1、空間點、線、面之間的位置關系【知識梳理】1平面的基本性質公理1如果一條直線上的_兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內.公理2:如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經過這個公共點的一條直線.公理3:經過不在同一條直線上 的三點，有且只有一個平面.推論1經過一條直線和這條直線外的一點 ，有且只有一個平面.推論2:經過_兩條相交直線 ，有且只有一個平面.推論3:經過兩條平行直線 ，有且只有一個平面.2直線與直線的位置關系(1) 位置關系的分類共面直線異面直線：不同在任何一個平面內(2) 異面直線判定定理過平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內 的

2、直線是異面直線.(3) 異面直線所成的角 定義：設a, b是兩條異面直線，經過空間任意一點0,作直線a'/ a, b'/ b，把a'與b'所成的叫做異面直線a, b所成的角. 范圍：.答案：(1)平行相交不經過該點銳角或直角0, n 3同一條直線 4相等3. 公理4平行于同一條直線 的兩條直線互相平行.4. 定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等.【自我檢測】1. 若直線a與b是異面直線，直線b與c是異面直線，則直線a與c的位置關系是 平行、相交或異面.2. 如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線2

3、4對.3. 三個不重合的平面可以把空間分成n部分，則n的可能取值為_4,6,7,8.4. (2010 全國 I )直三棱柱 ABC AiBiCi 中，若/ BAC = 90 ° AB = AC = AAi，則異面直線 BAi 與 ACi 所成角的大小為60°.將直三棱柱 ABC AiBiCi補成如圖所示的幾何體.由已知易知：該幾何體為正方體.連結 CiD，貝U CiD /BAi.異面直線BAi與ACi所成的角為/ ACiD(或補角),在等邊 ACiD 中,ZACiD = 60°5. 下列命題： 空間不同三點確定一個平面； 有三個公共點的兩個平面必重合； 空間兩兩相

4、交的三條直線確定一個平面； 三角形是平面圖形； 平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形； 垂直于同一直線的兩直線平行； 一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交； 兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形.其中正確的命題是 (填序號).【例題分析】例i、如圖所示，空間四邊形 ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足 AE : EB = CF : FB = 2 : i, CG : GD = 3 : i，過E、F、G的平面交 AD于H，連結 EH.(1) 求 AH : HD ；(2) 求證：EH、FG、BD三線共點.“ AE CF“(i) 解-jEB = FB = 2,.EF /AC.

5、EF /平面 ACD.而 EF?平面 EFGH ,且平面 EFGH 門平面 ACD = GH ,.EF /GH. 而 EF /AC,.AC /GH.HD = gd = 3，即 AH : hd = 3 ：1.EF 1 gh i(2) 證明 VEF /GH，且 AC = 3，AC = 4,EF工GH，四邊形EFGH為梯形.令 EH n FG = P,貝y P EH，而 EH?平面 ABD ,P FG , FG?平面 BCD，平面 ABD n 平面 BCD = BD , P BD.AEH、FG、BD 三線共點.變式1 如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形 AB、BC、CD、DA上的點，且EH與FG相

6、交于點O.求證：B、D、O三點共線.證明 VE AB, H AD,E平面 ABD, H 平面 ABD.EH?平面 ABD.EH n FG = O,O 平面 ABD.同理可證O 平面BCD ,O 平面 ABD n 平面 BCD , 即O BD,.B、D、O三點共線.例2、如圖所示，直線 a、b是異面直線，A、B兩點在直線a上，C、D兩點在直線b上.求證：BD和AC 是異面直線.證明兩直線為異面直線的方法：1 .定義法（不易操作）.2 .反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設的條件 出發(fā)，經過嚴密的推理，導出矛盾，從而否定假設肯定兩條直線異面.此法在異面 直線的判定中經常用

7、到.3. 判定定理.證明 假設BD和AC不是異面直線，則 BD和AC共面，設它們共面于 aA、 B、 C、 D a, AB、 CD? a,即 a、 b? a這與a、b是異面直線矛盾，故假設不成立.BD和AC是異面直線.變式2如圖是正方體或四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點， 這四個點不共面的是 （填序號）.例3、(2009全國I )已知三棱柱 ABCA1B1C1的側棱與底面邊長都相等，Ai在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線 AB與CCi所成的角的余弦值為33 解題導引 高考中對異面直線所成角的考查，一般出現(xiàn)在綜合題的某一步，求異面直線所成角的一般步驟 為:(1)平移：選擇適當?shù)?/p>

8、點，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點通常選擇特殊位置的點,如線段的中點或端點，也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點.證明：證明所作的角是異面直線所成的角.(3) 尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.取舍：因為異面直線所成角B的取值范圍是 0° 90 °所以所作的角為鈍角 時，應取它的補角作為異面直線所成的角.%3如圖，A1D丄平面 ABC，且D為BC的中點，設三棱柱的各棱長為1,貝U AD =庁，由A1D丄平面ABC知1AiD = 2，RtAiBD 中，易求 AiB =1 1+1 - ? CC1/AA1,.AB與AA1所成的角即為 AB

9、與CC1所成的角.在AA1BA中，由余弦定理可知 cos/A1AB=；2X 1 X 13 3于，求AC=4.AB與CC1所成的角的余弦值為4.變式3 在空間四邊形 ABCD中，已知 AD = 1, BC =3,且AD丄BC,對角線 BD = 和BD所成的角.如圖所示，分別取 AD、CD、AB、BD的中點 E、F、G、H，連結EF、FH、HG、GE、GF.J3W3由三角形的中位線定理知，EF /AC，且EF = 丁, GE /BD，且GE = .GE和EF所 成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角.同理，GH /AD , HF /=1, HF =#又 AD丄 BC,./GHF = 90

10、76; GF2= GH2+ HF2= 1.在AEFG 中，EG2+ EF2= 1 = GF2,.J3EF = 90 °即AC和BD所成的角為90 :例4、如圖所示，在四棱錐 PABCD中，底面是邊長為 2的菱形，/ DABO, PO丄平面 ABCD，PB與平面 ABCD所成的角為 60 °(1)求四棱錐的體積；若E是PB的中點，求異面直線 DE與PA所成角的余弦值.多角度審題對(1)只需求出高PO,易得體積；對 可利用定義，過 E點作FA的平行線,解 (1)在四棱錐P ABCD中，60°對角線AC與BD交于點構造三角形再求解.PO丄平面ABCD ,/PBO是PB與

11、平面 ABCD所成的角，即/ PBO= 60 ° 2分在 RtKOB 中，T BO = AB sin 30 = 1,又 PO 丄 OB,PO = BO tan 60 =,底面菱形的面積S= 2X 2x 2X 2X 今=23,1.'.Vpabcd = 3X 2打3X ./3 = 2.7 分3取AB的中點F，連結EF, DF ,E 為 PB 中點， EF /PA,/DEF為異面直線DE與PA所成角（或其補角）.9分在 RtKOB 中,AO= AB cos 30 =伍在 RtPDA 中，PA= 6,.EF = 26.在正三角形 ABD和正三角形 PDB中，DF = DE =3,DE

12、 訂：I, 分所以異面直線DE與PA所成角的余弦值為 j.14分 【突破思維障礙】求兩條異面直線所成的角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉化為共面問題來解 決根據空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點位置無關，往往將角的頂點取在其中的 一條直線上特別地，可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點或異面線段的端點總之，頂點+ EF2 DF2由余弦定理得cosZDEF =2DE EF的選擇要與已知量有關，以便于計算，具體步驟如下:（1）利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的 位置上；證明作出的角即為所求角；（3）利用三角形

13、來求解，異面直線所成角的范圍是（0 ° 90 °.【易錯點剖析】1求異面直線所成的角時，僅指明哪個角，而不進行證明.2忘記異面直線所成角的范圍，余弦值回答為負值.【強化練習】一、填空題1 和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關系是異面或相交2. 給出下列命題： 若平面a上的直線a與平面B上的直線b為異面直線，直線 c是a與B的交線，那么c至多與a、b中的一條相交；若直線 a與b異面，直線b與c異面，則直線a與c異面；一定存在平面 a同時和異60°面直線a、b都平行.其中正確的命題為 （填序號）. 錯，c可與a、b都相交； 錯，因為a、c可能相交也可能平行； 正確，

14、例如過異面直線 a、b的公垂線段的中點且與公垂線垂直的平面即可滿足條件3. 如圖所示，在正三角形 ABC中，D、E、F分別為各邊的中點， G、H、丨、J分GH與IJ所成角的大小為HG與IJ為一對異面直線，過別為AF、AD、BE、DE的中點，將厶ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后,將三角形折成三棱錐，如圖所示，IJ的平行線，因 GH /DF , IJ /AD,所以/ ADF為所求，因此HG與IJ所成的角為60 :4. （2009全國H改編）已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AAu 2AB, E為 AA1的中點，則異面直線BE與CD1所成的角的余弦值為3 .'1010如圖所示

15、，連結 A1B,則A1B /CD1，故異面直線BE與CD1所成的角即為BE與A1B 所成的角設 AB= a，貝U A1E = a, A1B = .5a, BE = 2a.A1BE中，由余弦定理得:cosZA1BE =BE2+ A1B2 A1E22BE A1B2a2 + 5a2 a22X ；'2ax 5a 105.正四棱錐SABCD的側棱長為.2,底面邊長為.3, E為SA的中點，則異面直線BE和SC所成的角為 60°解析 設AC與BD的交點為O,貝U OE/SC,./BEO（或其補角）即為異面直線 BE和SC所成的角,EO= 1sC=2，BO= 1bD =_62，在ASAB中

16、,在AABE中,cos A=AB2 + AE2 BE22AB EBE = ,2.BE2 + EO2 BO21在ABEO 中，cosZBEO=-,a/BEO = 60 :2BE EO26個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：AB丄EF :AB與CM所成的角為60°EF與MN是異面直線； MN /CD.則正確結論的序號是 .解析 把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，如圖所示，易知AB丄EF,AB /CM , EF與MN異面，MN丄CD，故正確.7.下面命題正確的是 （填序號）.若直線a、b相交，b、c相交，則a、c相交； 若a/ b，則a、b與c所成的角相等; 若a

17、、b與c所成的角相等，貝U a/ b; 若a丄b, b丄c,貝U a / c.GH、MN是異面直線&在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線 的圖形有 .（填上所有正確答案的序號）（4）、解答題9.如圖所示，正方體 ABCD A1B1C1D1中, 求證：（1）E, C, D1, F四點共面；（2）CE , D1F , DA 三線共點.E, F分別是AB和AA1的中點.n證明 如圖所示，連結 CDi, EF, AiB,E、F分別是 AB和AAi的中點，1EF /AiB,且 EF = 2A1B, （2 分）又TAiDi 綊 BC,四邊形AiBCDi是平行四邊形，

18、AB/CDi,.EF /CDi,EF與CDi確定一個平面 a, E , F , C, D i a,即E, C, Di, F四點共面.（6分）i（2）由（i）知 EF /CDi,且 EF = 2CDi,四邊形CDiFE是梯形，CE與DiF必相交，設交點為 P, （8分）貝U P CE?平面 ABCD ,且 P DiF?平面 AiADDi,:P 平面 ABCD 且 P 平面 AiADDi.（i0 分） 又平面 ABCD n平面AiADD i = AD ,P AD , ACE, DiF, DA 三線共點.（i4 分）iO如圖，在正方體ABCD AiBiCiDi 中,P、Q、M、N 分別為 AD、AB、CiDi、BiCi的中點，求證:AiP / CN , AiQ/ CM，且/ PAiQ=Z MCN.證明如圖所示，在 AiBi上取中點K，易知四邊形MKBC為平行四邊形.（3分）CM /BK.又AiK/BQ，且 AiK = BQ ,四邊形AiKBQ為平行四邊形，AQ/BK , （9 分）由公理4有AiQ/MC, （10分）同理可證 AiP/CN，由于/PAiQ與ZMCN對應邊分別平行，且方向相反.