1、 在空間：一個自在質(zhì)點位置需求3個獨立參數(shù)，即自在質(zhì)點在空間有3個自在度。 在平面：需求2個獨立參數(shù)，即質(zhì)點有2個自在度。遭到運動約束：質(zhì)點自在度數(shù)將減少。完好約束：約束方程中不含速度項；穩(wěn)定定常約束：約束方程中不顯含時間t假設(shè)具有n個質(zhì)點的質(zhì)點系，有s個完好約束方程：snN3 3-1 3-1 自在度和廣義坐標自在度和廣義坐標那么：n個質(zhì)點的質(zhì)點系總自在度數(shù)為：描畫質(zhì)點系在空間位置的獨立參數(shù)，稱廣義坐標；完好系統(tǒng)，廣義坐標數(shù)目等于自在度數(shù)目。sxyMl由無重剛桿與小球構(gòu)成平面擺，做定軸轉(zhuǎn)動，擺長為l，是具有1個質(zhì)點的平面質(zhì)點系，自在度為2，有1個約束方程：222lyx用一個獨立參數(shù)表示。假設(shè)質(zhì)

2、點限定在半球面上運動，球半徑為R，是具有1個質(zhì)點的空間質(zhì)點系，自在度數(shù)為3，有1個約束方程：xyzM)(222yxlz1, 1sn自在度數(shù)為：2133snN1, 1sn通常用2個獨立參數(shù)和表示1122snN自在度數(shù)為：用q1、q2、qN表示質(zhì)點系廣義坐標：對完好約束質(zhì)點系，各質(zhì)點坐標可表示為廣義坐標的函數(shù)。),(21Niiqqqrr進展變分計算：NkkkiNNiiiiqqrqqrqqrqqrr12211,s, krrrfnk21 0),(21設(shè)n個質(zhì)點組成質(zhì)點系受s個雙面約束snN 3NkkkiNNiiiiqqxqqxqqxqqxx12211NkkkiiNkkkiiqqzzqqyy11kq為廣

3、義虛位移。虛位移用廣義坐標表示。),(),(),(212121NiiNiiNiiqqqzzqqqyyqqqxxkzjyixriiiikzjyixriiii同理：在虛位移原理中，以質(zhì)點直角坐標的變分表示虛位移。 這些虛位移通常不獨立，需求建立虛位移之間的關(guān)系。假設(shè)直接用廣義坐標變分來表示虛位移，廣義虛位移之間相互獨立，虛位移原理可表示為簡約方式。 3-2 3-2 以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件niiiziiyiixniiiFzFyFxFrFW11)(NkkkiiNkkkiiNkkkiiqqzzqqyyqqxx111niNkkkiizNkkkiiyNkkkiixqqz

4、FqqyFqqxF1111)(0)(1111kNknikiiznikiiynikiixqqzFqyFqxFnikiiznikiiynikiixkqzFqyFqxFQ11101kNkkFqQW設(shè)：那么：:kq它的量綱由對應的廣義虛位移而定。為廣義虛位移:kQ稱為廣義力k為線位移， Qk 量綱是力的量綱；k為角位移， Qk 量綱是力矩的量綱。由于廣義坐標都是獨立的，廣義虛位移是恣意的。上式成立必需滿足：021NQQQ質(zhì)點系的平衡條件是一切的廣義力都等于零0)(1111kNknikiiznikiiynikiixFqqzFqyFqxFW 質(zhì)點系具有N個自在度，有N個廣義力，那么有N個平衡方程是相互獨立

5、的，可聯(lián)立求解質(zhì)點系的平衡問題 。 大多數(shù)工程機構(gòu)只需一個自在度，這只需求列出一個廣義力等于零的平衡問題。廣義力求解方法有兩種：廣義力求解方法有兩種：01kNkkFqQWnikiiznikiiynikiixkqzFqyFqxFQ111法法1. 1. 給質(zhì)點系一個廣義虛位移不等于零，而其它N-1個廣義虛位移等于零。法法2.2.kkFqQWkFkqWQ質(zhì)點系在權(quán)利場中，質(zhì)點系上的自動力都為有權(quán)利，那么勢能應為各質(zhì)點坐標的函數(shù)，總勢能為V表示為：),;,(111nnnzyxzyxVVixiVFx iyiVFy iziVFz )(iiziiyiixFzFyFxFW虛功為：虛位移原理表達為：0V在權(quán)利場

6、中，具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件為質(zhì)點系的勢能在平衡位置處的一階變分為零。)(iiiiiizzVyyVxxVV用廣義坐標表示質(zhì)點系位置。在權(quán)利場中，質(zhì)點系勢能可表示為廣義坐標函數(shù)，總勢能為V為：);,(21NqqqVViixxVFiiyyVFiizzVF廣義力為：在權(quán)利場中，具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件是勢能對于每個坐標的偏導數(shù)分別等于零。)(kiizkiiykiixkqzFqyFqxFQkkqVQ)(kiikiikiiqzzVqyyVqxxVkqV平衡條件為：法法3:3:0kkqVQ)21(0NkqVQkk，314即：在權(quán)利場中具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件是勢能對于每個廣義坐標的偏導數(shù)

7、分別等于零。在穩(wěn)定平衡的平衡位置處，系統(tǒng)勢能具有極小值在不平衡位置上，系統(tǒng)勢能具有極大值對于隨遇平衡，系統(tǒng)在某位置附近其勢能是不變的，所以其附近任何能夠位置都是平衡位置。穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡對于一個自在度系統(tǒng)，系統(tǒng)具有一個廣義坐標q因此系統(tǒng)勢能可以表示為q的一元函數(shù)， 即)(qVV 當系統(tǒng)平衡時，根據(jù)式314，在平衡位置處有0ddqV 假設(shè)系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡形狀，那么在平衡位置處。系統(tǒng)勢能具有極小值，即系統(tǒng)勢能對廣義坐標的二階導數(shù)大于零。0dd22qV上式是一個自在度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)。對于多自在度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)可參考其他書籍。例1 復合擺機構(gòu)， A、B點位置作用力F1

8、,F2， F. 。用廣義坐標表示A、B點位置，求平衡時作用力F1 ,F2， F與1，2關(guān)系。xy11l1F2F2AB2lF解：方法 1：1取整個系統(tǒng)為研討對象，A,B 2個質(zhì)點具有4個自在度。兩個約束方程：2122lyxAA2222)()(lyyxxABAB該質(zhì)點系自在度數(shù)為：4-2=2,可以用2個獨立參數(shù)。21,表示1111cossinlylxAA22112211coscossinsinllyllxBB2用廣義坐標表示A,B1111cossinlylxAA22112211coscossinsinllyllxBB111111111cos,sinsinlxlylyBBAxy11l1F2F2AB2

9、lF222222222cos,sinsinlxlylyBBA)()(222212112111ABAABAxFyFyFQxFyFyFQ0cossinsin0cossinsin2222222111112111FllFlFFllFlF0cossin22222FllF0cossinsin11112111FllFlF22FFtg211FFFtgxy11l1F2F2AB2lF0cossinsin0cossinsin2222222111112111FllFlFFllFlF1111cossinlylxAA22112211coscossinsinllyllxBB111111sincoslylxAA2221112

10、22111sinsincoscosllyllxBB021BBAxFyFyF4虛位移原理：xy11l1F2F2AB2lF0)coscos()sinsin()sin(22211122211121111llFllFlF直接計算：0)cossin()cossinsin(22222211112111FllFFllFlF0cossin22222FllF0cossinsin11112111FllFlF22FFtg211FFFtgxy11l1F2F2AB2lFxy11l1F2F2AB2lF方法 2：111l11l 不變，給 虛位移211111sinlyA111111sincoslylxBB121111BBAx

11、FyFyFWQ111111121111)cos()sin()sin(lFlFlF111121cossin)(FllFFxy11l1F2F2AB2lF212l 不變，給 虛位移122222222sincoslylxBB221222BBAxFyFyFWQ0Ay22222222)cos()sin(lFlF22222cossinFllF0cossin)(1111211FllFFQ0cossin222222FllFQ22FFtg211FFFtg選題選題 設(shè)有一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，質(zhì)點系中第i個質(zhì)點質(zhì)量為mi，作用在該質(zhì)點上的自動力的合力為Fi，約束反力的合力為FNi . 假設(shè)假想地加上該質(zhì)點的慣性力F

12、Ii=-miai，由達朗貝爾原理，F(xiàn)i 、Fni、 FIi構(gòu)成平衡力系。整個質(zhì)點系應組成平衡力系，質(zhì)點系具有理想約束. 運用虛位移原理，得到：3-3 動力學普遍方程動力學普遍方程0)(iIiirFFkFjFiFFiziyixikzjyixriiiiIiiiiiiiFmxim y jmzk0)()()(1niiiiiziiiiyiiiixzzmFyymFxxmF 在理想約束的條件下，質(zhì)點系的各個質(zhì)點在任一瞬時所受的自動力和慣性力在虛位移上所作的虛功和等于零。稱為動力學普遍方程。 0)(iIiirFF得到：例1 圖示滑輪系統(tǒng)，動滑輪上懸掛質(zhì)量為m1的重物，繩子繞過定滑輪后懸掛質(zhì)量m2重物，滑輪和繩

13、子分量以及輪軸摩擦忽略不計，求m2重物下降的加速度。 1s2s2a1agm1gm21IF2IF解：1取整個系統(tǒng)為研討對象，2受力分析系統(tǒng)的自動力為：m1g、 m2g 111amFI212amFI2給系統(tǒng)虛位移s1 和s2慣性力為： 設(shè)m2重物下降的加速度為a2，設(shè)m1重物下降的加速度為a1。0)()(11112222samgmsamgm代入加速度和虛位移關(guān)系得到：2121aa , 2121ssgmmmma121224243動力學普遍方程： 1s2s2a1agm1gm21IF2IF選題選題Co例3-5 如圖二一樣圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m，輪可繞O軸轉(zhuǎn)動，二輪相連繩鉛直時，輪中心C的加速度。 1

14、2gm1IM2IMIF解：1取系統(tǒng)為研討對象2力分析： 作用的自動力mg3設(shè)輪的角加速度為1輪的角加速度為2輪慣性力偶：MI=J11輪I 慣性力偶：MI=J22慣性力：FI=maC21RRaC4)加虛位移： 輪： 輪I ：C121IM2IMIFgm12ABCaAaBaI 輪定軸轉(zhuǎn)動1RaA1RaaABII 輪平面運動取B為基點CBBCaaa5) 動力學普遍方程：2122210IIImg sMFsM2122221212111()21()()02mg RRmRm RRRRmR 0)(21)(21222122122112RmmRmgRRmmRmgR212RRsC121IM2IMIFgm12ABCaA

15、aBa由虛位移的恣意性： 0)(210)(212212222112RmmRmgRRmmRmgRRg5221gRa54)(21解得：選題選題C121IM2IMIFgm12ABCaAaBa 3-4 第一類拉格朗日方程第一類拉格朗日方程,s, krrrfnk21 0),(21設(shè)n個質(zhì)點組成質(zhì)點系受s個雙面約束kzfjyfixfrfikikikik0)()(1111 niskiikkskniiikkrrfrrf設(shè)：01niiikrrf0)(1niiiiirrmF 由動力學普遍定理：nirfrmFskikkiii, 1 01 第一類拉格朗日方程例3-6 如下圖的運動系統(tǒng)中，可沿光滑程度面挪動的重物M1的

16、質(zhì)量為m1；可在鉛直面內(nèi)擺動的擺錘M2的質(zhì)量為m2。兩個物體用無重桿銜接，桿長為l。求此系統(tǒng)微幅擺動的周期。2M1MxyCO解：1取整個系統(tǒng)為研討對象。選取坐標軸如下圖，那么M1和M2的坐標各為x1、y1和x2 、y2。2運動分析： 系統(tǒng)遭到程度面和剛性桿的約束，有2個約束方程。 011 yf0)()(22212212lyyxxf2 , 1 01irfrmFskikkiii 1, 011212111yfyfxfxf011 yf0)()(22212212lyyxxf)(2),(2)(2),(22122211221222112yyyfyyyfxxxfxxxf2M1MxyCOgm1gm20)(0)(

17、00)(0)(02222111222222112212211111112211111yfyfymgmxfxfxmyfyfymgmxfxfxm 0)(20)(20)(20)(222121221222121211121211gmyyymxxxmgmyyymxxxm 0)(20)(20)(20)(222122221222121211121211gmyyymxxxmgmyyymxxxm 01y0)()(2221221lyyxx0)()()()(0)()(00)(22121212212121222112121122111yyyyyyxxxxxxgmymxmxxyyyxyymxm 約束方程微分，消去21,

18、2M1MxyCOgm1gm2 當系統(tǒng)各質(zhì)點的虛位移不獨立時，要找到虛位移之間的關(guān)系不方便。 動力學普遍方程用獨立的廣義坐標表示，可推導出第二類拉格朗日方程，這種方法便于求解非自在質(zhì)點系的動力學問題。 設(shè)一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，系統(tǒng)具有s個完好理想約束，具有N=3n-s個自在度。用q1、q2、qn表示系統(tǒng)的廣義坐標。 設(shè)系統(tǒng)中第i個質(zhì)點的質(zhì)量為m1，矢徑為 ri，矢徑ri可表示為廣義坐標和時間的函數(shù)： 3-5 第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程),(21tqqqrrNii由質(zhì)點系普遍方程： 011niiiiniiiramrF上式第一項又可以表示為： 11nNiikkikFrQqNkkkiiqq

19、rr1留意：這里不是研討平衡問題，所以Qk不一定為零。 代入上式第二項得:111nnNiiiii ikiiikrmarmrqqnikkiiiNiqqrrm11)( niiiiniiiramrF110)(11NikkiiikNiqqrrmQ 1Niikkkrrqq011niiiiniiiramrF11nNiikkikFrQq對于完好約束的系統(tǒng)，其廣義坐標是相互獨立的。所以廣義坐標的變分是恣意的，為使上式成立，必需有： ),3 , 2 , 1(01nkqrrmQNikiiik 這是具有N個方程的方程組，其中第二項與廣義力對應，稱為廣義慣性力。 闡明廣義力與廣義慣性力相平衡，是達朗伯原理的廣義坐標表

20、示。對廣義力做如下變換Nikiiiqrrm1 )()(11NikiiiNikiiiqrdtdvmqrvdtdm0)(11NikkiiikNiqqrrmQ 1.證明： kikiqrqr),(21tqqqrrNii進一步簡化，先證明兩個等式kikiqrqrkikiqrqrdtd)(對時間求導數(shù) trqqrrdtrdikNikiii1其中 ,kiqrtri是廣義坐標和時間的函數(shù)，而不是廣義速度的函數(shù)。kikiqrqrkq 再對 求偏導數(shù)：得證在完好約束下trqqrrdtrdikNikiii1對某qj求偏導數(shù) 1NiiikijjkrrrqqqqttqrqqqrjikNikji212將 jiqr對時間求

21、導數(shù)得： tqrqqqrqrdtdjikNikjiji212)(2.證明 ：kikiqrqrdtd)(kikiqrqrdtd)(由此得證 )()(11NikiiiNikiiiqrdtdvmqrvdtdmjiiiavvr,kikiqrqrkikiqrqrdtd)(Nikiiiqrvm1NikiiiNikiiiqvvmqvvdtdm11)()()21()(11iNiiikNikiiivvmqqvvmdtdNiiikNiiikvmqvmqdtd1212)21()21(kkqTqTdtd其中 )21(12NiiivmT為質(zhì)點系的動能kkkQqTqTdtd該方程組中方程式的數(shù)目等于質(zhì)點系的自在度數(shù)，每一

22、個方程都是二階常微分方程。 ),3 , 2 , 1(01NkqrrmQNikiiik kkNikiiiqTqTdtdqrvm1得 上式稱為拉格朗日方程kkqVQ于是拉格朗日方程可寫成kkkqVqTqTdtd上式就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。記L=T-V，L稱為拉格朗日函數(shù)或動勢。假設(shè)作用在質(zhì)點系上的自動力都是有權(quán)利，那么廣義力Qk可寫成拉格朗日方程用動勢L =T-V表示 ), 2 , 1(0NkqLqLdtdkk 拉格朗日方程是處理具有完好約束的質(zhì)點系動力學問題的普遍方程，是分析力學中重要的方程。 拉格朗日方程的表達式非常簡約，運用時只需計算系統(tǒng)的動能和廣義力； 對于保守系統(tǒng)，只需計算系統(tǒng)的動能

23、和勢能。0kqV由于勢能是坐標的函數(shù)ABCO0 x解：1取系統(tǒng)為研討對象 此系統(tǒng)具有一個自在度。 以物塊平衡位置為原點，取x為廣義坐標如圖。2以平衡位置為重力勢能零點，系統(tǒng)在恣意位置x處的勢能為例 6 如下圖的系統(tǒng)中，A輪沿程度面純滾動，輪心以程度彈簧聯(lián)于墻上，質(zhì)量為m1的物塊C以細繩跨過定滑輪B聯(lián)于A點。A、B二輪皆為均質(zhì)圓輪，半徑為R，質(zhì)量為m2。彈簧剛度為k，質(zhì)量不記。當彈簧較軟，在細繩能一直堅持張緊的條件下，求此系統(tǒng)的運動微分方程。gxmxkV120)(210為平衡位置彈簧伸長量。2運動分析；B輪角速度為 Rx A輪質(zhì)心速度為 x A輪角速度為 Rx 2222222221)(21212

24、1)(212121RxRmxmRxRmxmTABCO0 xx 物塊速度為212)21(xmm此系統(tǒng)的動能為：gxmxkxmmVTL120212)(21)21(3代入拉格朗日方程 0)(LLdtd0)2(1012gmkxkxmm gmk104系統(tǒng)的運動微分方程為0)2(12kxxmm ABCO0 x得留意系統(tǒng)的動勢為：選題選題例7 如下圖的運動系統(tǒng)中，可沿光滑程度面挪動的重物M1的質(zhì)量為m1；可在鉛直面內(nèi)擺動的擺錘M2的質(zhì)量為m2。兩個物體用無重桿銜接，桿長為l。求此系統(tǒng)微幅擺動的周期。2M1MxyCO解：1取整個系統(tǒng)為研討對象。選取坐標軸如下圖，那么M1和M2的坐標各為x1、y1和x2 、y2

25、。2運動分析： 系統(tǒng)遭到程度面和剛性桿的約束，所以具有兩個自在度。 01ysin12lxxcos2ly 3拉格朗日方程列出系統(tǒng)的微分方程。 系統(tǒng)的動能為：2212112121vmvmT選x1和為廣義坐標，那么有：2M1MxyCO11xv222222yxv 22121cos2lx lx)cos2(2)(211222121xllmxmmT其中：選M1在程度面上而M2在最低處為系統(tǒng)的零勢能位置，那么系統(tǒng)的勢能為： )cos1 (2glmV2M1MxyCO01xTcos)(21211lmxmmxT2221211sincos)()( lmlmxmmxTdtd)cos2(2)(211222121xllmx

26、mmT011xVQxsin12xlmTcos1222x lmlmT)cos1 (2glmV)cos2(2)(211222121xllmxmmT2M1MxyCO)sincos()(112 xxllmTdtdsin2glmVQ代入拉格朗日方程0sincos)(222121 lmlmxmmsin)sincos(2112glmxxllm 2M1MxyCOQTTdtdQxTxTdtdx)()(111)sincos()(112 xxllmTdtd2221211sincos)()( lmlmxmmxTdtd01xT011xVQxsin12xlmTsin2glmVQ1cos,sin假設(shè)M2擺動很小，那么可近似

27、地以為 且可忽略高階小量，上式可改寫為0sincos)(222121 lmlmxmmsin)sincos(2112glmxxllm 2M1MxyCO0)(2121 lmxmmgxl1 glx 10121lgmmm 解為 ：)sin(tAn圓頻率為 ：lgmmmn1210)(2121 lmxmmgxl1 glmmm21122 擺動周期假設(shè)m1遠大于m2，那么M1的位移x1將很小，M2的擺動周期將趨近于普通單擺的周期：glm2lim12M1MxyCO選題選題 3-6 3-6 拉格朗日方程的初積分拉格朗日方程的初積分對于保守系統(tǒng)，在一定條件下，可以直接給出初積分的普通方式。1.1.能量積分能量積分假

28、設(shè)系統(tǒng)所遭到的約束均為定常約束，那么式34中不顯含時間t， 從而kNikiiiqqrr1lkNlkklnilNllikNkkiiiniiiqqmqqrqqrmmT1111121)()(2121，327為關(guān)于 的二次齊次函數(shù)，iq 其中l(wèi)ikiniiklqrqrmm1是廣義坐標的函數(shù)， 稱為廣義質(zhì)量，容易證明TqqTkNkk21328上式也稱為關(guān)于齊次函數(shù)的歐拉定理，留意勢能V不含 項，iq 從而TqqTqqLkNkkkNkk211將式326b對k求和0)2(dddddd2)()(dd)(dd)(dd1111LTttLtTqqLqqLqqLtqqLqqLqLtqqLqqLtkkNkkkNkkkNkkkkkkNkkkkk 329積分上式，有2T-L