.探究2利用完全歸納推理證明方程ax2+2xa=0有實根，a的值應(yīng)分哪幾種情況？第11頁共22頁I I喇SZQREEDUCHTSZQREEDUCHT口門【提示】分a=0和a*0兩種情況.試證明函數(shù)f(x)=ln(x+行臼)的定義域為R,R,并判斷其奇偶性.【精彩點撥】只須對x0,x=0,x0時，x+yx2+10顯然

10、成立;當(dāng)x=0時，x+gx+1=i0成立；當(dāng)x0時，x2=|x|=x,所以x+也2+1x+(x)=0.因此對xR,R,都有x+0,即函數(shù)的定義域為R R.又因為f(x)=ln(x+Jxf+1)=ln(x2+1x)1n1n也2正士jfW+Nx)：x2+1+x=Iny2+一二1n(x2+1+x)=f(x).故f(x)是奇函數(shù).1 .完全歸納推理不同于歸納推理，后者僅僅說明了幾種特殊情況，它不能說明結(jié)論的正確性，但完全歸納推理則把所有情況都作了證明，因此結(jié)論一定是正確的.2 .在利用完全歸納推理證明問題時，要對證明的對象進(jìn)行合理的分類，且必須把所有情況都考慮在內(nèi).再練一題3.求證：nCN,N,當(dāng)10

11、n04時，f(n)=(2n+7)3n+9能被36整除.達(dá)標(biāo)檢測2.1.12.1.11.我們把1,4,9,16,25,這些數(shù)稱做正方形數(shù)，這是因為個數(shù)等于這些數(shù)目的點可以分別排成第12頁共22頁第13頁共22頁一個正方形（如圖2-1-5）.則第n個正方形數(shù)是（A.n(n1)2B.D.n(n+1)2(n+1)22.如圖2-1-6所示，著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列an的前4項,通項公式為（）則這個數(shù)列的一個A.an=3n1C.an=3n2n圖2-1-6B.an=3nD.an=3n1+2n33.在平面上， 若兩個正三角形的邊長的比為1:2,則它們的面積比為空間中， 若兩個正四面體的棱長的比為1:2,

12、則它們的體積比為1：4,類似地，在4 .觀察下列等式:1=1,2+3+4=9,3+4+5+6+7=25,4+5+6+7+8+9+10=49,照此規(guī)律，第五個等式應(yīng)為5 .已知在數(shù)列an中，a113an=2an+1=an+3.SZQREEDUCHTSZQREEDUCHTSZGREEDUCRTSZGREEDUCRT口門(1)求82,as,a4,a5的值;(2)猜想an.2.1.21 .下面幾種推理過程是演繹推理的是（）A.兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果/A與/B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則/A+/B=冗B.某校高三（1）班有55人，（2）班有54人，（3）班有52人，由此得出高三所有班級的人數(shù)都

13、超過50人C.由平面三角形的性質(zhì)，推測出空間四面體的性質(zhì)一11D.在數(shù)列an中，a1=1,an=2,n1anZjmZ）,通過計算a2,as,a4猜想出an的通項公式2 .用三段論證明命題：”任何實數(shù)的平方大于0,因為a是實數(shù)，所以a20，你認(rèn)為這個推理（）A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.是正確的3 .函數(shù)y=2x+5的圖象是一條直線，用三段論表示為：大前提：小前提：_結(jié)論：.4 .如圖2-1-13所示，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB=CD,BC=AD.圖2-1-13又因為ABC和4CDA的三邊對應(yīng)相等，所以ABCACDA.上述推理的兩個步驟中分別省略了?.第14頁共2

14、2頁璃船EEDREEDUCRTanEEDREEDUCRTan5 .用三段論的形式寫出下列演繹推理.矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以正方形的對角線相等;(2)y=x2(xCR R)是偶函數(shù).我的總結(jié)錦后鞏固學(xué)業(yè)分層測評一、選擇題1.用火柴棒擺“金魚”，如圖2-1-7所示：圖2-1-7按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()A.6n2B,8n-2C.6n+2D.8n+22.數(shù)列一3,7,11,15,的通項公式可能是()A.an=4n7B.an=(1)n(4n+1)C.an=(1)n(4n1)D.an=(1)n1(4n1)第15頁共22頁鵬能SZGREEDUCRTSZGREEDUC

15、RT3.定義A*B,B*C,C*D,D*B依次對應(yīng)下列4個圖形:1X9+2=11,12X9+3=111,123X9+4=1111,1234X9+5=11111,12345X9+6=111111,猜測123456X9+7等于(A.1111110第16頁共22頁那么下列4個圖形中,可以表示A*D,A*C的分別是（A.，(2)B.(1),(3)C.(2),(4)D.(1),(4)4.A.F列推理正確的是()把a(bǔ)(b+c)與loga(x+y)類比,則loga(x+y)=logax+logayB.C.把a(bǔ)(b+c)與sin(x+y)類比，則sin(x+y)=sinx+siny把(ab)n與(x+y)n類

16、比，則(x+y)n=xn+ynD.把(a+b)+c與(xy)z類比，則(xy)z=x(yz)5.給出下列等式:B.1111111圖2-1-8(1n n璃箱ISEDREEDUCRTanISEDREEDUCRTanC.1111112D.1111113二、填空題6 .已知2+|=243,3+|=3$，p4=4A/5,若41=8d(a,t均為正實數(shù))，類比以上等式，可推測a,t的值，則a+t=.7.設(shè)n為正整數(shù),f(n)=1+；+1+34計算得f(2)=3,f(4)2,f(8)5,f(16)3,觀察231122上述結(jié)果，可推測一般的結(jié)論為.【導(dǎo)學(xué)號：054100418 .對于命題“如果O是線段AB上一

17、點，則|OB|oA+|OA|oB=0，將它類比到平面的情形是：若O是4ABC內(nèi)一點，有&OBCOA+SAOCAOB+&OBAOC=0,將它類比到空間的情形應(yīng)為：若O是四面體ABCD內(nèi)一點，則有三、解答題9.平面中的三角形和空間中的四面體有很多相類似的性質(zhì)，例如在三角形中：(1)三角形兩邊之和大于第三邊.4、一(2)二角形的面積S=X底X圖.一一一一1(3)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的2.請類比上述性質(zhì)，寫出空間中四面體的相關(guān)結(jié)論.10.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖2-1-10(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，

18、小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形.第17頁共22頁|喇SZGREEDUCRTQnSZGREEDUCRTQn圖2-1-10(1)求出f(5);(2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n+1)與f(n)的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求f(n)的表達(dá)式.能力提升1 .觀察下列各式：21=15,22+3+4=3,-_23+4+5+6+7=52,一_一一一一24+5+6+7+8+9+10=7,可以得出的一般結(jié)論是()2A.n+(n+1)+(n+2)+(3n2)=n一2B.n+(n+1)+(n+2)+-+(3n2)=(2n1)

19、22C.n+(n+1)+(n+2)+(3n1)=n5D.n+(n+1)+(n+2)+-+(3n1)=(2n1)22.已知x0,由不等式x+：23-4-2X4-2XX-X-2 2立彳4-2X4-2X+X-X-2 2+X-X-2 2- -4-2X4-2X+X X2 2-1 1丁X XX X第18頁共22頁nini鴻輔_1_1 匚口1:!1:! 2 2口1_11_1匚1=11=1下口口以得出推廣結(jié)論：x+an+1(nCN+),則a=()x2A.2nB.nC.3nD.nn3 .在RtABC中，/C=90,AC=b,BC=a,則AABC的外接圓半徑為r=岑號,將此結(jié)論類比到空間,得到相類似的結(jié)論為：.4

20、 .如圖2-1-11所示，為m行m+1列的士兵方陣(mCN+,mi2).圖2-1-11寫出一個數(shù)列，用它表示當(dāng)m分別是2,3,4,5,時，方陣中士兵的人數(shù);(2)若把(1)中的數(shù)列記為an,歸納該數(shù)列的通項公式；(3)求a10,并說明a10表小的實際意義；(4)已知an=9900,問an是數(shù)列的第幾項?學(xué)業(yè)分層測評一、選擇題1.給出下面一段演繹推理：有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，大前提整數(shù)是有理數(shù)，小前提整數(shù)是真分?jǐn)?shù).結(jié)論結(jié)論顯然是錯誤的，是因為()A.大前提錯誤B.小前提錯誤第19頁共22頁n璃輔IEEDREEDUCRTEEDREEDUCRT口門C.推理形式錯誤D.非以上錯誤2,已知在ABC中，/A=30

21、,/B=60,求證：BCAC.因為/A=30,/B=60,所以/A/B.方框部分的證明是演繹推理的()A.大前提B.小前提C.結(jié)論D,三段論3 .在證明f(x)=2x+1為增函數(shù)的過程中，有下列四個命題：增函數(shù)的定義是大前提；增函數(shù)的定義是小前提；函數(shù)f(x)=2x+1滿足增函數(shù)的定義是大前提；函數(shù)f(x)=2x+1滿足增函數(shù)的定義是小前提.其中正確的命題是()A.B.C.D.4.在R R上定義運算？:x?y=x(1y).若不等式(x-a)?(x+a)1對任意實數(shù)x都成立，則()A.-1a1B,0a2c1331C.2a2D.2a25.四邊形ABCD是矩形，所以四邊形ABCD的對角線相等”，補(bǔ)充該推理的大前提是()A,正方形的對角線相等B.矩形的對角線相等C.等腰梯形的對角線相等D.矩形的對邊平行且相等二、填空題6 .在三段論“因為a=a=(1,0),b=b=(0,1),所以ab=ab=(1,0)(0,1)=1x0+0X(1)=0,所以a a，b b”中，大前提：小前提：結(jié)論：.7 ,一切奇數(shù)都不能被2整除，210+1是奇數(shù)，所以2100+1不能被2整除.其演繹推理的“三段論”